江苏省姜堰中学2026-2027学年高二第一学期阶段测试一数学试题

高二数学阶段测试一参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 C C A B D A B C ABC BC ACD 12． 13．1 14．3， 15．（1） （2）或 【详解】（1）直线的斜率：， 2分 故过点且与平行的直线方程斜率，且， 故直线方程为，即． 6分 （2）当截距为0时，直线过原点，直线的斜率是， 所以直线方程为，即； 9分 当截距不为0时，可设直线方程为：， 代入，得，， 故直线方程为． 12分 综上得：直线方程为或． 13分 16．（1） （2）， 【详解】（1）当，时，有 ，． 所以两直线，的交点为． 2分 由于，关于直线对称，故直线和直线垂直． 而直线即的斜率为，从而直线的斜率为． 再由知直线的方程为，即． 4分 将与联立，得， ． 从而直线和直线的交点为， 由于，关于直线对称，故是的中点． 最后由，即知． 7分 （2）若是一条经过的直线，则由于， 知点到经过点的直线距离的最大值为 11分 若有一条经过的直线，满足到的距离为，则由，知和垂直． 而直线的斜率，故的斜率为． 再由经过，即知的方程为，即． 综上，点到经过点的直线距离的最大值为，此时直线的方程为． 15分 17．（1）直线与圆相交，所截得的弦长为2 （2）或 【详解】（1）由题意得圆的圆心，半径， 则圆心到直线的距离，故直线与圆相交， 3分 所截得的弦长为， 故直线与圆相交，所截得的弦长为2． 6分 （2）因为圆心到的距离为， 所以点在圆外，此时有两条切线， ①当直线斜率存在时，由题意设直线，即， 由直线与圆相切得圆心到直线的距离等于半径， 即，解得， 此时切线方程为； 10分 ②当直线斜率不存在时，直线为，易得圆心到的距离为3， 故也满足条件，此时切线方程为， 14分 综上，过点且与圆相切的直线方程为或． 15分 18．（1）． （2）． （3）． 【详解】（1）由题意知：设则，即， 所以，整理得． 所以动点的轨迹的方程为． 5分 （2）由（1）知轨迹是以为圆心，以2为半径的圆． 又因为，所以点在圆内， 所以当线段的长度最小时，， 所以圆心到直线的距离为， 7分 此时，线段的长为， 所以，线段长度的最小值为． 10分 （3）因为点的坐标为，且圆与轴相切，所以圆的半径为， 所以，圆的方程为．因为，圆与圆有公共点， 又圆与圆的两圆心距离为， 所以，即， 15分 解得：． 所以，实数的取值范围是． 17分 19．（1） （2）， （3）存在， 【详解】（1）设点坐标为， 因为点坐标为，点为线段的中点，所以， 2分 又因为点在圆上，代入圆的方程得 化简得，故点的轨迹方程为， 4分 （2）当过点的直线斜率不存在时，不可能与圆有交点，故舍去； 6分 如图，作出符合题意的图形， 当过点的直线斜率存在时，设直线方程为，当直线与圆相切时，圆心到直线距离等于半径2， 可得，解得， 此时直线方程为，联立可得， 解得，，所以点和点坐标为，， 8分 故直线的方程为， 10分 （3）存在，点坐标为，证明如下， 不妨设点坐标为，交点，点坐标为，， 当过点的直线斜率不存在时，直线方程为， 联立方程组，解得，， 则与圆的交点为和，可得轴上任意一点均满足题意， 12分 当过点的直线斜率存在时，设直线方程为， 如图，作出符合题意的图形， 联立方程组，化简得， 由韦达定理可知， 又因为轴平分，所以直线和直线的斜率互为相反数： 可得，即， 将直线方程代入，化简得到 代入韦达定理结果得， 14分 化简得，即，解得， 16分 综上所述，点坐标为，得证． 17分 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026～2027学年度第一学期阶段测试一 高二数学试题 2026.9 注意事项 1．本试卷满分为150分，考试时间为120分钟． 2．答题前，请务必将姓名、班级、学号、考场号、座位号、准考证号填写在答题纸上． 3．请用0.5毫米黑色签字笔按题号在答题纸指定区域作答，在其它位置作答一律无效． 一、选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1．已知直线经过点，，则直线的斜率为（ ） A．-3 B． C．3 D． 2．若直线：与直线：垂直，则（ ） A．-3 B．-1 C．3 D．6 3．直线与圆相交所得的弦长为，则（ ） A．2 B． C．1 D．3 4．已知点，，过点的直线与线段有交点，则直线斜率的取值范围为（ ） A． B． C． D． 5．直线倾斜角的范围是（ ） A． B． C． D． 6．若直线：与：平行，则与的距离为（ ） A． B．2 C．3 D．4 7．过点作一条直线，它夹在两条直线：和：之间的线段恰被点平分，则直线的方程为（ ） A． B． C． D． 8．已知，若过定点的动直线：和过定点的动直线：交于点（与，不重合），则的最大值为（ ） A． B． C．10 D．5 二、多选题：（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．） 9．下列结论正确的有（ ） A．倾斜角为的直线的一个方向向量是 B．直线恒过定点 C．不论为何实数，直线：与直线：互相垂直 D．在，轴上的截距为，的直线可表示为 10．已知斜率的直线过定点，圆：，为圆上的任意一点，则下列说法正确的是（ ） A．的最大值为5 B．的最大值为 C．直线与圆相切时， D．圆心到直线的距离最大为4 11．设动直线与圆相切，且与圆相交于两点、，点为直线：上动点，则（ ） A．若为线段中点，则 B．存在以为直径的圆与相切 C． D． 三、填空题：（本题共3小题，每小题5分，共15分．） 12．过原点且圆心在轴上的圆与圆外切，则圆的标准方程为__________． 13．已知直线：，圆：，，分别为直线与圆上的动点，则的最小值为__________． 14．已知点为圆：上位于第一象限内的点，过点作圆：的两条切线、，切点分别为、，直线、分别交轴于、两点，则__________；__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）已知点，，； （1）求过点且与平行的直线方程； （2）求过点，且在轴上的截距是在轴上的截距的两倍的直线方程． 16．（15分）已知直线：与直线：的交点为． （1）求点关于直线的对称点； （2）求点到经过点的直线距离的最大值，并求距离最大时的直线的方程． 17．（15分）已知直线：和圆：． （1）判断直线与圆的位置关系；若相交，求直线被圆截得的弦长； （2）求过点且与圆相切的直线方程． 18．（17分）已知动点与两个定点，的距离的比为． （1）求动点的轨迹的方程； （2）过点的直线与曲线交于、两点，求线段长度的最小值； （3）已知圆的圆心为，且圆与轴相切，若圆与曲线有公共点，求实数的取值范围． 19．（17分）已知圆方程为，点，点是圆上的动点，点为线段的中点． （1）求点的轨迹方程； （2）记点的轨迹为曲线，过点作曲线的两条切线，切点分别为点和点，求直线的方程及弦长； （3）过点作直线与曲线交于，两点，在轴上是否存在一点，使得轴总是平分？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $