解析几何：抛物线中的定点问题、定值问题、定直线问题复习讲义-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习讲义聚焦抛物线中的定点、定值、定直线三大核心考点，按“定义-模型-本质-解题思路”逻辑架构知识点，通过考点梳理、方法指导、真题例题及变式训练等环节，帮助学生构建系统解题框架，突破解析几何难点。 资料以“数学思维”和“模型观念”为导向，创新采用“设参选法”“条件代数化”等策略，如通过特殊值预判定点坐标、韦达定理化简定值表达式，配合分层变式训练，确保高效突破。助力学生提升推理能力与解题速度，为教师精准把控复习节奏提供实用指导。

2027届高三数学一轮复习讲义 解析几何：抛物线中的定点问题、定值问题、定直线问题复习讲义 考点目录 抛物线中的定点问题 抛物线中的定值问题 抛物线中的定直线问题 考点一 抛物线中的定点问题 【知识点解析】 一、核心知识点 1. 定义：在抛物线背景下，满足给定条件的动直线、动弦，无论斜率、截距等参数如何变化，始终经过某一坐标固定不变的点，该点即为定点。定点可在抛物线内部、外部或抛物线上。 1. 常见模型 · 过抛物线上一定点，作两条斜率满足和/积为定值的直线，交抛物线于另外两点，两点连线恒过定点； · 动弦满足斜率条件、向量条件，弦恒过定点； · 抛物线切线衍生的定点问题。 1. 抛物线专属核心结论（以 为例） 若直线与抛物线交于 ，且直线过 轴上定点 ，则恒有： · 这是抛物线定点问题最常用的中间结论，反向也成立：若 为定值，则直线 恒过 轴上定点。 1. 本质：含有参数的直线方程对任意参数恒成立，等价于参数的系数与常数项同时为 0，解方程组即得定点坐标。 二、解题思路 1. 设参选法 优先设直线为 （开口左右型抛物线），可避免讨论斜率不存在的情况，且联立后直接得到关于 的一元二次方程，韦达定理形式更简洁；若直线过已知定点，也可设点斜式。也可采用点参法：设抛物线上点的纵坐标为参数，如 、，用 作为核心参数。 1. 联立方程 将直线代入抛物线方程，整理为一元二次方程，写出判别式 的参数约束，以及韦达定理结果（优先写 、）。 1. 条件代数化 将题干给出的斜率关系、垂直关系、向量数量积、角度关系等几何条件，转化为含 的代数等式，代入韦达定理，得到参数之间的约束关系式。 1. 推导定点 将参数约束代回动直线方程，整理为“参数×含 的式子 + 含 的常数式 = 0”的形式；该式对任意参数恒成立，令参数的系数与常数项分别等于 0，解方程组得到定点坐标。 1. 预判与验证 小题可通过特殊值法：取两组不同参数，求出对应直线的交点，预判定点坐标；大题需完成一般性证明，最后单独验证斜率不存在（或 ）的边界情形，确保结论完备。 【例题分析】 例1．（2026·四川成都·模拟预测）在直角坐标系中，动圆P与圆外切，且与直线相切，记P的轨迹为E． (1)求E的方程； (2)若直线l与E交于x轴异侧两点A，B，且．证明：l过定点 【答案】(1) (2)当直线l斜率为0时，l与抛物线有且只有一个交点， 则可设直线l的方程为，，，联立， 得，，，， ， ， ，或，由题（舍去），则，l过定点． 【分析】（1）根据几何关系，结合抛物线定义即可得解； （2）设直线l的方程为，联立抛物线方程消去，利用韦达定理代入求出即可得证. 【详解】（1）由题意，动圆圆心P到点的距离比其到直线的距离大1， 圆心P到点的距离等于它到直线的距离， 圆心P的轨迹E是以点为焦点，以直线为准线的抛物线， 设E的方程为（），则，，E的方程为． （2）略. 例2．（25-26高二下·辽宁朝阳·期末）已知抛物线：的焦点为，点在上，． (1)求的方程； (2)设，直线过焦点，与交于，两点．直线，分别交于另两点，． ①求的面积的最小值； ②试判断直线是否过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由． 【答案】(1) (2)①2；②直线过定点． 【分析】（1）利用抛物线焦半径公式构造方程求出，进而求出抛物线方程； （2）①设为，联立抛物线方程，运用韦达定理得出纵坐标关系，利用三角形面积公式结合不等式求面积最小值； ②联立直线与抛物线方程，分别利用韦达定理，综合求出，设方程，联立抛物线方程，利用韦达定理求出，进而求出相关参数，求出方程，从而判断直线是否过定点． 【详解】（1）的焦点，准线方程为， 因为点在上，，所以，， 所以的方程为． （2）①，设为，代入，消去，得． 设，，则，． 所以 ，， 又，所以的面积为 ，当且仅当时，取等号， 所以的面积的最小值为2． ②设，，又， 直线的方程为，与方程联立，消去得 ， 又是直线与的交点，所以，， 同理，所以， 当 时，，直线与轴垂直，与轴的交点为， 当 时，，直线的斜率． 此时，可设直线的方程为 ，与联立，消去得 ， 所以 ， 又，所以 ，， 所以的方程化为，直线过． 综上，直线过定点． 例3．（25-26高二下·安徽合肥·期末）已知圆与抛物线：在轴上方的交点为，与抛物线的准线在轴下方的交点为，且点，关于直线对称． (1)求抛物线的方程； (2)若点，是抛物线上与点不重合的两个动点，且直线和的斜率之和为，求证：直线过定点，并求出定点坐标． 【答案】(1) (2)由（1）得， 设，，直线的方程为． 将直线的方程代入，得， 所以，． ，整理得， 所以直线的方程为， 直线过定点，定点坐标为． 【分析】（1）联立抛物线准线与圆的方程求得点B的坐标，再根据点A和点B关于对称获得点A的坐标，最后根据点A在抛物线上，列方程求得，最后求得抛物线的方程; （2）设，，直线的方程为，联立直线方程与抛物线方程，由韦达定理可知，，又，整理化简得到，最后得到直线过定点. 【详解】（1）将代入，得，所以， 由点，关于直线对称，可得， 将的坐标代入抛物线的方程得，解得， 所以抛物线的方程为． （2）略 【变式训练】 变式1．（25-26高二下·四川宜宾·期末）已知点，是平面上一动点，点到点的距离比它到轴的距离大1，设动点的轨迹为曲线． (1)求曲线的轨迹方程； (2)已知点，，为不过点的直线与曲线的交点，直线的斜率记为，直线的斜率记为，若，求证：直线过定点，并求出定点坐标． 【答案】(1)或； (2)证明：由不过点的动直线与曲线恒有两个交点，，则动直线与只抛物线相交， 可设点，直线的方程为：， 联立，得， 所以，即． 因为，所以， 代入得：，整理得：， 即或． 当时，直线的方程：过定点，舍去； 当时，直线的方程：过定点． 所以直线过定点． 【分析】（1）由题意转化为抛物线的定义，即可得到曲线方程； （2）利用方程组思想，结合韦达定理，即可得到直线过定点的证明. 【详解】（1）设，由点到点的距离比它到轴的距离大可得， ，平方得：， 当时，上式化简可得：， 当时，上式化简可得：， 即曲线的轨迹方程是或； （2）略 变式2．（25-26高三下·广东惠州·阶段检测）设抛物线的焦点为为坐标原点，抛物线上的一点到焦点的距离为． (1)求抛物线的标准方程； (2)已知直线交抛物线于两点，直线交抛物线的准线于点，且轴．证明：直线过定点． 【答案】(1) (2)依题意，设直线的方程为，， 由消去得，则，， 直线的斜率，直线的方程，由，得， 由轴，得，则，因此，解得， 所以直线：过定点. 【分析】（1）根据条件，利用抛物线的定义，建立方程组，即可求解. （2）设直线，，联立直线与抛物线方程，再结合题设条件和根与系数间的关系即可求解. 【详解】（1）由抛物线上的一点到焦点的距离为，得，解得， 所以抛物线的标准方程为. （2）略 变式3．（25-26高三上·四川成都·期中）已知抛物线C的顶点为原点，焦点（）到直线的距离为2． (1)求抛物线C的方程； (2)设为直线l上的点，过点P作抛物线C的两条切线其中为切点． （i）证明：直线过定点； （ii）求面积的最小值． 【答案】(1) (2)（i）证明见解析；（ii） 【分析】（1）利用抛物线的性质即可求解； （2）（i）利用求导法来求切线方程，再通过同构可得到切点弦方程，然后即可得到定点； （ii）利用联立方程组来求弦长和距离，通过面积公式即可求得函数最小值. 【详解】（1）已知焦点（）到直线的距离为2， 根据抛物线的性质可知，若标准形式为，则， 解得，故抛物线的方程为： ； （2） （i）设切点，抛物线，求导得切线斜率， 切线方程为：， 同理切线方程为：，因为, 所以，， 因为都满足方程， 所以直线的方程为：， 当时，，故对任意的，直线恒过定点； （ii）将与联立，消去得：， 判别式， 则弦长， 点到直线的距离： 因此的面积： ， 由，当时，取得最小值. 故面积的最小值为. 考点二 抛物线中的定值问题 【知识点解析】 一、核心知识点 1. 定义：在抛物线背景下，当直线、动点变化时，某一几何量的大小始终保持不变，与参数无关，即为定值。定值可以是数值、斜率、长度、面积、比值、向量数量积等。 1. 常见类型 · 斜率类：两点斜率之和、斜率之积为定值； · 长度类：弦长、焦半径和/倒数和为定值； · 数量积类： 等向量运算为定值； · 面积类：三角形、四边形面积为定值。 1. 抛物线专属经典定值（以 为例） · 焦点弦倒数和：过焦点的弦 ，，恒为定值； · 过 轴定点 的直线交抛物线，、 均为定值； · 抛物线上定点引出的两条弦斜率积为定值，则对应弦过定点，同时衍生一系列定值。 1. 本质：目标表达式表面含参数，经韦达定理代入化简后，所有参数完全抵消，最终结果为常数。 二、解题思路 1. 引入参数 根据题意设动直线方程或动点坐标，引入斜率、截距或点坐标参数。 1. 联立得韦达 直线与抛物线联立，得到一元二次方程，写出韦达定理与 约束。 1. 写出目标表达式 将待证定值的几何量，完整翻译为坐标代数表达式。例如斜率和、数量积、弦长、面积等。 1. 代入化简 利用直线方程与抛物线方程，将表达式统一为单种坐标形式，代入韦达定理结果，展开并化简。 1. 消参得定值 化简过程中参数逐步抵消，最终得到不含参数的常数，即为所求定值。 1. 技巧与验证 · 涉及焦半径的定值，优先用抛物线定义转化为到准线的距离，可大幅简化计算，避免弦长公式； · 可先取特殊位置（如通径、水平直线）算出定值，再反向检验一般化简结果是否一致； · 边界情形单独验证，确保定值在所有合法参数下均成立。 【例题分析】 例1．（26-27高三上·湖北武汉·开学考试）已知抛物线，直线与抛物线相切，切点为．过点作直线的垂线，点在直线上（异于点），以点为圆心，为半径作圆与抛物线交于，两点． (1)求直线的方程； (2)已知直线与相交，记直线的斜率为，直线的斜率为，则 ①判断直线的斜率是否为定值，并说明理由． ②判断是否为定值，并说明理由． 【答案】(1) (2)①设直线的方程为，直线与直线交于点，设，， 则， ， ， 联立， 得， ； ， 联立，得， 代入上式得：， ， 则有， （舍去）， 所以直线的斜率为定值． ②依题意，， 则， 由①知直线的方程为与抛物线的方程联立得， 所以，代入上式得， 故为定值． 【分析】（1）先把点代入抛物线方程求出，再设过点的直线方程，此直线方程和抛物线联立方程组，利用相切得到判别式为零求出切线方程. （2）①依题意，直线的斜率存在，故设直线的方程为，直线与直线交于点，设，，通过联立方程组，结合判别式和韦达定理求出直线的斜率为定值．②求出，，计算即可得到结论. 【详解】（1）将点代入抛物线方程，得，解得， 所以抛物线的方程为． 设直线的方程为，与抛物线的方程联立得， 所以，即，得， 所以直线的方程为. （2）（i）略 （ii）略 例2．（2026·上海浦东新·三模）已知抛物线与斜率为1的直线相交于，两点．是的焦点．是上异于，的一点． (1)证明：； (2)若是的顶点且，求直线的方程； (3)设且的外接圆与有异于，，的公共点．证明：直线斜率为定值，并求出此定值． 【答案】(1)如图，作出符合题意的图形， 由题意得，．设． 联立化简得，而判别式． 解得，由焦半径公式得，． 若，则，则， 即，解得，与矛盾，故． (2) (3)对于一元四次方程， 设四个根为，则方程为， 则， 化简得， 可得，则韦达定理得证， 如图，作出符合题意的图形， 由题意得，则由弦长公式得， 解得，故，联立，解得或， 则，，令，则，即点在上． 对于点，有，即；对于点，有，即． 设，，将的外接圆方程可设为． 将，代入，可得， 化简得， 此四次方程的四个根恰为外接圆与的四个交点的参数，，，． 由韦达定理得，则．得到， 由题意得直线的斜率为， 代入，得． 此值与无关，故直线的斜率为定值． 【分析】（1）根据抛物线的几何意义，结合直线与抛物线交点个数即可证明. （2）结合（1）问，得到与的值，直线互相垂直则意味着直线的方向向量数量积为零，进而构建方程即可求解. （3）将抛物线方程转化为参数方程，表示出外接圆表达式，根据韦达定理即可求解. 【详解】（1）略 （2）由题意得为顶点，若，得到 而，可得， 由韦达定理得，，则， 解得或，当时，，此时不符合题意，舍去， 当时，，满足所有条件，故． （3）略 例3．（2026·重庆·模拟预测）在平面直角坐标系xOy中，过点的圆与直线相切，设圆心的轨迹为曲线． (1)求的方程； (2)已知点，过点的直线与有两个不同的交点，，记直线交轴于点，直线交轴于点N，若，试判断是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由． 【答案】(1) (2)为定值2 【分析】（1）根据两点间距离公式及条件，列出方程，整理即可得答案. （2）设出直线的方程，与曲线C联立，根据韦达定理，可得的表达式，写出直线的方程，即可得点M的纵坐标的表达式，同理可得点N的纵坐标的表达式，结合条件可得的表达式，整理计算，即可得答案. 【详解】（1）设点为上任意一点，因为圆过点且与直线相切， 所以与点到直线的距离相等，故，整理得， 即的方程为． （2）由题意可知直线的斜率存在且不为0， 设直线的方程为，， 由，得， 此时，即且, 又， 则直线的方程为， 令，得点的纵坐标为． 同理得点的纵坐标为． 由，，得，． 所以 ．即为定值2. 【变式训练】 变式1．（25-26高三下·广东·阶段检测）已知点，抛物线的焦点为，线段的中点在上． (1)求的方程； (2)过点的直线与交于、两点． （ⅰ）已知的准线为，作于点，证明：直线过定点； （ⅱ）过点与平行的直线与交于点、．判断是否为定值，若为定值，求出该定值；若不为定值，请说明理由． 【答案】(1) (2)（i）设点、，由题意可知直线的斜率不为， 设直线的方程为，联立可得， ，由韦达定理可得，， 抛物线的准线方程为，则， 设坐标原点为点，则，， 所以、、三点共线，即直线过定点； （ii）由（i）知，， 设点、，设直线的方程为， 联立得，， 由韦达定理可得，， 因为直线过点，所以， 所以 ， 所以为定值. 【分析】（1）求出线段的中点坐标，将该中点坐标代入抛物线的方程，可得出关于的等式，解出正数的值，即可得出抛物线的方程； （2）（i）设点、，设直线的方程为，将该直线方程与抛物线方程联立，列出韦达定理，计算得出，即可证得结论成立； （ii）设点、，设直线的方程为，则，将该直线方程与抛物线的方程联立，列出韦达定理，利用弦长公式计算出的值，即可得出结论. 【详解】（1）由、得线段的中点坐标为， 将点的坐标代入抛物线的方程得，即， 因为，解得，故抛物线的方程为. （2）（i）略 （ii）略 变式2．（2025·四川达州·一模）已知抛物线在点处的切线为，当时，的斜率为． (1)求抛物线的方程； (2)点关于轴对称点为，抛物线的焦点为，过且平行于的直线与抛物线交于两点，直线与的斜率和是否为定值．若是，求出该值；若不是，请说明理由． 【答案】(1) (2)是，直线与的斜率和为定值 【分析】（1）利用导数表示出切线斜率，则值可求，则的方程可求； （2）先表示出直线的方程，然后联立抛物线方程可得韦达定理形式，根据坐标运算结合韦达定理可求的值. 【详解】（1）因为，所以，所以， 由题意可知，所以， 所以抛物线的方程为. （2）因为，所以，， 又因为，所以，设， 由题意可知，即， 联立，可得， 所以，且， 所以 ， 所以直线与的斜率和为定值. 变式3．（2026·福建福州·模拟预测）已知椭圆和抛物线．从两条曲线上各取两个点，将其坐标混合记录如下：，． (1)求椭圆和抛物线的方程； (2)设为实数，已知点，直线与抛物线交于两点，记直线的斜率分别为，判断是否为定值．若是，求出该定值；若不是，请说明理由． 【答案】(1)， (2)为定值－12． 【分析】（1）算出四点对应的抛物线方程，注意到对应的一样，可得，在抛物线上，从而在椭圆上，即可得抛物线与椭圆方程； （2）联立抛物线与直线方程，由根与系数的关系可判断是否为定值． 【详解】（1）将四个点代入抛物线方程解得的值分别为， 注意到对应的一样，所以，在抛物线上， 故抛物线的方程为． 为椭圆上的点， 则， 所以椭圆的方程为． （2）是定值． 理由如下：如图，设，    联立． ，由根与系数的关系得， 又因为，所以，同理． ， 所以为定值． 考点三 抛物线中的定直线问题 【知识点解析】 一、核心知识点 1. 定义：在抛物线背景下，满足条件的动点、动直线交点、动弦中点等，无论参数如何变化，始终落在某一条固定不变的直线上，这条直线即为定直线。 1. 常见模型 · 动弦满足斜率、长度等条件，弦中点恒在定直线上； · 过定点作抛物线两条动切线，切点连线恒在定直线（极点极线模型）； · 焦点弦两端点的切线交点，恒在准线上（抛物线经典定直线结论）； · 两条动直线满足斜率条件，交点轨迹为定直线。 1. 与定点的区别 定点是“动直线过固定点”，点不动、直线动；定直线是“动点落在固定直线上”，直线不动、点动。 1. 本质：动点坐标 满足的关系式中，消去所有中间参数后，得到关于 的一次方程，即为定直线方程。 二、解题思路 1. 设元引参 设目标动点坐标为 ，设动直线、动弦端点的参数（斜率、纵坐标等）。 1. 联立得韦达 直线与抛物线联立，写出韦达定理结果，建立坐标与参数的联系。 1. 几何条件转化 将题干给出的斜率关系、垂直关系、共线关系、中点条件等，转化为含 与参数的代数方程。 1. 消参求轨迹 通过代入、加减消元等方式，消去所有中间参数，得到只含 的方程；若方程为一次式，则对应定直线。 1. 技巧与验证 · 切线类定直线问题，可利用抛物线导数（或判别式法）求切线方程，再求交点轨迹，消参得定直线； · 小题可通过两组特殊参数，求出两个动点坐标，两点确定一条直线，预判定直线； · 大题完成一般性推导后，验证边界参数下动点仍满足该直线方程。 【例题分析】 例1．（2026·河南安阳·模拟预测）已知抛物线的焦点为，点是上的动点且异于坐标原点.当时，. (1)求的方程. (2)若，且上存在异于的两点，使得是等边三角形.设的中心的轨迹为曲线. （i）求的方程； （ii）点在的准线上运动，过点作的两条切线，切点分别为，过点作的两条切线，切点分别为，过点作的两条切线，切点分别为，求证：直线与的交点在一条定直线上. 【答案】(1)或； (2)（i）；（ii）证明见解析. 【分析】（1）根据给定条件，结合抛物线定义列出方程求出即可. （2）（i）由（1）求出抛物线的方程，设出点的坐标及正三角形中心坐标，再利用两点间距离公式建立方程化简即得；（ii）设出点坐标，利用导数的几何意义求出直线的方程，再联立求解即可得证. 【详解】（1）抛物线的焦点为，由当时，得， 由，得，解得或， 所以抛物线的方程为或. （2）（i）由（1）得抛物线的方程为，设， 设正的中心坐标为，则，由， 得，整理得， 同理，两式相减得， 则，整理得，所以曲线的方程为. （ii）由（1）得抛物线的准线方程为，设， 由，求导得，设，则， 则抛物线在处的切线方程分别为， 整理得，而点在两条切线上，则， 显然点的坐标满足方程，因此直线方程为， 由，求导得，设，则， 抛物线在处的切线方程分别为， 整理得，由点在两条切线上，得， 因此直线的方程为，同理直线的方程为， 联立解得直线与直线的交点横坐标，纵坐标， 所以直线与的交点在一条定直线上.    例2．（24-25高三上·湖南衡阳·阶段检测）已知椭圆的上、下焦点分别为，顶点在原点的抛物线的焦点与椭圆的上焦点相同，过点的直线与交于两点，与抛物线交于两点，当直线垂直于时，． (1)求椭圆和抛物线的标准方程； (2)若的内切圆的半径为，求直线的方程； (3)分别以为切点作抛物线的切线，则两切线的交点是否在定直线上？证明你的结论． 【答案】(1)椭圆的标准方程为，抛物线的标准方程为 (2) (3)两切线的交点在定直线上， 证明：两切线的交点在定直线上，证明如下： 设，设直线的方程为， 联立，得， 则，， 对于抛物线：，即，则， 则， 所以抛物线在点的切线的方程为， 即， 在点的切线的方程为， 即， 联立，解得， 所以两切线的交点为，在定直线上. AI 【分析】（1）由题意可得，可得，进而求得抛物线的标准方程，再结合题设可得，代入椭圆方程求出的值，进而得到椭圆的标准方程； （2）结合椭圆的定义及三角形面积公式可得，设直线的方程为，，联立直线与椭圆方程，结合韦达定理和建立方程求解即可； （3）设，设直线的方程为，联立直线与抛物线方程，结合韦达定理可得，再结合导数的几何意义求出的方程，求出的交点为，即可得证. 【详解】（1）由题意，，即，则， 则抛物线的焦点为，所以抛物线的标准方程为， 由于过点的直线垂直于时，，不妨记， 将代入，得，又， 解得，则椭圆的标准方程为. （2）由（1）知，， 因为的内切圆的半径为， 所以 ， 要构成，显然直线的斜率存在， 设直线的方程为，， 联立，得， 则，， 则， 所以， 则，解得， 所以直线的方程为. （3）略 例3．（2026·广东佛山·模拟预测）已知抛物线，过轴上一点（不同于原点）的直线与抛物线交于两点，，，，与轴交于点． (1)若，，求乘积的值； (2)若，过，分别作抛物线的切线，两切线交于点，证明：点在定直线上，求出此定直线方程． 【答案】(1)1 (2) 证明：设，由可得，故， 所以抛物线在，处的切线方程为，即， 同理可得抛物线在，处的切线方程为， 联立方程组，得， 因为，即， 由（1）可得，， 所以，即． 所以点在直线上． 【分析】（1）根据向量间的关系，表示出，结合韦达定理可求； （2）利用导数求出切线，得出交点的坐标，根据坐标特点得出结论. 【详解】（1）设，， 因为，，所以， 解得， 设直线的斜率为，方程为， 由，得， 当时，设，，，， 则，， ． （2）略 【变式训练】 变式1．（2026·江苏南通·模拟预测）已知拋物线，为拋物线外一点，过点作抛物线的切线交抛物线于，两点，交轴于，两点. （1）若，设的面积为，的面积为，求的值； （2）若，求证：的垂心在定直线上. 【答案】（1）；（2）证明见解析. 【分析】（1）先求出直线的方程，由此求得，，进而可得； （2）设垂心，由可得，进而可证得结果. 【详解】（1）设，， 由得，所以，所以直线的斜率为. ∴直线的方程为，整理得① 同理可得的方程为② ∵，均过， ∴ ∴直线既过，也过， ∴直线的方程为： 设与轴交于点，则，所以， 在①式中令，∴，同理 ∴，∴. （2）仿照（1）知方程为，，，，， 由∴. ∵为的垂心 设，，， 由 ∴ ∴，故的垂心在定直线上. 【点睛】关键点点睛： 第（1）问的关键点是：根据条件求得直线的方程为：； 第（2）问的关键点是：设垂心，根据条件求得. 变式2．（2026·四川宜宾·模拟预测）已知为抛物线上位于第一象限的点，为的焦点，与交于点(异于点).直线与相切于点，与轴交于点.过点作的垂线交于另一点. （1）证明：线段的中点在定直线上； （2）若点的坐标为，试判断，，三点是否共线. 【答案】（1）证明见解析；（2）点，，三点共线. 【分析】（1）利用导数求出切线方程求出M坐标，利用中点坐标公式即可求证； （2）根据题意求出点，，的坐标，利用斜率相等证明三点共线. 【详解】（1）设，则， 因为点在第一象限，所以， 对两边求导得：，所以直线的斜率为， 所以直线的方程为， 令，则，所以， 所以线段的中点为 所以线段的中点在定直线上. （2）若，则. 所以，， 因为，所以， 所以，直线. 由得，所以或2， 所以， 由得，所以或8， 所以. 因为，，， 所以，， 所以点，，三点共线. 【点睛】关键点点睛：利用导数的几何意义，求出切线斜率即可求出切线方程，求出点的坐标，可证明中点在定直线上，属于中档题. 变式3．（2026·山西运城·模拟预测）已知F为抛物线的焦点，直线与C交于A，B两点且. (1)求C的方程. (2)若直线与C交于M，N两点，且与相交于点T，证明：点T在定直线上. 【答案】(1)； (2)设，，，. 因为，所以. 根据得，则， 同理得. 又两式相加得， 即，由于，所以. 故点在定直线上. 【分析】（1）设，，直线方程与抛物线方程联立方程组消去后应用韦达定理得，利用焦半径公式及韦达定理的结果可求得得抛物线方程； （2）设，，，把两点坐标代入抛物线方程相减琍，同理可得，然后求得交点的横坐标为常数即证（由．化为坐标表示后相加即可得）． 【详解】（1）设，，由，得， 则， 从而， 解得，故的方程为. （2）略 【点睛】方法点睛：本题考查直线与抛物线相交求抛物线的方程，点在定直线上等问题，解题方法一是应用韦达定理得出交点的坐标之和，利用焦半径公式求解，二是把交点坐标代入抛物线方程相减同弦中点坐标与弦所在直线斜率之间的关系． 2 学科网（北京）股份有限公司 $2027届高三数学一轮复习讲义 解析几何：抛物线中的定点问题、定值问题、定直线问题复习讲义 考点目录 抛物线中的定点问题 抛物线中的定值问题 抛物线中的定直线问题 考点一 抛物线中的定点问题 【知识点解析】 一、核心知识点 1. 定义：在抛物线背景下，满足给定条件的动直线、动弦，无论斜率、截距等参数如何变化，始终经过某一坐标固定不变的点，该点即为定点。定点可在抛物线内部、外部或抛物线上。 1. 常见模型 · 过抛物线上一定点，作两条斜率满足和/积为定值的直线，交抛物线于另外两点，两点连线恒过定点； · 动弦满足斜率条件、向量条件，弦恒过定点； · 抛物线切线衍生的定点问题。 1. 抛物线专属核心结论（以 为例） 若直线与抛物线交于 ，且直线过 轴上定点 ，则恒有： · 这是抛物线定点问题最常用的中间结论，反向也成立：若 为定值，则直线 恒过 轴上定点。 1. 本质：含有参数的直线方程对任意参数恒成立，等价于参数的系数与常数项同时为 0，解方程组即得定点坐标。 二、解题思路 1. 设参选法 优先设直线为 （开口左右型抛物线），可避免讨论斜率不存在的情况，且联立后直接得到关于 的一元二次方程，韦达定理形式更简洁；若直线过已知定点，也可设点斜式。也可采用点参法：设抛物线上点的纵坐标为参数，如 、，用 作为核心参数。 1. 联立方程 将直线代入抛物线方程，整理为一元二次方程，写出判别式 的参数约束，以及韦达定理结果（优先写 、）。 1. 条件代数化 将题干给出的斜率关系、垂直关系、向量数量积、角度关系等几何条件，转化为含 的代数等式，代入韦达定理，得到参数之间的约束关系式。 1. 推导定点 将参数约束代回动直线方程，整理为“参数×含 的式子 + 含 的常数式 = 0”的形式；该式对任意参数恒成立，令参数的系数与常数项分别等于 0，解方程组得到定点坐标。 1. 预判与验证 小题可通过特殊值法：取两组不同参数，求出对应直线的交点，预判定点坐标；大题需完成一般性证明，最后单独验证斜率不存在（或 ）的边界情形，确保结论完备。 【例题分析】 例1．（2026·四川成都·模拟预测）在直角坐标系中，动圆P与圆外切，且与直线相切，记P的轨迹为E． (1)求E的方程； (2)若直线l与E交于x轴异侧两点A，B，且．证明：l过定点 例2．（25-26高二下·辽宁朝阳·期末）已知抛物线：的焦点为，点在上，． (1)求的方程； (2)设，直线过焦点，与交于，两点．直线，分别交于另两点，． ①求的面积的最小值； ②试判断直线是否过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由． 例3．（25-26高二下·安徽合肥·期末）已知圆与抛物线：在轴上方的交点为，与抛物线的准线在轴下方的交点为，且点，关于直线对称． (1)求抛物线的方程； (2)若点，是抛物线上与点不重合的两个动点，且直线和的斜率之和为，求证：直线过定点，并求出定点坐标． 【变式训练】 变式1．（25-26高二下·四川宜宾·期末）已知点，是平面上一动点，点到点的距离比它到轴的距离大1，设动点的轨迹为曲线． (1)求曲线的轨迹方程； (2)已知点，，为不过点的直线与曲线的交点，直线的斜率记为，直线的斜率记为，若，求证：直线过定点，并求出定点坐标． 变式2．（25-26高三下·广东惠州·阶段检测）设抛物线的焦点为为坐标原点，抛物线上的一点到焦点的距离为． (1)求抛物线的标准方程； (2)已知直线交抛物线于两点，直线交抛物线的准线于点，且轴．证明：直线过定点． 变式3．（25-26高三上·四川成都·期中）已知抛物线C的顶点为原点，焦点（）到直线的距离为2． (1)求抛物线C的方程； (2)设为直线l上的点，过点P作抛物线C的两条切线其中为切点． （i）证明：直线过定点； （ii）求面积的最小值． 考点二 抛物线中的定值问题 【知识点解析】 一、核心知识点 1. 定义：在抛物线背景下，当直线、动点变化时，某一几何量的大小始终保持不变，与参数无关，即为定值。定值可以是数值、斜率、长度、面积、比值、向量数量积等。 1. 常见类型 · 斜率类：两点斜率之和、斜率之积为定值； · 长度类：弦长、焦半径和/倒数和为定值； · 数量积类： 等向量运算为定值； · 面积类：三角形、四边形面积为定值。 1. 抛物线专属经典定值（以 为例） · 焦点弦倒数和：过焦点的弦 ，，恒为定值； · 过 轴定点 的直线交抛物线，、 均为定值； · 抛物线上定点引出的两条弦斜率积为定值，则对应弦过定点，同时衍生一系列定值。 1. 本质：目标表达式表面含参数，经韦达定理代入化简后，所有参数完全抵消，最终结果为常数。 二、解题思路 1. 引入参数 根据题意设动直线方程或动点坐标，引入斜率、截距或点坐标参数。 1. 联立得韦达 直线与抛物线联立，得到一元二次方程，写出韦达定理与 约束。 1. 写出目标表达式 将待证定值的几何量，完整翻译为坐标代数表达式。例如斜率和、数量积、弦长、面积等。 1. 代入化简 利用直线方程与抛物线方程，将表达式统一为单种坐标形式，代入韦达定理结果，展开并化简。 1. 消参得定值 化简过程中参数逐步抵消，最终得到不含参数的常数，即为所求定值。 1. 技巧与验证 · 涉及焦半径的定值，优先用抛物线定义转化为到准线的距离，可大幅简化计算，避免弦长公式； · 可先取特殊位置（如通径、水平直线）算出定值，再反向检验一般化简结果是否一致； · 边界情形单独验证，确保定值在所有合法参数下均成立。 【例题分析】 例1．（26-27高三上·湖北武汉·开学考试）已知抛物线，直线与抛物线相切，切点为．过点作直线的垂线，点在直线上（异于点），以点为圆心，为半径作圆与抛物线交于，两点． (1)求直线的方程； (2)已知直线与相交，记直线的斜率为，直线的斜率为，则 ①判断直线的斜率是否为定值，并说明理由． ②判断是否为定值，并说明理由． 例2．（2026·上海浦东新·三模）已知抛物线与斜率为1的直线相交于，两点．是的焦点．是上异于，的一点． (1)证明：； (2)若是的顶点且，求直线的方程； (3)设且的外接圆与有异于，，的公共点．证明：直线斜率为定值，并求出此定值． 例3．（2026·重庆·模拟预测）在平面直角坐标系xOy中，过点的圆与直线相切，设圆心的轨迹为曲线． (1)求的方程； (2)已知点，过点的直线与有两个不同的交点，，记直线交轴于点，直线交轴于点N，若，试判断是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由． 【变式训练】 变式1．（25-26高三下·广东·阶段检测）已知点，抛物线的焦点为，线段的中点在上． (1)求的方程； (2)过点的直线与交于、两点． （ⅰ）已知的准线为，作于点，证明：直线过定点； （ⅱ）过点与平行的直线与交于点、．判断是否为定值，若为定值，求出该定值；若不为定值，请说明理由． 变式2．（2025·四川达州·一模）已知抛物线在点处的切线为，当时，的斜率为． (1)求抛物线的方程； (2)点关于轴对称点为，抛物线的焦点为，过且平行于的直线与抛物线交于两点，直线与的斜率和是否为定值．若是，求出该值；若不是，请说明理由． 变式3．（2026·福建福州·模拟预测）已知椭圆和抛物线．从两条曲线上各取两个点，将其坐标混合记录如下：，． (1)求椭圆和抛物线的方程； (2)设为实数，已知点，直线与抛物线交于两点，记直线的斜率分别为，判断是否为定值．若是，求出该定值；若不是，请说明理由． 考点三 抛物线中的定直线问题 【知识点解析】 一、核心知识点 1. 定义：在抛物线背景下，满足条件的动点、动直线交点、动弦中点等，无论参数如何变化，始终落在某一条固定不变的直线上，这条直线即为定直线。 1. 常见模型 · 动弦满足斜率、长度等条件，弦中点恒在定直线上； · 过定点作抛物线两条动切线，切点连线恒在定直线（极点极线模型）； · 焦点弦两端点的切线交点，恒在准线上（抛物线经典定直线结论）； · 两条动直线满足斜率条件，交点轨迹为定直线。 1. 与定点的区别 定点是“动直线过固定点”，点不动、直线动；定直线是“动点落在固定直线上”，直线不动、点动。 1. 本质：动点坐标 满足的关系式中，消去所有中间参数后，得到关于 的一次方程，即为定直线方程。 二、解题思路 1. 设元引参 设目标动点坐标为 ，设动直线、动弦端点的参数（斜率、纵坐标等）。 1. 联立得韦达 直线与抛物线联立，写出韦达定理结果，建立坐标与参数的联系。 1. 几何条件转化 将题干给出的斜率关系、垂直关系、共线关系、中点条件等，转化为含 与参数的代数方程。 1. 消参求轨迹 通过代入、加减消元等方式，消去所有中间参数，得到只含 的方程；若方程为一次式，则对应定直线。 1. 技巧与验证 · 切线类定直线问题，可利用抛物线导数（或判别式法）求切线方程，再求交点轨迹，消参得定直线； · 小题可通过两组特殊参数，求出两个动点坐标，两点确定一条直线，预判定直线； · 大题完成一般性推导后，验证边界参数下动点仍满足该直线方程。 【例题分析】 例1．（2026·河南安阳·模拟预测）已知抛物线的焦点为，点是上的动点且异于坐标原点.当时，. (1)求的方程. (2)若，且上存在异于的两点，使得是等边三角形.设的中心的轨迹为曲线. （i）求的方程； （ii）点在的准线上运动，过点作的两条切线，切点分别为，过点作的两条切线，切点分别为，过点作的两条切线，切点分别为，求证：直线与的交点在一条定直线上. 例2．（24-25高三上·湖南衡阳·阶段检测）已知椭圆的上、下焦点分别为，顶点在原点的抛物线的焦点与椭圆的上焦点相同，过点的直线与交于两点，与抛物线交于两点，当直线垂直于时，． (1)求椭圆和抛物线的标准方程； (2)若的内切圆的半径为，求直线的方程； (3)分别以为切点作抛物线的切线，则两切线的交点是否在定直线上？证明你的结论． 例3．（2026·广东佛山·模拟预测）已知抛物线，过轴上一点（不同于原点）的直线与抛物线交于两点，，，，与轴交于点． (1)若，，求乘积的值； (2)若，过，分别作抛物线的切线，两切线交于点，证明：点在定直线上，求出此定直线方程． 【变式训练】 变式1．（2026·江苏南通·模拟预测）已知拋物线，为拋物线外一点，过点作抛物线的切线交抛物线于，两点，交轴于，两点. （1）若，设的面积为，的面积为，求的值； （2）若，求证：的垂心在定直线上. 变式2．（2026·四川宜宾·模拟预测）已知为抛物线上位于第一象限的点，为的焦点，与交于点(异于点).直线与相切于点，与轴交于点.过点作的垂线交于另一点. （1）证明：线段的中点在定直线上； （2）若点的坐标为，试判断，，三点是否共线. 变式3．（2026·山西运城·模拟预测）已知F为抛物线的焦点，直线与C交于A，B两点且. (1)求C的方程. (2)若直线与C交于M，N两点，且与相交于点T，证明：点T在定直线上. 2 学科网（北京）股份有限公司 $