培优专练+三年真题19 等差等比数列-2027届高考数学一轮复习讲义与培优专练（全国通用）

该高中数学讲义聚焦等差等比数列高考核心考点，涵盖基本量运算、通项公式、中项、性质、函数特性、前n项和及应用等八大考点，按“考点-题型-真题”逻辑架构知识体系。通过考点梳理构建知识网络，方法指导（如定义法求通项、性质应用技巧）突破解题瓶颈，真题训练（三年高考及模拟题）强化实战能力，实现系统性与针对性复习。 讲义以核心素养为导向，创新采用对比教学法（如对比等差等比数列函数特性培养数学思维），结合实际应用案例（如薪资方案、花盆摆放问题）训练数学语言表达。设置基础巩固到综合提升的分层练习，配合即时反馈机制，确保高效突破难点，助力学生提升应考能力，为教师把控复习节奏提供清晰教学框架。

培优专练+三年真题19等差等比数列 【考点一】等差等比的基本量运算 【考点五】等差等比数列的函数特性 【考点二】用定义求等差等比数列通项公式 【考点六】等差等比数列的前n项和 【考点三】等差等比的中项 【考点七】等差等比数列前n项和的函数特性 【考点四】等差等比数列的性质 【考点八】等差等比数列的简单应用 【题型一】等差等比的基本量运算 1．（2026·河北沧州·一模）已知数列是等差数列，是其前项和，，，则公差（    ） A． B． C． D． 2．（2026·山东潍坊·三模）已知各项均为正数的等比数列的前项积为，且，成立，则(     ) A． B． C． D． 3.（2026·西藏昌都·模拟预测）已知等差数列的前项和为，且，，则________． 4．（2026·陕西安康·模拟预测）已知等比数列的前项和为，若，则________． 5.（多选）（2026·甘肃白银·三模）记等比数列的前项和为，若，，公比，则（    ） A． B． C． D． 【题型二】求等差等比数列通项公式 1．（2025·广东惠州·模拟预测）已知等差数列的首项，公差，在中每相邻两项之间都插入3个数，组成一个新的等差数列，则（   ） A． B． C． D． 2．（2026·河北沧州·一模）在等比数列中，若，且，则的通项公式为（   ） A． B． C． D． 3.（2025·陕西·模拟预测）已知是公比为2的等比数列，是公差为4的等差数列，若，则的通项公式为________． 4.（2026·陕西榆林·模拟预测）已知等差数列的前n项和为，且，． (1)求的通项公式； (2)数列满足，，求的通项公式． 【题型三】等差等比的中项 1.（2026·广西南宁·模拟预测）若数列1，b，9是等比数列，则实数b的值为（ ） A． B． C． D． 2．（2026·湖南湘西·三模）在等差数列中，已知，，则（   ） A． B． C． D． 3.（2026·山东青岛·模拟预测）在1与4中间插入3个数，使这5个数成等比数列，则插入的3个数的乘积为_________． 4．（2026·上海杨浦·模拟预测）一个正实数，它的小数部分、整数部分及这个正实数依次成等差数列，则这个正实数是__________． 【题型四】等差等比数列的性质 1.（2026·陕西西安·模拟预测）等差数列中，，，则（    ） A．0 B． C．15 D．20 2.（2026·河南新乡·三模）已知数列是等比数列且各项均为实数，若，则______. 3．（2026·江西南昌·二模）已知等差数列的前项和为，且，，则________． 4.（多选）（2026·重庆渝中·三模）已知等差数列的首项为 3，公差为 2 .数列 满足 ，下列说法中正确的有（    ） A． B．数列 是公差为 2 的等差数列 C．是等比数列 D． 对任意正整数 成立 【题型五】等差等比数列的函数特性 1．（2026·重庆渝中·模拟预测）在等比数列 中，命题 ： 数列 的首项 且公比 ，命题 ： 数列 是递增数列. 则命题 是命题 的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2.（2026·江苏扬州·模拟预测）已知数列是等比数列，则“”是“为单调递减数列”的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 3．（2026·河北衡水·一模）已知单调递减的等比数列满足，则___________. 4．（多选）（2026·安徽宿州·模拟预测）数列中，，则下列结论中正确的是（ ） A． B．是等比数列 C． D． 【题型六】等差等比数列的前n项和 1.（2026·山东菏泽·二模）已知等差数列的前项和为，，则（   ） A． B．45 C．50 D．90 2．（2026·黑龙江哈尔滨·二模）已知数列是等比数列，若，则（    ） A．13 B． C．7 D． 3．（2026·福建厦门·模拟预测）已知数列是等比数列，若，，，则________． 4.（2026·上海浦东新·三模）已知等差数列满足，则的前7项和______________． 5.（2026·山东·模拟预测）设是等差数列，且，． (1)求的通项公式； (2)求． 【题型七】等差等比数列前n项和的函数特性 1．（2026·湖南怀化·三模）设等差数列的前n项和为，已知，，则满足的n的最大值为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 2．（2026·北京延庆·一模）设等差数列的公差为，其前n项和为，则“”是“存在最小值”的（    ）． A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 3．（2026·陕西西安·模拟预测）已知等差数列满足，，则当时，的最小值为_____． 4.（2026·江西吉安·一模）设等差数列的前项和为，若，，则的最大值为___________. 5.（2025·广东·模拟预测）已知等差数列的前项和为，其中，. (1)求数列的通项公式； (2)求使得不等式成立的的值. 【题型八】等差等比数列的简单应用 1．（2026·广西河池·二模）小明假期在一家文具店兼职打工，文具店第1天支付给他30元，由于小明工作认真努力，从第2天起，文具店老板决定每天支付给小明的金额都是前一天的1.2倍．小明一共工作了10天，则他领到的总报酬为（   ）元．（参考数据：） A．778.5 B．624 C．185.7 D．154.8 2．（2025·四川绵阳·模拟预测）某学校为了庆祝建校60周年，计划对学校校门的梯形花坛进行美化.计划第一排摆放12个花盆，从第二排开始每排比前一排多摆放6个花盆，梯形花坛最多摆放10排，则该校花坛铺满一共需要的花盆数是（   ） A．380 B．390 C．400 D．600 3．（2026·重庆·模拟预测）在日常好友聚会时，为了助兴通常会玩一种“数七”的游戏：参与游戏的人围坐一圈，随机选择一人从1开始报数，围坐的人按逆时针座位顺序依次报数，所报数字比上一人报数增加1.当报数的数字为7的倍数，或所报数字各数位上含有数字7时，不能直接报出此数字，需报出“过”代替，例如按序需报数7，14，17……等数字的报数人则不报该数，直接报“过”，直到有人报错，该轮游戏结束.在某轮游戏中小明报数为31，且在这次报数之前没有报“过”，则参与本轮游戏人数至少是_____________人. 4．（2025·陕西·模拟预测）教育储蓄是指个人按国家有关规定在指定银行开户、存入规定数额资金，用于教育目的的专项储蓄，是一种专门为学生支付非义务教育所需教育金的专项储蓄，储蓄存款享受免征利息税的政策.若你的父母在你12岁生日当天向你的银行教育储蓄账户存入1000元，并且每年在你生日当天存入2500元，连续存6年，在你十八岁生日当天一次性取出，假设教育储蓄存款的年利率为. (1)在你十八岁生日当天时，一次性取出的金额总数为多少？（参考数据：） (2)为了鼓励学生参与社会实践，银行与某企业合作，为参与勤工俭学的学生提供以下三种薪资调整方案（每月按30天计算）： 方案甲：每天工资固定为60元.方案乙：第1天工资10元，从第2天起每天比前一天多4元.方案丙：第1天工资元，以后每天工资是前一天的2倍.学生小张计划勤工俭学个月，试分析小张应如何根据的值选择薪资方案. 一、单选题 1．（2024·全国甲卷·高考真题）已知等差数列的前项和为，若，则（    ） A． B． C．1 D． 2．（2024·全国甲卷·高考真题）记为等差数列的前项和，已知，，则（    ） A． B． C． D． 3．（2026·上海·高考真题）下列数列中是等差数列也是等比数列的是（    ） A．1，，1，，1 B．1，2，3，4，5 C．5，5，5，5，5 D．1，2，3，5，7 4．（2026·全国一卷·高考真题）一百零八塔位于宁夏回族自治区青铜峡市，以其独特的建筑格局和深远的历史文化闻名遐迩．该塔群共有108座塔，依山势自上而下排成12行，将第行中塔的座数记为，其中，，，且，，…，是一个首项为7，公差为2的等差数列．将，，…，分为6组，每组2个数，使得每组的2个数之和可构成一个项数为6且公差为的等差数列，则（     ） A．2 B．4 C．6 D．8 二、多选题 5．（2026·全国二卷·高考真题）设等比数列的公比， ，，记其前项和为，则（     ） A． B． C． D． 三、填空题 6．（2026·上海·高考真题）已知为等比数列，，，则__________． 7．（2026·北京·高考真题）已知公差为的等差数列的前项和为．若，则________，使得对所有都成立的一个的取值为________． 8．（2024·北京·高考真题）设与是两个不同的无穷数列，且都不是常数列.记集合，给出下列4个结论： ①若与均为等差数列，则M中最多有1个元素； ②若与均为等比数列，则M中最多有2个元素； ③若为等差数列，为等比数列，则M中最多有3个元素； ④若为递增数列，为递减数列，则M中最多有1个元素. 其中正确结论的序号是______. 四、解答题 9．（2024·天津·高考真题）已知为公比大于0的等比数列，其前项和为，且． (1)求的通项公式及； (2)设数列满足，其中． （ⅰ）当时，求证：； （ⅱ）求． 10．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）设m为正整数，数列是公差不为0的等差数列，若从中删去两项和后剩余的项可被平均分为组，且每组的4个数都能构成等差数列，则称数列是可分数列． (1)写出所有的，，使数列是可分数列； (2)当时，证明：数列是可分数列； (3)从中任取两个数和，记数列是可分数列的概率为，证明：． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 培优专练+三年真题19等差等比数列 【考点一】等差等比的基本量运算 【考点五】等差等比数列的函数特性 【考点二】用定义求等差等比数列通项公式 【考点六】等差等比数列的前n项和 【考点三】等差等比的中项 【考点七】等差等比数列前n项和的函数特性 【考点四】等差等比数列的性质 【考点八】等差等比数列的简单应用 【题型一】等差等比的基本量运算 1．（2026·河北沧州·一模）已知数列是等差数列，是其前项和，，，则公差（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用已知条件建立关于首项和公差的方程组求解. 【详解】由题意：，化简可得：， 所以，解得：. 2．（2026·山东潍坊·三模）已知各项均为正数的等比数列的前项积为，且，成立，则(     ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用等比数列前项积的定义，结合已知条件建立关于首项和公比的方程，求解后计算目标表达式的值. 【详解】设等比数列的公比为，由前项积定义，， 则，，，，. 由，得，两边约去，得. 将代入，得，即， 因，两边除以，得. 由，，故. 将代入，得，即， 因式分解得.因， 三次式，故，则. ，， 故. 故选：B. 3.（2026·西藏昌都·模拟预测）已知等差数列的前项和为，且，，则________． 【答案】 【分析】先由推导得，再结合和等差数列的性质计算的值. 【详解】已知，解得. 因为，所以，解得. 已知，则. 因为，则，解得. 4．（2026·陕西安康·模拟预测）已知等比数列的前项和为，若，则________． 【答案】 【分析】先利用等比数列通项公式化简已知等式求出公比，再结合等比数列前项和公式计算的值. 【详解】设等比数列的公比为，通项公式为. 求公比：将代入，得 ，即， 由等比数列的定义可知，化简得，解得. 计算： 等比数列前项和公式为， 因此. 5.（多选）（2026·甘肃白银·三模）记等比数列的前项和为，若，，公比，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】利用等比数列的通项公式和前项和公式化简条件依次判断选项即可. 【详解】若，则，故A正确； 所以， 化简得：，解得：或（舍去），故B正确； 所以，故C错误； ，， 所以，故D正确； 【题型二】求等差等比数列通项公式 1．（2025·广东惠州·模拟预测）已知等差数列的首项，公差，在中每相邻两项之间都插入3个数，组成一个新的等差数列，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据等差数列的定义求解即可. 【详解】设的公差为，则，， 故. 故选：B. 2．（2026·河北沧州·一模）在等比数列中，若，且，则的通项公式为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设等比数列的公比为，由可得，再根据和，可得的值，进而可得数列的通项公式. 【详解】设等比数列的公比为，由可得，解得， 设， ， 因为，所以，解得或. 当时，，，不成立，故不满足题意，故舍去； 当时，，，满足，故满足题意. 所以． 故选：A 3.（2025·陕西·模拟预测）已知是公比为2的等比数列，是公差为4的等差数列，若，则的通项公式为________． 【答案】 【分析】根据等比数列通项公式求出，再利用等差数列通项公式即可. 【详解】由题意可得，则，即， 则的通项公式为. 故答案为： 4.（2026·陕西榆林·模拟预测）已知等差数列的前n项和为，且，． (1)求的通项公式； (2)数列满足，，求的通项公式． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设等差数列的首项为，公差为，列出关于和的方程组，解方程组得到和，再代入等差数列通项公式得到的通项； （2）由，利用累加法，将时的，代入得，再验证时是否满足所得表达式，最终得到的通项. 【详解】（1）设等差数列的公差为d， 由题意可得： 解得，， 所以数列的通项公式． （2）由可得： ， ， … ， 通过累加可得， 又，所以， 当时，符合，故． 【题型三】等差等比的中项 1.（2026·广西南宁·模拟预测）若数列1，b，9是等比数列，则实数b的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】若数列1，b，9是等比数列， 则， 所以. 2．（2026·湖南湘西·三模）在等差数列中，已知，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用等差中项的性质求解即可. 【详解】在等差数列中，，所以， 又，则． 3.（2026·山东青岛·模拟预测）在1与4中间插入3个数，使这5个数成等比数列，则插入的3个数的乘积为_________． 【答案】 【分析】根据等比中项的性质即可求解. 【详解】设插入的3个数为，则成等比数列，设公比为， 故是1，4的等比中项，且，得：，即， 又，故. 故答案为： 4．（2026·上海杨浦·模拟预测）一个正实数，它的小数部分、整数部分及这个正实数依次成等差数列，则这个正实数是__________． 【答案】/ 【详解】首先排除不符合题意的情况： 1. 若该正实数为整数，则小数部分，此时 成等差数列， 由等差中项性质得 ，解得，不符合正实数要求； 2. 若该正实数小于1，则整数部分，此时 成等差数列， 由等差中项性质得 ，解得，对应数为0，不符合正实数要求； 设该正实数为，其中整数部分，小数部分， 由题意， 依次成等差数列，根据等差中项性质得： 化简得，即，结合 ，得，即， 又，故，代入得， 因此该正实数为. 【题型四】等差等比数列的性质 1.（2026·陕西西安·模拟预测）等差数列中，，，则（    ） A．0 B． C．15 D．20 【答案】A 【详解】因为为等差数列，且， 所以由下标和性质有，即，解得. 2.（2026·河南新乡·三模）已知数列是等比数列且各项均为实数，若，则______. 【答案】8 【详解】由等比数列的性质可得，故， 而同号，故，故. 3．（2026·江西南昌·二模）已知等差数列的前项和为，且，，则________． 【答案】 【分析】利用等差数列前项和公式，结合等差数列性质求出公差即可. 【详解】在等差数列中，， 由，得，解得， 由，得，解得， 因此数列的公差为， 所以. 4.（多选）（2026·重庆渝中·三模）已知等差数列的首项为 3，公差为 2 .数列 满足 ，下列说法中正确的有（    ） A． B．数列 是公差为 2 的等差数列 C．是等比数列 D． 对任意正整数 成立 【答案】ACD 【分析】由等差数列通项公式可判断A，由A得到，的通项公式可判断BC，由的通项公式可判断D. 【详解】选项A： 已知等差数列首项，公差， 由等差数列通项公式： ，因此A正确， 选项B：设，代入得： ， 公差，因此B错误， 选项C： 由，得： ，公比为常数， 因此是等比数列，C正确， 选项D： 左边：， 右边：， 由等差数列性质：， 因此指数相等，左边=右边，对任意正整数 成立，D正确. 【题型五】等差等比数列的函数特性 1．（2026·重庆渝中·模拟预测）在等比数列 中，命题 ： 数列 的首项 且公比 ，命题 ： 数列 是递增数列. 则命题 是命题 的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】若命题成立，即，公比. 由等比数列通项， 得， 因为，，所以，即， 所以数列是递增数列，因此能推出，充分性成立； 若数列是递增数列，不一定满足命题. 举反例：取，公比，数列各项为，满足， 确实是递增数列，但不满足且，因此命题不能推出命题，必要性不成立. 综上，命题 是命题 的充分不必要条件. 2.（2026·江苏扬州·模拟预测）已知数列是等比数列，则“”是“为单调递减数列”的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据等比数列的通项公式，结合充分性和必要性的定义进行运算判断即可. 【详解】设该等比数列的公比为， 由，得，所以， 所以或， 取，此时满足且，则成立， 但数列不是单调递减数列，故充分性不成立； 当数列为单调递减数列时，则有，所以， 所以，所以或， 可得成立，故必要性成立； 因此“”是“为单调递减数列”的必要不充分条件. 3．（2026·河北衡水·一模）已知单调递减的等比数列满足，则___________. 【答案】6 【分析】由题可得公比，利用等比数列的性质求解判断. 【详解】因为数列是单调递减的等比数列，所以公比， 因为，所以， 若，则，不合题意； 若，则，合题意； 所以. 故答案为：6. 4．（多选）（2026·安徽宿州·模拟预测）数列中，，则下列结论中正确的是（ ） A． B．是等比数列 C． D． 【答案】ABD 【分析】由题意可得到，得到是等比数列，进而得到，再利用累加法得到，然后逐项判断． 【详解】因为数列中，， 所以，即， 则是以1为首项，以为公比的等比数列， 所以，，故B正确； 由累加法得， 所以， 当n为奇数时，是递增数列，所以， 当n为偶数时，是递减数列，所以， 所以，故A正确； 又，所以，故C不正确，D正确． 【题型六】等差等比数列的前n项和 1.（2026·山东菏泽·二模）已知等差数列的前项和为，，则（   ） A． B．45 C．50 D．90 【答案】B 【详解】等差数列中，，解得， 所以. 2．（2026·黑龙江哈尔滨·二模）已知数列是等比数列，若，则（    ） A．13 B． C．7 D． 【答案】B 【详解】因为数列是等比数列， 若，则，与题设条件不符，所以； 当时，所以，即， 所以. 3．（2026·福建厦门·模拟预测）已知数列是等比数列，若，，，则________． 【答案】/ 【详解】在等比数列中，， 所以. 4.（2026·上海浦东新·三模）已知等差数列满足，则的前7项和______________． 【答案】133 【分析】设等差数列首项为、公差为，将通项代入两式求出，再用前项和公式求。 【详解】设， 由得，即， 由得，即， 联立得，。 故. 5.（2026·山东·模拟预测）设是等差数列，且，． (1)求的通项公式； (2)求． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由等差数列的性质进行求解； （2）由等比数列的求和公式进行求解． 【详解】（1）设的公差为，则，结合已知得， 所以． （2）， 所以． 【题型七】等差等比数列前n项和的函数特性 1．（2026·湖南怀化·三模）设等差数列的前n项和为，已知，，则满足的n的最大值为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】应用等差数列的下标和性质结合求和公式计算判断求解. 【详解】等差数列，由，可知，， 所以，， 不等式即， 因，不等式化为，整理得，解得， 因为为正整数，所以的最大值为4， 所以满足的n的最大值为4. 2．（2026·北京延庆·一模）设等差数列的公差为，其前n项和为，则“”是“存在最小值”的（    ）． A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】化简得到，分别判断充分性和必要性得到答案. 【详解】为等差数列， 则， 对应的二次函数为， 故当时，函数有最小值，对应的数列有最小值， 当数列有最小值时，则二次函数开口向上，所以， 故是充分必要条件． 3．（2026·陕西西安·模拟预测）已知等差数列满足，，则当时，的最小值为_____． 【答案】27 【分析】根据等差数列的性质结合等差数列前项和公式求解即可. 【详解】由，因为， 若，则所有项为正，与已知条件矛盾，所以，数列递减. 因为，所以，， 不等式移项得，即，所以， 因此，， 因为等差数列是递减数列，且，所以当时，的最小值为27． 4.（2026·江西吉安·一模）设等差数列的前项和为，若，，则的最大值为___________. 【答案】65 【分析】利用等差数列性质将条件转化为关于的方程组，求解后得到通项，再判断的最大值. 【详解】根据题意有，解得，则， 当时，，当时，， 所以的最大值为. 5.（2025·广东·模拟预测）已知等差数列的前项和为，其中，. (1)求数列的通项公式； (2)求使得不等式成立的的值. 【答案】(1) (2)1，2 【分析】（1）根据等差数列的通项公式及求和公式列出方程求公差和首项即可得解； （2）由等差数列的求和公式、通项公式化简不等式求解即可． 【详解】（1）依题意，，解得， 故数列的公差， 则； （2）， 故，即，即，解得， 因为，所以使得不等式成立的的值为1，2． 【题型八】等差等比数列的简单应用 1．（2026·广西河池·二模）小明假期在一家文具店兼职打工，文具店第1天支付给他30元，由于小明工作认真努力，从第2天起，文具店老板决定每天支付给小明的金额都是前一天的1.2倍．小明一共工作了10天，则他领到的总报酬为（   ）元．（参考数据：） A．778.5 B．624 C．185.7 D．154.8 【答案】A 【分析】根据等比数列的求和公式，代入数据，即可得答案. 【详解】设第n天的报酬为，， 由题意，是以首项，公比的等比数列， 则工作了10天，他领到的总报酬. 2．（2025·四川绵阳·模拟预测）某学校为了庆祝建校60周年，计划对学校校门的梯形花坛进行美化.计划第一排摆放12个花盆，从第二排开始每排比前一排多摆放6个花盆，梯形花坛最多摆放10排，则该校花坛铺满一共需要的花盆数是（   ） A．380 B．390 C．400 D．600 【答案】B 【分析】根据题意将每排摆放花的盆数理解为等差数列，然后根据等差数列前项和进行求解即可. 【详解】记每排摆放的花盆数为，数列的前项和为. 由题意可知，数列是以为首项，为公差的等差数列， 所以. 故将该花坛铺满一共需要盆花. 故选：B 3．（2026·重庆·模拟预测）在日常好友聚会时，为了助兴通常会玩一种“数七”的游戏：参与游戏的人围坐一圈，随机选择一人从1开始报数，围坐的人按逆时针座位顺序依次报数，所报数字比上一人报数增加1.当报数的数字为7的倍数，或所报数字各数位上含有数字7时，不能直接报出此数字，需报出“过”代替，例如按序需报数7，14，17……等数字的报数人则不报该数，直接报“过”，直到有人报错，该轮游戏结束.在某轮游戏中小明报数为31，且在这次报数之前没有报“过”，则参与本轮游戏人数至少是_____________人. 【答案】 【分析】利用列举法可求游戏人数的最小值. 【详解】设游戏人数为， 若，则小明报数为，此时含有“过”，不合题意； 若，因为小明报数为31，且人轮流报数， 则小明报数为，此时含有“过”，不合题意； 若，因为小明报数为31，且人轮流报数， 则小明报数为，此时含有“过”，不合题意； 若，因为小明报数为31，且人轮流报数， 则小明报数为，此时含有“过”，不合题意； 若，因为小明报数为31，且人轮流报数， 则小明报数为，此时含有“过”，不合题意； 若，因为小明报数为31，且人轮流报数， 则小明报数为，此时含有“过”，不合题意； 若，因为小明报数为31，且人轮流报数， 则小明报数为，此时含有“过”，不合题意； 若，因为小明报数为31，且人轮流报数， 则小明报数为，此时含有“过”，不合题意； 若，因为小明报数为31，且人轮流报数， 则小明报数为，小明在报数之前没有报“过” ， 综上，， 故答案为： 4．（2025·陕西·模拟预测）教育储蓄是指个人按国家有关规定在指定银行开户、存入规定数额资金，用于教育目的的专项储蓄，是一种专门为学生支付非义务教育所需教育金的专项储蓄，储蓄存款享受免征利息税的政策.若你的父母在你12岁生日当天向你的银行教育储蓄账户存入1000元，并且每年在你生日当天存入2500元，连续存6年，在你十八岁生日当天一次性取出，假设教育储蓄存款的年利率为. (1)在你十八岁生日当天时，一次性取出的金额总数为多少？（参考数据：） (2)为了鼓励学生参与社会实践，银行与某企业合作，为参与勤工俭学的学生提供以下三种薪资调整方案（每月按30天计算）： 方案甲：每天工资固定为60元.方案乙：第1天工资10元，从第2天起每天比前一天多4元.方案丙：第1天工资元，以后每天工资是前一天的2倍.学生小张计划勤工俭学个月，试分析小张应如何根据的值选择薪资方案. 【答案】(1)16044元， (2)当天时，即个月时选择方案甲； 当天时，选择方案丙，即个月时选择方案丙. 【分析】（1）结合题意，由等比数列的求和求解即可； （2）利用等差和等比数列的求和公式分别计算出三种方案获得的报酬，再分别比较即可. 【详解】（1）由题意得 ， 即在你十八岁生日当天时，一次性取出的金额总数为16044元. （2）设小张参与勤工俭学的天数为， 方案甲领取的报酬为； 方案乙每天的报酬与天数成首项为10，公差为4的等差数列， 由等差数列的求和公式可得领取的报酬为； 方案丙每天报酬与天数成首项为，公比为2的等比数列， 由等比数列的求和公式可得领取的报酬为. 先令，即，解得（舍去）或26， 所以当时，；当时，； 再比较和，当时，，，； 当时，，，； 最后比较和，由函数的增长快慢可得当时，，，； 当时，，，. 综上，当天时，即个月时选择方案甲； 当天时，选择方案丙，即个月时选择方案丙. 一、单选题 1．（2024·全国甲卷·高考真题）已知等差数列的前项和为，若，则（    ） A． B． C．1 D． 【答案】D 【分析】可以根据等差数列的基本量，即将题目条件全转化成和来处理，亦可用等差数列的性质进行处理，或者特殊值法处理. 【详解】方法一：利用等差数列的基本量 由，根据等差数列的求和公式，， 又. 故选：D 方法二：利用等差数列的性质 根据等差数列的性质，，由，根据等差数列的求和公式， ，故. 故选：D 方法三：特殊值法 不妨取等差数列公差，则，则. 故选：D 2．（2024·全国甲卷·高考真题）记为等差数列的前项和，已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由结合等差中项的性质可得，即可计算出公差，即可得的值. 【详解】由，则， 则等差数列的公差，故. 故选：B. 3．（2026·上海·高考真题）下列数列中是等差数列也是等比数列的是（    ） A．1，，1，，1 B．1，2，3，4，5 C．5，5，5，5，5 D．1，2，3，5，7 【答案】C 【分析】设该数列为，由题可得，其中 为常数，据此推得，即得该数列为非零常数列，即可判断. 【详解】设该数列为，则该数列满足，其中. 则，因为常数，该式对任意正整数成立，则， 从而该数列为非零常数列，由选项知只有C满足题意. 故选：C 4．（2026·全国一卷·高考真题）一百零八塔位于宁夏回族自治区青铜峡市，以其独特的建筑格局和深远的历史文化闻名遐迩．该塔群共有108座塔，依山势自上而下排成12行，将第行中塔的座数记为，其中，，，且，，…，是一个首项为7，公差为2的等差数列．将，，…，分为6组，每组2个数，使得每组的2个数之和可构成一个项数为6且公差为的等差数列，则（     ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【分析】由条件求出数列的前项的和，设新数列为，设其公差为，由条件可得，结合选项判断即可. 【详解】由已知，，，，， 设新数列为，， 由已知数列为等差数列，设其公差为，， 又的前项都为奇数，所有项都为偶数， 由已知为正偶数，为正偶数， 则，故， 若，则，矛盾， 若，则，矛盾， 若，则，矛盾， 若，则，此时可取，，， ，，，满足要求. 二、多选题 5．（2026·全国二卷·高考真题）设等比数列的公比， ，，记其前项和为，则（     ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】设等比数列的公比为，根据条件列出关于的方程，求解可得的值，判断A；利用特值法可判断B；根据等比数列的前n项和公式，求得，，化简可判断C；求出，由的取值情况，结合不等式的性质，判断D. 【详解】由等比数列的公比为，则，即. 因为，所以，即. 因为，所以，所以，即，所以A正确. 因为，则，所以B错误. ， ，所以C正确. ， 当n为奇数时，； 当n为偶数时，因为；所以， 所以，即，所以D正确. 三、填空题 6．（2026·上海·高考真题）已知为等比数列，，，则__________． 【答案】 【详解】设数列的公比为，则，则. 7．（2026·北京·高考真题）已知公差为的等差数列的前项和为．若，则________，使得对所有都成立的一个的取值为________． 【答案】 （答案不唯一，满足即可） 【分析】利用等差数列前项和公式与通项公式，代入已知等式建立关于公差的方程求解；由恒成立可知为前项和的最大值，结合数列的单调性得到且，代入公差解不等式即可得到的取值范围，选取范围内任意值即可. 【详解】等差数列的前项和公式为，通项公式为. ∵ ，， ∴ . 由，得， 消去等式两侧的，整理得，解得. ∵ ，等差数列为递减数列，且恒成立， ∴ 为前项和的最大值，即数列前项非负，第项及以后非正，即 ， 代入通项公式得，解得， 取即为符合条件的一个取值. 8．（2024·北京·高考真题）设与是两个不同的无穷数列，且都不是常数列.记集合，给出下列4个结论： ①若与均为等差数列，则M中最多有1个元素； ②若与均为等比数列，则M中最多有2个元素； ③若为等差数列，为等比数列，则M中最多有3个元素； ④若为递增数列，为递减数列，则M中最多有1个元素. 其中正确结论的序号是______. 【答案】①③④ 【分析】利用两类数列的散点图的特征可判断①④的正误，利用反例可判断②的正误，结合通项公式的特征及反证法可判断③的正误. 【详解】对于①，因为均为等差数列，故它们的散点图分布在直线上， 而两条直线至多有一个公共点，故中至多一个元素，故①正确. 对于②，取则均为等比数列， 但当为偶数时，有，此时中有无穷多个元素，故②错误. 对于③，设，， 若中至少四个元素，则关于的方程至少有4个不同的正数解， 若，则由和的散点图可得关于的方程至多有两个不同的解，矛盾； 若，考虑关于的方程奇数解的个数和偶数解的个数， 当有偶数解，此方程即为， 方程至多有两个偶数解，且有两个偶数解时， 否则，因单调性相反， 方程至多一个偶数解， 当有奇数解，此方程即为， 方程至多有两个奇数解，且有两个奇数解时即 否则，因单调性相反， 方程至多一个奇数解， 因为，不可能同时成立， 故不可能有4个不同的整数解，即M中最多有3个元素， 取 ，则,故③正确. 对于④，因为为递增数列，为递减数列，前者散点图呈上升趋势， 后者的散点图呈下降趋势，两者至多一个交点，故④正确. 故答案为：①③④. 【点睛】思路点睛：对于等差数列和等比数列的性质的讨论，可以利用两者散点图的特征来分析，注意讨论两者性质关系时，等比数列的公比可能为负，此时要注意合理转化. 四、解答题 9．（2024·天津·高考真题）已知为公比大于0的等比数列，其前项和为，且． (1)求的通项公式及； (2)设数列满足，其中． （ⅰ）当时，求证：； （ⅱ）求． 【答案】(1) (2)① 由（1）可知，且， 当时，则，即 可知， ， 可得， 当且仅当时，等号成立， 所以； ② 【分析】（1）设等比数列的公比为，根据题意结合等比数列通项公式求，再结合等比数列求和公式分析求解； （2）①根据题意分析可知，，利用作差法分析证明；②根据题意结合等差数列求和公式可得，再结合裂项相消法分析求解. 【详解】（1）设等比数列的公比为， 因为，即， 可得，整理得，解得或（舍去）， 所以. （2）（i）略 （ii）由（1）可知：， 若，则； 若，则， 当时，，可知为等差数列， 可得， 所以， 且，符合上式，综上所述：. 【点睛】关键点点睛：1.分析可知当时，，可知为等差数列； 2.根据等差数列求和分析可得. 10．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）设m为正整数，数列是公差不为0的等差数列，若从中删去两项和后剩余的项可被平均分为组，且每组的4个数都能构成等差数列，则称数列是可分数列． (1)写出所有的，，使数列是可分数列； (2)当时，证明：数列是可分数列； (3)从中任取两个数和，记数列是可分数列的概率为，证明：． 【答案】(1) (2) 由于从数列中取出和后，剩余的个数可以分为以下两个部分，共组，使得每组成等差数列： ①，共组； ②，共组. （如果，则忽略②） 故数列是可分数列. (3) 定义集合，. 下面证明，对，如果下面两个命题同时成立， 则数列一定是可分数列： 命题1：或； 命题2：. 我们分两种情况证明这个结论. 第一种情况：如果，且. 此时设，，. 则由可知，即，故. 此时，由于从数列中取出和后， 剩余的个数可以分为以下三个部分，共组，使得每组成等差数列： ①，共组； ②，共组； ③，共组. （如果某一部分的组数为，则忽略之） 故此时数列是可分数列. 第二种情况：如果，且. 此时设，，. 则由可知，即，故. 由于，故，从而，这就意味着. 此时，由于从数列中取出和后，剩余的个数可以分为以下四个部分，共组，使得每组成等差数列： ①，共组； ②，，共组； ③全体，其中，共组； ④，共组. （如果某一部分的组数为，则忽略之） 这里对②和③进行一下解释：将③中的每一组作为一个横排，排成一个包含个行，个列的数表以后，个列分别是下面这些数： ，，，. 可以看出每列都是连续的若干个整数，它们再取并以后，将取遍中除开五个集合，，，，中的十个元素以外的所有数. 而这十个数中，除开已经去掉的和以外，剩余的八个数恰好就是②中出现的八个数. 这就说明我们给出的分组方式满足要求，故此时数列是可分数列. 至此，我们证明了：对，如果前述命题1和命题2同时成立，则数列一定是可分数列. 然后我们来考虑这样的的个数. 首先，由于，和各有个元素，故满足命题1的总共有个； 而如果，假设，则可设，，代入得. 但这导致，矛盾，所以. 设，，，则，即. 所以可能的恰好就是，对应的分别是，总共个. 所以这个满足命题1的中，不满足命题2的恰好有个. 这就得到同时满足命题1和命题2的的个数为. 当我们从中一次任取两个数和时，总的选取方式的个数等于. 而根据之前的结论，使得数列是可分数列的至少有个. 所以数列是可分数列的概率一定满足 . 这就证明了结论. 【分析】（1）直接根据可分数列的定义即可； （2）根据可分数列的定义即可验证结论； （3）证明使得原数列是可分数列的至少有个，再使用概率的定义. 【详解】（1）首先，我们设数列的公差为，则. 由于一个数列同时加上一个数或者乘以一个非零数后是等差数列，当且仅当该数列是等差数列， 故我们可以对该数列进行适当的变形， 得到新数列，然后对进行相应的讨论即可. 换言之，我们可以不妨设，此后的讨论均建立在该假设下进行. 回到原题，第1小问相当于从中取出两个数和，使得剩下四个数是等差数列. 那么剩下四个数只可能是，或，或. 所以所有可能的就是. （2）略 （3）略 【点睛】关键点点睛：本题的关键在于对新定义数列的理解，只有理解了定义，方可使用定义验证或探究结论. 1 学科网（北京）股份有限公司 $