解析几何：双曲线中的定点问题、定值问题、定直线问题复习讲义-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习讲义聚焦双曲线中的定点、定值、定直线三大核心考点，按问题特征、核心方法、解题步骤、常见模型及易错提醒系统梳理知识，通过考点解析、方法指导（如参数分离法、特殊值探路）、真题例题与变式训练的教学环节，帮助学生构建解题框架，突破解析几何难点。 讲义突出数学思维与模型意识培养，如定点问题用“特殊值探路+一般证明”推理，定直线问题结合极点极线背景快速定位结论，设置分层训练与易错提醒。通过方法归纳与实战演练，助力学生高效掌握解题策略，为教师把控复习节奏、提升学生应考能力提供有力支持。

2027届高三数学一轮复习讲义 解析几何：双曲线中的定点问题、定值问题、定直线问题复习讲义 考点目录 双曲线中的定点问题 双曲线中的定值问题 双曲线中的定直线问题 考点一 双曲线中的定点问题 【知识点解析】 一、问题特征 动直线（或动曲线、动交点）在变化过程中恒经过某一固定点，该点坐标与参数无关。常见设问：“证明直线 恒过定点”“证明圆恒过定点”。 二、两大核心方法 方法一：参数分离法（直线过定点） 将动直线方程整理为： 令 ，解得的 即为定点。 方法二：特殊值探路 + 一般证明 1. 取参数的两个特殊值（如 、、斜率不存在），得到两条特殊直线； 1. 求其交点，即为定点候选； 1. 将候选点代回一般情形验证成立。 三、通用解题步骤 1. 设线：（或 ，过 轴定点时优先）； 1. 联立：代入双曲线方程，得二次方程，验证二次项系数 、； 1. 韦达定理：写出 、； 1. 用条件：将题设条件（垂直、斜率关系、向量关系等）翻译为关于 的方程； 1. 求关系：解出 （或 与 的线性关系）； 1. 代回直线方程：分离参数，令参数系数和常数项同时为0，解出定点； 1. 补验：单独验证斜率不存在的情况。 四、常见模型 模型 条件 结论 张直角模型 定点 ， 弦 所在直线过定点 斜率定积模型 常数 弦 过定点 切点弦模型 从定点 引两条切线 切点弦过定点（即 的极线，与定直线问题对偶） 直径圆模型 以弦 为直径的圆过定点 利用 转化 五、易错提醒 · 双曲线有两支，定点可能在双曲线内部或外部，注意交点位置对 的影响； · 用参数分离法时，必须保证直线方程确实能写成 的形式（即参数仅出现在一个系数中），否则需要先用条件消元； · 斜率不存在的直线容易漏验。 【例题分析】 例1．（2026·贵州贵阳·模拟预测）已知双曲线的渐近线为，双曲线的左顶点为，直线与双曲线C相交于A，B（异于点P）两点． (1)求双曲线C的方程； (2)若的中点为，求直线l的方程； (3)若以为直径的圆恒过点P，试判断直线l是否过定点？若过定点，求出该定点的坐标；若不过定点，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)过定点，定点坐标为． 【分析】（1）根据给定条件，求出渐近线方程，进而求出即可. （2）联立直线与双曲线方程，利用韦达定理结合中点坐标公式求解. （3）利用韦达定理及数量积的坐标表示求出的关系即可得解. 【详解】（1）双曲线的渐近线为，依题意，， 而双曲线C的左顶点为，则， 所以双曲线的方程为． （2）由（1）知，双曲线的方程为，设， 由消去得，， ，且， ，由为的中点，得，解得，满足， 所以直线l的方程为，即. （3）由（2）知，．， 则 ，由以为直径的圆恒过点P，得， 于是，解得或， 当时，直线过，不符合题意； 当时，直线过定点， 所以直线l过定点，该定点坐标为.    例2．（2026·四川成都·模拟预测）已知双曲线：（）经过点和，，，，分别在双曲线的左、右两支上，为双曲线左支上一点，且，，三点共线，，，三点共线，直线，的斜率分别记为，. (1)求双曲线的标准方程； (2)求证：为定值； (3)试判断直线是否过定点，若是，请求出定点坐标，若不是，请说明理由. 【答案】(1) (2) 设直线的方程为， 由得， 因为直线与双曲线的左、右支分别交于点， 所以，解得， 所以 则 ， 即为定值． (3) 设直线的方程为， 由得， ， 所以 ， 由，结合（2）可知， 由，得，即或， 当时，直线过点，不符合题意，舍去， 当时，直线的方程为，令，则， 所以直线过定点． 【分析】（1）根据双曲线过点的坐标，代入得到方程组，解得、，即可得到双曲线方程； （2）由题意易得直线的斜率存在，设，直线的方程为，联立直线与双曲线方程，化简的式子，结合韦达定理即可求出结果. （3）设直线的方程为，利用根与系数的关系以及定值，求出、的关系，即可得到直线方程，从而确定定点坐标． 【详解】（1）依题意可得，解得， 所以双曲线方程为. （2）略 （3）略 【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下： （1）设直线方程，设交点坐标为、； （2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，必要时计算； （3）列出韦达定理； （4）将所求问题或题中的关系转化为、的形式； （5）代入韦达定理求解. 例3．（2026·河南鹤壁·模拟预测）已知双曲线的虚轴长为，点在上.设直线与交于两点（异于点），直线与的斜率之积为. (1)求的方程. (2)证明：直线的斜率存在，且直线过定点. (3)求直线斜率的取值范围. 【答案】(1) (2)证明如下： 设，直线的斜率为，直线的斜率为， 当直线的斜率不存在时，设，易得， 由，得，解得（舍去）或（舍去）， 法一：所以直线的斜率存在，设直线的方程为， 代入的方程得，则， 由， 可得， 即， 化简得，即， 所以或， 当时，直线的方程为，直线过点，与条件矛盾，舍去， 当时，直线的方程为，直线过定点，故直线过定点； 法二：设直线， 将的方程变形为，即， 将直线的方程变形为，代入的方程， 得， 整理得， 则，即， 所以直线， 故直线过定点. (3) 【分析】（1）借助虚轴定义计算即可得； （2）设出直线方程，代入曲线中，可得与交点横坐标有关韦达定理，借助韦达定理计算斜率之积可得直线中参数关系，即可得其定点； （3）借助（2）中所得与横坐标有关一元二次方程，计算其即可得. 【详解】（1）因为虚轴长为，所以， 将的坐标代入方程，得，解得， 故的方程为； （2）略 （3）由（2）知，整理得， 则且， 由可得， 由可得，即， 故. 【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下： （1）设直线方程，设交点坐标为； （2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，注意的判断； （3）列出韦达定理； （4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式； （5）代入韦达定理求解. 【变式训练】 变式1．（2026·黑龙江齐齐哈尔·模拟预测）已知双曲线的一条渐近线方程为，点在上. (1)求双曲线的方程； (2)过双曲线的左焦点作互相垂直的两条直线，且与交于两点，与交于两点，为线段的中点，为线段的中点，证明：直线过定点. 【答案】(1) (2)由题意可知不与渐近线平行， 当与坐标轴平行时，显然直线与轴重合. 当不与坐标轴平行时，左焦点为， 不妨设直线的方程为， 联立消去并整理得，， 设，则 所以，所以. 又直线互相垂直，用替换，则可得. 当，即时，直线的方程为，直线过； 当时，直线的斜率为， 所以直线的方程为， 令， 所以直线过.综上，直线恒过点 .   【分析】（1）根据渐近线方程及双曲线上点的坐标列方程组求解即可. （2）当与坐标轴平行时，直线与轴重合；当不与坐标轴平行时，设直线的方程为，与双曲线方程联立，韦达定理，从而求出，同理可得，求出直线的方程，即可求解直线恒过的定点. 【详解】（1）由双曲线的一条渐近线方程为， 且点在上， 有解得故双曲线的方程为. （2）略 变式2．（2026·四川宜宾·模拟预测）已知双曲线的左右焦点分别为，C的右顶点到直线的距离为，双曲线右支上的点到的最短距离为 (1)求双曲线C的方程； (2)过的直线与C交于M、N两点，连接交l于点Q，证明：直线QN过x轴上一定点. 【答案】(1) (2)证明如下： ，直线， 当直线的斜率不为零时，设方程为， 联立，得， 则，所以， 设， 则， 直线的方程为， 令，则，即， 设直线交轴于点， 由于三点共线，则， ， 那么， 故 ， 当直线的斜率等于0时，直线与轴重合，必过定点， 综上所述，直线QN过x轴上一定点. 【分析】（1）根据题意求出，即可得解； （2）分直线的斜率等于0和不等于0两种情况讨论，当直线的斜率不为零时，设方程为，，联立方程，利用韦达定理求出，再求出直线的方程，进而可求出点的坐标，设直线交轴于点，根据三点共线，求出的表达式，进而可得出结论. 【详解】（1）由题意可得，解得， 从而， 所以双曲线C的方程为； （2）略 【点睛】方法点睛：求解直线过定点问题常用方法如下： （1）“特殊探路，一般证明”：即先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目的的一般性证明； （2）“一般推理，特殊求解”：即设出定点坐标，根据题设条件选择参数，建立一个直线系或曲线的方程，再根据参数的任意性得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即为所求点； （3）求证直线过定点，常利用直线的点斜式方程或截距式来证明. 变式3．（2026·福建南平·二模）已知，，直线，相交于点，且它们的斜率之积是4，记点的轨迹为曲线 (1)求的方程； (2)不过，的直线与交于，两点，直线与交于点，点在直线上，证明：直线过定点. 【答案】(1) (2) 解法一：    设，， 若直线的斜率为0，则直线与的交点在轴上，与已知矛盾， 故设直线的方程为：， 由，得， ，则，， 由点在直线上，设，则，， 所以，又，则， 即， ， ， ， ， ，所以（舍去），或， 所以的方程为，过定点. 解法二：设，， 若直线的斜率为0，则直线与的交点在轴上，与已知矛盾， 故设直线的方程为：， 由得，， ，则，， 所以， 即， 又直线的方程为， 直线的方程为， 联立直线与直线的方程，可得， 又点在直线上，故， 所以 ， 故，直线的方程为，过定点. 【分析】（1）由斜率公式结合题意即可列式，化简即可得解. （2）设直线的方程为：，将其与椭圆方程联立，从而，，思路一：由斜率公式、（1）中结论以及点在直线上，可得，从而结合韦达定理可得为定值2，由此即可得证；思路二：联立直线与直线的方程，可得，在里面代入，结合韦达定理即可得出为定值，由此即可得证. 【详解】（1）设，则，， 由已知，有， 故的方程为. （2）略 考点二 双曲线中的定值问题 【知识点解析】 一、问题特征 某个几何量在运动变化中保持不变，与参数无关。常见定值目标：斜率之和/积、线段长度、向量数量积、面积、、、 等。 二、核心方法——直接计算 + 整体代换 1. 设参数（直线斜率 、截距 或点坐标）； 1. 联立双曲线，韦达定理写出 、； 1. 将目标表达式用 、 整体表示； 1. 代入化简，若参数全部消去，剩余常数即为定值。 三、常用韦达恒等式 设直线 与双曲线交于 、： 四、双曲线中的经典定值结论 结论1：中心弦斜率积 为过原点的弦（ 关于原点对称）， 为双曲线上异于 的点： 结论2：定点引两直线斜率和为0 过双曲线上定点 引两条斜率互为相反数的直线，分别交双曲线于 ，则直线 的斜率为定值（等于 处切线斜率的相反数，可直接计算）。 结论3：同支焦点弦倒数和 过焦点 的直线交双曲线同一支于 ： 结论4：切线平分角 双曲线上任一点处的切线平分该点两焦半径的夹角（内角或外角，看点在哪一支）。 五、解题步骤与易错提醒 1. 设线联立、韦达定理同定点问题； 1. 将目标量用韦达结果整体表示，不要单独求 ； 1. 化简至参数消去，得到常数； 1. 易错点： · 双曲线中焦点弦分同支/异支，结论不同，必须讨论； · 定值问题中 限制参数范围，但不影响定值本身； · 斜率不存在的情况要单独计算验证。 【例题分析】 例1．（25-26高三下·重庆·阶段检测）已知分别为双曲线的左，右顶点，为双曲线上异于的任意一点，直线，斜率之积为，的焦距为． (1)求的方程； (2)过点作直线与双曲线交于，两点（不与重合），记的斜率分别为，证明：为定值． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）先设点，再应用斜率公式结合点在双曲线上计算得出即可求解双曲线方程； （2）设直线，再联立方程得出韦达定理，再应用斜率公式计算求解. 【详解】（1）设，，，且， 则． 又焦距为，则，， 双曲线的标准方程为：． （2）由（1）知，设，． 因为不与重合，所以可设直线． 联立，消得：， 故，，，， ，， 可得， ． 例2．（2026·安徽池州·二模）已知双曲线过点和． (1)求双曲线的方程； (2)是双曲线上一点，设，，直线交于另一点，直线交于另一点，且，（各点均不重合）． （ⅰ）证明：直线过轴上的定点； （ⅱ）记直线，的斜率分别为，，证明：为定值． 【答案】(1) (2)（ⅰ）设点，，，，，如图： 因为， 由得，即. 又因为， 由得，即. 设直线过轴上的定点，则,, 所以直线过轴上的定点 （ⅱ）解法一：（设点法一相关点） 设点，，，由得① 因为点在上，所以，即②，如图： 由①②得 又点在上，所以 ，即 由题意知，所以③ 同理得④ 由③-④得， 因为 ，即⑤ 由得，即⑥ 联立⑤⑥解得， 所以 解法二：（设点法——定比点差） 设点，， 由得①，由得② 一方面，由得③ 将①②代入③得④ 另一方面，由得⑤ 将①代入⑤得⑦ 联立①⑦得⑧，同理得⑨ 联立⑧⑨得⑩ 由④⑩得 所以 . 解法三：（设线法一设线解点） 设点，，，一方面，由得① 另一方面，联立得（其中） 所以 所以② 由①②得，即③ 同理得④ 由得⑤ 由③-④得⑥ 联立⑤⑥得 所以 解法四：（设线法——韦达定理） 由（ⅰ）可设直线 联立得由韦达定理得③ 由①②得 ④ 将③代入④得⑤ 又因为点在上，所以 ⑥ 联立⑤⑥得,, ，解得⑦或（舍） 所以 . 所以. 【分析】（1）根据双曲线的性质和经过的点可得双曲线方程； （2）（ⅰ）先设各点的坐标，再结合向量的关系可求得直线经过的定点；（ⅱ）法一：通过设相关点，再结合向量关系可得，进而可证明定值；法二：通过设相关点，再结合向量关系及点差法可得，进而可证明定值；法三：先设直线的方程为，再利用根与系数关系可得及向量关系可得，从而证明定值；法四：直接设直线，再根据系数关系及向量关系可得，进而可证明定值. 【详解】（1）因为双曲线过点，所以点是双曲线的右顶点，得， 又因为双曲线过点，所以，解得. 所以双曲线的方程为 . （2）（i）略 （ⅱ）略 例3．（2025·甘肃甘南·模拟预测）已知双曲线过点分别为圆：的两条切线，且分别交双曲线于点． (1)求双曲线的离心率； (2)证明：直线的斜率为定值． 【答案】(1) (2)证明：由题意知，直线的斜率都存在且不为0， 设直线的方程为，直线的方程为． 由消去，整理得． 由，得， 由，得． 由题意，解得，所以， 所以，同理． 由题意，，得． 因为，所以，故， 所以直线的斜率，即直线的斜率为定值． 【分析】（1）根据点在双曲线上，将点的坐标代入双曲线方程求出的值，再利用双曲线的离心率公式（对于双曲线）来计算离心率. （2）通过联立直线方程和双曲线方程，利用韦达定理求出交点坐标，再根据已知条件得出斜率关系，进而求出直线PQ的斜率. 【详解】（1）解：将的坐标代入，得， 所以双曲线的离心率． （2）略 【变式训练】 变式1．（2026·安徽合肥·模拟预测）设双曲线的右顶点为，其焦距为． (1)求双曲线的方程； (2)过点作斜率为的直线与双曲线右支相交于两个不同点，其中点在轴上方，连接分别交直线于两点，求证：为定值． 【答案】(1) (2)证明如下： 如图所示： 设过点的直线的方程为：， 联立双曲线方程：， 化简得：， 因直线与双曲线右支相交于两个不同点， 连接分别交直线于两点， 所以，设， 则， 当时，因为三点共线， 所以，则， 同理，， ， 其中， ， 将， 代入得：    ， 又， 将， 代入得：， ， 所以为定值1． 【分析】（1）根据右顶点为，得到，再由焦距为得到求解； （2）设过点的直线的方程为：，与双曲线方程联立，由三点共线，得到，从而，同理，代入韦达定理求解； 【详解】（1）由右顶点为，得， 其焦距为得，所以， 所以双曲线的方程为：； （2）略 变式2．（2026·广东佛山·模拟预测）已知双曲线的左焦点，其一条渐近线方程为. (1)求的标准方程； (2)过的右焦点作x轴的垂线与在第一象限内交于点P，过点P作斜率为，的直线分别交于M，N两点，则当时，判断直线的斜率是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）依题意可得，结合渐近线方程求出，，即可得解； （2）首先得到，即可得到直线的方程，联立直线与双曲线方程，设，即可求出、，再由斜率公式计算可得. 【详解】（1）双曲线的渐近线为， 由题意可知的半焦距，又，， 解得，， 故的标准方程为. （2）由（1）可知，由，解得， 所以，则直线的方程为， 代入，消去得. 设， 所以，可得，则， 因为，所以，， 所以直线的斜率 ， 所以直线的斜率为定值. 变式3．（24-25高三下·江苏镇江·开学考试）如图，双曲线的实轴长是虚轴长的2倍，焦点到渐近线的距离为动直线l分别交双曲线C的两条渐近线于M，N，其中点M在第一象限，点N在第四象限，且与双曲线C只有一个公共点 (1)求双曲线C的标准方程; (2)证明：点P为线段MN的中点; (3)过点P分别作两条渐近线的平行线交渐近线于E，F，求证：四边形OEPF的面积为定值，并求出该定值. 【答案】(1) (2)当直线l的斜率不存在时， P点为MN的中点； 当直线l的斜率存在时，设直线MN的方程：， 联立方程，得， 因为直线l分别交双曲线C的两条渐近线于M，N， 其中点M在第一象限，点N在第四象限，且与双曲线C只有一个公共点P， 所以，即：， 双曲线两条渐近线方程为：， 联立方程，解得， 联立方程，解得， 则MN的中点坐标：，即， 代入得，， 所以MN的中点坐标满足双曲线方程，即MN的中点在双曲线上， 又因为直线l与双曲线C只有一个公共点P， 可知点P为线段MN的中点； 综上所述：点P为线段MN的中点. (3)由题意可知：， 坐标原点到直线l的距离：， 则， 代入得. 所以平行四边形OEPF面积为定值 【分析】（1）根据题意结合双曲线性质求，即可得双曲线方程； （2）设直线MN的方程：，直曲联立结合可得，再求交点坐标结合中点分析证明，注意分类讨论直线斜率是否存在； （3）根据（2）中结论求和坐标原点到直线l的距离，进而求面积即可. 【详解】（1）设双曲线C的焦点坐标为， 因为实轴长是虚轴长的2倍，则， 又因为焦点到渐近线的距离为1， 则，可得，解得，， 所以双曲线C的标准方程： （2）略 （3）略 【点睛】易错点点睛：第二问中注意讨论直线l的斜率存在与不存在两种情况，以及由动直线l与双曲线C恰有1个公共点，直曲联立后由得到参数k、m的关系. 考点三 双曲线中的定直线问题 【知识点解析】 一、问题特征 动点恒在某条固定直线上，或两条动直线的交点恒在某条固定直线上。常见设问：“证明点 恒在定直线上”“求该定直线方程”。 二、高等几何背景——极点极线 对于双曲线 ，点 对应的极线方程为： 核心性质（高考定直线题的主要来源）： 过定点 的动直线交双曲线于 ，则 处切线的交点 恒在 的极线上。 因此，遇到”切线交点在定直线上”类问题，可直接写出极线方程作为答案，再做常规验证。 补充：若 在双曲线外，极线就是 的切点弦所在直线；若 在双曲线内，极线在双曲线外部。 三、核心方法 方法一：参数消元法 1. 设动直线 ，联立双曲线，韦达定理； 1. 求出目标点 的坐标 ，均表示为 的表达式； 1. 利用题设条件建立 的关系； 1. 消去参数，得到 满足的直线方程。 方法二：对偶转化法 定直线问题与定点问题互为对偶： - “动直线过定点” ↔ “动交点在定直线上”； - 极点极线是对偶关系的典型体现。 若直接证明定直线困难，可尝试转化为其对偶的定点问题。 方法三：轨迹法 设动点坐标 ，根据条件建立方程，消去参数后若方程为一次方程，即为定直线。 四、常见模型 模型 条件 定直线 切线交点模型 过定点 的弦 在 上 切点弦模型 从 引两切线，切点 所在直线即极线（定直线） 中点轨迹模型 弦 过定点或满足斜率条件 中点 在某定直线上 对称点模型 双曲线上点关于某定点对称 对称点轨迹为双曲线（非直线，注意区分） 五、解题步骤与易错提醒 1. 识别是否有极点极线背景，有则直接写出极线方程； 1. 设线联立，求出目标点坐标（含参数）； 1. 利用韦达定理和题设条件化简坐标表达式； 1. 消参得到定直线方程，或验证坐标满足极线方程； 1. 易错点： · 极线方程中是 和 ，不要写成 ； · 双曲线极线方程中间是减号（椭圆是加号）； · 切线方程要会写：（与极线同形）； · 注意验证斜率不存在等特殊情形。 【例题分析】 例1．（2025·江西新余·模拟预测）双曲线E：的渐近线方程为，且双曲线E过点. (1)求双曲线E的标准方程. (2)若一条直线与双曲线恰有一个公共点，且该直线与双曲线的渐近线不平行，则定义该直线为双曲线的切线，该公共点为切线的切点.已知点T在直线l：上，且过点T恰好可作双曲线E的两条切线，设这两条切线的切点分别为P和M. （i）设点T的横坐标为t，求t的取值范围； （ii）设直线TP和直线TM分别与直线交于点Q和点N，证明：直线PN和直线MQ交点在定直线上. 附：双曲线以点为切点的切线方程为. 【答案】(1)； (2)（i）； （ii）证明：设，， 则直线TM和TP方程分别为和， 联立得点 又点T在直线l上，代入整理得 在直线TM的方程中，令，得，则点. 直线PN的斜率. 故直线PN的方程为 设直线PN与直线l的交点为A，由两直线方程，得. 解得. 设直线MQ与直线l的交点为B， 同理得 因为 所以A，B两点重合， 所以直线PN与MQ的交点在定直线l：上. 【分析】（1）由双曲线上的点和渐近线列式求出，得到其双曲线方程； （2）（i）首先排除切线斜率不存在的情况，再采用设线法，并联立双曲线方程，根据判别式得到的范围； （ii）设，根据切线结论得到直线和方程，再联立求出的坐标，再求出的坐标，得到直线方程，再分别设直线与直线交点为，直线与直线交点为，证明两点重合即可. 【详解】（1）由题意解得，， 所以双曲线E的标准方程为. （2）（i）解：当一条切线的斜率不存在时，切点为双曲线E的顶点或， 则点T的坐标为或. 当点T的坐标为时，显然另一条切线的斜率存在，设切线方程为. 联立切线方程与双曲线方程，消去y化简得， 则，解得. 因为双曲线的渐近线方程为，所以不符合题意 当点T的坐标为时，只有一条切线，显然不符合题意， 所以两条切线的斜率均存在 设切线的斜率为，则切线方程为， 与双曲线方程联立消去y，化简得 令， 整理得. 因为，所以且. 上式整理得 由题意，以上关于k的二次方程有两个相异实根，所以， 且 整理得， 解得 综上所述，t的取值范围是 （ii）证明：略 例2．（2025·四川成都·二模）已知双曲线过点，渐近线方程为. (1)求的方程； (2)已知点，过点作动直线与双曲线右支交于不同的两点，在线段上取异于点的点. （i）当为中点时，的面积为7，求直线的斜率； （ii）直线分别与轴交于点，若为中点，证明：点恒在一条定直线上. 【答案】(1) (2)（i）； （ii）证明：设直线的方程为，令，得. 同理可得，. 因为为中点，所以，即. 又因为点都在直线上， 所以， 整理，得， 代入韦达定理，得，所以. 因为，所以点恒在定直线上. 【分析】（1）根据双曲线过的点以及渐近线方程列出方程组求解双曲线方程； （2）（i）先设出直线方程，联立双曲线方程，利用中点坐标公式和三角形面积公式求解直线斜率； （ii）通过设点坐标，利用直线方程求出与轴交点坐标，再根据中点关系证明点在定直线上。 【详解】（1）由题意，得，则①， 将点代入双曲线方程，得②， 联立①②解得故的方程为. （2）若直线的斜率不存在，则直线与双曲线右支只有一个交点，不符合题意，故直线的斜率存在. 设直线的方程为，与联立得. 设，由题意，得解得. （i）解：因为为中点，所以. 由，得. 又，解得，所以直线的斜率为. （ii）略 【点睛】方法点睛：解答圆锥曲线的定点、定值问题的策略： 参数法：参数解决定点问题的思路： ①引进动点的坐标或动直线中的参数表示变化量，即确定题目中核心变量（通常为变量k）；②利用条件找到k过定点的曲线之间的关系，得到关于k与x，y的等式，再研究变化量与参数何时没有关系，得出定点的坐标； 2、由特殊到一般发：由特殊到一般法求解定点问题时，常根据动点或动直线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关. 例3．（25-26高二上·广东中山·期末）已知双曲线的中心为坐标原点，上焦点为，离心率为．记的上、下顶点分别为，过点的直线与的上支交于两点． (1)求的方程； (2)直线和的斜率分别记为和，求的最小值； (3)直线与交于点，证明：点在定直线上． 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】（1）根据焦点坐标与离心率确定，再由算出，即可写出标准方程； （2）联立直线与双曲线方程得到韦达定理，推导出，将目标式化为单变量二次函数，利用二次函数性质求最小值即可； （3）写出两条直线的方程并联立，代入的比例关系，化简后求得交点纵坐标恒为定值，即可证明点在直线上. 【详解】（1）设双曲线的标准方程为， 由题意可得，解得，， 所以双曲线的标准方程为. （2）双曲线的上下顶点为，，设直线的方程为， 设，， 联立，消去，可得， 则，，且， 所以， 所以， 所以，所以， 所以当时，的最小值为； （3）直线的方程为，直线的方程为， 联立，得，解得， 即点在定直线上． 【变式训练】 变式1．（2026·湖南株洲·模拟预测）已知双曲线：（，）实轴端点分别为，，右焦点为，离心率为2，过点且斜率1的直线与双曲线交于另一点，已知的面积为． (1)求双曲线的方程； (2)若过的直线与双曲线交于，两点，试探究直线与直线的交点是否在某条定直线上？若在，请求出该定直线方程；如不在，请说明理由． 【答案】(1) (2)在定直线方程上 【分析】（1）联立直线方程与双曲线方程，可得点，进而根据三角形面积公式即可求出的值；（2）分直线斜率 和不存在两种情况讨论，求出两直线交点，代入化简即可求解. 【详解】（1）设直线的方程为，联立，得， 又，，代入上式得，即， ∴，解得，∴，，∴双曲线的方程为． （2）当直线点的斜率不存在时，，，直线的方程为，直线的方程为，联立直线与直线的方程可得的， 当直线的斜率存在时，设直线的方程为，，， 联立得，∴，， ∴直线的方程为，直线的方程为， 联立直线与直线的方程可得： ，两边平方得， 又，满足， ∴ ， ∴，∴，或，（舍去） 综上，在定直线上，且定直线方程为． 变式2．（2026·湖北十堰·模拟预测）已知双曲线C：的离心率为，过点的直线l与C左右两支分别交于M，N两个不同的点（异于顶点）． (1)若点P为线段MN的中点，求直线OP与直线MN斜率之积（O为坐标原点）； (2)若A，B为双曲线的左右顶点，且，试判断直线AN与直线BM的交点G是否在定直线上，若是，求出该定直线，若不是，请说明理由 【答案】(1)1 (2)是在定直线上，定直线 【分析】（1）根据题意列出方程组得到，设，，，利用点差法即可求解； （2）根据（1）的结论得出，，设直线l：，，设，，联立直线与曲线方程，利用韦达定理联立直线与直线的方程得出，进而得证. 【详解】（1）由题意得，所以， 设，，， 则， 作差得， 又MN的斜率，， 所以. （2）∵，∴，，， 直线l：，， 设，， 联立得， 所以，所以， 设直线AN：，BM：， 所以， 所以．故存在定直线，使直线AN与直线BM的交点G在定直线上． 2 学科网（北京）股份有限公司 $2027届高三数学一轮复习讲义 解析几何：双曲线中的定点问题、定值问题、定直线问题复习讲义 考点目录 双曲线中的定点问题 双曲线中的定值问题 双曲线中的定直线问题 考点一 双曲线中的定点问题 【知识点解析】 一、问题特征 动直线（或动曲线、动交点）在变化过程中恒经过某一固定点，该点坐标与参数无关。常见设问：“证明直线 恒过定点”“证明圆恒过定点”。 二、两大核心方法 方法一：参数分离法（直线过定点） 将动直线方程整理为： 令 ，解得的 即为定点。 方法二：特殊值探路 + 一般证明 1. 取参数的两个特殊值（如 、、斜率不存在），得到两条特殊直线； 1. 求其交点，即为定点候选； 1. 将候选点代回一般情形验证成立。 三、通用解题步骤 1. 设线：（或 ，过 轴定点时优先）； 1. 联立：代入双曲线方程，得二次方程，验证二次项系数 、； 1. 韦达定理：写出 、； 1. 用条件：将题设条件（垂直、斜率关系、向量关系等）翻译为关于 的方程； 1. 求关系：解出 （或 与 的线性关系）； 1. 代回直线方程：分离参数，令参数系数和常数项同时为0，解出定点； 1. 补验：单独验证斜率不存在的情况。 四、常见模型 模型 条件 结论 张直角模型 定点 ， 弦 所在直线过定点 斜率定积模型 常数 弦 过定点 切点弦模型 从定点 引两条切线 切点弦过定点（即 的极线，与定直线问题对偶） 直径圆模型 以弦 为直径的圆过定点 利用 转化 五、易错提醒 · 双曲线有两支，定点可能在双曲线内部或外部，注意交点位置对 的影响； · 用参数分离法时，必须保证直线方程确实能写成 的形式（即参数仅出现在一个系数中），否则需要先用条件消元； · 斜率不存在的直线容易漏验。 【例题分析】 例1．（2026·贵州贵阳·模拟预测）已知双曲线的渐近线为，双曲线的左顶点为，直线与双曲线C相交于A，B（异于点P）两点． (1)求双曲线C的方程； (2)若的中点为，求直线l的方程； (3)若以为直径的圆恒过点P，试判断直线l是否过定点？若过定点，求出该定点的坐标；若不过定点，请说明理由． 例2．（2026·四川成都·模拟预测）已知双曲线：（）经过点和，，，，分别在双曲线的左、右两支上，为双曲线左支上一点，且，，三点共线，，，三点共线，直线，的斜率分别记为，. (1)求双曲线的标准方程； (2)求证：为定值； (3)试判断直线是否过定点，若是，请求出定点坐标，若不是，请说明理由. 例3．（2026·河南鹤壁·模拟预测）已知双曲线的虚轴长为，点在上.设直线与交于两点（异于点），直线与的斜率之积为. (1)求的方程. (2)证明：直线的斜率存在，且直线过定点. (3)求直线斜率的取值范围. 【变式训练】 变式1．（2026·黑龙江齐齐哈尔·模拟预测）已知双曲线的一条渐近线方程为，点在上. (1)求双曲线的方程； (2)过双曲线的左焦点作互相垂直的两条直线，且与交于两点，与交于两点，为线段的中点，为线段的中点，证明：直线过定点. 变式2．（2026·四川宜宾·模拟预测）已知双曲线的左右焦点分别为，C的右顶点到直线的距离为，双曲线右支上的点到的最短距离为 (1)求双曲线C的方程； (2)过的直线与C交于M、N两点，连接交l于点Q，证明：直线QN过x轴上一定点. 变式3．（2026·福建南平·二模）已知，，直线，相交于点，且它们的斜率之积是4，记点的轨迹为曲线 (1)求的方程； (2)不过，的直线与交于，两点，直线与交于点，点在直线上，证明：直线过定点. 考点二 双曲线中的定值问题 【知识点解析】 一、问题特征 某个几何量在运动变化中保持不变，与参数无关。常见定值目标：斜率之和/积、线段长度、向量数量积、面积、、、 等。 二、核心方法——直接计算 + 整体代换 1. 设参数（直线斜率 、截距 或点坐标）； 1. 联立双曲线，韦达定理写出 、； 1. 将目标表达式用 、 整体表示； 1. 代入化简，若参数全部消去，剩余常数即为定值。 三、常用韦达恒等式 设直线 与双曲线交于 、： 四、双曲线中的经典定值结论 结论1：中心弦斜率积 为过原点的弦（ 关于原点对称）， 为双曲线上异于 的点： 结论2：定点引两直线斜率和为0 过双曲线上定点 引两条斜率互为相反数的直线，分别交双曲线于 ，则直线 的斜率为定值（等于 处切线斜率的相反数，可直接计算）。 结论3：同支焦点弦倒数和 过焦点 的直线交双曲线同一支于 ： 结论4：切线平分角 双曲线上任一点处的切线平分该点两焦半径的夹角（内角或外角，看点在哪一支）。 五、解题步骤与易错提醒 1. 设线联立、韦达定理同定点问题； 1. 将目标量用韦达结果整体表示，不要单独求 ； 1. 化简至参数消去，得到常数； 1. 易错点： · 双曲线中焦点弦分同支/异支，结论不同，必须讨论； · 定值问题中 限制参数范围，但不影响定值本身； · 斜率不存在的情况要单独计算验证。 【例题分析】 例1．（25-26高三下·重庆·阶段检测）已知分别为双曲线的左，右顶点，为双曲线上异于的任意一点，直线，斜率之积为，的焦距为． (1)求的方程； (2)过点作直线与双曲线交于，两点（不与重合），记的斜率分别为，证明：为定值． 例2．（2026·安徽池州·二模）已知双曲线过点和． (1)求双曲线的方程； (2)是双曲线上一点，设，，直线交于另一点，直线交于另一点，且，（各点均不重合）． （ⅰ）证明：直线过轴上的定点； （ⅱ）记直线，的斜率分别为，，证明：为定值． 例3．（2025·甘肃甘南·模拟预测）已知双曲线过点分别为圆：的两条切线，且分别交双曲线于点． (1)求双曲线的离心率； (2)证明：直线的斜率为定值． 【变式训练】 变式1．（2026·安徽合肥·模拟预测）设双曲线的右顶点为，其焦距为． (1)求双曲线的方程； (2)过点作斜率为的直线与双曲线右支相交于两个不同点，其中点在轴上方，连接分别交直线于两点，求证：为定值． 变式2．（2026·广东佛山·模拟预测）已知双曲线的左焦点，其一条渐近线方程为. (1)求的标准方程； (2)过的右焦点作x轴的垂线与在第一象限内交于点P，过点P作斜率为，的直线分别交于M，N两点，则当时，判断直线的斜率是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由. 变式3．（24-25高三下·江苏镇江·开学考试）如图，双曲线的实轴长是虚轴长的2倍，焦点到渐近线的距离为动直线l分别交双曲线C的两条渐近线于M，N，其中点M在第一象限，点N在第四象限，且与双曲线C只有一个公共点 (1)求双曲线C的标准方程; (2)证明：点P为线段MN的中点; (3)过点P分别作两条渐近线的平行线交渐近线于E，F，求证：四边形OEPF的面积为定值，并求出该定值. 考点三 双曲线中的定直线问题 【知识点解析】 一、问题特征 动点恒在某条固定直线上，或两条动直线的交点恒在某条固定直线上。常见设问：“证明点 恒在定直线上”“求该定直线方程”。 二、高等几何背景——极点极线 对于双曲线 ，点 对应的极线方程为： 核心性质（高考定直线题的主要来源）： 过定点 的动直线交双曲线于 ，则 处切线的交点 恒在 的极线上。 因此，遇到”切线交点在定直线上”类问题，可直接写出极线方程作为答案，再做常规验证。 补充：若 在双曲线外，极线就是 的切点弦所在直线；若 在双曲线内，极线在双曲线外部。 三、核心方法 方法一：参数消元法 1. 设动直线 ，联立双曲线，韦达定理； 1. 求出目标点 的坐标 ，均表示为 的表达式； 1. 利用题设条件建立 的关系； 1. 消去参数，得到 满足的直线方程。 方法二：对偶转化法 定直线问题与定点问题互为对偶： - “动直线过定点” ↔ “动交点在定直线上”； - 极点极线是对偶关系的典型体现。 若直接证明定直线困难，可尝试转化为其对偶的定点问题。 方法三：轨迹法 设动点坐标 ，根据条件建立方程，消去参数后若方程为一次方程，即为定直线。 四、常见模型 模型 条件 定直线 切线交点模型 过定点 的弦 在 上 切点弦模型 从 引两切线，切点 所在直线即极线（定直线） 中点轨迹模型 弦 过定点或满足斜率条件 中点 在某定直线上 对称点模型 双曲线上点关于某定点对称 对称点轨迹为双曲线（非直线，注意区分） 五、解题步骤与易错提醒 1. 识别是否有极点极线背景，有则直接写出极线方程； 1. 设线联立，求出目标点坐标（含参数）； 1. 利用韦达定理和题设条件化简坐标表达式； 1. 消参得到定直线方程，或验证坐标满足极线方程； 1. 易错点： · 极线方程中是 和 ，不要写成 ； · 双曲线极线方程中间是减号（椭圆是加号）； · 切线方程要会写：（与极线同形）； · 注意验证斜率不存在等特殊情形。 【例题分析】 例1．（2025·江西新余·模拟预测）双曲线E：的渐近线方程为，且双曲线E过点. (1)求双曲线E的标准方程. (2)若一条直线与双曲线恰有一个公共点，且该直线与双曲线的渐近线不平行，则定义该直线为双曲线的切线，该公共点为切线的切点.已知点T在直线l：上，且过点T恰好可作双曲线E的两条切线，设这两条切线的切点分别为P和M. （i）设点T的横坐标为t，求t的取值范围； （ii）设直线TP和直线TM分别与直线交于点Q和点N，证明：直线PN和直线MQ交点在定直线上. 附：双曲线以点为切点的切线方程为. 例2．（2025·四川成都·二模）已知双曲线过点，渐近线方程为. (1)求的方程； (2)已知点，过点作动直线与双曲线右支交于不同的两点，在线段上取异于点的点. （i）当为中点时，的面积为7，求直线的斜率； （ii）直线分别与轴交于点，若为中点，证明：点恒在一条定直线上. 例3．（25-26高二上·广东中山·期末）已知双曲线的中心为坐标原点，上焦点为，离心率为．记的上、下顶点分别为，过点的直线与的上支交于两点． (1)求的方程； (2)直线和的斜率分别记为和，求的最小值； (3)直线与交于点，证明：点在定直线上． 【变式训练】 变式1．（2026·湖南株洲·模拟预测）已知双曲线：（，）实轴端点分别为，，右焦点为，离心率为2，过点且斜率1的直线与双曲线交于另一点，已知的面积为． (1)求双曲线的方程； (2)若过的直线与双曲线交于，两点，试探究直线与直线的交点是否在某条定直线上？若在，请求出该定直线方程；如不在，请说明理由． 变式2．（2026·湖北十堰·模拟预测）已知双曲线C：的离心率为，过点的直线l与C左右两支分别交于M，N两个不同的点（异于顶点）． (1)若点P为线段MN的中点，求直线OP与直线MN斜率之积（O为坐标原点）； (2)若A，B为双曲线的左右顶点，且，试判断直线AN与直线BM的交点G是否在定直线上，若是，求出该定直线，若不是，请说明理由 2 学科网（北京）股份有限公司 $