精品解析：广东佛山市南海区石门中学2026-2027学年度第一学期高一年级一检考试数学试卷

石门中学2026—2027学年度第一学期高一年级数学 一检考试试卷 2026.10.13 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. （ ） A. B. C. D. 2. 集合，，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知命题：，，则命题的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 4. 已知，则取得最小值时，（ ） A. B. C. D. 5. 给定数集满足方程，下列对应关系为函数的是（ ） A. B. C. D. 6. 若，满足，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知集合，集合．若“”是“”的充分条件，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 函数的最大值为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分． 9. 若，则（ ） A. B. C. D. 10. 下面模型中，恒有的是（ ） A. 点到长度为10的线段的两端点，的距离分别为， B. 用不等臂长天平称重时，将5克的砝码放在左托盘，右托盘放入克黄金令天平平衡；再将5克的砝码放在右托盘，左托盘放入克黄金令天平平衡 C. 以10米/分钟的平均速度走完100米，前4分钟走得比较快，速度为米/分钟；后面走得比较慢，速度为米/分钟 D. 受价格的波动，分两次购买某物品其单价分别为，千元，且，的平均值是1，每次都用5千元购买，购得物品量分别为， 11. 对于一个数集，定义函数.现设数集是全集，，是的子集，对任意，下列命题正确的是（ ） A. 如果，那么 B. 如果，那么 C. 如果，那么 D. 如果，那么 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若实数集合{1，2，3，x}的最大元素与最小元素之差等于该集合的所有元素之和，则x的值为______ . 13. 设，对，不等式恒成立，则的值为________． 14. 对于，当非零实数a，b满足，且使最大时，的最小值为_________. 四、解答题：本大题共5小题，共77分，解答须写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15. （1）设平面内直线上点的集合为，直线上点的集合为，说明直线，可能的位置关系，并用集合的运算表示，的位置关系． （2）已知集合，，，求，，并解释它们的几何意义． 16. 已知集合，集合. （1）若集合，且满足，求实数的值； （2）若，求实数的取值范围 17. 据统计，某景区平时日均接纳旅客1万人次，门票是120元/人，中秋国庆期间日均接客量是平时的4倍．为进一步提升中秋国庆期间的旅游门票营业额，该景区作了深度的市场调查，发现当门票每便宜10元时，旅游日均人数可增加万人（便宜幅度是10元一档，但优惠后的最终门票价格不低于80元）． （1）当时，要使该景区降价后的门票日均营业额不低于495万元，则该景区可以如何确定门票价格？ （2）当在区间上变化时，总能使得门票日均营业额不低于520万元，则该景区应如何确定门票价格？ 18. 已知函数． （1）若命题：，为真命题，求的取值范围； （2）求关于的不等式的解集． 19. 已知，函数. （1）当时，若对任意都有，证明：； （2）当时，证明：对任意的充要条件是； （3）当时，请直接写出对任意成立的充要条件. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 石门中学2026—2027学年度第一学期高一年级数学 一检考试试卷 2026.10.13 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. （ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】对等式移项得，因式分解得，解得或，因此. 本题中0是元素，且0属于集合，故. 2. 集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】因为集合，， 所以. 3. 已知命题：，，则命题的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【详解】命题：，， 所以命题的否定是，. 4. 已知，则取得最小值时，（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】由，则， 所以， 当且仅当，即时，取等号， 故取得最小值时，． 5. 给定数集满足方程，下列对应关系为函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】ACD选项，可举出反例；B选项，利用函数的定义作出判断. 【详解】A选项，，当时，，由于，故A选项不合要求； B选项，，存在唯一确定的，使得，故B正确； CD选项，对于，不妨设，此时，解得， 故不满足唯一确定的与其对应，不满足要求，CD错误. 故选：B 6. 若，满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】依题意可得，再利用重要不等式计算可得. 【详解】因为，所以，所以， 因为，所以，所以， 即，故，当且仅当时取等号， 又，所以，故，当且仅当时取等号. 故选：D 7. 已知集合，集合．若“”是“”的充分条件，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求解集合及集合A的不等式，利用充分条件等价于，结合恒成立关系求出的取值范围. 【详解】． . 因为“”是“”的充分条件，所以. 即对任意，恒成立： 当时，，恒成立； 当时，，不等式等价于， 即对所有恒成立，所以. 综上，实数的取值范围为. 8. 函数的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】对函数因式合理分组后换元，将原函数转化为二次函数，结合二次函数性质及换元变量的取值范围求解最大值. 【详解】首先对函数变形，将因式分组： 分别计算两组乘积： ， 令， 由，，得. 代入得，配方得： 该函数是开口向下的二次函数，对称轴为，且，故当时，取得最大值16. 此时方程的判别式，存在实数满足条件，因此函数的最大值为16. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分． 9. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据不等式的性质即可判断选项A，B，D；利用作差法即可判断选项C． 【详解】对于A，由，则，又，所以，故A正确； 对于B，由，则，又，所以，故B正确； 对于C，由， 又，则，且，所以，即，故C正确； 对于D，由，，则，又，所以，故D错误． 10. 下面模型中，恒有的是（ ） A. 点到长度为10的线段的两端点，的距离分别为， B. 用不等臂长天平称重时，将5克的砝码放在左托盘，右托盘放入克黄金令天平平衡；再将5克的砝码放在右托盘，左托盘放入克黄金令天平平衡 C. 以10米/分钟的平均速度走完100米，前4分钟走得比较快，速度为米/分钟；后面走得比较慢，速度为米/分钟 D. 受价格的波动，分两次购买某物品其单价分别为，千元，且，的平均值是1，每次都用5千元购买，购得物品量分别为， 【答案】BCD 【解析】 【详解】选项A：当点在线段上时，，不满足，故A错误. 选项B：设天平左右臂长为（），由杠杆平衡原理得，， 则，， 因此（等号取不到），故B正确. 选项C：总用时为分钟，后段用时6分钟，总路程， 由前半段速度更快得即，则， 故，故C正确. 选项D：由题意得（），，，则， 由（等号取不到），得，故D正确. 11. 对于一个数集，定义函数.现设数集是全集，，是的子集，对任意，下列命题正确的是（ ） A. 如果，那么 B. 如果，那么 C. 如果，那么 D. 如果，那么 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据元素与子集的关系，集合与集合的关系，逐个选项讨论判断即可. 【详解】A选项，由于，则任意，不会同时属于，则不会同时为1，则，A正确； B选项，由可得，若，则，则， 若，则，或1，则，B正确； C选项，当时，，，，则C错误； D选项，若，则，则， 若，则不会同时属于，则，与必有1个为0，则，则D选项正确； 故选：ABD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若实数集合{1，2，3，x}的最大元素与最小元素之差等于该集合的所有元素之和，则x的值为______ . 【答案】 【解析】 【分析】不妨设，可得最大、最小元素之差不超过，而所有元素之和大于，得到，列出方程，即可求解. 【详解】不妨设，可得最大、最小元素之差不超过， 而所有元素之和大于，不符合条件，所以，即为最小元素， 于是，解得. 【点睛】本题主要考查了元素与集合的关系，以及集合的应用，着重考查了分析问题和解答问题的能力. 13. 设，对，不等式恒成立，则的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】两个乘积非负，首先分析每个函数的单调性和零点，若两个函数都有正零点，则零点必须相同，求出参数，代入原式，进行验证. 【详解】令，即恒成立， 当时，，恒成立， 时，， 时不成立； 当时， 令则 令 要使恒成立，则，即 解得或（舍去）， ， 当时，代入 ， ，符合题意. 14. 对于，当非零实数a，b满足，且使最大时，的最小值为_________. 【答案】 【解析】 【详解】试题分析：法一：判别式法：令，则，代入到中，得，即……① 因为关于的二次方程①有实根，所以，可得， 取最大值时，或， 当时，， 当时，， 综上可知当时， 法二：柯西不等式：由可得： ， 当且仅当时取等号，即时，取等号， 这时或 当时，， 当时，， 综上可知当时， 考点：柯西不等式. 四、解答题：本大题共5小题，共77分，解答须写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15. （1）设平面内直线上点的集合为，直线上点的集合为，说明直线，可能的位置关系，并用集合的运算表示，的位置关系． （2）已知集合，，，求，，并解释它们的几何意义． 【答案】（1）①与平行， ②与相交，为只含1个元素的集合， ③与重合， （2） 几何意义：表示直线与直线的交点为， 表示直线与直线平行，无公共点. 【解析】 【详解】（1）平面内直线、的位置关系及对应集合运算如下： ①与平行， ②与相交，为只含1个元素的集合， ③与重合， （2）解：： ： 方程组无解， 几何意义：表示直线与直线的交点为， 表示直线与直线平行，无公共点. 16. 已知集合，集合. （1）若集合，且满足，求实数的值； （2）若，求实数的取值范围 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）由，可得，再结合韦达定理及完全平方公式求解即可； （2）由题意可得，再由，可得，分、为单元素集和，分别求解即可. 【小问1详解】 因为， 所以，解得， 由韦达定理可得， 所以， 又因为， 所以，解得或， 又因为， 所以； 【小问2详解】 因为， 所以且， 又因为， 所以， 当时，， 解得； 当为单元素集时， 则有，解得， 此时，满足； 当时， 即方程的两个根为， 所以，解得； 综上，， 所以实数的取值范围为. 17. 据统计，某景区平时日均接纳旅客1万人次，门票是120元/人，中秋国庆期间日均接客量是平时的4倍．为进一步提升中秋国庆期间的旅游门票营业额，该景区作了深度的市场调查，发现当门票每便宜10元时，旅游日均人数可增加万人（便宜幅度是10元一档，但优惠后的最终门票价格不低于80元）． （1）当时，要使该景区降价后的门票日均营业额不低于495万元，则该景区可以如何确定门票价格？ （2）当在区间上变化时，总能使得门票日均营业额不低于520万元，则该景区应如何确定门票价格？ 【答案】（1）该景区的门票价格为元或元或元. （2）该景区的门票价格为元或元. 【解析】 【分析】（1）设门票降价为元，，门票日均营业额为万元，找到与的关系式，列出不等式求解. （2）列出不等关系，结合恒成立问题求解. 【小问1详解】 设门票降价为元，，门票日均营业额为万元， 由题可得与的关系式为， 由，， 令，得到，解得，得到. 该景区的门票价格为元或元或元. 【小问2详解】 由（1）知，，. 结合题意得，当时，恒成立。 由，，可得. 而要小于等于的最小值，， 化简得，解得，. 该景区的门票价格为元或元. 18. 已知函数． （1）若命题：，为真命题，求的取值范围； （2）求关于的不等式的解集． 【答案】（1） （2）当或，即时，不等式的解集为或. 当或，即时，不等式的解集为. 当或，即时，不等式的解集为 或. 【解析】 【分析】（1）将方程用分离常数法整理，然后结合方程有解问题求的取值范围. （2）解方程的根，讨论根的大小，在不同情况下解不等式. 【小问1详解】 由，，，. 由题知关于的方程在上有解， 而，故， 故，. 当时，命题：，为真命题. 【小问2详解】 令，， 方程的根为，. 令，，或， 当或，即时，不等式的解集为或. 当或，即时，不等式的解集为. 当或，即时，不等式的解集为或. 19. 已知，函数. （1）当时，若对任意都有，证明：； （2）当时，证明：对任意的充要条件是； （3）当时，请直接写出对任意成立的充要条件. 【答案】（1）证明: ， 根据题意，对任意都有， 由得， 因为，，所以； （2）证明： 必要性：对任意， 据此可推出，即，所以， 对任意， 因为，可得，可推出，即， 所以，所以； 充分性：因为，对任意，则 故，即， 因为，，对任意， 可推出，即， 所以，即， 综上可知，当时，对任意的充要条件是； （3） 【解析】 【分析】（1）由题意，即可得证； （2）分别证必要性与充分性，即必要性：对任意；充分性：； （3）时，证，由，可得，再证可得，即可求解 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 略； 【小问3详解】 当，对任意成立的充要条件是：. 证明如下：必要性：由，故，即， 充分性：因为，，任意， 当， 由于为开口向下，且对称轴为的二次函数， 由可得，因此在单调递增，因此，因此，故， ，即， 所以当时，对任意成立的充要条件是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $