精品解析：江苏省苏州市吴江高级中学2025-2026学年高三上学期12月月考数学试题

吴江中学2025-2026学年度第一学期自主学习训练 高三数学卷 （本试卷满分150分，训练用时120分钟） 一、选择题本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】直接解出集合，再求交集即可. 【详解】，，则. 故选：D. 2. 已知，且，其中是虚数单位，则等于（ ） A. 5 B. C. D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】利用复数乘法法则进行计算，得到，再使用模长公式求解. 【详解】由得：，即， 解得，从而. 故选：B 3. 等比数列的前项和为，若，，则公比的值为（ ） A. B. 1 C. 或1 D. 或1 【答案】C 【解析】 【分析】由已知可得、，即可求公比. 【详解】由题设知：，又，故， ∴，而，即，解得：为或1. 故选：C 4. 若双曲线的一条渐近线方程为，则（ ） A. 1 B. 2 C. 8 D. 16 【答案】A 【解析】 【分析】根据方程写出双曲线的渐近线方程，可得关于的方程，求解即可． 【详解】双曲线，则， 其渐近线方程为， 依题意，解得． 故选：A． 5. 已知圆锥的侧面积为，轴截面面积为1，则该圆锥的母线与底面所成角的大小为（ ） A. 15° B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设相应长度，根据圆锥的侧面积和轴截面面积列式可得，再结合线面夹角运算求解. 【详解】设圆锥的母线为，底面半径为，高为， 由题意可得：，解得， 设该圆锥的母线与底面所成的角为，则， 可得，所以该圆锥的母线与底面所成的角为. 故选：C. 6. 2023年的五一劳动节是疫情后的第一个小长假，公司筹备优秀员工假期免费旅游，除常见的五个旅游热门地北京、上海、广州、深圳、成都外，淄博烧烤火爆全国，若每个部门从六个旅游地中选择一个旅游地，则甲、乙、丙、丁四个部门至少有三个部门所选旅游地全不相同的方法种数共有（ ） A. 1800 B. 1080 C. 720 D. 360 【答案】B 【解析】 【分析】分恰有个部门所选的旅游地相同、四个部门所选的旅游地全不相同两类，再应用分步计数及排列、组合数求至少有三个部门所选旅游地全不相同的方法种数. 【详解】①恰有个部门所选的旅游地相同， 第一步，先将选相同的个部门取出，有种； 第二步，从个旅游地中选出个排序，有种， 根据分步计数原理可得，方法有种； ②四个部门所选的旅游地都不相同的方法有种， 根据分类加法计数原理得，则甲、乙、丙、丁四个部门至少有三个部门所选旅游地全不相同的方法种数共有种． 故选：B 7. 已知为抛物线上一点，过作圆的两条切线，切点分别为，，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设，由取得最小值，则最大，最小求解. 【详解】如图所示： 因为，， 设， 则， 当时，取得最小值， 此时最大，最小， 且，故C正确. 故选：C 8. 已知函数的定义域为，且为偶函数，为奇函数.若，则（ ） A. 2023 B. 2024 C. 2025 D. 2026 【答案】B 【解析】 【分析】根据函数奇偶性推出函数关于直线对称和关于点 对称，则得到其周期，再计算其一个周期内的和，最后代入计算即可. 【详解】为偶函数，则，则关于对称， 为奇函数，则， 即，则关于点对称， 则由函数关于对称有，则， 则，相减有， 为周期函数，且周期为4，因为，，则， 由题意可得，，则， ，则， 则， 故选：B. 二、多选题.本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 在长方体中，，，动点在棱上，则（ ） A. B. C. 三棱锥的体积是定值 D. 若，则长为1 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A,由平行的传递性知A错误；对于B，建立空间直角坐标系，求出向量的坐标，由，可得解；对于C，三棱锥的体积，故C正确；对于D，由，解得，故D正确. 【详解】如图： 对于A，，与不平行，故A错误； 对于B，以为原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则，，故.故B正确； 对于C,点到平面的距离为，三棱锥的体积 故C正确； 对于D，，解得，所以长为1，故D正确. 故选：BCD 10. 已知函数，则（ ） A. B. 在单调递增 C. 有最小值 D. 的最大值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用导数，函数的变化趋势等方法对选项逐一判断即可． 【详解】已知函数， 对于A选项：，正确； 对于B选项： 当时，， 所以，所以在单调递增，正确； 对于C选项： 当时，，故 没有最小值，不正确； 对于D选项： 的最小正周期为，是偶函数， 定义域为．故只需研究即可． 由B选项知：在单调递增，在上单调递减， 的最大值为，正确． 故选：ABD． 11. 数学中的数形结合，也可以组成世间万物的绚丽画面.一些优美的曲线是数学形象美､对称美､和谐美的结合产物.关于曲线，则下列结论正确的是（ ） A. 曲线关于原点成中心对称图形 B. 曲线关于轴，轴成轴对称图形 C. 曲线上任意两点之间的距离都不超过2 D. 曲线所围成的“花瓣”形状区域的面积大于 【答案】ABD 【解析】 【分析】分类讨论去绝对值，可得曲线方程，从而可得曲线图像，最后可对命题进行判断. 【详解】当时，曲线方程可化为，表示以为圆心，为半径的圆在第一象限的部分； 当时，曲线方程可化为，表示以为圆心，为半径的圆在第二象限的部分； 当时，曲线方程可化为，表示以为圆心，为半径的圆在第三象限的部分； 当时，曲线方程可化为，表示以为圆心，为半径的圆在第四象限的部分； 当时或；当时或；图像上还有，，，，这5个点. 曲线图像如图所示: 对于A，将代入曲线方程有，整理得，所以曲线关于原点成中心对称图形，故A正确； 对于B，将代入曲线方程有，整理得，所以曲线关于轴成轴对称图形，将代入曲线方程有，整理得，所以曲线关于轴成轴对称图形，故B正确； 对于C，如图，每个小圆半径， 曲线上任意两点距离范围为，即两点距离范围为，故C错误； 对于D，曲线所围成的“花瓣”形状区域可看成四个半圆和一个正方形组成，设它的面积为，，故D正确. 故选：ABD 三、填空题.本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若展开式中的系数为，则_________. 【答案】 【解析】 【分析】由题意可得，结合二项式展开式的通项公式建立方程，求解即可. 【详解】由题意可得，，展开式的通项公式为，所以含的项的系数为，则，即，解得. 故答案为：. 13. 在平面直角坐标系中，、、，当时.写出的一个值为___________. 【答案】（满足或的其中一值） 【解析】 【分析】利用平面向量数量的坐标运算结合两角和的正弦公式可得出，求出的值，即可得解. 【详解】由题意可得，， 所以，，同理可得， 则 ， 所以，或， 解得或， 故答案为：（满足或的其中一值）. 14. 已知双曲线的左、右焦点分别为，，若过点的直线与双曲线的左、右两支分别交于，两点，且.又以双曲线的顶点为圆心，半径为的圆恰好经过双曲线虚轴的端点，则双曲线的离心率为________. 【答案】2 【解析】 【分析】根据给定条件，结合双曲线定义及余弦定理、圆的定义求出即可. 【详解】令，依题意，，解得， 显然，，， 而，于是， 在中，由余弦定理， 得，解得，即， 所以双曲线的离心率为. 故答案为：2 【点睛】方法点睛：双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法： ①求出a，c，代入公式； ②只需要根据一个条件得到关于a，b，c的齐次式，结合转化为a，c的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a或转化为关于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范围)． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在中，若角A，B，C的对应边分别为a，b，c，且，，. （1）求角； （2）求的周长. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）通过三角恒等变换构造正弦函数求角； （2）结合面积公式与余弦定理，利用完全平方公式配方法求边长和，进而得周长. 【小问1详解】 对变形，得，即. 因，故，所以，解得. 【小问2详解】 由，，得. 由余弦定理，代入，， 得，即. 则，故. 因此，△ABC的周长为. 16. 某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六组：，，，，，，得到如图所示的频率分布直方图. （1）求频率分布直方图中a的值与样本成绩的平均数、中位数； （2）若落在的平均成绩是57，方差是2，落在的平均成绩为69，方差是5，求这两组成绩的总平均数和总方差. 参考公式：其中为总样本平均数. 【答案】（1），平均数74，中位数为75 （2）总平均数，总方差 【解析】 【分析】（1）利用频率之和为结合频率分布直方图列式求出，根据平均数、中位数的计算公式计算即可； （2）先利用频率分布直方图求出和的市民人数，再根据平均数和方差公式计算求解即可. 【小问1详解】 由频率之和为结合频率分布直方图可得，解得， 样本成绩的平均数约为． 由于区间，，的频率分别为． 因为， 的频率为，故中位数位于内， 设中位数为x，则，解得x＝75. 【小问2详解】 由频率分布直方图知，成绩在的市民人数为， 成绩在的市民人数为， 所以总平均数， 总方差. 17. 如图，在四棱锥中，侧棱矩形，且，过棱的中点，作交于点，连接 （1）证明：； （2）若，平面与平面所成二面角的大小为，求的值． 【答案】（1） 因为平面，平面，所以， 由底面为矩形，有，而，平面， 所以平面，又平面，所以． 又因为，点是的中点，所以． 而，平面，所以平面，平面， 所以， 又，，平面， 所以平面，而平面， 所以得证． （2） 【解析】 【分析】（1）先证平面，得，再证平面，得，然后证明平面，得证； （2）以为原点，射线分别为轴的正半轴，建立空间直角坐标系，由空间向量法求二面角得的长，然后利用棱锥体积公式计算． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 如图，以为原点，射线分别为轴的正半轴，建立空间直角坐标系． 因为，设，（）， 则，，点是的中点，所以， 由，所以是平面的一个法向量； 由（1）知，，所以是平面的一个法向量． 因为平面与平面所成二面角的大小为， 则，解得（负值舍去）． 所以， ． 18. 已知椭圆的焦距为2，离心率为. （1）求椭圆的方程； （2）已知椭圆上点处的切线方程是.在直线上任取一点引椭圆的两条切线，切点分别是、. ①求证：直线恒过定点； ②是否存在实数，使得，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由. 【答案】（1） （2）①设，，，由题设可知：，， 又因为，经过点，所以， 所以，均在直线上，即， 由，解得，所以直线过定点； ②存在 【解析】 【分析】（1）根据椭圆的长轴长为，离心率为，由求解； （2）①设，，，由，，且，经过点，得到求解；②设实数存在，则，分直线斜率不存在，斜率，斜率，利用弦长公式求解. 【小问1详解】 由题意可知，所以， 所以， 所以椭圆的方程为. 【小问2详解】 ①略 ②设实数存在，因为，所以， 当直线斜率不存在时，此时直线的方程为， 由，解得， 所以，故. 当直线斜率时，不满足题意： 当直线斜率时，设直线的方程为，则， 故， 所以， 联立可得，显然， 所以，， 所以. 综上可知，存在满足条件. 【点睛】方法点睛：本题第二问，首先利用弦长公式得到，然后巧用，化简得到，结合韦达定理而得解. 19. 数列的前n项组成集合，从集合中任取个数，其所有可能的k个数的乘积的和为（若只取一个数，规定乘积为此数本身），例如：对于数列，当时，时，； （1）若集合，求当时，的值； （2）若集合，证明：时集合的与时集合的（为了以示区别，用表示）有关系式，其中； （3）对于（2）中集合．定义，求（用n表示）． 【答案】（1），，； （2）证明：时，集合的中各乘积由两部分构成， 一部分是乘积中含因数，乘积的其他因数来自集合，故诸乘积和为； 另一部分不含，乘积的所有因数来自集合，故诸乘积的和为． 故． （3）. 【解析】 【分析】（1）利用的定义可得的值； （2）时，集合的中乘积由两部分构成，一部分是乘积中含，另一部分不含，从而可得之间的关系； （3）可先证明所有非空子集中各元素的乘积和为，从而可得． 【小问1详解】 时，， ∴，，． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 我们先证明一个性质： 所有非空子集中各元素的乘积和为． 证明：考虑的展开式，该展开式共有项， 每一项均为各因式中选取或后的乘积（除去各项均选1）． 对于的任意非空子集， 该集合中各元素的乘积为的展开式中的某一项：即第个因式选择， ，其余的因式选择1， 注意到非空子集的个数为， 故的所有非空子集中各元素的乘积均在的展开式中恰好出现一次， ∴所有非空子集中各元素的乘积和为． 故对于， . 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 吴江中学2025-2026学年度第一学期自主学习训练 高三数学卷 （本试卷满分150分，训练用时120分钟） 一、选择题本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知，且，其中是虚数单位，则等于（ ） A. 5 B. C. D. 1 3. 等比数列的前项和为，若，，则公比的值为（ ） A. B. 1 C. 或1 D. 或1 4. 若双曲线的一条渐近线方程为，则（ ） A. 1 B. 2 C. 8 D. 16 5. 已知圆锥的侧面积为，轴截面面积为1，则该圆锥的母线与底面所成角的大小为（ ） A. 15° B. C. D. 6. 2023年的五一劳动节是疫情后的第一个小长假，公司筹备优秀员工假期免费旅游，除常见的五个旅游热门地北京、上海、广州、深圳、成都外，淄博烧烤火爆全国，若每个部门从六个旅游地中选择一个旅游地，则甲、乙、丙、丁四个部门至少有三个部门所选旅游地全不相同的方法种数共有（ ） A. 1800 B. 1080 C. 720 D. 360 7. 已知为抛物线上一点，过作圆的两条切线，切点分别为，，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数的定义域为，且为偶函数，为奇函数.若，则（ ） A. 2023 B. 2024 C. 2025 D. 2026 二、多选题.本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 在长方体中，，，动点在棱上，则（ ） A. B. C. 三棱锥的体积是定值 D. 若，则长为1 10. 已知函数，则（ ） A. B. 在单调递增 C. 有最小值 D. 的最大值为 11. 数学中的数形结合，也可以组成世间万物的绚丽画面.一些优美的曲线是数学形象美､对称美､和谐美的结合产物.关于曲线，则下列结论正确的是（ ） A. 曲线关于原点成中心对称图形 B. 曲线关于轴，轴成轴对称图形 C. 曲线上任意两点之间的距离都不超过2 D. 曲线所围成的“花瓣”形状区域的面积大于 三、填空题.本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若展开式中的系数为，则_________. 13. 在平面直角坐标系中，、、，当时.写出的一个值为___________. 14. 已知双曲线的左、右焦点分别为，，若过点的直线与双曲线的左、右两支分别交于，两点，且.又以双曲线的顶点为圆心，半径为的圆恰好经过双曲线虚轴的端点，则双曲线的离心率为________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在中，若角A，B，C的对应边分别为a，b，c，且，，. （1）求角； （2）求的周长. 16. 某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六组：，，，，，，得到如图所示的频率分布直方图. （1）求频率分布直方图中a的值与样本成绩的平均数、中位数； （2）若落在的平均成绩是57，方差是2，落在的平均成绩为69，方差是5，求这两组成绩的总平均数和总方差. 参考公式：其中为总样本平均数. 17. 如图，在四棱锥中，侧棱矩形，且，过棱的中点，作交于点，连接 （1）证明：； （2）若，平面与平面所成二面角的大小为，求的值． 18. 已知椭圆的焦距为2，离心率为. （1）求椭圆的方程； （2）已知椭圆上点处的切线方程是.在直线上任取一点引椭圆的两条切线，切点分别是、. ①求证：直线恒过定点； ②是否存在实数，使得，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由. 19. 数列的前n项组成集合，从集合中任取个数，其所有可能的k个数的乘积的和为（若只取一个数，规定乘积为此数本身），例如：对于数列，当时，时，； （1）若集合，求当时，的值； （2）若集合，证明：时集合的与时集合的（为了以示区别，用表示）有关系式，其中； （3）对于（2）中集合．定义，求（用n表示）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $