精品解析：江苏高邮市2026-2027学年度第一学期高三10月学情调研测试数学试题

2026－2027学年度第一学期高三10月学情调研测试 数学试题 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用补集和交集的概念求解. 【详解】，所以. 2. 设、、为实数，且，则下列不等式正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据不等式的性质判断A、D，利用特例说明B，利用作差法判断C. 【详解】因为、、为实数，且， 所以，，，，故A错误，D正确； 当时，故B错误， 因为，所以，故C错误； 故选：D 3. 曲线在点处的切线的倾斜角等于（ ） A. 45° B. 60° C. 135° D. 120° 【答案】C 【解析】 【详解】函数，求导得， 则曲线在点处的切线斜率，，而， 所以倾斜角. 4. 已知，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【详解】由，，得，则； 由，，得或，则或， 所以“”是“”的充分不必要条件. 5. 在平面直角坐标系中，若角的顶点在坐标原点，始边在x轴的正半轴上，且终边经过点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据三角函数的定义求得三角函数值，再结合二倍角公式，即可求得答案. 【详解】若角的终边经过点,则 ， 所以 ，则 ， 故， 故选：C. 6. 定义在上的奇函数在上单调递增，且，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用题意可得当时，；当时，；进而分类讨论可解不等式. 【详解】由是定义在上的奇函数，在上单调递增，且， 可知，当时，； 当时，； 由，得或， 解得或， 所以不等式的解集为. 7. 设函数的图象关于直线对称，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用辅助角公式和正弦的对称轴进行求解. 【详解】由辅助角公式得：， 因为该图象关于对称，所以令， 解得：， 因为，则. 8. “，”是假命题，则实数的最大值为（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】先利用命题的否定将命题变为真命题，再分离参数后结合均值不等式求的最大值． 【详解】因为“，”是假命题， 所以“，”是真命题， 由，得， 令， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 即当时，取最小值为， 所以的最大值为． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用同角三角函数的关系,两角差的余弦公式和倍角公式计算. 【详解】，，则，A正确. ，C正确. 因为，，所以，B错误. ， ，所以，D正确. 故选：ACD 10. 若，，则下列结论正确的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】由题意可得，对于A，代入计算即可，对于B，先求出，再判断的正负即可，对于C，利用基本不等式判断，对于D，先求出的取值范围，然后将代入，化简后利用二次函数的性质求出其最值 【详解】由题意可得， 对于A，，所以A正确， 对于B，因为， 所以， 所以，所以B错误， 对于C，因为，，所以，当且仅当时取等号，而，所以取不到等号，所以，所以C正确， 对于D，因为，所以，所以，所以，因为，所以，所以，因为，所以，即，所以D错误， 故选：AC 11. 已知函数（其中，），，恒成立，且函数在区间上单调，那么下列说法正确的是（ ） A. 存在，使得是偶函数 B. C. 是的整数倍 D. 的最大值是6 【答案】BC 【解析】 【分析】根据函数满足的性质推出，结合三角函数为偶函数性质，可判断A；根据正弦型函数的对称性可判断B；结合，可判断C；当时，可列式求解，根据解的结果可判断D. 【详解】对于A,∵，成立，∴， 整理得，解得， ， 假设存在，使得是偶函数，则， 即，该式左侧为偶数，不可能等于5，矛盾,故A错误； 对于B，因为，函数的图象关于对称， ∴，故B正确； 对于C，∵，∴是的整数倍，故C正确； 对于D，∵函数在区间上单调，∴，即， 当时，由，整理得， 故无解，故D错误． 故选：BC． 【点睛】难点点睛：本题综合考查三角函数的性质的应用，解答时要能综合应用函数的单调性以及对称性等，列式求解，要注意参数的表达式的求解，形式较为复杂，需细心. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知函数是偶函数，则______. 【答案】 【解析】 【分析】由偶函数性质即可求解. 【详解】因为是偶函数， 所以， 解得，经检验符合题意. 故答案为：. 13. 若在区间上是增函数，则的最大值是__________. 【答案】## 【解析】 【分析】化简函数，根据在区间上是增函数得到的范围，再根据的范围即可求出结论. 【详解】， 当时，， 因为在区间上是增函数， 所以，则， 所以， 则的最大值是， 故答案为：. 14. 若关于的不等式在是恒成立，则实数的取值范围是__. 【答案】， 【解析】 【分析】当时，判断的单调性并由求得的取值范围；当时，显然成立，故可得到的取值范围. 【详解】令，， ， 当时，在上，，单调递增， 所以， 若不等式在是恒成立， 则， 令，则，即， 所以， 设，则，所以为增函数， 所以，即，所以， 当时，，，显然成立， 所以实数的取值范围为,. 故答案为：, 【点睛】方法点睛：已知不等式恒成立,求参数的取值范围,一般有两种基本方法:一是“参数分离法”,即将参数分离到不等式的一边,化为形如 (或)对任意 恒成立,若在区间D内存在最大值 (或最小值),则问题等价转化为(或);二是“移项构造函数法”,即 (或 )对任意恒成立转化为＞0 (或＜0)对任意恒成立,若在区间D内存在最小值 (或最大值),则问题等价转化＞0 (或＜0). 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知，，. （1）求； （2）求. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由已知函数值以及角的范围可得，结合两角差的余弦公式即可求值. （2）根据，结合两角差的正余弦公式即可求值 【小问1详解】 因为，则， 所以. 【小问2详解】 由（1）可得：， 因为，则， 可得， 所以 . 16. 已知函数． （1）求的最小正周期； （2）将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象．证明：，． 【答案】（1） （2） 由（1）知，所以， 当时，，所以， 则，又， 故，. 【解析】 【分析】（1）根据条件，利用正弦的差角公式、倍角公式及辅助角式，得，即可求解； （2）根据条件得，利用的性质，求出的值域，即可证得. 【小问1详解】 因为 ， 所以的最小正周期为. 【小问2详解】 略 17. 已知正方形的边长为，将沿对角线翻折，使得平面平面，得到三棱锥． （1）求与所成角的余弦值； （2）求二面角的余弦值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）证明出平面，然后以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得直线与所成角的余弦值； （2）利用空间向量法可求得二面角的余弦值. 【小问1详解】 解：连接交于点， 因为四边形为正方形，所以，，， 翻折后，仍有，， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以，平面， 以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系， 因为正方形的边长为，则， 则点、、、、， 所以，，， 则， 因此，与所成角的余弦值为. 【小问2详解】 解：设平面的法向量为，， 则，取，则， 设平面的法向量为，， 则，取，可得， 因为， 由图可知，二面角的平面角为钝角，故二面角的余弦值为. 18. 已知某科技公司产品的一个零部件分别在甲、乙两个代工厂生产，甲工厂的日产量是乙工厂日产量的两倍，甲工厂生产的零部件次品率是0.06，乙工厂生产的零部件次品率是0.03． （1）从某天甲、乙两个工厂生产的所有零部件中随机抽取1件，若检测该零部件为次品，求该零部件是甲工厂生产的概率； （2）从某天甲，乙两个工厂生产的所有零部件中随机抽取3件，记这3件中正品与次品的个数分别为，，，求的期望； （3）甲工厂为提高产品正品率，进行了技术改进，从改进后的第1个月开始，第个月的次品率（单位：%）如表： x 1 2 3 4 5 y 5.8 5.4 4.8 4.5 4.0 根据上表数据求得关于的回归直线方程为，求相关系数，并判断该回归直线方程是否有价值． 附：，，，． 若，则认为回归直线方程有价值． 【答案】（1）0.8； （2）2.7 （3），有价值 【解析】 【分析】（1）由全概率公式结合条件概率公式可得答案； （2）法1，由，可得，然后由期望性质可得答案；法2，由题可得“从某天所有零部件中随机抽取一件，该零部件是次品”的概率为 ，与的关系，据此可得关于的表达式，可得答案；法3，类似于法2，分别计算为不同值时的概率，由期望定义可得答案； （3）由题目数据结合给出公式可得，据此可完成判断. 【18题详解】 设“从某天所有零部件中随机抽取一件，该零部件是次品”为事件，“从某天所有零部件中随机抽取一件，该零部件是甲工厂生产的”为事件， 则，． 则该零部件是甲工厂生产的概率为0.8； 【19题详解】 法一：由（1）知：，， 因为，所以， 所以． （或：所以，所以） 法二：“从某天所有零部件中随机抽取一件，该零部件是次品”的概率为， 由题意可取：，且，， ，， ， 法三：“从某天所有零部件中随机抽取一件，该零部件是次品”的概率为， 由题意可取：，且， ， ，， ， 【20题详解】 由题：，又因为， 所以． 所以． 因为，， 所以， 因为，所以该回归直线方程有价值． 19. 已知函数的最小正周期为． （1）求在点处的切线方程； （2）函数在上有两个极值点，求锐角的取值范围； （3）若，函数在上单调递减，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由三角恒等变换知识结合周期计算公式可得，然后由点斜式可得切线方程； （2）方法1，由题可得，，，然后由正弦函数极值点特征可得答案； 方法2，注意到在上有一个极值点，区间右侧最近的一个极值点为．然后由函数图象平移知识结合正弦函数的性质可得答案； （3）由题可得，， 然后由可得，，然后通过证明，对任意恒成立可得答案. 【19题详解】 ， 因为，所以，所以， 所以，，． 所以，切线方程为：； 【20题详解】 法一：， 由，得， 因为，所以，， 所以，，即：， 所以，锐角的取值范围为； 法二：时，.令，得. 则在上有一个极值点，区间右侧最近的一个极值点为． 因为，所以图象可由图象向左平移个单位，要使区间内有两个极值点， 则至少向左平移个单位，使其中包括极值点， 至多平移个单位，否则会导致其中只有极值点. 所以． 【21题详解】 因为在上单调递减， 所以，， 则，得， 由，，可得，于是， 设，，下面证明恒成立． 求导得， 当时，， 因为正弦函数在上单调递增，所以在上单调递增， 故在上单调递减，则， 所以在上单调递减，则； 当时，， 因为正弦函数在上单调递减，所以在上单调递减， 故在上单调递增，因为，， 所以存在唯一，使得，结合的单调性， 可得当时，，单调递减； 当时，，单调递增． 又因，，所以. 故，． 综上，的取值范围为． 【点睛】方法点睛：对于较复杂的恒成立求参数问题，可先由题目条件得到恒成立的一个必要条件，然后再证明该必要条件也为充分条件可得答案. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026－2027学年度第一学期高三10月学情调研测试 数学试题 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 设、、为实数，且，则下列不等式正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 曲线在点处的切线的倾斜角等于（ ） A. 45° B. 60° C. 135° D. 120° 4. 已知，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 在平面直角坐标系中，若角的顶点在坐标原点，始边在x轴的正半轴上，且终边经过点，则（ ） A. B. C. D. 6. 定义在上的奇函数在上单调递增，且，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 7. 设函数的图象关于直线对称，则（ ） A. B. C. D. 8. “，”是假命题，则实数的最大值为（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 10. 若，，则下列结论正确的是（ ）． A. B. C. D. 11. 已知函数（其中，），，恒成立，且函数在区间上单调，那么下列说法正确的是（ ） A. 存在，使得是偶函数 B. C. 是的整数倍 D. 的最大值是6 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知函数是偶函数，则______. 13. 若在区间上是增函数，则的最大值是__________. 14. 若关于的不等式在是恒成立，则实数的取值范围是__. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知，，. （1）求； （2）求. 16. 已知函数． （1）求的最小正周期； （2）将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象．证明：，． 17. 已知正方形的边长为，将沿对角线翻折，使得平面平面，得到三棱锥． （1）求与所成角的余弦值； （2）求二面角的余弦值． 18. 已知某科技公司产品的一个零部件分别在甲、乙两个代工厂生产，甲工厂的日产量是乙工厂日产量的两倍，甲工厂生产的零部件次品率是0.06，乙工厂生产的零部件次品率是0.03． （1）从某天甲、乙两个工厂生产的所有零部件中随机抽取1件，若检测该零部件为次品，求该零部件是甲工厂生产的概率； （2）从某天甲，乙两个工厂生产的所有零部件中随机抽取3件，记这3件中正品与次品的个数分别为，，，求的期望； （3）甲工厂为提高产品正品率，进行了技术改进，从改进后的第1个月开始，第个月的次品率（单位：%）如表： x 1 2 3 4 5 y 5.8 5.4 4.8 4.5 4.0 根据上表数据求得关于的回归直线方程为，求相关系数，并判断该回归直线方程是否有价值． 附：，，，． 若，则认为回归直线方程有价值． 19. 已知函数的最小正周期为． （1）求在点处的切线方程； （2）函数在上有两个极值点，求锐角的取值范围； （3）若，函数在上单调递减，求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $