精品解析：吉林省第二实验高新学校2026-2027学年上学期九年级10月学情自测数学试题（六三制）

数学试卷 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1. 的绝对值是（ ） A. B. C. 2026 D. 2. 下列图形是三棱柱的展开图的是（ ） A. B. C. D. 3. 我国的北斗卫星导航系统中有颗中高轨道卫星高度大约是21 500 000米．将数21 500 000用科学记数法表示为（　　）． A. B. C. D. 4. 如图，三角形的边在直线上，且．将三角形沿直线向右平移得到三角形，其中点的对应点为点．若平移的距离为，则的长为（ ） A. B. C. D. 5. 已知点都在函数上，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知，下列尺规作图的方法中，能确定的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，第一象限的角平分线与反比例函数的图象交于点P．点A、点D分别在x轴和y轴的正半轴上，分别连接，若，且四边形的面积为4．则k的值为（ ） A. 2 B. C. 4 D. 8 8. 如图，2026年央视春晚舞台上，有一座大型灯光装饰塔．为保证舞台效果，工作人员从地面点处测得塔顶的仰角为，沿水平方向向塔底方向前进到达点，此时测得塔顶的仰角为．若塔底 在同一条直线上，且 ，则这座灯光装饰塔的高度为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 9. 分解因式：______． 10. 将抛物线向上平移5个单位，得到的抛物线的解析式为______． 11. 如果关于的一元二次方程有实数根，那么的取值范围是_____． 12. 抛物线与y轴交点坐标为________． 13. 如图，二次函数的图象经过原点，正方形的边在轴上，顶点在二次函数的图象上，直线对应的函数表达式为，则这个二次函数图象对应的函数表达式为___________． 14. 函数（a、b、c为常数，）与的图象如图所示，给出下面4个结论： ①； ②； ③； ④当时，． 上述结论中、所有正确结论的序号是______． 三、解答题（本大题共10小题，共78分） 15. 先化简，再求值：，其中． 16. 已知二次函数的图象与x轴交于A、B两点，其中A点坐标为，B点坐标为． （1）求抛物线的解析式，并写出它的对称轴； （2）当时，则y的取值范围是______． 17. 图①、图②均是正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，点A、B、M、N均为格点．仅用无刻度的直尺，按下列要求在给定的网格中画图： （1）在图①中，确定格点C，作射线，使； （2）在图②中，确定格点D，作射线，使． 18. 中秋节是我国的传统佳节，人们赏月吃月饼，寄托着思乡、思念亲人的情感．中秋节来临前夕，某商店准备从某品牌月饼厂家购买A，B两种类型的月饼用于销售．已知每盒A型月饼比每盒B型月饼贵15元，且用540元购买A型月饼的数量和用360元购买B型月饼的数量相等．求每盒B型月饼的价格为多少元． 19. 如图，四边形中，的平分线交于点E，连接，求证：四边形是菱形． 20. 如图，二次函数的图象与x轴交于A、B两点，其中A点坐标为，为抛物线的顶点． （1）求抛物线的解析式： （2）的面积______； （3）点N是直线上方抛物线上的一点，的面积最大值为______． 21. 在测浮力的实验中，下方为盛水的烧杯，上方有弹簧测力计悬挂的圆柱体，将圆柱体缓慢下降，直至圆柱体完全浸入水中．当圆柱体的下底面刚好接触到水面时，弹簧测力计的读数为；当圆柱体刚好完全浸入水中时，弹簧测力计的读数为．整个过程中，弹簧测力计读数与圆柱体下降高度的关系图象如图2所示． （1）分析题意，图2中的_____，_____． （2）求段与之间的函数表达式； （3）若弹簧测力计的读数为，求圆柱体浸入水中的高度． 22. 【感知特例】 （1）如图1，点在直线上，，垂足分别为，点在线段上，且，垂足为． 结论： （请将下列证明过程补充完整） 证明：∵ ∴， ∴，， ∴___________，（同角的余角相等） ∴∽，（两角分别相等的两个三角形相似） ∴___________，（相似三角形的对应边成比例） 即． 【建构模型】 （2）如图2，点在直线上，点在线段上，且．结论仍成立吗？请说明理由． 【解决问题】 （3）如图3，在中，，点和点分别是线段上的动点，始终满足．设长为，当___________时，有最大值是___________． 23. 如图，在中，，，，E为边上一动点（不与点A重合），过点E作于点D，以为边向右作正方形． （1）______； （2）当点E是边上的中点时，求点G到边上的距离； （3）当时，求点F到边上的距离； （4）当F到边上的距离等于G到边上的距离的一半时，直接写出的长． 24. 在平面直角坐标系中，抛物线经过点和点，顶点为，点是抛物线上一动点，其横坐标为． （1）求该抛物线的函数关系式： （2）记抛物线在、两点之间的部分为图象（包含、两点），设图象的最高点与最低点的纵坐标之差为，求的取值范围； （3）点是平面内一点，当不与坐标轴垂直时，以为对角线构造矩形，使矩形各边与坐标轴垂直，轴． ①当轴把面积分为两部分时，求的值； ②当抛物线在矩形内的部分所对应的函数值随的增大而增大时，直接写出的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学试卷 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1. 的绝对值是（ ） A. B. C. 2026 D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：∵， ∴． 2. 下列图形是三棱柱的展开图的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】三棱柱的表面展开图的特点，由三个长方形的侧面和上下两个三角形的底面组成．从而可得答案． 【详解】解：A．选项是圆锥展开图，不符合题意； B．选项是正方体的展开图，不符合题意； C．选项是圆柱的展开图，不符合题意； D．选项是三棱柱的展开图，符合题意； 3. 我国的北斗卫星导航系统中有颗中高轨道卫星高度大约是21 500 000米．将数21 500 000用科学记数法表示为（　　）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查科学记数法，掌握好科学记数法的使用方法和注意事项是关键． 用科学记数法表示数的形式为，其中，n为整数，逐一判断即可． 【详解】解：，只有选项C符合． 故选：C． 4. 如图，三角形的边在直线上，且．将三角形沿直线向右平移得到三角形，其中点的对应点为点．若平移的距离为，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据平移的性质即可求解． 【详解】解：根据题意，作图如下， ∵，向右平移距离为，点的对应点为点， ∴， ∴， 故选：． 【点睛】本题主要考查图形的变换，掌握平移的性质是解题的关键． 5. 已知点都在函数上，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，熟记函数图象上的点的坐标满足函数关系式并准确求出三个函数值是解题的关键．根据函数图象上的点的坐标满足函数关系，分别求出、、，然后解答即可． 【详解】解：∵点都在函数上， ∴，，， ∴． 故选：B． 6. 已知，下列尺规作图的方法中，能确定的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查作图——基本作图，解题的关键是掌握垂直平分线，角平分线，垂线的尺规作图方法；观察各选项作图痕迹，根据垂直平分线、角平分线、垂线的性质，逐项判断即可. 【详解】解：A、作图痕迹可知，D为中点，不能确定，故A不符合题意； B、作图痕迹可知，D在的平分线上，能确定，故B符合题意； C、作图痕迹可知，是边上的高，不能确定，故C不符合题意； D、作图痕迹可知，D在的垂直平分线上，不能确定，故D不符合题意. 故选：B. 7. 如图，第一象限的角平分线与反比例函数的图象交于点P．点A、点D分别在x轴和y轴的正半轴上，分别连接，若，且四边形的面积为4．则k的值为（ ） A. 2 B. C. 4 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】过点P作 轴， 轴，可证四边形是正方形、 ，根据全等三角形的性质可知，根据正方形的面积公式可以求出点P的坐标为，用待定系数法求出反比例函数的解析式，即可得到k的值． 【详解】解：如下图所示，过点P作 轴， ， ∴四边形是矩形， ， ， ∵是第一象限的角平分线， ， ∴四边形是正方形， ， ， ， 在 和 中， ， ， ， 的坐标为，代入反比例函数 的解析式， 得：， ∴． 8. 如图，2026年央视春晚舞台上，有一座大型灯光装饰塔．为保证舞台效果，工作人员从地面点处测得塔顶的仰角为，沿水平方向向塔底方向前进到达点，此时测得塔顶的仰角为．若塔底 在同一条直线上，且 ，则这座灯光装饰塔的高度为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求出，再根据列式求出这座灯光装饰塔的高度即可． 【详解】解：根据题意，得． ． 在中， ． ∴． 在中， ． ． 答：这座灯光装饰塔的高度为． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 9. 分解因式：______． 【答案】 【解析】 【分析】提取公因式分解因式，先确定原式两项的公因式，再提取公因式即可． 【详解】解：观察原式，可得两项的公因式为，提取公因式得． 10. 将抛物线向上平移5个单位，得到的抛物线的解析式为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次函数图象平移的“上加下减”规律求解即可． 【详解】解：抛物线上下平移遵循“上加下减”的规律，原抛物线解析式为，向上平移个单位，直接在原解析式末尾加平移的单位数，可得新抛物线的解析式为． 11. 如果关于的一元二次方程有实数根，那么的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据一元二次方程有实数根，可得，列出不等式，即可求解． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有实数根， ∴， 解得． 12. 抛物线与y轴交点坐标为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据进行计算即可． 【详解】解：当时，， 与y轴交点坐标为． 13. 如图，二次函数的图象经过原点，正方形的边在轴上，顶点在二次函数的图象上，直线对应的函数表达式为，则这个二次函数图象对应的函数表达式为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，求二次函数解析式，正方形的性质，求一次函数的函数值，先求出点A的坐标，进而根据正方形的性质可得点B的横坐标，可证明点B与点C关于y轴对称，则可求出点C的坐标，进而可求出对应的函数解析式． 【详解】解：在中，当时，， ∴， ∴四边形是正方形， ∴，， ∴点B的横坐标为， ∵在轴上， ∴轴， ∵点B和点C在二次函数图象上，且二次函数的对称轴为y轴， ∴点B和点C关于y轴对称， ∴点C的横坐标为2， 在中，当时，， ∴， 设二次函数解析式为，则， ∴， ∴二次函数解析式为， 故答案为：． 14. 函数（a、b、c为常数，）与的图象如图所示，给出下面4个结论： ①； ②； ③； ④当时，． 上述结论中、所有正确结论的序号是______． 【答案】①③④ 【解析】 【分析】此题主要考查了图象与二次函数系数之间的关系，二次函数 系数符号由抛物线开口方向、对称轴和抛物线与y轴的交点、抛物线与x轴交点的个数确定. 由抛物线的开口方向判断的符号，由抛物线与y轴的交点判断的符号，然后根据对称轴及抛物线与轴无交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断. 【详解】①由图象可知：抛物线与轴无交点，即 故此选项正确； ②由图象可知：抛物线过点，即当时, 故此选项错误； ③由图象可知：二次函数抛物线的图象过点和， 当时, 当 时, ， ， 故③正确； ④由图象可知，当 时，抛物线在直线的下方, 即当时, ， 故此选项正确； 故答案为: ①③④. 三、解答题（本大题共10小题，共78分） 15. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【详解】解： ， 当时，原式． 16. 已知二次函数的图象与x轴交于A、B两点，其中A点坐标为，B点坐标为． （1）求抛物线的解析式，并写出它的对称轴； （2）当时，则y的取值范围是______． 【答案】（1） 抛物线的解析式为，对称轴为直线 （2） 【解析】 【分析】（1）将A、B两点坐标代入二次函数一般式，解方程组求出b、c，进而得到解析式，再计算对称轴； （2）根据二次函数的开口方向和对称轴，判断给定区间内的增减性，结合区间端点的函数值确定y的取值范围． 【小问1详解】 解：将，代入， 得 ， 解得， ∴抛物线的解析式为， ∴对称轴为直线． 【小问2详解】 解：∵， ∴抛物线开口向上， ∵对称轴为直线， ∴当时，随的增大而减小， 当时，； 当时，， ∵， ∴． 17. 图①、图②均是正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，点A、B、M、N均为格点．仅用无刻度的直尺，按下列要求在给定的网格中画图： （1）在图①中，确定格点C，作射线，使； （2）在图②中，确定格点D，作射线，使． 【答案】（1）如图所示，射线即为所求 （2）如图所示，射线即为所求 【解析】 【分析】（1）取格点C，作射线，根据网格的特点可得，则； （2）取格点D，作射线，由网格的特点可得，则，则． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 18. 中秋节是我国的传统佳节，人们赏月吃月饼，寄托着思乡、思念亲人的情感．中秋节来临前夕，某商店准备从某品牌月饼厂家购买A，B两种类型的月饼用于销售．已知每盒A型月饼比每盒B型月饼贵15元，且用540元购买A型月饼的数量和用360元购买B型月饼的数量相等．求每盒B型月饼的价格为多少元． 【答案】30元 【解析】 【分析】设每盒B型月饼的价格为x元，则每盒A型月饼的价格为元，根据“用540元购买A型月饼的数量和用360元购买B型月饼的数量相等．”列出方程，即可求解． 【详解】解：设每盒B型月饼的价格为x元，则每盒A型月饼的价格为元，根据题意得： ， 解得：， 经检验：是原方程的解，且符合题意， 答：每盒B型月饼的价格为30元． 19. 如图，四边形中，的平分线交于点E，连接，求证：四边形是菱形． 【答案】 证明：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形． 【解析】 【分析】根据，可得，再由平分，可得，从而得到，进而得到，再由，可得，可证得四边形是平行四边形，即可求证． 【详解】略 【点睛】本题主要考查了菱形的判定，等腰三角形的判定，熟练掌握菱形的判定，等腰三角形的判定是解题的关键． 20. 如图，二次函数的图象与x轴交于A、B两点，其中A点坐标为，为抛物线的顶点． （1）求抛物线的解析式： （2）的面积______； （3）点N是直线上方抛物线上的一点，的面积最大值为______． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由顶点，设抛物线为，将代入得，解得，展开整理得解析式为； （2）先求，由抛物线对称性得，求出直线．过M作竖直线交于，得，水平宽，由，计算得面积为； （3）设，对应直线上点，得，面积，开口向下，当时取最大值． 【小问1详解】 解：∵抛物线顶点为， ∴设抛物线的顶点式为， 将代入得， 解得， ∴抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：令， 代入抛物线解析式得， ∴， ∵抛物线为， ∴抛物线对称轴为， ∵， ∴B的坐标为， 设直线的解析式为， 将代入、直线解析式中， 得， 解得， ∴直线的解析式为， 过点M作轴于点E，交直线于点D，如图： ∴点D横坐标为1， 代入直线解析式得，， ∴， ∴， ∴ ； 【小问3详解】 解：设点N的横坐标为，则， 过N作轴，交直线BC于点Q，连接，如图： ∴， ∴ ， 同理可得， ， ∵， ∴当时取得最大值，即， 将代入得， ． 21. 在测浮力的实验中，下方为盛水的烧杯，上方有弹簧测力计悬挂的圆柱体，将圆柱体缓慢下降，直至圆柱体完全浸入水中．当圆柱体的下底面刚好接触到水面时，弹簧测力计的读数为；当圆柱体刚好完全浸入水中时，弹簧测力计的读数为．整个过程中，弹簧测力计读数与圆柱体下降高度的关系图象如图2所示． （1）分析题意，图2中的_____，_____． （2）求段与之间的函数表达式； （3）若弹簧测力计的读数为，求圆柱体浸入水中的高度． 【答案】（1）14，8 （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的应用，正确求出函数表达式是解此题的关键． （1）根据题意并结合图象即可得出结果； （2）设段与之间的函数表达式为，代入，计算即可得出结果； （3）由（2）可得，令，则，计算即可得出结果． 【小问1详解】 解：根据题意并结合图象可得，，； 【小问2详解】 解：设段与之间的函数表达式为， 代入，可得， 解得， ∴段与之间的函数表达式为； 【小问3详解】 解：由（2）可得， 令，则， 解得． ， 圆柱体浸入水中的高度为． 22. 【感知特例】 （1）如图1，点在直线上，，垂足分别为，点在线段上，且，垂足为． 结论： （请将下列证明过程补充完整） 证明：∵ ∴， ∴，， ∴___________，（同角的余角相等） ∴∽，（两角分别相等的两个三角形相似） ∴___________，（相似三角形的对应边成比例） 即． 【建构模型】 （2）如图2，点在直线上，点在线段上，且．结论仍成立吗？请说明理由． 【解决问题】 （3）如图3，在中，，点和点分别是线段上的动点，始终满足．设长为，当___________时，有最大值是___________． 【答案】（1），；（2）成立，理由解析；（3）4， 【解析】 【分析】（1）先根据余角性质证明，再根据两角分别相等的两个三角形相似证明，得出，即可得出答案； （2）先证明，再根据两角分别相等的两个三角形相似证明，得出，即可得出答案； （3）先根据等腰三角形性质得出，证明，得出，即，求出，然后根据二次函数性质求最大值即可． 【详解】证明：，，， ， ，， ，同角的余角相等 ∴，两角分别相等的两个三角形相似 ，相似三角形的对应边成比例 即． 故答案为：；； （2）成立，理由如下： ∵， 又， ∴， ∴， ， 即． （3）∵， ∴， ∵， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵长为，则， ∴， 解得： ， ∵， ∴当时，有最大值． 故答案为：4，． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，三角形外角的性质，二次函数最值，解题的关键是熟练掌握三角形相似的判定方法． 23. 如图，在中，，，，E为边上一动点（不与点A重合），过点E作于点D，以为边向右作正方形． （1）______； （2）当点E是边上的中点时，求点G到边上的距离； （3）当时，求点F到边上的距离； （4）当F到边上的距离等于G到边上的距离的一半时，直接写出的长． 【答案】（1） （2）点G到边上的距离为 （3）点F到边上的距离为 （4）的长为或 【解析】 【分析】（1）在中，由勾股定理得，根据正切定义，代入得； （2）E为中点得，先证，由相似比，解得，．在正方形中，进而可得；再证，由相似比算得点G到的距离； （3）已知，由得，，故．正方形中且，证，得，则可计算点F到的距离； （4）利用设参数，分别用含参数的式子表示F、G到的距离，根据“F到BC距离是G的一半”列方程求解．内部情况解得，外部情况解得． 【小问1详解】 解：在中，， ∴； 【小问2详解】 解：是中点， ， ， ． 又， ， ∴ 解得，， 四边形是正方形， ， ∴ ， ， 过点G作于H，如图： ，， ， ∴ 解得， ∴点G到边的距离为； 【小问3详解】 解：由（2）得，， ∴ 解得，， ∴， 四边形是正方形， ， 设此时刚好到边上， ∵， ∴， ∴ 解得， ∵， ∴此时点F在的外部， 过点F作于N，过点F作的延长线于M，过E作的延长线于P，交于I，如图： 则四边形和是矩形，，，且， ∴， ∵， ∴， ∴， 又， ， ∴ 解得， ∴ ， ∴点F到边的距离为； 【小问4详解】 解：①如图，当F在内部时，过F作于点M，作于点H，过G作于点N， 则四边形是矩形，， ，， ∵， ∴设，， ∴， ， 四边形是正方形， ，， ． ， ， ， ， ， ，， ， ， 到的距离等于G到的距离的一半，即， 解得， ， ②如图，当F在外部时，过F作于点M，作于点H，过G作于点N， 则四边形是矩形，， ，， ∵， ∴设，，则， ， 四边形是正方形， ，， ． ， ， ， ， ， ，， ， ． 到的距离等于G到的距离的一半，即， 解得， ， 综上可得，的长为或． 24. 在平面直角坐标系中，抛物线经过点和点，顶点为，点是抛物线上一动点，其横坐标为． （1）求该抛物线的函数关系式： （2）记抛物线在、两点之间的部分为图象（包含、两点），设图象的最高点与最低点的纵坐标之差为，求的取值范围； （3）点是平面内一点，当不与坐标轴垂直时，以为对角线构造矩形，使矩形各边与坐标轴垂直，轴． ①当轴把面积分为两部分时，求的值； ②当抛物线在矩形内的部分所对应的函数值随的增大而增大时，直接写出的取值范围． 【答案】（1）． （2） 或 ． （3）① 或 ；② 或 ． 【解析】 【分析】（1）把 、 两点的坐标代入 ，用待定系数法求出 、； （2）先把解析式配方确定顶点，再按点 与顶点、点 的相对位置分三类写出图象 对应的自变量范围，分别用顶点与区间端点的纵坐标表示最高点与最低点，由“纵坐标之差为 ”列方程并检验取舍； （3）由 轴及矩形各边与坐标轴垂直写出 、 的坐标：第①问中 轴与边 所在直线平行， 轴截 所得的小三角形与 相似，用相似比的平方把面积比转化为相似比；第②问先写出抛物线在矩形内的部分所对应的自变量范围，再按 的五种取值情况判断“ 随 的增大而增大”是否成立． 【小问1详解】 解：把 ， 代入 ，得 ，， 解得 ，， 该抛物线的函数关系式为 ． 【小问2详解】 解：， 抛物线的顶点为 ，且 ，； ①当 时，图象 对应 ，其中包含顶点 ， 最低点的纵坐标为 ； 当 时，，最高点的纵坐标为 ， 纵坐标之差为 ，不合题意； 当 时，，最高点的纵坐标为 （点 处）， 纵坐标之差为 ，符合题意； ②当 时，图象 对应 ，此时 随 的增大而增大， 最低点的纵坐标为 ，最高点的纵坐标为 ， 由 得 ， 解得 ，与 矛盾，不合题意； ③当 时，图象 对应 ，此时 随 的增大而增大， 最低点的纵坐标为 ，最高点的纵坐标为 ， 由 得 ， 解得 ， ， ，符合题意； 综上， 的取值范围是 或 ． 【小问3详解】 解： 轴，矩形各边与坐标轴垂直， 为对角线，且 ，， 矩形 的四个顶点分别为 、、、； 不与坐标轴垂直， ，且 ． ①在 中， 轴， 轴， ，，； 轴（直线 ）与边 所在直线 平行， 当 介于 与 之间时， 轴截 得到一个以点 为一个顶点的小三角形，该小三角形与 相似， 相似比为点 到 轴的距离与点 到直线 的距离之比． （i）当 时，点 在 轴右侧，点 、 在 轴左侧，相似比为 ； 轴把 的面积分为 两部分， 小三角形与 的面积之比为 或 ， 相似比为 或 ； 由 解得 ； 由 解得 ； 与 都满足 ，且此时 不与坐标轴垂直， 二者都符合题意； （ii）当 时，点 、 在 轴左侧，点 在 轴右侧，相似比为 ； 由 解得 ，由 解得 ，都与 矛盾，舍去； 当 时， 在 轴右侧（边 最多与 轴重合）， 轴不能把它的面积分成两部分，不合题意； 或 ． ②， 抛物线的对称轴为直线 ，开口向上，抛物线在矩形内的部分所对应的函数值 随 的增大而增大，即这段曲线要完全落在直线 的右侧（含端点），且不能只有一个点； 抛物线上横坐标为 的点的纵坐标为 ，且 、， 矩形 的横向范围的两端为 与 ，纵向范围的两端为 与 ， 抛物线在矩形内的部分就是抛物线上“纵坐标介于 与 之间”的一段曲线． （i）当 时，横向范围为 ，此时 ， 纵向范围为 ； 横向范围完全在直线 的右侧，而抛物线在 上的点的纵坐标随 的增大而增大， 这段曲线上纵坐标最小的就是点 ，从而“纵坐标不小于 ”一定成立，只需再满足“纵坐标不超过 ”； 由 得 ， 横向范围满足 ， ； 这段曲线对应“ 且 ”的部分（右端取 与 中较小的数），它有两个以上的点，且都在直线 的右侧，符合题意（如图）； （ii）当 时，横向范围为 ，且 ， 横向范围满足 ，而抛物线在 上的点的纵坐标随 的增大而增大， 这段曲线上点的纵坐标都不大于点 的纵坐标 ，且等号只在 时成立， 满足“纵坐标不小于 ”的只有点 ， 这段曲线只有点 一个点，不能说明“ 随 的增大而增大”，不合题意（如图）； （iii）当 时，横向范围为 ，此时 ， 纵向范围为 ； 由 得 或 ， ， ； 由 得 ， ， 这段曲线对应 ，它有两个以上的点，且都在直线 的右侧，符合题意（如图）； （iv）当 时，， 矩形内含有抛物线上横坐标为 的点（它的纵坐标为 ）， 这段曲线含有在直线 左侧的点，不合题意（如图）； （v）当 时，横向范围的左端 ， 矩形内含有抛物线上横坐标为 与 的两个点（它们关于直线 对称，纵坐标都是 ），其中横坐标为 的点在直线 的左侧，不合题意（如图）； 又 或 时 与坐标轴垂直，不合题设，舍去， 或 ． 【点睛】本题考查待定系数法求二次函数解析式、二次函数的图象与性质、相似三角形的面积比以及分类讨论思想．第（2）问的关键是由点 的位置确定图象 的最高点与最低点；第（3）问的关键是由矩形的边与坐标轴垂直确定 、、 的坐标，第①问把 轴截 所得的小三角形与 的相似比转化为面积比，第②问紧扣“抛物线在矩形内的部分”确定其对应的自变量范围，再结合对称轴判断增减性，注意排除只有一个点以及含有横坐标小于 的点的情形． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $