专题6.1 数列之等差数列与等比数列 讲义-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习讲义聚焦数列专题，系统覆盖等差与等比数列的定义、公式、性质及前n项和最值等核心考点，按概念-性质-应用逻辑分层架构，通过知识点梳理、典例精讲、分层练习的教学环节，帮助学生构建知识网络，突破解题难点。 资料突出核心素养导向，如通过等差数列性质“m+n=s+t则a_m+a_n=a_s+a_t”的推导与应用培养数学思维，借助前n项和最值的函数法与通项分析法发展数学眼光，设置基础到综合的分层练习保障复习效果，助力学生高效掌握解题技巧，为教师把控复习节奏提供系统指导。

专题06数列高考专项复习 专题6.1 等差数列和等比数列 6.1.1 等差数列 1.等差数列定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示.用递推公式表示为. 2.等差数列的单调性：d>0为递增数列，d=0为常数列，d<0为递减数列. 3.等差数列的通项公式： ①；②. 4.等差中项的概念：如果a,A,b成等差数列，那么A叫做a与b的等差中项,其中. 5.等差数列的前n项和公式： ①，已知首项和末项；②，已知首项是，公差是d. 例1.记等差数列的前n项和为，若，，则 ． 例2.设为等差数列的前n项和，若，，则（  ） A．-12 B．-10 C．10 D．12 例3.记为等差数列的前n项和，，，则= . 例4.已知数列是等差数列，是其前n项和.若，，则的值是 . 1.等差数列，，，则公差为 . 2.设等差数列的前n项和为，，则= . 3.设等差数列的前n项和为，，，则= . 4.等差数列中，，，求最大时的值. 5.设等差数列的前n项和为，且，则 . 6.记为等差数列的前n项和，若，，则 . 7.设等差数列的前n项和为，若，，则的最大值为 ． 8.设是等差数列，且，，则的通项公式为 ． 9.已知等差数列的前n项和为，，，若，则n的值为（  ） A．8 B．9 C．10 D．11 10.记为等差数列的前n项和．已知，，则（    ） A． B． C． D． 11.已知等差数列前9项的和为27，，则（  ） A．100 B．99 C．98 D．97 12.记为等差数列的前n项和．若，，则的公差为（  ） A．1 B．2 C．4 D．8 6.1.2 等差数列的性质 1.等差数列中：从第2项起，每一项是它相邻二项的等差中项. 2.等差数列中：若，且，则. 特殊地，时，则，是的等差中项. 3.等差数列中，（）构成以md为公差的等差数列. 4.等差数列中，是其前n项和：则成等差数列，公差为n2d. 5.若数列是等差数列,则仍为等差数列. 6.两个等差数列与的和差的数列仍为等差数列. 7.数列是等差数列的充要条件是. 8.设S偶与S奇分别为该数列的所有偶数之和与所有奇数项之和，则有： （1）若共有2n-1项（为中间项），则，S奇-S偶=，. （2）若共有2n项（和为中间项），则，S偶-S奇=，. 9.若与为等差数列，且前n项和分别为与，则. 例1.在等差数列中，若，则 . 例2.设为等差数列的前n项和，若，则等于（ ） A． B． C． D． 例3.在等差数列中，，其前n项和为，若，则 . 例4.若一个等差数列的前3项和为34，最后3项和为146，且所有项的和为390，则该数列的项数为 . 例5.（1）已知等差数列共有2n+1项，其中奇数项的和为290，偶数项的和为261，求. （2）一个等差数列的前12项之和为354，前12项中的偶数项之和与奇数项之和的比为32:27，求该等差数列的公差. 1.记为等差数列的前n项和，已知，=1，则=（  ） A． B． C． D． 2.记为等差数列的前n项和．若，，则（ ） A．25 B．22 C．20 D．15 3.已知等差数列的前n项和为，若，则（  ） A．-2 B． C．1 D． 4.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若S4＝9，S12＝6，则S8＝（　　） A． B． C．10 D．11 5.等差数列{an}共 8 项，形式项，中间两项，公差，全部项和，，则 ，= . 6.等差数列{an}，已知，求；若，则= . 7.等差数列{an}、{bn}前项和分别为，且，则= . 8.已知等差数列{an}，若，则前10项和= . 若，求前12项和= . 9.已知数列是等差数列，若，且，则k= . 10.已知为等差数列，为其前n项和，若，，则 . 11.已知数列为等差数列，其前10项和，前100项的和，则前110项的和 . 12.已知等差数列的前n项和为，且，则 . 13.已知等差数列，的前n项和分别为，，若对任意的正整数n，都有，则 . 14.等差数列，若，求；已知，求，. 6.1.3 等差数列前n和的最值的方法 1.函数性质法：利用基本初等函数的图像及图像的变换或函数增减性等来求最值. 2.通项公式分析法： （1）若恒成立，则单调递增，最小；若恒成立，则单调递减，最大. （2）若，则先减后增，则其有最小值（所有的负项或非正项的和）. 若，则先增后减，则其有最大值（所有的正项或非负项的和）. 4.函数求导法：由于数列是特殊的函数，我们也可对于其通项公式对应的函数求导来研究其 单调性和最值. 例1.（多选题）设等差数列的前n项和为，且.若，则（　　） A．的最大值是 B．的最小值是 C． D． 例2.设等差数列的前n项和为，且满足，，则，，，…，中最大的项为（ ） A． B． C． D． 例3.已知等差数列5，，，…的前n项和为，当取到最值时，求n的值. 例4.若{an}是等差数列，首项a1＞0，a23+a24＞0，a23•a24＜0，则使前n项和Sn＞0成立的最大自然数n是（　　） A．46 B．47 C．48 D．49 1.已知等差数列{an}，首项，公差，使用通项分析法求取最大值时的正整数，则的最大值为 . 2.等差数列{an}，，公差，则当= ，取最小值为 . 3.等差数列{an}中，，则最大时对应的为 . 4.等差数列{an}满足，，，则取最大值时的为 . 5.等差数列前项和，最大值为 ，此时为 . 6.若等差数列满足，，则当n= 时，的前n项和最大． 7.设等差数列{an}的前n项和为Sn，若=−3，=−10，则= ，Sn的最小值为 ． 8.已知等差数列的前n项和为，，，则的最小值为（　　） A．-99 B．-100 C．-110 D．-121 9.在等差数列{an}中，d<0，，求当取到最值时n的值. 10.在等差数列{an}中，，，求当取到最值时n的值. 11.等差数列{an}，，，判断是否存在最大值，若存在求出对应. 12.等差数列前项和. (1) 用求导拓展法找到极值点，确定最小值对应的； (2) 用通项分析法验证最小值. 6.1.4 等比数列的概念和基本公式 1.如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项之比等于同一个常数，这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，用q表示 ( q≠0). 2.等比数列的通项公式为( q≠0)或. 3.如果成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项，且. 4.等比数列的前n项和公式：. 5.（k≠0，q≠1），为关于的指数型函数，且系数与常数互为相反数. 例1.已知等比数列{an}公比为，前n项和为Sn，且满足，则下列说法正确的是（  ） A． B． C． D． 例2.已知等比数列{an}的前n项和为Sn，则下列结论一定成立的是（  ） A．若，则 B． C．若，则 D． 例3.已知各项均为正数的等比数列{an}的前4项和为15，且，则（  ） A．16 B．8 C．4 D．2 例4.设等比数列{an}的公比为q，对任意的n∈N*，均有前n项和为，公比q的取值范围是 . 1.等比数列{an}满足，.则数列通项= ；则该数列前 7 项和= . 2.三个实数成等比数列，已知首项，则= ；再求以为前 3 项的等比数列前 5 项和= . 3.等比数列{an}，，前 3 项和，则公比= . 4.等比数列{an}中，，，则前 6 项和= . 5.在正项等比数列{an}中，已知公比，且，则等于 . 6.等比数列{an}的各项均为实数，其前n项和为Sn，已知 ，，则= ． 7.设等比数列{an}的各项均为正数，前n项和为Sn，若，，则 . 8.设等比数列{an}满足a1+a3=10，a2+a4=5，则a1a2…an的最大值为 ． 9.已知等比数列{an}的前3项和为168，，则（  ） A．14 B．12 C．6 D．3 10.在等比数列{an}中，a2+a4＝1，a7+a9＝﹣16，则（　　） A．﹣4 B．8 C．﹣16 D．16 11.已知{an}是等比数列，Sn是数列{an}的前n项和，，则a4的值为（  ） A．3 B．18 C．54 D．152 12.已知等比数列前项和. (1) 求首项与公比； (2) 写出数列通项公式. 6.1.5 等比数列的常用性质 1.一般地，在等比数列{an}中， （1）若m＋n＝s＋t，则有am·an＝as·at(m，n，s，t∈N*). （2）若m＋n＝2k，则am·an＝a(m，n，k∈N*). 2.，，，…构成以为公比的等比数列. 3.数列{an}是等比数列的充要条件是（k≠0，q≠0），数与常数互为相反数. 4.数列{an}为公比为q（q≠－1）的等比数列，Sn为其前n项和，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…构成以为公比的等比数列. 5.若{an}，{bn}为等比数列，则{anbn}也为等比数列. 6.等比数列的单调性 （1）当q=1时，{an}是常数列。 （2）当q<0时，{an}是摆动数列. （3）当q>1，或0<q<1，时，{an}是递减数列。 （4）当q>1，或0<q<1，时，{an}是递增数列。 例1.在等比数列{an}中，如果a1+a2+a3＝24，a3+a4+a5＝48，那么a7+a8+a9＝（　　） A．124 B．144 C．168 D．192 例2.设Sn是等比数列{an}的前n项和，若S3＝4，a4+a5+a6＝6，则（　　） A． B． C． D． 例3.记Sn为等比数列{an}的前n项和，若S4＝-5，S6＝21S2，则S8＝（　　） A．120 B．85 C．-85 D．-120 例4.在等比数列{an}中， （1）S2＝30，S3＝155，求Sn； （2）a1+a3＝10，a4+a6，求S5； （3）an＞0，Sn＝80，S2n＝6560，前n项中最大的一项为54，求a1，q． 1.等比数列{an}中，，求；若，则= . 2.已知等比数列（）前项和，则常数的值为 . 3.等比数列{an}，，已知，，则= . 4.等比数列{an}，，则= ；若，，则= . 5.已知{an}为等比数列，，，则 . 6.已知数列{an}是递增的等比数列，，，则数列{an}的前n项和等于 . 7.设Sn是等比数列{an}的前n项和，若，则 . 8.已知数列{an}为正项等比数列，若，，则 . 9.若等比数列{an}的各项均为正数，且a10a11+a9a12=2e5，则lna1+lna2+…+lna20= . 10.记Sn为公比大于1的等比数列{an}的前n项和，若，，则 S6＝　 　． 11.已知等比数列{an}的前n项和为Sn，若S4＝1，S8＝17，则S12的值为（　　） A．81 B．145 C．256 D．273 12.数列{an}是各项均为正数的等比数列，{bn}是等差数列，且，则有（  ） A． B． C． D．与的大小不确定 13.等比数列{an}中，，，则数列的前8项和等于（  ） A．6 B．5 C．4 D．3 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06数列高考专项复习 专题6.1 等差数列和等比数列 6.1.1 等差数列 1.等差数列定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示.用递推公式表示为. 2.等差数列的单调性：d>0为递增数列，d=0为常数列，d<0为递减数列. 3.等差数列的通项公式： ①；②. 4.等差中项的概念：如果a,A,b成等差数列，那么A叫做a与b的等差中项,其中. 5.等差数列的前n项和公式： ①，已知首项和末项；②，已知首项是，公差是d. 例1.记等差数列的前n项和为，若，，则 ． 解：∵等差数列的前n项和为，若，， ∴，解得：，，所以.故答案为：14. 例2.设为等差数列的前n项和，若，，则（  ） A．-12 B．-10 C．10 D．12 解：设等差数列的公差为d， ∵，，∴，即，解得：d=-3， ∴.故选：B. 例3.记为等差数列的前n项和，，，则= . 解：设等差数列的公差为d，则由，可得：， ∴.故答案为：4. 例4.已知数列是等差数列，是其前n项和.若，，则的值是 . 解：设等差数列的首项为，公差为d， 则，解得.∴. 故答案为：16. 1.等差数列，，，则公差为 . 解：，.故答案为：. 2.设等差数列的前n项和为，，则= . 解：，.故答案为：. 3.设等差数列的前n项和为，，，则= . 解：成等差，，， 故答案为：. 4.等差数列中，，，求最大时的值. 解：由题意得：，，令，.故答案为： 5.设等差数列的前n项和为，且，则 . 解：∵，∴，， ∴，解得：.故答案为：. 6.记为等差数列的前n项和，若，，则 . 解：设等差数列的公差为d,由，得，解得：， 所以S10=10a1+45d=-40+135=95．故答案为：95． 7.设等差数列的前n项和为，若，，则的最大值为 ． 解：∵，，∴，则，∴.所以的最大值为4. 8.设是等差数列，且，，则的通项公式为 ． 解：等差数列中，由，，得2a1+5d=6+5d=36，∴d=6． ∴an=3+6（n-1）=6n-3. 9.已知等差数列的前n项和为，，，若，则n的值为（  ） A．8 B．9 C．10 D．11 解：由，，得，解得：. 则等差数列的公差d=2,∴，， ∵，得，解得：n=9.故选：B. 10.记为等差数列的前n项和．已知，，则（    ） A． B． C． D． 解：由题意可得：，解得：，∴.故选：A. 11.已知等差数列前9项的和为27，，则（  ） A．100 B．99 C．98 D．97 解：由已知得：，解得：，，所以. 故选：C. 12.记为等差数列的前n项和．若，，则的公差为（  ） A．1 B．2 C．4 D．8 解：等差数列的公差设为d,由a4+a5=24，S6=48， 可得2a1+7d=24，6a1+×6×5d=48，解得d=4，a1=-2，故答案为：4． 6.1.2 等差数列的性质 1.等差数列中：从第2项起，每一项是它相邻二项的等差中项. 2.等差数列中：若，且，则. 特殊地，时，则，是的等差中项. 3.等差数列中，（）构成以md为公差的等差数列. 4.等差数列中，是其前n项和：则成等差数列，公差为n2d. 5.若数列是等差数列,则仍为等差数列. 6.两个等差数列与的和差的数列仍为等差数列. 7.数列是等差数列的充要条件是. 8.设S偶与S奇分别为该数列的所有偶数之和与所有奇数项之和，则有： （1）若共有2n-1项（为中间项），则，S奇-S偶=，. （2）若共有2n项（和为中间项），则，S偶-S奇=，. 9.若与为等差数列，且前n项和分别为与，则. 例1.在等差数列中，若，则 . 解：由，得到=5，则．故答案为：10． 例2.设为等差数列的前n项和，若，则等于（ ） A． B． C． D． 解：∵为等差数列的前n项和，所以，，成等差数列，. 又∵，设，，∴，则，∴.故选：D. 例3.在等差数列中，，其前n项和为，若，则 . 解：设等差数列的前n项和为，则，∴是等差数列. 因为，所以的公差为1，又，∴，∴. 故答案为：2022. 例4.若一个等差数列的前3项和为34，最后3项和为146，且所有项的和为390，则该数列的项数为 . 解：不妨设该数列为，则a1+a2+a3=34，an+an-1+an-2=146，Sn=390， 故3（a1+an）=34+146=180，可得a1+an=60， 故，解得n=13，即这个数列的项数为13. 故答案为：13． 例5.（1）已知等差数列共有2n+1项，其中奇数项的和为290，偶数项的和为261，求. （2）一个等差数列的前12项之和为354，前12项中的偶数项之和与奇数项之和的比为32:27，求该等差数列的公差. 解：（1）∵，，∴. （2）∵，，∴=354且. 解得：=27，.∴公差. 1.记为等差数列的前n项和，已知，=1，则=（  ） A． B． C． D． 解：∵，∴，解得：， 又∵=1，∴公差，故.故选：B. 2.记为等差数列的前n项和．若，，则（ ） A．25 B．22 C．20 D．15 解：∵，，∴，，∴，则， ∴. 故选：C. 3.已知等差数列的前n项和为，若，则（  ） A．-2 B． C．1 D． 解：根据等差数列求和公式：，∴.故答案为：. 4.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若S4＝9，S12＝6，则S8＝（　　） A． B． C．10 D．11 解：等差数列{an}的前n项和为Sn，S4＝9，S12＝6， 由题知S4，S8﹣S4，S12﹣S8成等差数列，即9，S8﹣9，6﹣S8成等差数列， 即2（S8﹣9）＝9+6﹣S8，解得S8＝11．故选：D． 5.等差数列{an}共 8 项，形式项，中间两项，公差，全部项和，，则 ，= . 解：，；，；联立，解得；.故答案为：. 6.等差数列{an}，已知，求；若，则= . 解：等差中项性质，，故；，，得.故答案为：. 7.等差数列{an}、{bn}前项和分别为，且，则= . 解析：性质，，；.故答案为： 8.已知等差数列{an}，若，则前10项和= . 若，求前12项和= . 解：，，；.故答案为：. 9.已知数列是等差数列，若，且，则k= . 解：∵，，则，， 解得：，，设等差数列的公差为d，则， ∵，∴，即，解得：. 故答案为：18. 10.已知为等差数列，为其前n项和，若，，则 . 解：∵为等差数列，又，∴，又，∴， ∴. 故答案为：6. 11.已知数列为等差数列，其前10项和，前100项的和，则前110项的和 . 解：∵数列，，，…，，成等差数列，设其公差为d.则数列的前100项的和与上述新数列的前10项和相等，即： ，解得d=-22，∴，∴. 故答案为：-110. 12.已知等差数列的前n项和为，且，则 . 解：由，得：，则. 故答案为：12. 13.已知等差数列，的前n项和分别为，，若对任意的正整数n，都有，则 . 解：因为，又，∴.故答案为：. 14.等差数列，若，求；已知，求、. 解析：，，；成等差，；设，，解得. 6.1.3 等差数列前n和的最值的方法 1.函数性质法：利用基本初等函数的图像及图像的变换或函数增减性等来求最值. 2.通项公式分析法： （1）若恒成立，则单调递增，最小；若恒成立，则单调递减，最大. （2）若，则先减后增，则其有最小值（所有的负项或非正项的和）. 若，则先增后减，则其有最大值（所有的正项或非负项的和）. 4.函数求导法：由于数列是特殊的函数，我们也可对于其通项公式对应的函数求导来研究其 单调性和最值. 例1.（多选题）设等差数列的前n项和为，且.若，则（　　） A．的最大值是 B．的最小值是 C． D． 解：由可得：，整理得：， ∴等差数列是递增数列，∵，∴，，且， ∴的最小值是，且，.故选：BCD. 例2.设等差数列的前n项和为，且满足，，则，，，…，中最大的项为（ ） A． B． C． D． 解：在等差数列中，∵，，∴，， ∴，，∴. 由此可知数列为递减数列，因此，，…，为正，，，…为负，则，，…，为正，，，…为负，则：，，…，，，，…，. 又∵，，∴最大.故选：C. 例3.已知等差数列5，，，…的前n项和为，当取到最值时，求n的值. 解：解法一：由已知可得：，，所以. 当n=7或8时，取到最大值. 解法二：∵，， ∴.又∵，， ∴前n项和有最大值，又，，. ∴当n=7或8时，取到最大值. 例4.若{an}是等差数列，首项a1＞0，a23+a24＞0，a23•a24＜0，则使前n项和Sn＞0成立的最大自然数n是（　　） A．46 B．47 C．48 D．49 解：∵{an}是等差数列，并且a1＞0，a23+a24＞0，a23•a24＜0 可知{an}中，a23＞0，a24＜0，∴a1+a46＝a23+a24＞0 故使前n项和Sn＞0成立的最大自然数n是46，故选：A． 1.已知等差数列{an}，首项，公差，使用通项分析法求取最大值时的正整数，则的最大值为 . 解：，数列单调递减，存在最大值. 通项公式： 列不等式组，找到最后一个非负项：为正整数，故；. 代入求和公式：.故答案为：最大值为. 2.等差数列{an}，，公差，则当= ，取最小值为 . 解：，数列单调递增，存在最小值. 通项：正整数；. .故答案为：，最小值为. 3.等差数列{an}中，，则最大时对应的为 . 解：由通项推广，代入得：； ；通项； 正整数.故答案为：. 4.等差数列{an}满足，，，则取最大值时的为 . 解：，乘积说明两项一正一负； 结合，得； 数列单调递减，最后一个正数项为，故时最大.故答案为：. 5.等差数列前项和，最大值为 ，此时为 . 解：，，抛物线开口向下，存在最大值； 对称轴公式，为整数；. 故答案为：，最大值为. 6.若等差数列满足，，则当n= 时，的前n项和最大． 解：由等差数列的性质可得：，又∵，∴， ∴，∴，.∴数列的前8项和最大.故答案为：8. 7.设等差数列{an}的前n项和为Sn，若=−3，=−10，则= ，Sn的最小值为 ． 解：等差数列{an}中，，得：，又=−3， ∴公差，∴， 有等差数列性质可得：时，an≤0，时，an>0，∴Sn的最小值为S4或S5，即为-10.故答案为：-10. 8.已知等差数列的前n项和为，，，则的最小值为（　　） A．-99 B．-100 C．-110 D．-121 解：设的公差为d，∵，，可得，解得：d=2. ∴，可得：， ∴当n=11时，取最小值为.故选：D. 9.在等差数列{an}中，d<0，，求当取到最值时n的值. 解：由得：. ∵，所以，，.∴当n=16或17时，取到最大值. 10.在等差数列{an}中，，，求当取到最值时n的值. 解：由，可得：.∴且为递减数列. ∵，.∴当n=5时，取到最大值. 11.等差数列{an}，，，判断是否存在最大值，若存在求出对应. 解：成等差数列； 片段和公差，又片段和公差（此处）； ； 代入； 通项，令，得，； ，故或时相等且最大. 12.等差数列前项和. (1) 用求导拓展法找到极值点，确定最小值对应的； (2) 用通项分析法验证最小值. 解：(1) 拓展连续函数，求导； 令，，距离最近正整数. (2) 由二次式得，； 通项； ，； . 6.1.4 等比数列的概念和基本公式 1.如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项之比等于同一个常数，这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，用q表示 ( q≠0). 2.等比数列的通项公式为( q≠0)或. 3.如果成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项，且. 4.等比数列的前n项和公式：. 5.（k≠0，q≠1），为关于的指数型函数，且系数与常数互为相反数. 例1.已知等比数列{an}公比为，前n项和为Sn，且满足，则下列说法正确的是（  ） A． B． C． D． 解：∵等比数列{an}公比为，且满足，∴，解得：，故C错误； 又，∴，故D正确； 又，，所以，故B错误； 又，，，故不成立，故A错误. 故选：D. 例2.已知等比数列{an}的前n项和为Sn，则下列结论一定成立的是（  ） A．若，则 B． C．若，则 D． 解：当时，则，∵与同号，∴.故选：C. 例3.已知各项均为正数的等比数列{an}的前4项和为15，且，则（  ） A．16 B．8 C．4 D．2 解：设正数的等比数列{an}的公比为q，则由题意可得：， 解得：，，∴.故选：C. 例4.设等比数列{an}的公比为q，对任意的n∈N*，均有前n项和为，公比q的取值范围是 . 解：∵{an}是等比数列，，可以得到：，q≠0. 当q=1时，. 当q≠1时，，即，可转化为：①或② 解不等式组①得：；解不等式组②得：且q≠0； 综上，q的取值范围是（-1，0）∪（0，+∞）.故答案为：（-1，0）∪（0，+∞）. 1.等比数列{an}满足，.则数列通项= ；则该数列前 7 项和= . 解：由：通项：， (2) ，代入求和公式：. 故答案为：；. 2.三个实数成等比数列，已知首项，则= ；再求以为前 3 项的等比数列前 5 项和= . 解：∵是的等比中项，故，代入：， 数列为，，. 故答案为：，. 3.等比数列{an}，，前 3 项和，则公比= . 解：分两类讨论： ① 当时，，满足条件； ② 当时，，化简：. 解得（舍去）或.综上，或. 故答案为： 或 . 4.等比数列{an}中，，，则前 6 项和= . 解：∵，代入：. 首项，. 故答案为：. 5.在正项等比数列{an}中，已知公比，且，则等于 . 解：∵，∴， ∴. 6.等比数列{an}的各项均为实数，其前n项和为Sn，已知 ，，则= ． 解：由 ，可得： ，， 两式相除得：，，，代入得：，∴.故答案为：32. 7. 设等比数列{an}的各项均为正数，前n项和为Sn，若，，则 . 解：由题意可知：，即， 即，即.由题意可知：，所以. ∴.故答案为：15. 8.设等比数列{an}满足a1+a3=10，a2+a4=5，则a1a2…an的最大值为 ． 解：设等比数列{an}的公比为q，由得：，解得：，. ∴a1a2…an=， ∴当n=3或4时，a1a2…an的最大值为. 9.已知等比数列{an}的前3项和为168，，则（  ） A．14 B．12 C．6 D．3 解：设等比数列{an}的公比为，若，则，所以， 则，解得：，.∴.故选：D. 10.在等比数列{an}中，a2+a4＝1，a7+a9＝﹣16，则（　　） A．﹣4 B．8 C．﹣16 D．16 解：设等比数列{an}的公比为q， 则，即q5＝﹣16， ∴．故选：C． 11.已知{an}是等比数列，Sn是数列{an}的前n项和，，则a4的值为（  ） A．3 B．18 C．54 D．152 解：∵，∴当时，， 两式相减可得：，即：， 即，∴的公比是3. 令n=1，，又，结合两式可解得：. 所以.故选：C. 12.已知等比数列前项和. (1) 求首项与公比； (2) 写出数列通项公式. 解：(1) 令，； 时，： 取，，公比. (2) 验证：，因此通项对所有成立，. 6.1.5 等比数列的常用性质 1.一般地，在等比数列{an}中， （1）若m＋n＝s＋t，则有am·an＝as·at(m，n，s，t∈N*). （2）若m＋n＝2k，则am·an＝a(m，n，k∈N*). 2.，，，…构成以为公比的等比数列. 3.数列{an}是等比数列的充要条件是（k≠0，q≠0），数与常数互为相反数. 4.数列{an}为公比为q（q≠－1）的等比数列，Sn为其前n项和，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…构成以为公比的等比数列. 5.若{an}，{bn}为等比数列，则{anbn}也为等比数列. 6.等比数列的单调性 （1）当q=1时，{an}是常数列。 （2）当q<0时，{an}是摆动数列. （3）当q>1，或0<q<1，时，{an}是递减数列。 （4）当q>1，或0<q<1，时，{an}是递增数列。 例1.在等比数列{an}中，如果a1+a2+a3＝24，a3+a4+a5＝48，那么a7+a8+a9＝（　　） A．124 B．144 C．168 D．192 解：等比数列{an}中，如果a1+a2+a3＝24，a3+a4+a5＝（a1+a2+a3）q2＝48， 则24q2＝48，得q2＝2，又．故选：D． 例2.设Sn是等比数列{an}的前n项和，若S3＝4，a4+a5+a6＝6，则（　　） A． B． C． D． 解：∵Sn是等比数列{an}的前n项和，S3＝4，a4+a5+a6＝6，∴S6＝4+6＝10， ∵{an}是等比数列，∴S3，S6﹣S3，S9﹣S6是等比数列， ∴（S9﹣S6）•S3＝（S6﹣S3）2，解得S9﹣S6＝9，∴S9＝9+6+4＝19，∴．故选：B． 例3.记Sn为等比数列{an}的前n项和，若S4＝-5，S6＝21S2，则S8＝（　　） A．120 B．85 C．-85 D．-120 解：设等比数列{an}的公比为q，首项为， 若q=-1，则S4＝0，与题意不符；若q=1，则S6＝6=3×2=3S2，与题意不符. ∴由S4＝-5，S6＝21S2可得：，解得：， ∴.故答案为：C. 例4.在等比数列{an}中， （1）S2＝30，S3＝155，求Sn； （2）a1+a3＝10，a4+a6，求S5； （3）an＞0，Sn＝80，S2n＝6560，前n项中最大的一项为54，求a1，q． 解：（1）S2＝30，S3＝155， ∴公比q≠1，，解得a1＝q＝5，或，a1＝180． ∴Sn或Sn． （2）∵a1+a3＝10，a4+a6，∴，解得， ∴S5． （3）an＞0，Sn＝80，S2n＝6560，设公比为q≠1．则80，6560， 可得qn＝81，a1＝q﹣1． （q﹣1）＝8154，可得q≤3． ∵an＞0，∴1＜q≤3．解得a1＝2，q＝3，n＝4，满足前n项中最大的一项为54． 1.等比数列{an}中，，求；若，则= . 解：，故；，故，开方得. 故答案为：，. 2.已知等比数列（）前项和，则常数的值为 . 解：性质 ：，指数项系数与常数项互为相反数；原式常数项为，因此；验证：，完全符合标准形式.故答案为：5. 3.等比数列{an}，，已知，，则= . 解： 成等比数列；，，设； 由等比中项：，解得；. 故答案为： 4.等比数列{an}，，则= ；若，，则= . 解：，； 成等比，即；等比中项：，即. 故答案为：，. 5.已知{an}为等比数列，，，则 . 解：设等比数列{an}的公比为q，则，则，即，则. 又∵，则，则，则，则. 故答案为：-2. 6.已知数列{an}是递增的等比数列，，，则数列{an}的前n项和等于 . 解：由题意：，，由两式可解得，或，， 而数列{an}是递增的等比数列，所以，，即，∴， ∴前n项和为：.故答案为：. 7.设Sn是等比数列{an}的前n项和，若，则 . 解：设等比数列{an}的公比为q，∵，， ∴，所以，， ∴. ∴.故答案为：. 8.已知数列{an}为正项等比数列，若，，则 . 解：由 ∴，又，∴.故答案为：. 9.若等比数列{an}的各项均为正数，且a10a11+a9a12=2e5，则lna1+lna2+…+lna20= . 解：由等比数列的性质得：a10a11=a9a12，∴a10a11=. 所以lna1+lna2+…+lna20=50.故答案为：50. 10.记Sn为公比大于1的等比数列{an}的前n项和，若，，则 S6＝　 　． 解：设等比数列{an}的公比为q，由，得，即， 由，得，即2q2﹣5q+2＝0， 解得q＝2或（舍去），所以，所以．故答案为：． 11.已知等比数列{an}的前n项和为Sn，若S4＝1，S8＝17，则S12的值为（　　） A．81 B．145 C．256 D．273 解：根据题意，因为数列{an}是等比数列，则有（S8﹣S4）2＝S4×（S12﹣S8）， 又由S4＝1，S8＝17，所以S8﹣S4＝16，所以， 所以S12＝256+17＝273．故选：D． 12.数列{an}是各项均为正数的等比数列，{bn}是等差数列，且，则有（  ） A． B． C． D．与的大小不确定 解：∵.故选：B. 13.等比数列{an}中，，，则数列的前8项和等于（  ） A．6 B．5 C．4 D．3 解：在等比数列{an}中，，，∴. ∴.故选：C. 1 学科网（北京）股份有限公司 $