2.5.2 圆与圆的位置关系讲义【知识清单+8大题型】-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

2.5.2 圆与圆的位置关系 第一部分：知识清单 知识点一：圆与圆的位置关系 1、圆与圆的位置关系 (1)圆与圆相交，有两个公共点； (2)圆与圆相切(内切或外切)，有一个公共点； (3)圆与圆相离(内含或外离)，没有公共点. 图象 位置关系 图象 位置关系 外 离 外 切 相 交 内 切 内 含 2、圆与圆的位置关系的判定 2.1几何法 设的半径为，的半径为，两圆的圆心距为. ①当时，两圆相交； ②当时，两圆外切； ③当时，两圆外离； ④当时，两圆内切； ⑤当时，两圆内含. 2.2代数法 设: : 联立消去“”得到关于“”的一元二次方程，求出其 ①与设设相交 ②与设设相切（内切或外切） ③与设设相离（内含或外离） 知识点二：圆与圆的公共弦 1、圆与圆的公共弦 圆与圆相交得到的两个交点，这两点之间的线段就是两圆的公共弦. 2、公共弦所在直线的方程 设: : 联立作差得到：即为两圆公共弦所在直线方程. 3、公共弦长的求法 代数法：将两圆的方程联立，解出两交点的坐标，利用两点间的距离公式求其长． 几何法：求出公共弦所在直线的方程，利用勾股定理解直角三角形，求出弦长． 知识点三：圆与圆的公切线 1、公切线的条数 与两个圆都相切的直线叫做两圆的公切线，圆的公切线包括外公切线和内公切线两种． （1）两圆外离时，有2条外公切线和2条内公切线，共4条； （2）两圆外切时，有2条外公切线和1条内公切线，共3条； （3）两圆相交时，只有2条外公切线； （4）两圆内切时，只有1条外公切线； （5）两圆内含时，无公切线． 2、公切线的方程 核心技巧：利用圆心到切线的距离求解 知识点四：圆系方程 以为圆心的同心圆圆系方程：； 与圆同心圆的圆系方程为； 过直线与圆交点的圆系方程为 过两圆，圆：交点的圆系方程为 （，此时圆系不含圆：）特别地，当时，上述方程为一次方程. 两圆相交时，表示公共弦方程；两圆相切时，表示公切线方程. 第二部分：典型例题汇总 典例一 判断圆与圆的位置关系 典例二 由圆的位置关系确定参数或范围 典例三 由圆与圆的位置关系确定圆的方程 典例四 相交圆的公共弦方程 典例五 两圆中公共弦长的问题 典例六 圆中公切线条数的问题 典例七 圆中公切线方程的问题 典例八 圆中公切线长的问题 第三部分：典型例题 典例一 判断圆与圆的位置关系 1．（25-26高三上·湖南·阶段检测）圆和圆的位置关系为（    ） A．内含 B．内切 C．外切 D．外离 【答案】A 【详解】圆的圆心为，半径；圆的圆心为，半径； 则两圆的圆心距，两圆的半径之差为，所以两圆内含. 2．（25-26高二上·福建厦门·阶段检测）已知圆：（）关于直线对称，圆：，则圆与圆的位置关系是（    ） A．外离 B．外切 C．相交 D．内含 【答案】B 【分析】圆关于直线对称时，圆心必在该直线上．先由此求出 ，进而确定圆 的圆心和半径；再求两圆圆心距，与两圆半径之和、之差比较，判断两圆的位置关系． 【详解】圆 的圆心为 ． 因为圆 关于直线 对称，所以圆心在该直线上，故解得 ． 所以即 故圆 的圆心为 ，半径 ； 圆 的圆心为 ，半径 ． 两圆圆心距 又 ，因此 ，所以圆 与圆 外切． 3．（25-26高二下·上海·期中）圆与圆的位置关系是（     ） A．外离 B．外切 C．相交 D．内切 【答案】C 【分析】将两圆的一般方程化为标准方程，求得圆心坐标与半径，计算圆心距后与两半径的和、差比较，即可判断两圆位置关系。 【详解】对于圆：，配方得，故圆心，半径； 对于圆：，配方得，故圆心，半径； 显然两圆圆心距， 两半径之差为，两半径之和为， 显然满足，即，因此两圆相交. 4．（25-26高二下·上海闵行·期中）圆：与圆：的位置关系是（   ） A．外离 B．外切 C．相交 D．内切 【答案】D 【详解】圆的圆心，半径， 圆的圆心，半径， 而， 所以圆与圆内切. 典例二 由圆的位置关系确定参数或范围 5．（26-27高三上·内蒙古锡林郭勒·开学考试）过原点且圆心在轴上的圆与圆外切，则圆的标准方程为__________． 【答案】 【详解】因为圆的圆心在轴上， 所以设圆C的圆心C坐标为，半径设为r, 因为圆过原点，所以有，即. 因为圆与圆外切，所以有， 所以有， 两边同时平方得：， 即， 当时，，即，不成立，舍去. 当时，，即， 则， 所以圆的标准方程为. 6．（26-27高三上·安徽·阶段检测）已知，，若圆上存在点满足，则实数的最小值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】设出点，利用两点距离公式将转化为圆的方程，则条件等价为两圆有交点，再根据两圆相交求解即可. 【详解】设，由，得，化简整理，得. 由题意得，圆（）与有公共点，故， ，，解得，所以实数的最小值是3. 7．（26-27高三上·广东湛江·开学考试）（多选）已知圆：与圆：有公共点，则（     ） A．的最小值为 B．的最大值为 C．的最小值为 D．的最大值为 【答案】BC 【分析】由圆，圆的方程确定两圆的圆心和半径，结合条件可得，解不等式求的范围即可. 【详解】由题得圆：的圆心为，半径为； 圆：的圆心为，半径为； 因为圆与圆有公共点， 所以，又， 所以 由，可得， 由可得， 所以， 所以的最小值为，最大值为. 8．（2026高二·全国·专题练习）已知圆与圆交于两点，若点在直线上，则实数的取值范围为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】两圆方程相减可得直线的方程，代入点，可得的关系式，利用函数单调性可求答案. 【详解】两圆方程相减得，，令，则. 由两圆相交知，，解得， 又，则，易得在上单调递增， 且，所以. 典例三 由圆与圆的位置关系确定圆的方程 9．（25-26高三·全国·一轮复习）经过点，且与圆相切于点的圆的方程为______． 【答案】 【分析】先设圆的方程，求出已知圆的圆心坐标与半径，再根据条件圆过点且与圆相切于点，列出方程组可求相应参数，从而可求方程． 【详解】设所求圆方程为， 圆即的圆心为，半径为， 由题意得，所以，解得， 所以 所以所求圆的方程为． 故答案为：． 10．（25-26高二上·江苏南通·阶段检测）经过点以及圆与圆交点的圆的圆心坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先设过两圆交点的圆系方程，再将经过的点的坐标代入，求得所求圆的方程即可得圆心． 【详解】设经过两圆与交点的圆的方程为， 因为该圆经过点， 所以，解得， 所以，故圆心坐标为 故选：B. 11．（25-26高二上·陕西咸阳·期中）已知圆的方程为，其中. (1)若圆和圆的公共弦长为，求的值； (2)若过点的圆与圆相切，切点为，求圆的标准方程. 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）将两圆方程作差可得相交弦所在直线的方程，求出圆心到相交弦所在直线的距离，再利用勾股定理可得出关于的等式，解之即可； （2）记点、，分析可知圆心为直线和线段垂直平分线的交点，联立这两条直线的方程，可得出圆心的坐标，进而可得出圆的半径，即可得出圆的方程. 【详解】（1）因为圆的方程为，则，解得， 将两圆方程作差可得，即为两圆相交弦所在直线的方程， 圆的圆心为，半径为， 由勾股定理可知，圆心到直线的距离为， 由点到直线的距离公式可得，解得或. （2）由题意可知，点在圆上，则，解得， 故圆的方程为，其标准方程为，    记点、， 由圆的几何性质可知，圆心在直线上， 且，所以直线的方程为，即， 因为圆过点、两点，所以圆心在线段的垂直平分线上， 线段的中点为，， 故线段的垂直平分线的方程为，即， 联立，解得，即圆心， 所以，圆的半径为， 故圆的方程为. 12．（25-26高二上·江苏·期中）已知圆，点. (1)过的直线截所得的弦长为，求的方程； (2)经过点的圆N与圆M外切于点，求圆N的方程. 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）设过点A直线为：，利用过的直线截所得的弦长为，可得直线到圆心距离为1，据此可得答案； （2）由题设所求方程为：，代入可得答案. 【详解】（1）由题，圆M的半径为，圆心为. 设过点A直线为：，因为过的直线截所得的弦长为， 则直线到圆心距离为：，则到距离为1， 即或， 则直线方程为：或，即或； （2）因为所求圆与圆M外切，且切点为， 则设所求方程为：， 代入，得， 则所求方程为： 即. 典例四 相交圆的公共弦方程 13．（26-27高三上·河北唐山·开学考试）（多选）圆：，圆：，则下列说法正确的有（   ） A．圆的半径为2 B． C．直线与两圆都相切 D．两圆公共弦所在直线的方程为 【答案】AC 【详解】圆：，圆心，半径， 圆：，即， 圆心，半径，故选项A正确； ，故选项B错误； 直线与两圆都相切， 直线与圆相切圆心到直线距离等于半径， 点到直线距离：， 对：，相切， 对：，相切， 直线和两圆都相切，故选项C正确； 两圆公共弦所在的直线的方程： ，化简得：， 公共弦方程是，故选项D错误. 14．（26-27高三上·浙江嘉兴·开学考试）已知圆：，圆：，则与的公共弦所在的直线方程为___________． 【答案】 【详解】圆 的圆心为，半径， 圆的圆心为，半径， 则，， 所以圆与圆相交， 将圆和圆方程相减可得， 所以圆与圆的公共弦所在的直线方程为. 15．（25-26高二上·四川绵阳·阶段检测）圆和圆的公共弦所在的直线方程_________． 【答案】 【分析】将展开得一般式方程，与圆联立，即可得答案. 【详解】圆展开可得，即， 与圆联立可得，即， 所以两圆公共弦所在的直线方程为. 故答案为： 16．（25-26高二上·重庆·阶段检测）已知，以线段为直径的圆与圆相交于两点，则直线的方程为__________． 【答案】 【分析】先确定以为直径的圆的方程，再通过两圆方程相减得到公共弦的直线方程. 【详解】以线段为直径的圆，其圆心为中点，半径， 方程为. 圆的圆心为，半径，计算圆心距. 因，，且，故两圆相交. 展开以为直径的圆的方程得， 与圆的方程相减，得. 故答案为： 典例五 两圆中公共弦长的问题 17．（26-27高二上·河南·阶段检测）圆与圆的公共弦长为_________． 【答案】 【详解】圆，圆的圆心为，半径， 圆，圆的圆心，半径， 因为，所以圆与圆相交， 两圆方程相减得公共弦所在直线的方程为， 则圆心到公共弦所在直线的距离为， 故所求弦长为． 18．（25-26高一下·重庆·期末）已知圆与圆相交于A、B两点，若四边形的面积为，则（    ） A．2 B．4 C． D． 【答案】D 【分析】设，则为的中点，由四边形的面积为，可得的表达式，利用勾股定理可得出关于的方程，解出的值，即可求得. 【详解】圆，即，则圆心为，半径为1，则， 设，由题意可知，为的中点，，， 故四边形的面积为， 则，故， 所以， 所以， 又因为，所以， 得，解得，因此.    19．（2026·陕西西安·模拟预测）若圆与交于两点，则四边形的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】易知，通过联立圆方程得到直线方程，进而计算得到和长度，最终计算四边形面积. 【详解】如图所示，连接交于点，则， 联立，则直线方程为， ，，， 则. 20．（25-26高二上·陕西渭南·阶段检测）已知圆与圆交于，两点，则下列结论不正确的是（   ） A．两圆有2条公切线 B．圆与圆的公共弦所在直线的方程是 C． D．四边形的面积为2 【答案】C 【分析】先求出两圆的圆心和半径，对A，判断出两圆的位置关系，即可求解；对B，两圆相减，即可求解；对C，利用圆的弦长公式，直接求出弦长，即可求解；对D，连接，从而得，即可求解. 【详解】由，得，所以圆的圆心为，半径为， 由，得，所以圆的圆心为，半径为， 对于A，因为，则，所以两圆相交， 则两圆有2条公切线，所以A正确， 对于B，由①，②，两式相减得， 即，所以B正确， 对于C，因为到直线的距离为，所以，故C错误， 对于D，连接，易知，则四边形的面积为， 由选项C知，，又，所以，故D正确， 故选：C. 典例六 圆中公切线条数的问题 21．（25-26高二上·山东威海·阶段检测）已知圆，圆，则与的公切线的条数是________． 【答案】 【分析】先计算两圆的圆心距，结合两圆半径判断位置关系，再根据位置关系确定公切线条数可得. 【详解】由圆，得圆的圆心为，半径； 由圆，得圆的圆心为，半径. 由两圆的圆心距： . 因为，，所以， 所以圆与圆相交，因此圆与圆的公切线的条数为. 22．（25-26高三上·广东深圳·阶段检测）若圆与圆有四条公切线，则实数的取值范围为_______. 【答案】 【详解】因为两圆有四条公切线，故两圆相离， 而可化为，故此圆的圆心为，半径为， 可化为， 故此圆的圆心为，半径为， 所以，故. 23．（26-27高二上·陕西渭南·开学考试）（多选）已知直线：，圆：，则下列说法正确的是（     ） A．直线必过点 B．直线与圆必相交 C．圆：与圆有3条公切线 D．当时，直线被圆截得的弦长为 【答案】ABC 【分析】由直线方程确定过定点，判断定点与圆位置关系判断A、B；根据两圆圆心距离与半径间的关系判断C；应用点线距离及弦长的几何求法求弦长. 【详解】A：由：，则必过定点，正确； B：将定点代入圆，有， 故点在圆内，即直线与圆必相交，正确； C：由题设且半径为，而且半径为， 所以，即两圆外切，故两圆有3条公切线，正确； D：当时，，则到直线的距离， 故直线被圆截得的弦长为，错误. 24．（2026·湖南株洲·三模）若圆与圆有且仅有3条公切线，则的最大值为______． 【答案】 【分析】判断出圆与圆的位置关系，利用三角换元法求得的最大值. 【详解】圆的圆心为，半径. 圆的圆心为，半径. 由于两圆有且仅有3条公切线，所以两圆外切， 所以，即， 设， 所以 ， 其中（为锐角）， 所以， 所以当时，取得最大值为. 典例七 圆中公切线方程的问题 25．（25-26高一下·重庆·期中）圆，圆，且，分别为两圆半径，圆和圆有且仅有一条公切线，则直线的方程为__________. 【答案】或 【分析】联立两圆方程，由条件，可得两圆的位置关系，即可得的关系，代入求解，即可得答案. 【详解】联立，①-②得， 由，得， 因为圆和圆有且仅有一条公切线：， 所以圆和圆相内切，故， 即或， 代入公切线方程得， 则直线的方程为或 26．（2026高三下·福建厦门·专题练习）圆与圆的两条公切线的交点坐标为________. 【答案】 【详解】作图，圆的圆心，半径； 圆，圆心，半径. 而公切线交点在圆心连线上，同侧切点，构成， 所以，且与关于对称，结合中点坐标公式可得. 27．（25-26高二上·江苏苏州·期中）圆与圆C关于直线对称，写出两圆的一条公切线：__________. 【答案】答案不唯一 【分析】求出关于直线对称点的坐标，写出圆C的方程，判断出圆O和圆C的位置关系，设与OC平行的公切线方程为，即，利用点到直线的距离关系，即可求出结果. 【详解】设关于直线对称点的坐标为， 则，解得， 圆C的方程是，其圆心坐标为，半径为1， 两圆的圆心距， 所以两圆外离，且， 设与OC平行的公切线方程为，即， 则由O到直线的距离，可得，解得， 所以两圆的一条公切线为或， 另外，根据对称性可知，，也为两圆的公切线. 故答案为：答案不唯一 28．（25-26高二上·河北张家口·期中）已知圆与圆，则圆和圆的一条公切线的方程为_______. 【答案】；；（三个任意一个都算正确） 【分析】先判断两个圆的位置关系，再判断公切线的条数，然后求公切线即可. 【详解】由题可知： 所以 两个圆的半径和为 所以两个圆外切，所以有三条公切线, 设公切线为 由圆心到切线的距离等于半径得 解得 或或 所以切线方程为，或 故答案为：；； 典例八 圆中公切线长的问题 29．（25-26高二上·四川雅安·期中）如图，是两圆轮叠靠在墙边，已知两轮半径分别为2和1，则它们与墙的切点A，B间的距离为__________. 【答案】 【分析】连接两圆圆心，并延长，与直线交于点，再根据两圆外切及三角形相似求解即可. 【详解】如图所示，因为圆与圆相外切，所以连接，则. 延长，交直线于点. ，所以，所以点分别为的中点. 所以，所以，所以. 故答案为： 30．（25-26高二上·江苏盐城·阶段检测）若圆与圆关于直线对称． (1)求圆的方程； (2)求圆与圆公切线的长度； (3)过直线上一点作圆的切线，，切点为，，求当四边形面积最小时，的坐标． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）设，根据题意列出关于的方程，求得即可得出圆的方程； （2）首先得两圆相交，进一步得所求为； （3）首先得四边形面积最小时的条件，再结合求出点的坐标. 【详解】（1）由题意，设，关于直线对称． ，且， ，圆心为，半径为，圆的方程． （2）由（1）知圆，圆心为，半径为， 圆，圆心为，半径为， 两圆相交，有两条公切线． 又公切线的长度等于． （3）圆的半径， 则四边形的面积． 设， ， 当时，，此时四边形的面积最小，为． 当四边形面积最小时，的坐标为. 31．（2026·浙江·三模）若圆与圆（a，）有且仅有一条公切线，则从点到圆的切线长为（   ） A．1 B． C． D．2 【答案】C 【分析】两圆只有一条公切线可得两圆内切，，再利用圆的切线长的公式可解. 【详解】由题，圆与圆内切，所以，即，所以点， 又圆的半径为1，所以切线长为， 故选：C． 32．（25-26高二上·重庆·阶段检测）已知：圆与圆． (1)当时，判断两圆是否相交．并说明理由．如果相交，求公共弦所在直线的方程． (2)当两圆外切时， ①求的值； ②某直线分别与圆和圆相切于相异的两点，求． 【答案】(1)两圆相交，理由为： 由圆与圆， 可知两圆圆心分别为，半径，则， 当时，，则，， 所以，故两圆相交． 两圆方程相减得，即两圆公共弦所在直线的方程为． (2)①，②4. 【分析】（1）根据两圆的方程得出圆心坐标和半径，计算出圆心距，比较圆心距与半径之和，半径之差的绝对值的大小，进而判断两圆位置关系；相交时，将两圆的方程相减，即得公共弦所在直线的方程； （2）①利用两圆外切的条件得出关于参数的方程，即可求出的值，②利用外公切线的计算公式计算即可. 【详解】（1）略 （2）①若两圆外切，则，即，解得． ②因为，所以. 第四部分：课后检测 1．（25-26高二下·上海黄浦·期中）圆：与圆：的位置关系为（   ） A．内含 B．外切 C．相交 D．内切 【答案】C 【分析】首先求圆心距，再根据圆与圆的位置关系判断. 【详解】圆的圆心为，半径， 圆，圆心，半径， 圆心距，所以， 所以两圆相交. 2．（2026·云南曲靖·模拟预测）已知圆与圆至少有三条公切线，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出圆心和半径，再结合公切线的条数得到两个圆的位置关系，进而建立不等式，求解参数范围即可. 【详解】由题意得圆心，半径，，， 因为两圆至少有三条公切线，所以两圆位置关系为外切或外离， ，， 即，解得， 则的取值范围为． 3．（25-26高二下·湖北襄阳·期中）已知，若两圆和外切，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求得两圆的圆心和半径，再依据两圆外切，即可求得，令，代入上式，化简整理，可得关于m的一元二次方程，根据，结合判别式法即可得答案. 【详解】由题意得圆， 整理得，则圆心为，半径为1， 圆，整理得， 则圆心为，半径为2，由题意得两圆外切，即圆心距等于半径和， 所以，解得，     令，则，代入， 得，展开得， 因为，所以，解得. 所以的最大值为，故D正确. 4．（25-26高三下·陕西西安·阶段检测）圆与圆的公共弦的长为（    ） A．2 B． C．4 D． 【答案】C 【详解】将圆与圆的方程作差可得， 所以两圆相交弦所在直线的方程为， 圆的圆心为原点，半径为， 原点到直线的距离为， 所以两圆的公共弦长为. 5．（2026·重庆·模拟预测）设圆 与圆 交于 两点，则线段 的长度为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】圆，圆. 展开圆：，即. 两圆方程相减得公共弦：. 圆心到直线的距离：. 圆半径，弦长. 6．（25-26高二上·浙江杭州·期中）已知圆和圆，则使得圆与圆相切的的值有（   ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】确定两圆的圆心坐标与半径，再分两圆相外切与相内切两种情况讨论. 【详解】圆的圆心为，半径； 圆的圆心为，半径； 若圆与圆相外切，则，即，解得或； 若圆与圆相内切，则，即，解得或； 故使得圆与圆相切的的值有、、、，共个. 7．（25-26高二上·浙江杭州·期末）若圆与圆有且仅有2条公切线，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据两圆的位置关系得出，再将问题转化为求圆环内的点到直线的距离的取值范围. 【详解】由题意可知，，，且两圆相交， 则，则， 因为点到直线的距离为， 则圆与圆中间的圆环内的点到直线的距离，即， 则，故的取值范围为. 8．（2026·湖北孝感·二模）在平面直角坐标系中，已知圆，点．点在直线上运动，过点作圆的两条切线，切点分别为，则点到直线的距离的最大值为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】设出点的坐标，根据切线的性质可得到直线的方程，进而可知直线过定点，进而可知点到直线的距离的最大值为. 【详解】如图，设，则. 根据圆的切线性质知，以为直径的圆与圆交于两点， 即线段为两圆的公共弦. 而以为直径的圆的圆心为，半径为， 所以其方程为，即. 与圆的方程作差得直线的方程为， 将代入得，即. 因为上式对恒成立，令，解得， 所以直线恒过定点，所以点到直线的距离， 所以点到直线的距离的最大值为. 9．（26-27高二上·河南·阶段检测）（多选）过直线上任意一点P作圆的两条切线，切点分别为，则（   ） A．可以是等边三角形 B．直线过定点 C．四边形面积的最小值是 D．的取值范围为 【答案】ABD 【分析】结合圆的切点弦、切线性质、向量的数量积逐个分析选项：A选项利用特殊角进行反推验证；B选项根据切点弦方程判断定点；C选项四边形面积转化成切线长进行求解；D选项利用二倍角公式结合范围求解. 【详解】由题知圆O的圆心为，半径． 不妨取点，则，故，从而， 所以可以是等边三角形，故A正确； 设点，则，以为直径的圆的方程为， 又圆，两式作差可得直线的方程为， 又，代入可得 ，令解得故直线过定点，故B正确； 四边形的面积为，故当最小时，四边形的面积最小， 又的最小值为圆心到直线的距离，且， 因此四边形面积的最小值为，故C错误； ， 在四边形中，，所以， 又，所以， 则，故的取值范围为，故D正确． 10．（26-27高二上·黑龙江大庆·阶段检测）（多选）已知圆，圆，若圆平分圆的周长，则（     ） A．圆的圆心在上 B．圆面积的最小值是 C．圆经过定点和 D．已知点，，则的最小值为5 【答案】ACD 【分析】对A，求出圆的圆心坐标判断；对B，根据圆平分圆的圆周，可得公共弦过的圆心，推导得到关系，进而求出圆的半径最小值，得解；对C，将代入圆的方程，求出定点坐标得解；对D，作关于的对称点，根据将军饮马模型计算得解. 【详解】对于A，圆的圆心坐标为，因此圆心在直线上，故A正确； 对于B，由，两式相减得， 即圆与圆公共弦所在直线方程为， 又圆的标准方程为，圆心， 因为圆平分圆的圆周，所以公共弦所在直线过点， 所以，即， 圆的半径平方，将代入可得， 则，所以圆面积的最小值为，故B错误； 对于C，将代入圆的方程整理得， 令，解得或， 所以圆过定点和，故C正确； 对于D，因为圆心在直线上，作关于的对称点， 则，计算得， 所以最小值为5，故D正确. 11．（25-26高二上·浙江绍兴·阶段检测）（多选）已知圆的半径为2，则（    ） A． B．点在圆的内部 C．圆与圆外切 D．当直线平分圆的周长时， 【答案】AC 【分析】根据圆的半径为，求得的值，判断A；根据点与圆的位置关系的判定方法，判断B；根据圆与圆的位置关系的判定方法，判断C；根据平分圆的周长时，得到圆心在直线上，求得的值，判断D. 【详解】对于A中，由圆的半径为， 可得，解得，即，所以A正确； 对于B中，由，可得点在圆外，所以B不正确； 对于C中，由圆，可得圆心，半径为， 又由圆的圆心，半径为， 可得两圆心距离为， 即两圆的圆心距等于半径之和，所以两圆相外切，所以C正确； 对于D中，当直线平分圆的周长时，圆心在直线上， 可得，解得，所以D错误． 12．（25-26高三·全国·一轮复习）已知圆，则圆C的半径为________；若M是圆C上任意一点，且点满足是钝角，则正数的取值范围是________． 【答案】 1 【分析】将圆的一般方程化为标准方程即可求解半径；由是钝角得出M点在以为直径的圆内，列出不等式求解即可． 【详解】圆化为， 所以圆的半径为1，圆心； 是钝角，表示M点在以为直径的圆内， 设以为直径的圆为圆O，则两圆内含，圆C在内部， 两圆心距离，圆C的半径为1，圆半径为， 由． 13．（2026高三下·四川成都·专题练习）已知圆，圆，则圆和圆的公共弦长为________. 【答案】 【分析】先用两圆方程相减得到公共弦方程，再用点到直线的距离公式求出圆心到公共弦的距离，最后用勾股定理即可求解. 【详解】圆 ，圆心为，半径为； 圆 ，圆心为，半径为； 圆心距， 因为，所以两圆相交. 两圆方程相减得公共弦方程为：，即， 故圆心到公共弦的距离， 公共弦长为：. 14．（2026·山东潍坊·一模）已知点和圆，若以线段中点为圆心，为半径的圆与交于两点，则__________. 【答案】 【分析】先确定圆心的坐标和圆的半径，再证明为新圆的直径，为直角，结合勾股定理求结论. 【详解】因为圆的方程， 所以圆心的坐标为，圆的半径，， 又点，所以 ，线段的中点坐标为， 新圆以中点为圆心，为半径，因此是新圆的直径， 因为交点在新圆上，所以，即是直角三角形，斜边为， 在中： ，又， 所以 ，故. 15．（26-27高二上·广西桂林·阶段检测）圆是平面上到定点的距离等于定长的点的集合.例如，在平面直角坐标系中，（表示以为圆心的圆）的圆心的坐标为，半径，根据两点间的距离公式有，两边平方得到的方程为.已知在平面直角坐标系中，的圆心为原点，半径为5，的方程为. (1)求的方程； (2)求的圆心坐标和半径； (3)判断与是否相交，若相交，请求出相交弦长. 【答案】(1) (2)圆心坐标为，半径为5 (3)相交， 【分析】（1）由两点间的距离公式得到的方程； （2）由圆的定义及两点间的距离公式判断的圆心坐标和半径； （3）两圆联立方程组，利用交点判断位置关系并求弦长. 【详解】（1）因为以原点为圆心，5为半径， 根据两点间的距离公式有，两边平方得的方程为. （2）因为的方程为， 圆上的点到定点的距离等于定长5，所以的圆心坐标为，半径为5. （3）将两圆方程联立得，解方程组得或， 即两圆相交于点，， 进而两圆的相交弦长为. 16．（25-26高二上·广东湛江·期中）已知圆，圆与圆关于直线对称，圆. (1)求圆与圆的公共弦所在的直线方程和圆的方程； (2)为平面内一动点，分别为圆与圆的切线(为切点)且，求点的轨迹方程． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）直接把两圆方程作差，可得圆与圆的公共弦所在的直线方程；求出圆的圆心关于直线对称点，即可求得圆的方程； （2）设，由切线长公式结合可得点的轨迹方程. 【详解】（1） 如图所示，由 两式相减， 化简得， 所以圆与圆的公共弦所在的直线方程为， 又∵圆与圆关于直线对称，设圆的圆心为， ，解得， ∴圆方程为． （2）由，根据切线长公式，可得， 设，则， 化简得， 点的轨迹方程. 2 / 16 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.5.2 圆与圆的位置关系 第一部分：知识清单 知识点一：圆与圆的位置关系 1、圆与圆的位置关系 (1)圆与圆相交，有两个公共点； (2)圆与圆相切(内切或外切)，有一个公共点； (3)圆与圆相离(内含或外离)，没有公共点. 图象 位置关系 图象 位置关系 外 离 外 切 相 交 内 切 内 含 2、圆与圆的位置关系的判定 2.1几何法 设的半径为，的半径为，两圆的圆心距为. ①当时，两圆相交； ②当时，两圆外切； ③当时，两圆外离； ④当时，两圆内切； ⑤当时，两圆内含. 2.2代数法 设: : 联立消去“”得到关于“”的一元二次方程，求出其 ①与设设相交 ②与设设相切（内切或外切） ③与设设相离（内含或外离） 知识点二：圆与圆的公共弦 1、圆与圆的公共弦 圆与圆相交得到的两个交点，这两点之间的线段就是两圆的公共弦. 2、公共弦所在直线的方程 设: : 联立作差得到：即为两圆公共弦所在直线方程. 3、公共弦长的求法 代数法：将两圆的方程联立，解出两交点的坐标，利用两点间的距离公式求其长． 几何法：求出公共弦所在直线的方程，利用勾股定理解直角三角形，求出弦长． 知识点三：圆与圆的公切线 1、公切线的条数 与两个圆都相切的直线叫做两圆的公切线，圆的公切线包括外公切线和内公切线两种． （1）两圆外离时，有2条外公切线和2条内公切线，共4条； （2）两圆外切时，有2条外公切线和1条内公切线，共3条； （3）两圆相交时，只有2条外公切线； （4）两圆内切时，只有1条外公切线； （5）两圆内含时，无公切线． 2、公切线的方程 核心技巧：利用圆心到切线的距离求解 知识点四：圆系方程 以为圆心的同心圆圆系方程：； 与圆同心圆的圆系方程为； 过直线与圆交点的圆系方程为 过两圆，圆：交点的圆系方程为 （，此时圆系不含圆：）特别地，当时，上述方程为一次方程. 两圆相交时，表示公共弦方程；两圆相切时，表示公切线方程. 第二部分：典型例题汇总 典例一 判断圆与圆的位置关系 典例二 由圆的位置关系确定参数或范围 典例三 由圆与圆的位置关系确定圆的方程 典例四 相交圆的公共弦方程 典例五 两圆中公共弦长的问题 典例六 圆中公切线条数的问题 典例七 圆中公切线方程的问题 典例八 圆中公切线长的问题 第三部分：典型例题 典例一 判断圆与圆的位置关系 1．（25-26高三上·湖南·阶段检测）圆和圆的位置关系为（    ） A．内含 B．内切 C．外切 D．外离 2．（25-26高二上·福建厦门·阶段检测）已知圆：（）关于直线对称，圆：，则圆与圆的位置关系是（    ） A．外离 B．外切 C．相交 D．内含 3．（25-26高二下·上海·期中）圆与圆的位置关系是（     ） A．外离 B．外切 C．相交 D．内切 4．（25-26高二下·上海闵行·期中）圆：与圆：的位置关系是（   ） A．外离 B．外切 C．相交 D．内切 典例二 由圆的位置关系确定参数或范围 5．（26-27高三上·内蒙古锡林郭勒·开学考试）过原点且圆心在轴上的圆与圆外切，则圆的标准方程为__________． 6．（26-27高三上·安徽·阶段检测）已知，，若圆上存在点满足，则实数的最小值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 7．（26-27高三上·广东湛江·开学考试）（多选）已知圆：与圆：有公共点，则（     ） A．的最小值为 B．的最大值为 C．的最小值为 D．的最大值为 8．（2026高二·全国·专题练习）已知圆与圆交于两点，若点在直线上，则实数的取值范围为（　　） A． B． C． D． 典例三 由圆与圆的位置关系确定圆的方程 9．（25-26高三·全国·一轮复习）经过点，且与圆相切于点的圆的方程为______． 10．（25-26高二上·江苏南通·阶段检测）经过点以及圆与圆交点的圆的圆心坐标为（    ） A． B． C． D． 11．（25-26高二上·陕西咸阳·期中）已知圆的方程为，其中. (1)若圆和圆的公共弦长为，求的值； (2)若过点的圆与圆相切，切点为，求圆的标准方程. 12．（25-26高二上·江苏·期中）已知圆，点. (1)过的直线截所得的弦长为，求的方程； (2)经过点的圆N与圆M外切于点，求圆N的方程. 典例四 相交圆的公共弦方程 13．（26-27高三上·河北唐山·开学考试）（多选）圆：，圆：，则下列说法正确的有（   ） A．圆的半径为2 B． C．直线与两圆都相切 D．两圆公共弦所在直线的方程为 14．（26-27高三上·浙江嘉兴·开学考试）已知圆：，圆：，则与的公共弦所在的直线方程为___________． 15．（25-26高二上·四川绵阳·阶段检测）圆和圆的公共弦所在的直线方程_________． 16．（25-26高二上·重庆·阶段检测）已知，以线段为直径的圆与圆相交于两点，则直线的方程为__________． 典例五 两圆中公共弦长的问题 17．（26-27高二上·河南·阶段检测）圆与圆的公共弦长为_________． 18．（25-26高一下·重庆·期末）已知圆与圆相交于A、B两点，若四边形的面积为，则（    ） A．2 B．4 C． D． 19．（2026·陕西西安·模拟预测）若圆与交于两点，则四边形的面积为（   ） A． B． C． D． 20．（25-26高二上·陕西渭南·阶段检测）已知圆与圆交于，两点，则下列结论不正确的是（   ） A．两圆有2条公切线 B．圆与圆的公共弦所在直线的方程是 C． D．四边形的面积为2 典例六 圆中公切线条数的问题 21．（25-26高二上·山东威海·阶段检测）已知圆，圆，则与的公切线的条数是________． 22．（25-26高三上·广东深圳·阶段检测）若圆与圆有四条公切线，则实数的取值范围为_______. 23．（26-27高二上·陕西渭南·开学考试）（多选）已知直线：，圆：，则下列说法正确的是（     ） A．直线必过点 B．直线与圆必相交 C．圆：与圆有3条公切线 D．当时，直线被圆截得的弦长为 24．（2026·湖南株洲·三模）若圆与圆有且仅有3条公切线，则的最大值为______． 典例七 圆中公切线方程的问题 25．（25-26高一下·重庆·期中）圆，圆，且，分别为两圆半径，圆和圆有且仅有一条公切线，则直线的方程为__________. 26．（2026高三下·福建厦门·专题练习）圆与圆的两条公切线的交点坐标为________. 27．（25-26高二上·江苏苏州·期中）圆与圆C关于直线对称，写出两圆的一条公切线：__________. 28．（25-26高二上·河北张家口·期中）已知圆与圆，则圆和圆的一条公切线的方程为_______. 典例八 圆中公切线长的问题 29．（25-26高二上·四川雅安·期中）如图，是两圆轮叠靠在墙边，已知两轮半径分别为2和1，则它们与墙的切点A，B间的距离为__________. 30．（25-26高二上·江苏盐城·阶段检测）若圆与圆关于直线对称． (1)求圆的方程； (2)求圆与圆公切线的长度； (3)过直线上一点作圆的切线，，切点为，，求当四边形面积最小时，的坐标． 31．（2026·浙江·三模）若圆与圆（a，）有且仅有一条公切线，则从点到圆的切线长为（   ） A．1 B． C． D．2 32．（25-26高二上·重庆·阶段检测）已知：圆与圆． (1)当时，判断两圆是否相交．并说明理由．如果相交，求公共弦所在直线的方程． (2)当两圆外切时， ①求的值； ②某直线分别与圆和圆相切于相异的两点，求． 第四部分：课后检测 1．（25-26高二下·上海黄浦·期中）圆：与圆：的位置关系为（   ） A．内含 B．外切 C．相交 D．内切 2．（2026·云南曲靖·模拟预测）已知圆与圆至少有三条公切线，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高二下·湖北襄阳·期中）已知，若两圆和外切，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高三下·陕西西安·阶段检测）圆与圆的公共弦的长为（    ） A．2 B． C．4 D． 5．（2026·重庆·模拟预测）设圆 与圆 交于 两点，则线段 的长度为（    ） A． B． C． D． 6．（25-26高二上·浙江杭州·期中）已知圆和圆，则使得圆与圆相切的的值有（   ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 7．（25-26高二上·浙江杭州·期末）若圆与圆有且仅有2条公切线，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 8．（2026·湖北孝感·二模）在平面直角坐标系中，已知圆，点．点在直线上运动，过点作圆的两条切线，切点分别为，则点到直线的距离的最大值为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 9．（26-27高二上·河南·阶段检测）（多选）过直线上任意一点P作圆的两条切线，切点分别为，则（   ） A．可以是等边三角形 B．直线过定点 C．四边形面积的最小值是 D．的取值范围为 10．（26-27高二上·黑龙江大庆·阶段检测）（多选）已知圆，圆，若圆平分圆的周长，则（     ） A．圆的圆心在上 B．圆面积的最小值是 C．圆经过定点和 D．已知点，，则的最小值为5 11．（25-26高二上·浙江绍兴·阶段检测）（多选）已知圆的半径为2，则（    ） A． B．点在圆的内部 C．圆与圆外切 D．当直线平分圆的周长时， 12．（25-26高三·全国·一轮复习）已知圆，则圆C的半径为________；若M是圆C上任意一点，且点满足是钝角，则正数的取值范围是________． 13．（2026高三下·四川成都·专题练习）已知圆，圆，则圆和圆的公共弦长为________. 14．（2026·山东潍坊·一模）已知点和圆，若以线段中点为圆心，为半径的圆与交于两点，则__________. 15．（26-27高二上·广西桂林·阶段检测）圆是平面上到定点的距离等于定长的点的集合.例如，在平面直角坐标系中，（表示以为圆心的圆）的圆心的坐标为，半径，根据两点间的距离公式有，两边平方得到的方程为.已知在平面直角坐标系中，的圆心为原点，半径为5，的方程为. (1)求的方程； (2)求的圆心坐标和半径； (3)判断与是否相交，若相交，请求出相交弦长. 16．（25-26高二上·广东湛江·期中）已知圆，圆与圆关于直线对称，圆. (1)求圆与圆的公共弦所在的直线方程和圆的方程； (2)为平面内一动点，分别为圆与圆的切线(为切点)且，求点的轨迹方程． 2 / 16 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $