精品解析：山西省太原市成成中学校2026-2027学年高二上学期10月月考数学试题

太原市成成中学校2026年10月高二月考 数学试题 考试时间：120分钟 满分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知直线：，则直线的斜率为（ ） A. B. C. D. 不存在 【答案】A 【解析】 【分析】由斜率的定义即可求解. 【详解】由直线：，可得直线的斜率为， 故选：A. 2. 已知空间向量，，若，则（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】先由向量坐标的线性运算可得的坐标，再由向量的共线的坐标关系可得. 【详解】由空间向量，， 所以，， 因为，所以，解得. 因此，. 3. 圆与圆的公切线的条数是（     ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】A 【解析】 【详解】设的半径为，的半径为， 由题意得，，，，，，则， 可得两圆内切，即两圆的公切线条数为. 4. “”是“直线与平行”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】根据直线平行的条件，判断“”和“直线与平行”之间的逻辑关系，即可得答案. 【详解】当时，直线与平行； 当直线与平行时， 有且，解得， 故“”是“直线与平行”的充要条件， 故选：C 5. 下列不可能与直线和相切于同一个圆的直线是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求出直线和的交点为，结合图象可知当且仅当三条直线交于一点时无法画出圆，因此判断各选项的直线是否过点即可． 【详解】首先联立得，即两直线交于点， 考虑三条直线的位置关系，当且仅当三条直线交于一点时无法画出圆，如下图． 将点代入各选项知只有B选项的直线过点， 故直线不可能与直线和相切于同一个圆． 6. 我国汉代初年成书的《淮南万毕术》中记载：“取大镜高悬，置水盆于下，则见四邻矣．”这是我国古代人民利用平面镜反射原理的首个实例，体现了传统文化中的数学智慧．已知从点发出的一束光线，经直线反射后，反射光线恰好平分圆：的圆周，则反射光线所在的直线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求得点关于直线的对称点的坐标与圆的圆心坐标，由两点式可求反射光线所在直线方程． 【详解】由，可得圆心， 设点关于直线的对称点的坐标为， 则，解得，即对称点坐标为， 又反射光线恰好平分圆：的圆周，所以反射光线过， 由直线的两点式方程可得反射光线所在直线方程为，即． 7. 已知圆：和两点，（），若圆上存在点，使得，则的最大值为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】解法一：由知，可得点在以原点为圆心，为半径的圆上，进而得到圆和圆有公共点（相交或相切），结合圆和圆的位置关系求解即可；解法二：设，,由化简可得，进而结合正弦函数的性质求解即可. 【详解】解法一：由知， 则点在以为直径的圆上，即以原点为圆心，为半径的圆上． 又点在圆上，所以圆和圆有公共点（相交或相切）， 由圆：，得其圆心，半径为1， 则两圆圆心距，需满足，解得， 则的最大值为6. 解法二：设，, 则， 则 ，其中，即， 因为，所以， 又，则，即的最大值为6. 8. 已知点为圆：上的动点，点为圆：上的动点，则线段的中点的轨迹围成图形的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据圆和圆的方程在平面直角坐标系作出图形，然后由点和点是圆上动点，线段的中点为点，确定点轨迹的几何特征，从而得出轨迹围成的图形，即可求解． 【详解】解法一：如图所示，取的中点，的中点， 则在中，，则点在以为圆心，为半径的圆上， 在中，，则点在以为圆心，1为半径的圆上， 故点的轨迹为圆心在圆上的动圆，因为，所以覆盖的区域为圆环， 如下图： 则其面积为． 解法二：基于解法一，可知，，则， 即，所以点的轨迹为圆环， 则其面积为． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法中，正确的有（ ） A. 若直线的斜率越大，则直线的倾斜角就越大 B. 直线必过第三象限 C. 直线与直线的距离为 D. 过点且在轴，轴上的截距相等的直线方程为 【答案】BC 【解析】 【分析】根据倾斜角与斜率的关系举例即可判断A；将直线方程化为，再求解即可判断B；根据两平行直线间的距离公式即可判断C；举特例判断D． 【详解】对于A，当斜率为时，倾斜角为， 当斜率为时，倾斜角为，故A错误； 对于B，将直线，化为， 由，解得， 即直线必过定点，则该直线必定过第三象限，故B正确； 对于C，将直线化为，与直线平行， 则这两平行直线间的距离为，故C正确； 对于D，当直线过原点时，也满足在轴，轴上的截距相等， 此时直线的斜率为，则直线方程为，故D错误. 10. 如图，在棱长为2的正方体中，E为的中点，F为的中点，如图所示建立空间直角坐标系，则下列说法正确的是（ ） A. B. 向量与所成角的余弦值为 C. 平面的一个法向量是 D. 点D到直线的距离为 【答案】BC 【解析】 【分析】根据题意得出各点坐标，利用空间中两点的距离公式，向量夹角的余弦值公式，平面法向量的求法，及空间中点到直线的距离公式逐一分析即可. 【详解】由题意得，， 对于：，故错误； 对于：， 所以，故正确； 对于：， 设平面的法向量为， 则， 取，则，则，故正确； 对于：，设点到直线的距离为， 则，故错误. 故选：. 11. 古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点的距离之比为定值的点所形成的图形是圆，后来人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．已知在平面直角坐标系中，点，，动点满足，设动点的轨迹为，若过点的直线交于点，则下列说法正确的是（ ） A. 的方程为 B. 若点，则的最小值为 C. 存在点和直线使得 D. 若，则直线的方程为 【答案】ABD 【解析】 【分析】A利用阿氏圆的定义求出动点轨迹圆方程； B利用阿氏圆的比例关系转化距离，用两点间距离求最值； C利用圆周角圆心角关系结合过定点弦长最小值判断存在性； D利用线段比例关系结合韦达定理求出直线斜率． 【详解】对于A，设，由，则， 化简得，所以点的轨迹的方程为，A正确； 对于B，由题意知，则， 结合图象知， 则的最小值为，B正确； 对于C，由圆的性质“同弧所对的圆周角是圆心角的一半”， 设圆心，则，此时， 而直线与圆相交的弦长最小时与直径垂直，最小值为，即不存在直线使得， 所以不存在直线使得，C错误； 对于D，由阿氏圆的定义知即， （法一：几何法）设，则，， 作，则，， 在中，，即， 在中，，即， 联立解得，所以． 由C选项知当直线斜率不存在时，（舍去）； 当直线斜率存在时，设直线：，即， 令， 解得，即直线：，D正确． （法二：几何法2）由相交弦定理，知， 可解得，，则，后续同法一． （法三：几何法3）设，则，，， 由，得为的角平分线， 则，即， 故，所以，后续同法一． （法四：代数法）当直线斜率为0时，，不符题意； 当直线斜率不为0时，设直线：，，， 由，得…①， 联立得， 由韦达定理得， 联立①②知，代入③式得， 即，解得， 则直线：，即，D正确． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知为椭圆上一点，，为椭圆的焦点，则的周长为__________. 【答案】 【解析】 【分析】 根据题意求出，再利用椭圆的定义求解. 【详解】由题得， 由题得的周长为. 故答案为：10 【点睛】方法点睛：圆锥曲线的问题，看到焦半径，要联想到该曲线的定义，利用曲线的定义求解. 13. 已知直线：过定点，若过点作圆：的切线有两条，则的取值范围为_________． 【答案】 【解析】 【分析】先分离参数求出直线所过定点，利用二元二次方程表示圆的条件得到的初步范围，再根据能作两条切线说明点在圆外，代入点坐标列不等式，最后取两个条件的交集得到的取值范围． 【详解】由，得， 令，得，即直线过定点； 根据题意，圆：， 必有，解得或， 因为过点P作圆C的切线有两条，所以P在圆C的外部， 则有，解得， 综上，m的取值范围为． 14. 若直线与曲线有两个不同的交点，则实数的取值范围为________． 提示：二元一次不等式（或）在平面直角坐标系中表示直线某一侧所有点组成的平面区域（不包括边界）． 【答案】 【解析】 【分析】作出曲线与直线的图形，由题意根据图形计算可解． 【详解】由，平方后整理得，表示圆心在原点且半径为1的圆， 又有，即，其表示的区域为直线的左上方区域（包括边界）， 则表示的图形为如图所示的半圆． 又有表示恒过定点的直线， 且直线与曲线有两个不同的交点， 即半圆和直线始终有两个公共点， 则当圆心到直线的距离为，解得， 当直线经过时，知， 则由图形可知，当时，均满足题意； 当时，切点不在图示半圆内， 故由图形可知，当时，均不符合题意． 故实数的取值范围为． 四、解答题：本题共5小题，其中第15题13分，第16、17题15分，第18、19题17分，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知直线与直线的交点为M． （1）求过点和点M的直线方程； （2）求过点M，且与垂直的直线方程． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）联立两直线方程，可求出交点M的坐标，进而可得直线AM的斜率，代入点斜式方程，即可得答案. （2）根据两直线的位置关系，可得与垂直的直线的斜率k，代入点斜式方程，即可得答案. 【小问1详解】 联立两直线方程，解得，即交点， 又，则， 所以直线AM的方程为，即. 【小问2详解】 直线变形为，斜率， 则与垂直的直线斜率， 则过点M，且与垂直的直线方程为，即. 16. 如图，已知在棱长为1的正四面体中，，，，点，满足，． （1）用基底表示向量，并求出； （2）求异面直线与所成角的余弦值． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）根据向量线性运算法则，整理计算，即可得答案. （2）根据向量求夹角公式，结合求模公式，化简计算，即可得答案. 【小问1详解】 由题意 ． 在正四面体中，任意两条棱的夹角均为，且棱长为1， 则，同理， 所以 ， 即． 【小问2详解】 由（1）得，． 所以 ， 又， 因为异面直线EF与OC所成角， 所以， 所以异面直线EF与OC所成角的余弦值为. 17. 已知圆经过点，，且 ． （1）求圆的标准方程； （2）若直线：与圆相交于，两点． （ⅰ）求； （ii）求过，两点且面积最小的圆的方程． 要求：从①过点，②圆心在直线上这两个条件中任选一个，补充在上面的问题中，并给出解答．如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 【答案】（1） （2）（i） （ii）（或） 【解析】 【分析】（1）选① ：解法一：设圆的标准方程，根据已知条件列方程，由此求得圆的标准方程；解法二：设圆的一般方程，根据已知条件列方程，由此求得圆的标准方程. 选②：解法一：先求得线段垂直平分线的方程，通过联立方程组求得圆心的坐标，进而求得圆的半径，从而求得圆的标准方程；解法二：根据圆心在直线上，设圆心，再由可得，从而可得圆的标准方程； （2）由（1）知圆的标准方程，解法一：利用点到直线的距离公式以及圆的弦长公式求得；解法二：通过联立方程组的方法，求得两点的坐标，进而求得. 【小问1详解】 选①： （解法一）:设圆的标准方程为． 因为圆经过点，，三个点， 所以，消去得，解得， 再将代入解得， 圆的标准方程为． （解法二）:设圆的一般方程为． 由题意可得，， 消去得，解得，再代入方程解得. 圆的一般方程为， 即圆的标准方程为． 选②： （解法一）：由，，得，中点为， 线段的垂直平分线为，即． 又圆心在直线上， 联立，解得，即圆心． 圆的半径， 圆的标准方程为． （解法二）：因为圆心在直线上， 所以设圆心，且，在圆上， ，， 整理得，解得. 所以圆心． 圆的标准方程为． 【小问2详解】 （i）（解法一）：由（1）知圆的标准方程为， 所以圆心到直线的距离. 因为圆的半径，所以弦长． （解法二）：联立直线方程与圆的方程得， 消去，化简整理得，解得或， 当时，代入得； 当时，代入得. 所以交点，由两点间距离公式得． （ii）（法一：几何法）当圆的面积最小时，该圆以为直径，由（i）知， 过圆心且垂直于的直线方程为， 联立与得，所以该圆的圆心为， 则该圆方程为． （法二：圆系方程）设过两点的圆的方程为， 整理得， 则， 当且仅当时，该圆的半径最小，此时圆的方程为． 18. 已知圆：，是直线：上的一动点，过点作圆的切线，切点分别为，． （1）当点的横坐标为6时，求切线的方程； （2）当点在直线上运动时且点的横坐标，求四边形面积的取值范围； （3）证明：当点在直线上运动时，直线过定点． 【答案】（1）或 （2） （3）（法一）设点， 则， 以为圆心，为半径的圆的方程为， 即， 因为直线为圆和圆的相交弦，两圆相减得， 整理得， 令解得，即直线过定点． （法二）设点， 则以为直径的圆的方程为， 即， 因为直线为圆和圆的相交弦，两圆相减得， 整理得， 令解得，即直线过定点， 则当点在直线上运动时，直线过定点. 【解析】 【分析】（1）求出点P坐标后，借助切线定义，分斜率不存在与斜率存在进行讨论即可得； （2）由切线性质计算可得，再利用点到直线的距离公式可求出的取值范围，即可得解. （3）（法一）设点，利用两点间距离公式求出，得到以为圆心，为半径的圆的方程，由直线为圆和圆的相交弦，两圆相减得相交弦所在的直线方程，联立方程组得到直线所过的定点．（法二）设点，求出以为直径的圆的方程，由直线为圆和圆的相交弦，两圆相减得相交弦所在的直线方程，联立方程组得到直线所过的定点． 【小问1详解】 圆的圆心C为，半径为2， 因为P是直线上的一动点， 则当点P的横坐标为6时，P点坐标为， 当切线的斜率不存在时，切线方程为，符合题意； 当切线的斜率存在时，设切线方程为，即， 由，解得， 此时切线方程为，即， 综上，所求的切线方程为或． 【小问2详解】 设点， 则四边形的面积为： ， 因为，所以． 【小问3详解】 略 19. 如图，已知平面四边形中，为的中点，，，且．将此平面四边形沿折成直二面角，连接、，设点是棱上的一点． （1）若，证明：平面； （2）是否存在点使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求出点；若不存在，请说明理由； （3）以为直径作球，若球被平面截得的截面圆的面积为，求的最小值． 【答案】（1）（解法1）：折叠前，因为，， 所以，所以，， 折叠后，，仍然成立， 又因为二面角为直二面角，所以， 建立如图所示的空间直角坐标系， 由已知条件可知，，，，，   则，，，   因为，所以，，   设平面的法向量为， 则，令，则，， 所以平面的一个法向量为，   可得，   又因为平面，所以平面． （解法2）：如图所示，连接交于点，连接， 因为，，所以，   由题意可知，，所以，所以，   又因为平面，平面，所以平面． （2）存在，为棱中点 （3） 【解析】 【分析】（1）解法一：建立空间直角坐标系求坐标，计算平面法向量，证明垂直于法向量，可得线面平行；解法2：利用线段比例，证明，由线面平行判定定理证明. （2）求与平面法向量，利用公式计算即可. （3）首先求得球的半径，再求点到平面的距离，由勾股定理可得，即得截面圆的面积的最小值. 【小问1详解】 略. 【小问2详解】 存在点使得直线与平面所成角的正弦值为． 折叠前，因为，， 所以，所以，， 折叠后，，仍然成立， 又因为二面角为直二面角，所以， 建立如图所示的空间直角坐标系， 由已知条件可知，，，，，   设，，则， ，，， 设平面的法向量为， 则令，得，，所以，   设直线与平面所成角为， 所以， 解得，此时点为棱的中点． 即存在点使得直线与平面所成角的正弦值为． 【小问3详解】 由（2）知，则球的半径， 又球心，，，， 设平面的法向量为， 则令，得，，所以，  所以点到平面的距离， 则截面圆的半径，当且仅当时取得最小值， 所以． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 太原市成成中学校2026年10月高二月考 数学试题 考试时间：120分钟 满分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知直线：，则直线的斜率为（ ） A. B. C. D. 不存在 2. 已知空间向量，，若，则（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 圆与圆的公切线的条数是（     ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 4. “”是“直线与平行”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 下列不可能与直线和相切于同一个圆的直线是（ ） A. B. C. D. 6. 我国汉代初年成书的《淮南万毕术》中记载：“取大镜高悬，置水盆于下，则见四邻矣．”这是我国古代人民利用平面镜反射原理的首个实例，体现了传统文化中的数学智慧．已知从点发出的一束光线，经直线反射后，反射光线恰好平分圆：的圆周，则反射光线所在的直线方程为（ ） A. B. C. D. 7. 已知圆：和两点，（），若圆上存在点，使得，则的最大值为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 8. 已知点为圆：上的动点，点为圆：上的动点，则线段的中点的轨迹围成图形的面积为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法中，正确的有（ ） A. 若直线的斜率越大，则直线的倾斜角就越大 B. 直线必过第三象限 C. 直线与直线的距离为 D. 过点且在轴，轴上的截距相等的直线方程为 10. 如图，在棱长为2的正方体中，E为的中点，F为的中点，如图所示建立空间直角坐标系，则下列说法正确的是（ ） A. B. 向量与所成角的余弦值为 C. 平面的一个法向量是 D. 点D到直线的距离为 11. 古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点的距离之比为定值的点所形成的图形是圆，后来人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．已知在平面直角坐标系中，点，，动点满足，设动点的轨迹为，若过点的直线交于点，则下列说法正确的是（ ） A. 的方程为 B. 若点，则的最小值为 C. 存在点和直线使得 D. 若，则直线的方程为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知为椭圆上一点，，为椭圆的焦点，则的周长为__________. 13. 已知直线：过定点，若过点作圆：的切线有两条，则的取值范围为_________． 14. 若直线与曲线有两个不同的交点，则实数的取值范围为________． 提示：二元一次不等式（或）在平面直角坐标系中表示直线某一侧所有点组成的平面区域（不包括边界）． 四、解答题：本题共5小题，其中第15题13分，第16、17题15分，第18、19题17分，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知直线与直线的交点为M． （1）求过点和点M的直线方程； （2）求过点M，且与垂直的直线方程． 16. 如图，已知在棱长为1的正四面体中，，，，点，满足，． （1）用基底表示向量，并求出； （2）求异面直线与所成角的余弦值． 17. 已知圆经过点，，且 ． （1）求圆的标准方程； （2）若直线：与圆相交于，两点． （ⅰ）求； （ii）求过，两点且面积最小的圆的方程． 要求：从①过点，②圆心在直线上这两个条件中任选一个，补充在上面的问题中，并给出解答．如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 18. 已知圆：，是直线：上的一动点，过点作圆的切线，切点分别为，． （1）当点的横坐标为6时，求切线的方程； （2）当点在直线上运动时且点的横坐标，求四边形面积的取值范围； （3）证明：当点在直线上运动时，直线过定点． 19. 如图，已知平面四边形中，为的中点，，，且．将此平面四边形沿折成直二面角，连接、，设点是棱上的一点． （1）若，证明：平面； （2）是否存在点使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求出点；若不存在，请说明理由； （3）以为直径作球，若球被平面截得的截面圆的面积为，求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $