精品解析：河南省实验中学创新实验班2026-2027学年八年级上学期九月学情自测 数学试卷

2026-2027学年（上）阶段性评价 八年级 数学B 时间：100分钟 满分：120分 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 下图是一种常见的化学实验仪器——漏斗，它的俯视图是（ ） A. B. C. D. 2. 在中，，则（ ） A. B. C. D. 3. 为落实“健康第一”的教育理念，某中学举行“青春逐梦，健康随行”田径运动会，拟招募志愿者，七年级（1）班有两名男生和两名女生报名．若从中任意选择两名学生，恰好为一男一女的概率是（ ） A. B. C. D. 4. 阿基米德曾说过：“给我一个支点，我能撬动整个地球．”这句话生动体现了杠杆原理：通过调整支点位置和力臂长度，用较小的力就能撬动重物．这一原理在生活中随处可见．如图甲，这是用杠杆撬石头的示意图，当用力压杠杆时，另一端就会撬动石头．如图乙所示，动力臂，阻力臂，，则的长度是（ ） A. B. C. D. 5. 若关于x的一元二次方程（a≠0）有一解为，则一元二次方程必有一解为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，将在平面内绕点逆时针旋转到的位置，与交于点，与交于点，则下列结论不一定正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 已知，是关于的一元二次方程的两个实数根，则的最小值是（ ） A. 2 B. 4 C. 0.5 D. 1 8. 如图，观察函数的图象，可以发现方程在0，1之间有根．取0，1的平均数0.5，当时，，进一步可知这个根在0.5和1之间，则与方程另一根更接近的是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在菱形中，，为对角线的交点.将菱形绕点逆时针旋转得到菱形，两个菱形的公共点为，，，.对八边形给出下面四个结论： ①该八边形各边长都相等； ②该八边形各内角都相等； ③点到该八边形各顶点的距离都相等； ④点到该八边形各边所在直线的距离都相等。 上述结论中，所有正确结论的序号是（ ） A. ①③ B. ①④ C. ②③ D. ②④ 10. 如图1，在四边形中，ABCD，，点从点出发以每秒2个单位长度的速度沿匀速运动，到达点后停止运动；同时点从点出发以每秒1个单位长度的速度沿匀速运动，当点停止运动时点也随之停止运动，过点作于点．设运动时间为秒，，关于的函数图象如图2所示，则的长为（ ） A. 8 B. 9 C. 10 D. 11 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 菱形空窗是中国古典园林里极具代表性的造景元素．某菱形空窗的尺寸如图所示（边框厚度忽略不计），则其透光面积为__________． 12. 已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是__________． 13. 如图，某渔船在港观测到灯塔在它的北偏东方向上；当渔船沿正北方向航行30海里至港时，观测到灯塔在它的东北方向上，则灯塔与港之间的距离为____________海里．（结果精确到0.1海里，参考数据：，，，） 14. 已知二次函数（，，为常数，）的图像过点，则下列说法正确的是__________．（填写所有正确说法的序号） ①；②若，则当时，随的增大而增大；③若，则；④若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则． 15. 如图，在中，，是的中线，且．将绕点顺时针旋转得到（），其中点，的对应点分别为点，．当时，垂足为，线段分别与线段，交于点，．在射线上取一点，在射线上取一点，使．当以点，，为顶点的三角形是直角三角形，且为直角边时，线段的长为________． 三、解答题（本大题共8个小题，满分75分） 16. 关于x的一元二次方程． （1）求证：方程有两个不相等的实数根． （2）已知方程的两个实数根分别为，，且，求k的值． 17. 校田径队教练选出甲、乙、丙、丁四名运动员参加100米比赛．对这四名运动员最近10次100米跑测试成绩（单位：s）的数据进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息． a．甲、乙两名运动员10次测试成绩的折线图： b．丙运动员10次测试成绩：12.4 12.4 12.5 12.7 12.8 12.8 12.8 12.8 12.9 12.9 c．四名运动员10次测试成绩的平均数、中位数、方差： 甲 乙 丙 丁 平均数 12.5 12.5 p 12.5 中位数 m 12.5 12.8 12.45 方差 0.056 n 0.034 0.056 （1）表中m的值为_______； （2）表中n_______0.056（填“>”“=”或“<”）； （3）根据这10次测试成绩，教练按如下方式评估这四名运动员的实力强弱：首先比较平均数，平均数较小者实力更强；若平均数相等，则比较方差，方差较小者实力更强；若平均数、方差分别相等，则测试成绩小于平均数的次数较多者实力更强． 评估结果：这四名运动员按实力由强到弱依次为_______． 18. 如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，直线与反比例函数（）的图象交于点及点，与轴交于点． （1）求的值； （2）若直线与反比例函数（）的图象在第三象限交于点，求点的坐标及的面积； （3）在第三象限内的反比例函数（）的图象上，是否存在点，使得为直角三角形，若存在，请直接写出满足条件的所有点的坐标；若不存在，请说明理由． 19. 如图，在平面直角坐标系中，四边形的顶点分别为，，，．请用无刻度直尺和圆规完成作图并作答．（不写作法，保留作图痕迹，标明字母） （1）在边上作一点P，使，此时点P的坐标为 ； （2）在边上作一点Q，使和的面积相等． 20. 某商场销售某种电子产品，该产品的进价为30元/件，根据市场调查发现，该产品每周的销售量y（单位：件）与售价x（单位：元/件）（x为正整数）之间满足一次函数的关系，下表记录的是某三周的有关数据． x（元/件） 40 55 70 y（件） 1100 950 800 （1）求y与x的函数表达式．（不求自变量的取值范围） （2）若某周该产品的销售量不少于800件，求这周该商场销售这种产品获得的最大利润． 21. 如图，四边形是正方形，点是边（不与点，点重合）上的一点，，且交正方形外角的平分线于点． （1）如图1，求证：； （2）如图2，，分别为，的中点，连接和相交于点，连接，．试判断四边形的形状，并说明理由； （3）若点是边（不与点，点重合）上的一点，直接写出，，三边满足什么数量关系时，四边形是平行四边形． 22. 定义：若一个点的纵坐标是横坐标的倍，则称这个点为“三倍点”，如：等都是“三倍点”．已知二次函数（为常数） （1）若该函数经过点，求该函数表达式； （2）在（1）的条件下， ①求出该图象上的“三倍点”坐标； ②当时，函数的最小值为，求的值； （3）在的范围内，若二次函数的图象上至少存在一个“三倍点”，结合图象，求出的取值范围． 23. 定义：如果平行四边形的两条对角线夹角等于它的一个内角，称这个平行四边形为“对等角平行四边形”，这组相等的角称为“对等角”．如图1，在平行四边形中，对角线与交于点O．若等于平行四边形的一个内角，则称平行四边形为“对等角平行四边形”，和称为“对等角”． （1）【定义理解】下列平行四边形中，一定是“对等角平行四边形”的有______（填序号）． ①有一个内角为的平行四边形 ②矩形 ③菱形 ④正方形 （2）【性质探究】如图2，在对等角平行四边形中，，于点E． ①求的值； ②若，，求的长． （3）【拓展应用】如图3，已知E为线段上一点，，，过点E做射线，D为射线上一点，若四边形为对等角平行四边形，连接，将沿翻折得到，若直线与对等角平行四边形的另一边相交于点P，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年（上）阶段性评价 八年级 数学B 时间：100分钟 满分：120分 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 下图是一种常见的化学实验仪器——漏斗，它的俯视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据俯视图的定义，从物体正上方观察所得到的平面图形即为俯视图，结合漏斗的几何特征，漏斗的上部是一个大的圆形口，下部是一个位于中心的细小圆柱形管口，进行判断即可． 【详解】解：从上往下看，能看到一个大圆和中间的一个小圆，即两个同心圆； A、不符合题意； B、符合题意； C、不符合题意； D、不符合题意． 2. 在中，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查锐角三角函数的定义．根据锐角三角函数定义直接进行解答，即可． 【详解】解：∵在中，， ∴． 故选：B 3. 为落实“健康第一”的教育理念，某中学举行“青春逐梦，健康随行”田径运动会，拟招募志愿者，七年级（1）班有两名男生和两名女生报名．若从中任意选择两名学生，恰好为一男一女的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：记两名男生为，，两名女生为，， 从4人中任选2人的所有等可能结果为：，，，，，，共6种， 其中恰好为一男一女的结果有，，，，共4种， 故所求概率为． 4. 阿基米德曾说过：“给我一个支点，我能撬动整个地球．”这句话生动体现了杠杆原理：通过调整支点位置和力臂长度，用较小的力就能撬动重物．这一原理在生活中随处可见．如图甲，这是用杠杆撬石头的示意图，当用力压杠杆时，另一端就会撬动石头．如图乙所示，动力臂，阻力臂，，则的长度是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的应用，根据题意构造出相似三角形，然后根据相似三角形的对应边成比例求得的长度．解题的关键是正确判定相似三角形并运用相似三角形的性质列出比例式． 【详解】解：，， ， ， ， ∵动力臂，阻力臂， ， ， 的长为． 故选：B． 5. 若关于x的一元二次方程（a≠0）有一解为，则一元二次方程必有一解为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，将第二个方程变形，使其与原方程的结构一致，利用已知解代入求解． 【详解】解：原方程有一解，代入得． 将第二个方程整理为：， ， 令，则方程变为， 与原方程形式相同，则解相同． 则，即，解得． 因此，第二个方程必有一解为， 故选：A． 6. 如图，将在平面内绕点逆时针旋转到的位置，与交于点，与交于点，则下列结论不一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：由旋转的性质可得，，， ∴选项B与选项C不符合题意， ∵， ∴， 又∵， ∴，故选项D不符合题意， 在旋转的过程中，不一定成立，故A符合题意． 7. 已知，是关于的一元二次方程的两个实数根，则的最小值是（ ） A. 2 B. 4 C. 0.5 D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】根据方程有两个实数根，得到，求出的范围，根据根与系数的关系，求出的值，根据一次函数的性质，求出最小值即可. 【详解】解：∵，是关于的一元二次方程的两个实数根， ∴，解得， 由根与系数的关系得：，， ∴， ∵， ∴随的增大而减小， ∴当时，取得最小值，最小值为. 8. 如图，观察函数的图象，可以发现方程在0，1之间有根．取0，1的平均数0.5，当时，，进一步可知这个根在0.5和1之间，则与方程另一根更接近的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由一元二次方程根与系数关系可知两根之和为，结合已知根在0.5与之间，可推知另一根在与之间．再取中点缩小范围，确定另一根更接近． 【详解】解：设方程的两个根为，， ，，， 由一元二次方程根与系数关系可知， 已知在0.5与之间， ， 当x在0.5和1之间时， 另一根在与之间， 取， ， 当时，， 在与之间， 到的距离， 到的距离， 到的距离小于到的距离， 与另一根更接近的是． 9. 如图，在菱形中，，为对角线的交点.将菱形绕点逆时针旋转得到菱形，两个菱形的公共点为，，，.对八边形给出下面四个结论： ①该八边形各边长都相等； ②该八边形各内角都相等； ③点到该八边形各顶点的距离都相等； ④点到该八边形各边所在直线的距离都相等。 上述结论中，所有正确结论的序号是（ ） A. ①③ B. ①④ C. ②③ D. ②④ 【答案】B 【解析】 【分析】根据菱形，，则，，结合旋转的性质得到点一定在对角线上，且，，继而得到，，结合，继而得到，可证，，同理可证，证，继而得到，得到，可以判定该八边形各边长都相等，故①正确；根据角的平分线的性质定理，得点到该八边形各边所在直线的距离都相等，可以判定④正确；根据题意，得，结合，，得到，可判定②该八边形各内角不相等；判定②错误，证，进一步可得，可判定点到该八边形各顶点的距离都相等错误即③错误，解答即可. 本题考查了旋转的性质，菱形的性质，三角形全等判定和性质，角的平分线性质定理，熟练掌握旋转的性质，菱形的性质，三角形全等判定和性质是解题的关键. 【详解】向两方分别延长，连接， 根据菱形，，则，， ∵菱形绕点逆时针旋转得到菱形， ∴点一定在对角线上，且，， ∴，， ∵， ∴， ∴，，同理可证， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴该八边形各边长都相等， 故①正确； 根据角的平分线的性质定理，得点到该八边形各边所在直线的距离都相等， ∴④正确； 根据题意，得， ∵，， ∴， ∴该八边形各内角不相等； ∴②错误， 根据， ∴， ∴， ∵， 故， ∴点到该八边形各顶点的距离都相等错误 ∴③错误， 故选B． 10. 如图1，在四边形中，ABCD，，点从点出发以每秒2个单位长度的速度沿匀速运动，到达点后停止运动；同时点从点出发以每秒1个单位长度的速度沿匀速运动，当点停止运动时点也随之停止运动，过点作于点．设运动时间为秒，，关于的函数图象如图2所示，则的长为（ ） A. 8 B. 9 C. 10 D. 11 【答案】C 【解析】 【分析】过作于，可证得四边形为矩形，，根据相似三角形的性质得到比例式，再表示出关于的式子，代入到中，得到关系式，再结合函数图象求出，，的长，结合沿运动时候的函数图像求出的长，进而可求出的长． 【详解】解：过作于，如图所示， ∵， ∴， ∵， ∴ ∵ ∴ ∴四边形为矩形， ∴， 当在上运动时， ∵， ∴， ∴， ∴， 由题设，则， ∴， ∴， 由函数图象可知，当 时，​， ∴，即， 当到达点后，在上运动时，恒等于高，此时， 由函数图象可知，当时， ∴，即， ∴， 把代入中得， 解得； ∴在中，， 当点开始沿运动，此时， ∴， 代入时，得， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了动点问题的函数图像的性质，矩形的性质和判定，相似三角形的性质和判定，勾股定理，熟练掌握相关知识点是解决本题的关键． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 菱形空窗是中国古典园林里极具代表性的造景元素．某菱形空窗的尺寸如图所示（边框厚度忽略不计），则其透光面积为__________． 【答案】2400 【解析】 【分析】根据勾股定理以及菱形的性质求出菱形的另一条对角线的长，再根据菱形的面积公式解答即可． 【详解】解：如图，在菱形中，对角线交于点O，则， ∵四边形为菱形， ∴，，， ∴， ∴， ∴菱形的面积为， 即其透光面积为． 12. 已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【分析】一元二次方程有两个不相等的实数根，可得根的判别式大于0，解不等式即可得到的取值范围． 【详解】解：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ， ， 化简得， 解得． 13. 如图，某渔船在港观测到灯塔在它的北偏东方向上；当渔船沿正北方向航行30海里至港时，观测到灯塔在它的东北方向上，则灯塔与港之间的距离为____________海里．（结果精确到0.1海里，参考数据：，，，） 【答案】 28.2 【解析】 【分析】过点作延长线的垂线构造直角三角形，设垂线段长为未知数，利用两个直角三角形的公共边和已知角度建立方程求解． 【详解】解：如图，过点作交的延长线于点． 设海里， 在中， 灯塔在港的东北方向，  ． 海里，海里． 在中，，海里． ，  ． 即． 解得．  （海里）． 故灯塔与港之间的距离约为海里． 14. 已知二次函数（，，为常数，）的图像过点，则下列说法正确的是__________．（填写所有正确说法的序号） ①；②若，则当时，随的增大而增大；③若，则；④若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则． 【答案】①③④ 【解析】 【分析】已知二次函数，，过点，先代入得到，再逐个验证每个说法，利用二次函数性质和代数变形推导结论． 【详解】解：①将代入，得， ∵函数图像过点， ∴，故①正确． ②，∵， ∴二次函数开口向下，对称轴为，若，则对称轴，若，则在区间，随增大而减小，如：取，，得对称轴，在时递减，故②错误． ③∵， ∴， ∴， ∵， ∴，因此，即，故③正确． ④整理方程得，方程有两个相等的实数根，因此判别式， ∴， 整理得， ∴， 因此， ∵， ∴，即，故④正确． 综上所述：①③④正确． 15. 如图，在中，，是的中线，且．将绕点顺时针旋转得到（），其中点，的对应点分别为点，．当时，垂足为，线段分别与线段，交于点，．在射线上取一点，在射线上取一点，使．当以点，，为顶点的三角形是直角三角形，且为直角边时，线段的长为________． 【答案】或 【解析】 【分析】分两种情况：当时，当时，延长交射线于点，则，并结合等腰三角形的判定与性质计算即可得出结果． 【详解】解：∵当以点，，为顶点的三角形是直角三角形，且为直角边时， ∴当时，如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵在中，，是的中线， ∴，即， 由旋转性质可得，即， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 如图，当时，延长交射线于点，则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 综上所述，线段的长为或． 三、解答题（本大题共8个小题，满分75分） 16. 关于x的一元二次方程． （1）求证：方程有两个不相等的实数根． （2）已知方程的两个实数根分别为，，且，求k的值． 【答案】（1） 证明：∵原方程为， ∴ ， ∴方程有两个不相等的实数根． （2） 的值为或 【解析】 【分析】（1）计算方程的根的判别式，判断判别式的符号即可证明结论； （2）根据根与系数的关系得到两根和与两根积，结合的条件，得到关于的一元二次方程，求解即可得到的值． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵方程的两个实数根为，  ∴，，  ∵， ∴， ∴， ∴，  代入得：， 整理得， 解得或． 17. 校田径队教练选出甲、乙、丙、丁四名运动员参加100米比赛．对这四名运动员最近10次100米跑测试成绩（单位：s）的数据进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息． a．甲、乙两名运动员10次测试成绩的折线图： b．丙运动员10次测试成绩：12.4 12.4 12.5 12.7 12.8 12.8 12.8 12.8 12.9 12.9 c．四名运动员10次测试成绩的平均数、中位数、方差： 甲 乙 丙 丁 平均数 12.5 12.5 p 12.5 中位数 m 12.5 12.8 12.45 方差 0.056 n 0.034 0.056 （1）表中m的值为_______； （2）表中n_______0.056（填“>”“=”或“<”）； （3）根据这10次测试成绩，教练按如下方式评估这四名运动员的实力强弱：首先比较平均数，平均数较小者实力更强；若平均数相等，则比较方差，方差较小者实力更强；若平均数、方差分别相等，则测试成绩小于平均数的次数较多者实力更强． 评估结果：这四名运动员按实力由强到弱依次为_______． 【答案】（1） （2） （3）乙、丁、甲、丙 【解析】 【分析】本题考查了折线统计图，计算方差，中位数，平均数等知识点，正确理解题意是解题的关键． （1）根据中位数定义即可求解； （2）根据方差计算公式求解，再比较即可； （3）根据中位数、方差、平均数，结合题意分析即可． 【小问1详解】 解：甲的10次测试成绩排列为：， ∴中位数， 故答案为：； 【小问2详解】 解：乙的10次测试成绩平均数为：， ∴方差为： ∴， 故答案为：； 【小问3详解】 解：丙的平均数， ∴丙的平均数最大，则实力最弱， ∵方差， ∴乙实力最强， ∵丁的测试成绩中位数为， ∴第次成绩和为， ∴前5次测试成绩小于平均数， ∵甲测试成绩小于平均数12.5的次数有2次， ∴丁比甲强， ∴这四名运动员按实力由强到弱依次为：乙、丁、甲、丙， 故答案为：乙、丁、甲、丙． 18. 如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，直线与反比例函数（）的图象交于点及点，与轴交于点． （1）求的值； （2）若直线与反比例函数（）的图象在第三象限交于点，求点的坐标及的面积； （3）在第三象限内的反比例函数（）的图象上，是否存在点，使得为直角三角形，若存在，请直接写出满足条件的所有点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）4 （2）；12 （3）存在，或 【解析】 【分析】（1）先求出的值，待定系数法求出的值即可； （2）根据对称性求出点坐标，分割法求出的面积即可； （3）求出点坐标，分3种情况，利用勾股定理列出方程进行求解即可. 【小问1详解】 解：把代入，得，解得， ∴， ∵点在反比例函数的图象上， ∴； 【小问2详解】 解：∵直线为正比例函数，图象关于原点对称， 又∵反比例函数的图象关于原点对称， ∴直线与反比例函数图象的两个交点关于原点对称， ∵点为直线与反比例函数图象的一个交点， ∴点， 当时，解得， ∴， ∴的面积； 【小问3详解】 解：存在； 联立，解得或， ∴， 设， ∵， ∴，，， 当为直角三角形时，分3种情况： ①当时，则， ∴， 解得或（舍去）， ∴； ②当时，则， ∴， 解得或（舍去）， ∴； ③当时，则， ∴， 解得（舍去）或（舍去）； 故此种情况不存在； 综上：或. 19. 如图，在平面直角坐标系中，四边形的顶点分别为，，，．请用无刻度直尺和圆规完成作图并作答．（不写作法，保留作图痕迹，标明字母） （1）在边上作一点P，使，此时点P的坐标为 ； （2）在边上作一点Q，使和的面积相等． 【答案】（1）如图所示，点P的坐标为 （2）如图2所示． 【解析】 【分析】（1）根据垂直平分线的性质可得在直线上，进而待定系数法求得直线的解析式，令，即可求解； （2）根据题意得出为的角平分线与的交点，即可求解． 【小问1详解】 解：∵， ∴在直线上， 设直线的解析式为，代入， ∴，解得； ∴直线的解析式为 当时， ∴； 【小问2详解】 解：如图， ∵，， ∴ ∴ ∴ 设到的距离为，到的距离为 ∵和的面积相等 ∴ ∴ ∴在的角平分线上，作的角平分线交于点，即为所求． 20. 某商场销售某种电子产品，该产品的进价为30元/件，根据市场调查发现，该产品每周的销售量y（单位：件）与售价x（单位：元/件）（x为正整数）之间满足一次函数的关系，下表记录的是某三周的有关数据． x（元/件） 40 55 70 y（件） 1100 950 800 （1）求y与x的函数表达式．（不求自变量的取值范围） （2）若某周该产品的销售量不少于800件，求这周该商场销售这种产品获得的最大利润． 【答案】（1） （2）元 【解析】 【分析】（1）设y与x的函数表达式为，根据待定系数法即可求解； （2）设这周该商场销售这种产品获得的利润为，根据某周的销售量不少于800件可得的取值范围，再列出关于x的函数关系式，再根据二次函数的性质求出最大值即可． 【小问1详解】 解：设y与x的函数表达式为， 把，代入得， ， 解得， ∴y与x的函数表达式为． 【小问2详解】 解：设这周该商场销售这种产品获得的利润为， ∵销售量不少于800件， ∴， ∴， 由题意得，， ∵， ∴在对称轴直线左侧，函数值随自变量x的增大而增大， ∴时，有最大值，最大值为（元）， ∴这周该商场销售这种产品获得的最大利润为32000元． 21. 如图，四边形是正方形，点是边（不与点，点重合）上的一点，，且交正方形外角的平分线于点． （1）如图1，求证：； （2）如图2，，分别为，的中点，连接和相交于点，连接，．试判断四边形的形状，并说明理由； （3）若点是边（不与点，点重合）上的一点，直接写出，，三边满足什么数量关系时，四边形是平行四边形． 【答案】（1）证明：在上截取， 四边形是正方形， ，， ， ，即， 是等腰直角三角形， ， ， 是正方形的外角平分线， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ； （2）四边形是平行四边形． 理由如下： 四边形是正方形， ，， ，分别为，的中点， ， 在和中， ， ，， ， ， ， ， ， ， 由（1）得， ， 四边形是平行四边形． （3）当时，四边形是平行四边形 【解析】 【分析】（1）在上截取，结合正方形的性质得到，则，再结合正方形的外角平分线，得到，即可证明，得到； （2）由，分别为，的中点，得到，即可证明，得到，，接着得到，则，最后根据一组对边平行且相等即可得到四边形是平行四边形． （3）根据，得到，即可证明，得到，，接着得到，则，最后根据一组对边平行且相等即可得到四边形是平行四边形． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：当时，四边形是平行四边形． 理由如下： 四边形是正方形， ，， ∵，， ， 在和中， ， ，， ， ， ， ， ， ， 由（1）得， ， 四边形是平行四边形． 22. 定义：若一个点的纵坐标是横坐标的倍，则称这个点为“三倍点”，如：等都是“三倍点”．已知二次函数（为常数） （1）若该函数经过点，求该函数表达式； （2）在（1）的条件下， ①求出该图象上的“三倍点”坐标； ②当时，函数的最小值为，求的值； （3）在的范围内，若二次函数的图象上至少存在一个“三倍点”，结合图象，求出的取值范围． 【答案】（1） （2）①；②或 （3） 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系：抛物线与轴交于；抛物线与轴交点个数由决定，也考查了二次函数图象上点的坐标特征． （1）把代入即可求得抛物线解析式； （2）①设该函数图象上的“三倍点”坐标为，把代入，即可确定“三倍点”坐标； ②由（1）可知，分当，当时，两种情况下的最小值，令最小值等于-6，分别求解即可． （3）由题意得，三倍点所在的直线为，将在的范围内，二次函数的图象上至少存在一个“三倍点”，转化为在的范围内，二次函数和至少有一个交点，即可求解． 【小问1详解】 解：把代入， 得， 解得：， ∴抛物线解析式为； 【小问2详解】 ①设该函数图象上的“三倍点”坐标为， 把代入， 得， 整理得：， 解得， ∴“三倍点”坐标为； ②由()可知为，其中，抛物线开口向下，抛物线对称轴为直线， 当，即时， ∴当时，取得最小值，即， 解得或， ∵， ∴； 第二种情况： 当，即时， ∴当时，取得最小值，即， 解得或 ∵， ∴； 综上，的值为或． 【小问3详解】 解：由题意得，三倍点所在的直线为， 在的范围内，二次函数的图象上至少存在一个“三倍点”， 即在的范围内，二次函数和至少有一个交点， 令，整理得，， 则， 解得； 把代入得，代入得， ∴，解得； 把代入得，代入得， ∴，解得； 综上，的取值范围为：． 23. 定义：如果平行四边形的两条对角线夹角等于它的一个内角，称这个平行四边形为“对等角平行四边形”，这组相等的角称为“对等角”．如图1，在平行四边形中，对角线与交于点O．若等于平行四边形的一个内角，则称平行四边形为“对等角平行四边形”，和称为“对等角”． （1）【定义理解】下列平行四边形中，一定是“对等角平行四边形”的有______（填序号）． ①有一个内角为的平行四边形 ②矩形 ③菱形 ④正方形 （2）【性质探究】如图2，在对等角平行四边形中，，于点E． ①求的值； ②若，，求的长． （3）【拓展应用】如图3，已知E为线段上一点，，，过点E做射线，D为射线上一点，若四边形为对等角平行四边形，连接，将沿翻折得到，若直线与对等角平行四边形的另一边相交于点P，求的长． 【答案】（1）④ （2）①；② （3）或 【解析】 【分析】（1）根据平行四边形，矩形，菱形，正方形的性质，结合新定义，进行判断即可； （2）①证明，得到，结合平行四边形的性质，得到，，进而推出，，即可得出结论； ②设，则，勾股定理得到，求出的值，即可得出结果； （3）分两种情况，结合平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，三角函数的定义进行讨论求解即可． 【小问1详解】 解：有一个内角为的平行四边形，无法保证夹角等于60度，不符合题意； 矩形的一个内角为90度，对角线相等，不垂直，夹角不等于90度，不符合题意； 菱形的对角线垂直，夹角为90度，菱形的内角不等于90度，不符合题意； 正方形的一个内角为90度，且对角线垂直，夹角也为90度，符合题意； 【小问2详解】 解：①∵，， ∴， ∴， ∵平行四边形， ∴， ∴， ∴； ②由①可知，，， ∴设，则， ∵， ∴在中，， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴． ∴； 【小问3详解】 解：∵，， ∴， 第一种情况：当时，如图： ∵在平行四边形ABCD中，， 由（2）①可知：， ∴， ∵， ∴∽， ∴， ∴，， 在中，， ∴， ∵折叠，∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，设，则， 由勾股定理，得：，解得， ∴； 第二种情况：当时，如图： 在平行四边形中，，， 同理可证：， ∴， ∴， 同理可证：， ∴， ∴在中，设，则， 由勾股定理，得，解得． ∴， ∵， ∴∽， ∴， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $