期中复习专题2——综合运算与推理证明- 2026-2027学年浙教版九年级数学上册

期中复习专题2——综合运算与推理证明 （浙教版九年级上册：期中核心综合考点） 目录 一、专题定位 1 二、核心考点梳理 2 三、必考、常考题型 2 题型1：求二次函数解析式 2 题型2：二次函数增减性、最值分析 5 题型3：二次函数图像平移、交点综合 11 题型4：二次函数面积、利润实际应用 16 题型5：画树状图、列表法求概率 21 题型6：放回与不放回试验概率辨析 27 题型7：垂径定理+勾股定理弦长半径计算 30 题型8：圆周角定理及推论角度综合计算 35 题型9：圆内接四边形性质应用计算 41 题型10：圆心角、弧、弦关系证明 45 题型11：二次函数与圆结合坐标、线段综合计算 51 题型12：圆背景下建立二次函数模型求解线段最值中档 59 一、专题定位 本专题整合第1章 二次函数、第2章 随机事件的概率、第3章 圆的基本性质三章中档核心重难点，兼顾单章节综合运用、推理证明、运算求解与简单实际建模，同时融入跨章节联动中档试题。重点规范学生代数计算、几何证明解题步骤，落实二次函数图像性质与解析式求解、概率树状图与列表法、圆的垂径定理、圆周角定理综合计算与证明等核心考点。培养学生函数图像分析、几何推理与数形转化思维，解决中档题型思路混乱、步骤疏漏、知识割裂的高频失分问题。适配期中第二轮专题复习、课堂专项讲练、中档题型限时训练、阶段性检测组卷，是提升期中解答题得分率的核心专题。 二、核心考点梳理 章节 核心考点 二次函数 求二次函数解析式（一般式、顶点式）；抛物线增减性、最值分析；二次函数图像平移变换；抛物线与坐标轴交点求解；二次函数简单实际应用（面积、利润模型） 随机事件的概率 列表法、画树状图求两步及以上事件概率；放回与不放回试验辨析；利用概率进行简单判断；频率与概率关系综合问题 圆的基本性质 垂径定理结合勾股定理求弦长、半径；圆周角定理及其推论综合角度计算；圆心角、弧、弦之间的关系证明；圆内接四边形性质应用；弧长基础计算 跨章节中档综合 二次函数结合圆背景求坐标、线段长度；圆中几何计算结合二次函数建模；概率与函数背景结合简单综合问题 三、必考、常考题型 题型1：求二次函数解析式 1.（26-27九年级上·河南安阳·阶段检测）求二次函数的解析式 （1）经过三点的二次函数的解析式． （2）二次函数的图象的顶点为，与y轴交于点，则该二次函数的解析式． 【答案】（1）；（2） （1）解：∵二次函数图象经过， ∴设二次函数的解析式为， 把代入得 解得 ∴二次函数的解析式为． （2）∵二次函数的图象的顶点为， ∴设二次函数的解析式为， 把代入得 解得 ∴二次函数的解析式为． 2.（26-27九年级上·福建福州·阶段检测）已知二次函数经过点，且函数最大值为4，则a的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据待定系数法求得解析式即可求解． 解：∵二次函数经过点，且函数最大值为4， ∴且． 解得． 3.（24-25九年级上·浙江杭州·期末）已知抛物线的对称轴是直线，且经过点，则该抛物线的函数表达式是__________． 【答案】 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，待定系数法求二次函数解析式，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．根据抛物线的对称轴是直线，且经过点，建立方程组求解，即可解题． 解：抛物线的对称轴是直线，且经过点， ， 解得， 则该抛物线的函数表达式是， 故答案为：． 4.（26-27九年级上·安徽亳州·阶段检测）已知抛物线顶点的纵坐标为1，与轴交于点，，求该抛物线的函数表达式． 【答案】 解：由题意设该抛物线的函数表达式为， 即， 抛物线顶点的纵坐标为， ， ∵， ∴ ， 该抛物线的函数表达式为． 题型2：二次函数增减性、最值分析 1.（25-26九年级上·吉林长春·期末）在平面直角坐标系中，抛物线（为常数）． （1）当抛物线经过点时，求的值 （2）当时， ①若随的增大而减小，则的取值范围为______． ②若，则函数的最大值为______，最小值为______． ③若，，则的取值范围是______． （3）当时，若函数（为常数）的图象与直线只有一个交点时，请直接写出的取值范围． 【答案】（1）；（2）①；②10，1；③；（3）， 【分析】（1）把代入，求解即可； （2）①把代入得，①当时，函数值随的增大而减小；②当时，，当时，，函数的最大值为10，最小值为1；③根据二次函数的性质可得； （3）根据，得出抛物线的顶点坐标为，分两种情况：直线经过顶点，②当，即或时，则，求出答案即可． （1）解：∵抛物线经过点， ∴， 解得：； （2）解：当时，， ∴顶点坐标为：，对称轴为直线， ①当时，函数值随的增大而减小， 故答案为：； ②当时，， 当时，， ∵， 函数的最大值为10，最小值为1， 故答案为：10，1； ③当时，， 当时，， ∵若，， ∴， 故答案为：； （3）解：， ∴抛物线的顶点坐标为， 当时，若函数（为常数）的图象与直线只有一个交点， ①直线经过顶点， ∴， 解得：（舍去）或， ②当，即或时， 由， 解得：，， 则， 解得：， 综上所述：或． 【点拨】本题考查二次函数的图象和性质，二次函数的最值，将交点个数问题转化为不等式是求解本题的关键． 2.（2025·陕西西安·二模）已知二次函数（是常数，且），当时，随的增大而减小，当时，的最小值是，则的值为（   ） A．4 B．或1 C． D．1 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的图象及性质，根据题意得出抛物线的对称轴为直线，再根据当时，随的增大而减小，得，再根据抛物线的增减性得当时，，代入抛物线解析式求值即可． 解：， ∴二次函数的对称轴为直线， ∵当时，随的增大而减小， ∴， ∵当时，的最小值是，在对称轴的右边，此时随的增大而增大， ∴当时，， ∴， 解得或（舍去）， 即的值为1． 故选：D． 3.（25-26九年级下·湖北武汉·期中）函数（b为常数）有下列结论：①无论b为何值，该函数图象过定点；②若，则当时，y随x增大而减小；③该函数图象关于y轴对称；④当时，该函数的最小值是．其中正确的结论是______________．（填写序号） 【答案】①③④ 【分析】函数，所以函数图象关于y轴对称，故③正确．当时，，故①正确．当时，函数为，再结合函数图象可得②错误，同理可通过图象得到④正确． 解：∵函数 ∴函数图象关于y轴对称，故③正确； 当时，， ∴该函数图象过定点，故①正确； 当时，函数为 又函数开口向上，所以当时，y随x增大而增大，当时， y随x增大而减小； 又函数图象关于y轴对称，所以所以当时，y随x增大而增大，当时， y随x增大而减小； 综上②错误． 函数，又，则， ∴当时，函数有最小值为．故④正确 故答案为：①③④ 【点拨】本题主要考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象是解题的关键． 4.（25-26八年级下·浙江杭州·阶段检测）在直角坐标系中，已知抛物线的表达式为． （1）求抛物线的顶点坐标，并直接写出当满足什么条件时，随的增大而增大． （2）当时，函数的最大值与最小值之和为，求的值． 【答案】（1）顶点坐标为，当时，随的增大而增大.；（2）的值为或. 【分析】（1）把二次函数解析式化成顶点式即可求解； （2）结合开口方向以及函数的对称轴再分类讨论即可． （1）解：∵二次函数， 化成顶点式为：， 故抛物线的顶点坐标为：，当时，随的增大而增大； （2）解：由（1）得：抛物线的对称轴为直线，当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减少； 令，则， 解得：，， ∴抛物线与轴的交点为：，； ∵， ∴当时，则函数取最大值，最大值为， 当时，函数取最小值，最小值为， ∵函数的最大值与最小值之和为， ∴， 解得：或，（此时不符合题意，舍去） 当时， 则函数取最大值，最大值为， 当时，函数取最小值，最小值为， ∴函数的最大值与最小值之和为，不符合题意舍去， 当时， 则函数取最大值，最大值为， 当时，函数取最小值，最小值为， ∵函数的最大值与最小值之和为， ∴ ， 解得：或，（此时不符合题意，舍去，） 综上：或. 题型3：二次函数图像平移、交点综合 1.（26-27九年级上·北京·阶段检测）在平面直角坐标系中，已知抛物线（）， （1）若抛物线对称轴为，求的值； （2）已知是抛物线上的点，的横坐标是，抛物线的顶点为，且可以由抛物线平移得到（特别地，当是的顶点时，即为），若对于，抛物线都与轴有两个交点，求的取值范围． 【答案】（1）；（2）或 【分析】（1）令，求出抛物线与x轴的交点的坐标，可求出对称轴，结合已知的对称轴为，列出方程，求解即可； （2）由点是抛物线上的点，的横坐标是，得到，从而得出抛物线的解析式为．①若，则抛物线开口向上，要使抛物线都与轴有两个交点，则顶点M在x轴的下方，因此，结合即可判断a的取值范围；②若，则抛物线开口向下，要使抛物线都与轴有两个交点，则顶点M在x轴的上方，因此，结合即可判断a的取值范围． （1）解：对于抛物线：，令， 则， 解得，， ∴抛物线与x轴的交点的坐标为，， ∴对称轴为直线， ∵抛物线对称轴为， ∴， 解得． （2）解：∵是抛物线上的点，的横坐标是， ∴， ∵抛物线，抛物线的顶点为，且可以由抛物线平移得到， ∴抛物线的解析式为． ①若，则抛物线开口向上， ∵对于，抛物线都与轴有两个交点， ∴顶点M在x轴的下方， ∴， ∵时，， ∴， ∴， ∴， ∴． ②若，则抛物线开口向下， ∵对于，抛物线都与轴有两个交点， ∴顶点M在x轴的上方， ∴， ∵时，，， ∴恒成立． 综上所述，a的取值范围是或． 2.（25-26九年级上·云南曲靖·期末）在平面直角坐标系中，将二次函数y=（x-1）（x-3）+2的图像平移后，所得函数图像与x轴的两个交点之间的距离为2个单位，则平移方式为（    ） A．向上平移2个单位 B．向下平移2个单位 C．向左平移2个单位 D．向右平移2个单位 【答案】B 【分析】通过题意和二次函数平移的特点，可以求得平移后的函数解析式，从而解答本题 解：∵将二次函数y=（x-1）（x-3）+2的图像平移后，所得函数图像与x轴的两个交点之间的距离为2个单位 ∴平移后的函数解析式为：y=（x-1）（x-3）， 二次函数y=（x-1）（x-3）+2向下平移2个单位即可得到y=（x-1）（x-3） ∴平移方式为向下平移2个单位 故选：B 【点拨】本题考查了二次函数与x轴的交点、二次函数的几何变换，利用二次函数平移的特点，是解题关键. 3.（26-27九年级上·上海金山·阶段检测）如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．将抛物线沿y轴向下平移t个单位，当平移后的抛物线与x轴有且只有一个交点时，则______． 【答案】 【分析】抛物线平移后与轴只有一个交点，说明平移后的抛物线顶点在轴上，或者对应的一元二次方程有两个相等的实数根． 解：原抛物线解析式为 配方得 即 原抛物线的顶点坐标为 将抛物线沿轴向下平移个单位 平移后的抛物线解析式为 平移后的抛物线与轴有且只有一个交点 平移后的抛物线顶点在轴上 解得． 4.（2026·四川广元·二模）若抛物线（是常数，）经过点，． （1）求a与b之间的关系式． （2）若将此抛物线向上平移2个单位长度，该抛物线与轴没有交点，求的取值范围． （3）已知点，在抛物线上，满足，当对于任意的，满足时，都有．求证：． 【答案】（1）；（2）；（3）见解析 【分析】（1）把点，代入即可求解； （2）根据根的判别式解题； （3）用含和的式子表示出，根据证明即可． （1）解：把点，代入， 得：， ，得 ， ∴； （2）解：原抛物线为，向上平移2个单位长度后为 ， ∵该抛物线与轴没有交点， ∴ ， 由且，可得， ∴ ， 解得； （3）证明：∵， ∴， ∵ ， ， ∴ ， ∵对于任意，都有 ， ∴恒成立， ∵时，， ∴必有， 此时的最小值在处取到， 即， 解得． 题型4：二次函数面积、利润实际应用 1.（26-27九年级上·广东汕头·阶段检测）如图，某农户要用长的篱笆，在练江边靠墙（墙长）围一块长方形苗圃（靠墙的一边不围），苗圃的一边垂直于墙． （1）设垂直于墙的一边长为，求苗圃面积S与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； （2）当x为多少时，苗圃的面积最大？最大面积是多少平方米？ 【答案】（1）函数关系式为，自变量x的取值范围为；（2）当垂直于墙的一边长为时，苗圃面积最大，最大面积为450平方米 【分析】（1）垂直于墙的一边长为，则平行于墙的一边长为，然后根据长方形面积公式建立函数关系式，再由且解不等式组求解自变量x的取值范围； （2）将函数关系式配方，利用二次函数的性质求解即可． （1）解：垂直于墙的一边长为，则平行于墙的一边长为， 由题意得， 由且，得， ∴函数关系式为，自变量x的取值范围为； （2）解： ∵，且在自变量取值范围内， ∴当时，S最大 答：当垂直于墙的一边长为时，苗圃面积最大，最大面积为450平方米 2.（25-26九年级下·广东揭阳·阶段检测）如图，点P是双曲线C：y＝（x＞0）上的一点，过点P作x轴的垂线交直线AB∶y＝x﹣2于点Q，连接OP，OQ，当点P在曲线C上运动，且点P在Q上方时，△POQ面积的最大值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】B 【分析】设P（x，），则Q（x，x−2），得到PQ＝−x＋2，根据三角形面积公式得到S△POQ＝−（x−2）2＋3，根据二次函数的性质即可求得最大值． 解：∵PQ⊥x轴， ∴设P（x，），则Q（x，x−2）， ∴PQ＝−x＋2， ∴S△POQ＝（−x＋2）•x＝−（x−2）2＋3， ∵−＜0， ∴△POQ面积有最大值，最大值是3， 故选：B． 【点拨】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，反比例函数y＝（k≠0）系数k的几何意义：从反比例函数y＝（k≠0）图象上任意一点向x轴和y轴作垂线，垂线与坐标轴所围成的矩形面积为|k|． 3.（26-27九年级上·全国·课后作业）石林人参果果肉清爽又多汁，是云南的特色水果之一．若将进货价为8元/斤的人参果按10元/斤出售，每日能销售100斤．已知人参果的售价在一定范围内每涨价1元，其日销售量就减少10斤．为实现利润最大化，决定对其涨价x元销售，则每斤的利润为_______元，每日的销量为_______斤，每日获得的总利润____________，当售价为_______元/斤时可获得最大利润． 【答案】 【分析】根据利润、销量的数量关系推导各空表达式，再利用二次函数的性质求解最大利润对应的售价． 解：因为进货价为元/斤，涨价元后的售价为元/斤， 所以每斤利润为元， 原每日销售斤，每涨价元日销量减少斤，涨价元后销量减少斤， 则每日销量为斤， 总利润， 对于二次函数， 二次项系数，函数开口向下，在顶点处取得最大值， 顶点横坐标为，此时售价为（元/斤）， 即售价为元/斤时获得最大利润． 4.（湖北十堰市茅箭区十堰二中等校2026-2027学年九年级上学期第一次学情自测数学试卷）某商品的进价为每件35元，售价为每件45元，每个月可卖出210件．每件商品的售价每上涨1元，则每个月少卖10件（每件售价不能高于60元）．设每件商品的售价上涨元（为正整数），每个月的销售利润为元． （1）求与的函数关系式，并直接写出自变量的取值范围； （2）每件商品的售价定为多少元时，每个月的利润恰为2200元？ （3）若商场做慈善活动，每售出一件产品捐出2元给慈善基金会，那么每件商品的售价定为多少元时，每个月可获得最大利润？最大利润是多少元？ 【答案】（1），；（2）每件商品的售价定为46元或元时，每个月的利润恰为2200元；（3）当销售定价为51元或52元时，每个月可获得最大利润2100元 【分析】（1）根据总利润等于单件利润乘以销量，列出函数关系式即可； （2）令，进行求解即可； （3）根据题意，列出新的函数解析式，利用二次函数的性质求最值即可. （1）解：由题意，， ∵每件售价不能高于60元， ∴， ∴， 又∵为正整数， ∴； （2）解：当时， 解得， 当时，售价为（元）； 当时，售价为（元）； 答：每件商品的售价定为46元或元时，每个月的利润恰为2200元； （3）解：由题意，， ∴抛物线的开口向下，对称轴为直线，抛物线上的点离对称轴越近，函数值越大， ∵且为正整数， ∴当或时，值最大为， 此时售价为元或元； 答：当销售定价为51元或52元时，每个月可获得最大利润2100元. 题型5：画树状图、列表法求概率 1.（26-27九年级上·浙江杭州·阶段检测）一个不透明的抽奖盒中有2张红色卡片，1张蓝色卡片，1张黄色卡片，这些卡片除颜色外完全相同． （1）从中随机抽取一张卡片，求抽到红色卡片的概率． （2）先随机抽取一张卡片，不放回，再随机抽取一张卡片，请用树状图或列表法，求两次抽到的卡片颜色不同的概率． 【答案】（1）；（2）画树状图如下： 【分析】（1）利用红色卡片数量除以总的卡片数量即可求解； （2）利用树状图法即可求解． （1）解：抽到红色卡片的概率 （2）解：由树状图可知，共有12种等可能结果，其中符合题意要求的有10种， ∴抽到两张卡片颜色不同的概率是． 2.（25-26九年级上·陕西安康·阶段检测）如图，两个相同的可以自由转动的转盘A，B，转盘A被三等分，分别标有数字2，0，；转盘B被四等分，分别标有数字3，2，，．如果同时转动转盘A，B，转盘停止时，两个指针指向转盘A，B上的对应数字分别为，（当指针指在两个扇形的交线上时，需重新转动转盘），那么点落在平面直角坐标系中第二象限的概率是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】列表得出所有等可能的结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可． 解：列表如下： 2 0 3 2 由表可知，共有12种等可能的结果，其中点落在直角坐标系第二象限的有2种，所以点落在直角坐标系第二象限的概率是． 3.（26-27九年级上·全国·课前预习）用图中两个可以自由转动的转盘做“配紫色”游戏，分别转动两个转盘，若其中一个转出红色，另一个转出蓝色即可配成紫色，那么可配成紫色的概率是________． 【答案】 【分析】根据题意和图形可知，第一个图形转到红色，同时第二个图形转到蓝色或第一个图形转到蓝色，同时第二个图形转到红色，可配成紫色，画出树状图，从而可以求得可配成紫色的概率． 解：∵第一个转盘红色占， ∴第一个转盘可以分为1份红色，3份蓝色， ∵第二个转盘红色的圆心角为，占， ∴第二个转盘可以分为1份红色，2份蓝色， ∴画树状图为 由图可知，共有12种等可能的结果数，其中一个转出红色，另一个转出蓝色的占5种， ∴可配成紫色的概率是． 4.（26-27九年级上·重庆·期中）某校初二年级举办“中华传统文化知识竞赛”，从甲、乙两个班各随机抽取20名学生的竞赛成绩，进行整理、描述和分析（竞赛成绩用表示，总分为100分，共分成四个组，其中A：；B：；C：；D：） 甲班学生B组的成绩为：82，81，83，84，82，86，82，85． 乙班被抽取学生的成绩为：68，70，72，74，76，78，80，82，82，83，83，83，83，85，85，88，89，90，90，92． 甲乙两班抽取学生的统计表 班级 平均分 中位数 众数 甲班 80 a 82 乙班 80 83 b 请根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：______，______，______； （2）学校要选派一名甲班学生和一名乙班学生作为本次竞赛的文化宣传大使．已知甲班A组学生中是2名男生和2名女生，乙班A组学生中恰好是1名男生2名女生．现从甲班A组和乙班A组中分别随机选一名学生，用树状图或列表法求恰好抽取到一名男生和一名女生的概率． 【答案】（1），，；（2） 【分析】（1）根据中位数、众数的定义进行分析即可； （2）画出树状图，用恰好抽取到一名男生和一名女生的结果数除以所有结果数即可． （1）解：由题意可知：甲班学生组人数为：8人， 甲班学生C组人数为： （人）， 甲班学生D组人数为： （人）， 则甲班学生A组人数为：（人）， 中位数取整体排序第10个和第11个数据的平均值， 将B组数据按从小到大排列为81，82，82，82，83，84，85， 86， B组第2个数据是82，第3 个数据是82， ， ∴． ∵乙班被抽取学生的成绩中83出现4次，次数最多， ∴． ∵ ， ∴． 故答案为：，，． （2）解：树状图如下图： 总共有12种均等的可能，抽到一男一女的情况有6种． ． 题型6：放回与不放回试验概率辨析 1.（2026·湖南衡阳·模拟预测）一个不透明的口袋里装有除表面上分别标有1，2，3，4数字外，其余完全相同的四个小球，现从中摸球，每次摸球前先搅拌均匀． （1）从中不放回地任取两个球，求取得两球的数字和为4的概率； （2）从中任取一个球，记下数字后放回袋中，搅拌均匀后再从中任取一球，求取得的两球数字和为4的概率． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）画树状图先确定所有可能的取球情况，再得到数字和为4的所有情况，结合概率公式求解即可； （2）画树状图先确定所有可能的取球情况，再得到数字和为4的所有情况，结合概率公式求解即可． （1）解：画树状图如下： 从中不放回地任取两个球共有种情况， 其中两球数字和为的情况有和，共种， ∴取得两球的数字和为的概率为． （2）解：树状图如下： 从中任取一个球，记下数字后放回袋中，搅拌均匀后再从中任取一球，共有种取法， 两球数字和为的情况有、、，共种， ∴取得两球的数字和为的概率为． 2.（2026·河南·三模）现有五张质地均匀，大小完全相同的卡片，在其正面分别标有数字，，0，2，3，把卡片背面朝上洗匀，从中随机抽出一张后，不放回，再从中随机抽出一张，则两次抽出的卡片所标数字之和为正数的概率为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】画树状图法或列表法，根据题意利用概率计算公式，进行计算即可． 解：画树状图如下：    由树状图可知，共有20种等可能结果，其中和为正数的有12种结果， 所以和为正数的概率为． 3.（26-27九年级上·全国·课后作业）从三个写有数字“，，1”的相同硬纸片中随机抽取一张记为x，记下硬纸片上的数字，放回后洗匀，再抽取一张记为y，则点在二次函数的图象上的概率为______． 【答案】 【分析】先计算所有等可能的结果总数，再逐个验证点是否在二次函数图象上，统计符合条件的结果数，根据概率公式计算即可． 解：点用列表表示如下： 由表格可知，所有等可能的结果总数为9． 分别代入不同的计算二次函数对应的值， 当时，，可选值中没有，不符合要求； 当时，，可选值中有，点符合要求； 当时，，可选值中有，点符合要求， ∴符合条件的点共有个， ∴所求概率为． 4.（25-26七年级下·陕西汉中·期末）学校组织“研学旅行”活动，班长手中的抽奖箱里共有8张景区门票：其中3张是天汉湿地公园的门票（记为A类），5张是兴汉胜境的门票（记为B类）．这些门票背面完全一样，洗匀后从中随机抽取一张． （1）如果班长先抽出一张天汉湿地公园的门票，看完后将其放回箱中，再次洗匀后抽取一张，求这次抽到天汉湿地公园门票的概率是多少？ （2）如果班长先抽出一张天汉湿地公园的门票，不放回箱中，并向箱中放入5张诸葛古镇的门票（记为C类），此时再从中抽取一张，求抽到兴汉胜境门票的概率是多少？ 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）根据概率公式解答即可； （2）根据概率公式解答即可． （1）解：抽到天汉湿地公园门票的概率为． （2）解：班长先抽出一张天汉湿地公园的门票且不放回箱中，此时箱子里门票的总数变为张，兴汉胜境的门票数仍然是5张． 然后向箱中放入5张诸葛古镇的门票，此时箱子里门票的总数变为张，兴汉胜境的门票数仍然是5张． 所以抽到兴汉胜境门票的概率为． 题型7：垂径定理+勾股定理弦长半径计算 1.（25-26九年级上·广东江门·期末）如图，是的直径，是的弦，于点E，C是的中点，连接． （1）求证：． （2）若，求的半径． 【答案】（1）证明：是的直径，于点， ． 是的中点， ， ， ． （2）5 【分析】本题考查了圆心角定理，垂径定理，熟练掌握圆心角定理及垂径定理是关键． （1）根据垂径定理，得到，即可证明，根据圆心角定理，即可证明结论； （2）连接OD，根据垂径定理及勾股定理，即可列方程求解． 解：（1）略 （2）解：如图，连接OD， 由（1）可知，， 是的直径，于点， ，             设的半径为，则， 在Rt中，， 即， 解得， 的半径为5． 2.（2026·陕西榆林·模拟预测）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具．如图，当筒车工作时，盛水桶的运行路径可以看作是以轴心O为圆心的，且圆心在水面上方．在某一时刻，被水面截得的弦长为6米，过点O作，交于点C，交于点D，水面下盛水桶的最大深度为1米（即米），则的半径为（   ） A．5.5米 B．5米 C．4.5米 D．4米 【答案】B 【分析】由垂径定理可得米，设的半径为米，则米，再由勾股定理计算即可得出结果． 解：∵， ∴米， 设的半径为米，则米， 由勾股定理可得：， ∴， ∴， 即的半径为5米． 3.（26-27九年级上·江苏宿迁·阶段检测）如图，拱桥可以近似地看作直径为的圆弧，桥拱和路面之间用数根钢索垂直相连，其正下方的路面长度为，那么这些钢索中最长的一根的长度为______________． 【答案】20 【分析】设圆弧的圆心为O，过O作于C，交于D，连接，先由垂径定理得，再由勾股定理求出，然后求出的长即可． 解：设圆弧的圆心为O，过O作于C，交于D，连接， 则，， ∴， ∴， 即这些钢索中最长的一根为， 4.（25-26九年级上·甘肃临夏·阶段检测）如图，是半圆的直径，是圆上的两点，，与交于点． （1）求证：为的中点． （2）若，求的长度． 【答案】（1）证明：∵是半圆的直径，是圆上的两点， ∴， ∵， ∴，即：， ∴； ∴为的中点； （2）10 【分析】本题考查圆周角定理，垂径定理，勾股定理： （1）由圆周角定理得到，结合平行得到，进一步由垂径定理即可得出结论； （2）设半径为，在中，利用勾股定理进行求解即可． 解：（1）略 （2）解：设半径为，则，， ∴， ∵， ∴， 在中，由勾股定理，得，解得； ∴． 题型8：圆周角定理及推论角度综合计算 1.（26-27九年级上·江苏宿迁·阶段检测）如图所示，是圆O的一条弦，是圆O直径，，垂足为E． （1）若，求的度数； （2）若，，求圆O的半径长． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）由垂径定理得到，则，再由圆周角定理可得答案； （2）设圆O的半径为r，则，，由垂径定理可得，再利用勾股定理建立方程求解即可． （1）解：∵是圆O的一条弦，是圆O直径，， ∴， ∴， ∴； （2）解：设圆O的半径为r，则，， ∵是圆O的一条弦，是圆O直径，， ∴； 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴圆O的半径为． 2.（25-26九年级上·江苏泰州·阶段检测）如图，已知点A、B、C在上，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】连接 ，利用半径相等可得等腰三角形，结合角的和差关系及圆周角定理求解． 解：连接 ，如图， ， ，， ， 由图可知， 又， . ， ． 3.（2026·陕西榆林·模拟预测）如图， 是的直径，点C，D，E在上，，若，则的度数为_______°． 【答案】30 【分析】由圆周角定理得到，求出，由圆心角、弧、弦的关系得到，由圆周角定理推出，即可求出． 解：连接，， ∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 4.（26-27九年级上·北京·阶段检测）如图，是的直径，弦交于点，于点，连接，，满足． （1）求证：平分； （2）若，，求半径． 【答案】（1）证明：连接，如图： ∵， ∴， ∵， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴平分； （2）半径为． 【分析】（1）连接，由等腰三角形的性质得到，再得到，再进一步得到，再根据，得到，即可得出结论； （2）作于点，连接，如图：设的半径为，得到，，再根据勾股定理得到，即，求解即可． 解：（1）略 （2）解：作于点，连接，如图： 设的半径为，即， ∴， ∵，， ∴， ∴， 在中，， 在中，， ∴， ∴， 整理得：， 解得：或（舍去）， ∴半径为． 题型9：圆内接四边形性质应用计算 1.（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，是半圆O的直径，，D是上任意一点，求的度数． 【答案】 【分析】根据是半圆的直径得到，通过直角三角形中两个锐角互余、圆的内接四边形的对角互补即可得到． 解：∵是半圆的直径， ∴， ∵， ∴， ∴． 2.（26-27九年级上·江苏宿迁·阶段检测）如图，已知四边形内接于，，则的大小是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】因为四边形内接于，所以根据圆内接四边形对角互补的性质，可求出的度数．因为是对应的圆心角，是对应的圆周角，所以根据圆周角定理，可得到与的数量关系，进而求出的大小． 解：∵四边形内接于，， ∴ ∴ 3.（25-26九年级上·江苏泰州·阶段检测）如图，已知点、、、、在上，若，则的度数为__________________________． 【答案】 解：∵四边形为的内接四边形， ，即， ， ． 4.（25-26九年级上·浙江杭州·期末）如图，在中，，以底边为直径作，连接，分别与，相交于点，． （1）连接，直接写出与的度数； （2）若，求的长． 【答案】（1），；（2） 【分析】（1）连接，根据等腰三角形的性质可得，，则．容易判断是等腰直角三角形，则，根据圆内接四边形的性质求出； （2）连接，根据直角三角形的性质可得，，进而推断出是等边三角形，则，，使用扇形弧长公式进行计算即可． （1）解：如图，连接， ∵为的直径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 由圆内接四边形的性质可得，， ∴； （2）解：如图，连接， ∵， ∴点是斜边的中点， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴的长为． 【点拨】本题考查圆的基本概念，圆周角定理，等边三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，扇形的弧长公式，熟练掌握圆的基本性质是关键． 题型10：圆心角、弧、弦关系证明 1.（2026·河南周口·一模）如图，是的直径， 是的弦，过点作的切线，交的延长线于点，连接，点是上一点，且， 连接 ． （1）求证：； （2）若，，求的半径． 【答案】（1）证明：连接， ∵是切线， ∴，即， ∴， ∵是直径， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． （2） 【分析】（1）连接，根据切线的性质定理和圆周角定理可证，，，再根据等腰三角形的性质和同弧或等弧所对的圆周角相等即可得出． （2）设半径为，则．先证明，再将，，代入，可得，进而结合求解即可． 解：（1）略 （2）解：设半径为，则． ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴半径． 2.（2026·湖北恩施·模拟预测）如图，是的半径，分别以点A、点O为圆心，以适当的长为半径作弧，两弧交于点，连接并延长交于点，连接是上不与点重合的点，连接，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】连接，证明为等边三角形，可得，根据弧、圆心角的关系求出，再由圆周角定理解答即可． 解：连接， 作图知垂直平分， ∴，弧弧， 为等边三角形， ， 弧弧， ， ． 3.（2026·江苏盐城·一模）如图，是半圆的直径，点C、D是半圆上的两点，，且，则的度数为_____°． 【答案】20 【分析】先求得，根据四边形是半圆的内接四边形，可以求得 ，根据直角三角形的两个锐角互余求解即可． 解：，， ， ， 由四边形是半圆的内接四边形， ， 是半圆的直径， ， ； 4.（2026·安徽·模拟预测）如图，为的内接三角形，为的高，垂足为，且． （1）求证：； （2）若，，求的半径． 【答案】（1）证明：∵， ∴，即． ∵， ∴，即， ∴， ∴． （2）． 【分析】（1）先根据等边对等角和三角形的内角和定理得出，再根据直角三角形的性质得到，最后等量代换即可求证； （2）先连接，过点作，垂足为，再运用勾股定理分别求出，根据弧相等圆心角相等推出，推出，然后结合根据（1）中推出，即，代入线段长度即可求解． 解：（1）略 （2）解：如图，连接，过点作，垂足为． ∵在中，，， ∴根据勾股定理，， ∴． 在中，根据勾股定理，， ∵，， ∴，． ∵， ∴， ∴， ∵ ∴， ∵，， ∴， ∵由（1）得， ∴， ∴， ∴，即，解得． ∴的半径为． 题型11：二次函数与圆结合坐标、线段综合计算 1.（25-26九年级上·河南商丘·阶段检测）图1是景区中的一个喷灌设备，图2是该设备喷灌时的示意图，喷出水柱可以近似看作一条抛物线，该抛物线在与喷灌设备的水平距离为8米处达到最高，高度为米，水柱落地处离喷灌设备20米． （1）以水平地面为x轴，以喷水装置所在直线为y轴，请在图2中建立平面直角坐标系； （2）求的长； （3）该喷灌设备可自动旋转，喷洒区域是一个以点A为圆心的圆，求喷洒区域的面积．（取） 【答案】（1）作平面直角坐标系如下图： （2）的长；（3）喷洒区域的面积为 【分析】本题考查了求解二次函数解析式和圆的面积公式，求出二次函数的解析式是解决本题的关键． （1）根据题意作出平面直角坐标系即可； （2）根据题意抛物线经过顶点，则设抛物线的解析式为，将代入求解解析式，最后求出点B的坐标，即可求出的长； （3）根据题意可得喷洒区域是以为圆心的圆，半径为水柱落地处到的距离，即20米，进而根据圆的面积公式求解即可． 解：（1）略 （2）解：根据题意得，抛物线顶点为，且过点， ∴设抛物线的解析式为， 将代入解析式得， 解得， ∴抛物线的解析式为， 当时， ， ∴点B的坐标为， ∴的长为1米； （3）解：根据题意得，喷洒区域是以为圆心的圆，半径为水柱落地处到的距离，即20米， ∴ ， 答：喷洒区域的面积为． 2.（2026·广西南宁·一模）如图，抛物线与轴交于，两点，是以点为圆心，2为半径的圆上的动点，是线段的中点，连接，则线段的最大值是（    ） A．3 B．3.5 C．4 D．4.5 【答案】B 【分析】本题考查了点与圆的位置关系，三角形中位线，二次函数的性质．连接，如图，先求出A，B坐标，即可判断出为的中位线，得到，利用点与圆的位置关系，过圆心C时，最大，如图，点D运动到位置时，最大，然后计算出即可得到线段的最大值． 解：连接，如图， 当时，，解得， ∴， ∵E是线段的中点， ∴为的中位线， ∴， ∴当最大时，最大， 而当过圆心C时，最大，如图，点D运动到位置时，最大， ∵， ∴， ∴线段的最大值是． 故选：B． 3.（2026·浙江衢州·一模）“一切为了U”是常山在赶考共同富裕道路上，最新确定的城市品牌．已知线段，对于坐标平面内的一个动点P，如果满足，则称点P为线段的“U点”，如图，二次函数与x轴交于点A和点B．（1）线段的长度为__________；（2）若线段的“U”点落在y轴的正半轴上，则该“U点”的坐标为_________． 【答案】 ； 或 【分析】令，得到，求得两点坐标，即可求得的长度，以为边，向上作等边三角形，再以为圆心，以为半径画弧，交轴于点，求得点坐标，设，根据求解即可． 解：令，得到 解得，，即， ∴， 以为边，向上作等边三角形，再以为圆心，以为半径画弧，交轴于点，如下图： 设原点为，由圆周角定理可知，， 由题意可得： 作OD⊥AB，则，， ，， 设，则， 化简可得， 解得， 即，， 故答案为：；或， 【点拨】此题考查了二次函数与坐标的轴的交点问题，圆周角定理，勾股定理，等边三角形的性质，解题的关键是掌握并灵活利用相关性质进行求解． 4.（25-26九年级上·浙江杭州·期中）如图1是一座圆弧型拱桥侧面示意图．水面宽与桥长均为24米，桥拱顶部离水面的距离为8米，以桥拱顶部为原点，桥面为x轴建立平面直角坐标系． （1）求圆弧型桥拱所在圆的半径； （2）如图2，桥面上方有3根高度均为4米的支柱，，，过相邻两根支柱顶端的钢缆呈形状相同的抛物线，其最低点到桥面的距离为1米． ①求出轴右侧一条钢缆抛物线的函数表达式； ②为庆祝节日，在钢缆和桥拱之间竖直装饰若干条彩带，求经过钢缆最低点的彩带的长度． 【答案】（1）圆弧型桥拱所在圆的半径为13米；（2）①；②经过钢缆最低点的彩带的长度为米 【分析】本题考查了二次函数的实际应用，垂径定理，待定系数法求解析式，勾股定理等知识点，合理作出辅助线是解题的关键． （1）设圆弧型拱桥的圆心为，圆的半径为，则米，米，利用勾股定理列式解答即可； （2）①由图象分析右边钢缆所在抛物线的顶点坐标为，然后利用待定系数法求函数解析式； ②连接圆与，作于点，如图2，从而得到米，米，利用勾股定理求得米，求得米，米，进而得解． （1）解：设圆弧型拱桥的圆心为，圆的半径为，连接，交于点，如图1， 由题意得：，米，米， ∴米，米， 由勾股定理得：， ∴， 解得：， 答：圆弧型桥拱所在圆的半径为13米； （2）①由题意可知右边钢缆所在抛物线的顶点坐标为，设其表达式为，将代入得： ， 解得：， ∴右边钢缆所在抛物线表达式为：； ②由题意可知，即为所求彩带的长度，如图2，连接圆与，作于点， 则米，米， ∴（米）， ∴（米）， ∴（米）， 答：经过钢缆最低点的彩带的长度为米． 题型12：圆背景下建立二次函数模型求解线段最值中档 1.（2026·广东珠海·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴交于两点，与y轴交于C点，且． （1）求抛物线的解析式； （2）在第一象限内抛物线上是否存在点M，使，如果存在，求M点的坐标，如果不存在，说明理由； （3）若D是抛物线第二象限上一动点，过点D作轴于点F，过点A、B、D的圆与交于E点，求的面积． 【答案】（1）；（2）存在，；（3） 【分析】（1）根据题意得到，，利用待定系数法求出函数解析式即可； （2）判断是等腰直角三角形，可求出，设交x轴于点D，则，求出点D的坐标，利用待定系数法求出直线的解析式，联立方程组，求出公共解即可求出点M坐标； （3）记过点A、B、D的圆的圆心为点G，设，根据，可得出①，由点D在抛物线上，可得出②，将②代入①得求出，根据三角形面积公式求出，然后整体代入计算即可． （1）解：∵， ∴点B的坐标为，点C的坐标为， 把，代入， 得， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：在第一象限内抛物线上存在点M，使，理由如下： 如图， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， 设交x轴于点D，则， ∴点D的坐标为； 设直线的解析式为， 则， 解得， ∴， 联立， 解得，（舍） ∴点M的坐标为（， （3）解：把代入，得， 解得或， ∴点A的坐标为， ∴AB=6， 设过点A、B、D得圆的圆心为点G， ∵， ∴点G在线段的垂直平分线上， 设点G的坐标为， 同理可得点G在线段的垂直平分线上， ∵轴于点F， ∴设，则， ∴， ∵， ∴， 整理得①， ∵点D在抛物线上， ∴， 得②， 将②代入①得，， ∵， ∴，即， ∴． 【点拨】本题主要考查了二次函数的图像和性质，待定系数法求出函数解析式，抛物线上的点的坐标特征以及相似三角形的判定和性质，熟练掌握二次函数的图像和性质是解题的关键． 2.（24-25九年级上·湖北武汉·阶段检测）如图，二次函数与轴交于、两点，与轴交于点，点与点关于轴对称，点从点出发向点运动，点在上，且，则图中阴影部分面积的最小值是（　　） A． B． C．9 D． 【答案】A 【分析】先证明四边形是正方形，将绕点顺时针旋转，得到进而证得，当最短时，的面积最小，进而即可求得阴影部分的面积最小值． 解：如图， 由题意，令，解得， ∴， 令，解得， ∴， ∵点与点关于轴对称， ∴，， ∴，， ∴，， ∴四边形是正方形， ∴， 将绕点顺时针旋转得到， ∴， ∴，， ∵， ∴ ∴、、共线， ∴， ∵， ∴， 作的外接圆，作于， 设， ∴， ∴ ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴≥， ∴ ∴， 故选：A． 3.（2026·甘肃武威·三模）如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．若点D为抛物线上一点且横坐标为，点E为y轴上一点，点F在以点A为圆心，2为半径的圆上，则的最小值 __________________． 【答案】 【分析】此题考查了二次函数与轴的交点，利用轴对称求最短路线，圆的性质，勾股定理等，解答此题的关键是准确的求出二次函数与轴的交点坐标，难点是确定当为最小式，点，的位置．先求出，点坐标，做辅助线如图求点坐标，根据图像即可分析出答案． 解：对于，当时， ， 解得：，， ∴点的坐标为， 对于，当时，， ∴点的坐标为， 作点关于轴对称的点，则点， 连接交于轴与，交与，过点作轴与，连接， 当点与点重合，点与点重合时，为最小，最小值为线段的长． 理由如下： 当点与点不重合，点与点不重合时， 根据对称轴的性质可知：， ∴， 根据“两点之间线段最短”可知： ， 即：， ∵， ∴， 即：， ∴当点与点重合，点与点重合时，为最小． ∵点，， ∴，，， ∴， 在中，，， 由勾股定理得：， ∴， 即的最小为， 故答案为：． 学科网（北京）股份有限公司 $ 期中复习专题2——综合运算与推理证明 （浙教版九年级上册：期中核心综合考点） 目录 一、专题定位 1 二、核心考点梳理 2 三、必考、常考题型 2 题型1：求二次函数解析式 2 题型2：二次函数增减性、最值分析 3 题型3：二次函数图像平移、交点综合 4 题型4：二次函数面积、利润实际应用 5 题型5：画树状图、列表法求概率 7 题型6：放回与不放回试验概率辨析 9 题型7：垂径定理+勾股定理弦长半径计算 9 题型8：圆周角定理及推论角度综合计算 11 题型9：圆内接四边形性质应用计算 12 题型10：圆心角、弧、弦关系证明 13 题型11：二次函数与圆结合坐标、线段综合计算 15 题型12：圆背景下建立二次函数模型求解线段最值中档 17 一、专题定位 本专题整合第1章 二次函数、第2章 随机事件的概率、第3章 圆的基本性质三章中档核心重难点，兼顾单章节综合运用、推理证明、运算求解与简单实际建模，同时融入跨章节联动中档试题。重点规范学生代数计算、几何证明解题步骤，落实二次函数图像性质与解析式求解、概率树状图与列表法、圆的垂径定理、圆周角定理综合计算与证明等核心考点。培养学生函数图像分析、几何推理与数形转化思维，解决中档题型思路混乱、步骤疏漏、知识割裂的高频失分问题。适配期中第二轮专题复习、课堂专项讲练、中档题型限时训练、阶段性检测组卷，是提升期中解答题得分率的核心专题。 二、核心考点梳理 章节 核心考点 二次函数 求二次函数解析式（一般式、顶点式）；抛物线增减性、最值分析；二次函数图像平移变换；抛物线与坐标轴交点求解；二次函数简单实际应用（面积、利润模型） 随机事件的概率 列表法、画树状图求两步及以上事件概率；放回与不放回试验辨析；利用概率进行简单判断；频率与概率关系综合问题 圆的基本性质 垂径定理结合勾股定理求弦长、半径；圆周角定理及其推论综合角度计算；圆心角、弧、弦之间的关系证明；圆内接四边形性质应用；弧长基础计算 跨章节中档综合 二次函数结合圆背景求坐标、线段长度；圆中几何计算结合二次函数建模；概率与函数背景结合简单综合问题 三、必考、常考题型 题型1：求二次函数解析式 1.（26-27九年级上·河南安阳·阶段检测）求二次函数的解析式 （1）经过三点的二次函数的解析式． （2）二次函数的图象的顶点为，与y轴交于点，则该二次函数的解析式． 2.（26-27九年级上·福建福州·阶段检测）已知二次函数经过点，且函数最大值为4，则a的值为（     ） A． B． C． D． 3.（24-25九年级上·浙江杭州·期末）已知抛物线的对称轴是直线，且经过点，则该抛物线的函数表达式是__________． 4.（26-27九年级上·安徽亳州·阶段检测）已知抛物线顶点的纵坐标为1，与轴交于点，，求该抛物线的函数表达式． 题型2：二次函数增减性、最值分析 1.（25-26九年级上·吉林长春·期末）在平面直角坐标系中，抛物线（为常数）． （1）当抛物线经过点时，求的值 （2）当时， ①若随的增大而减小，则的取值范围为______． ②若，则函数的最大值为______，最小值为______． ③若，，则的取值范围是______． （3）当时，若函数（为常数）的图象与直线只有一个交点时，请直接写出的取值范围． 2.（2025·陕西西安·二模）已知二次函数（是常数，且），当时，随的增大而减小，当时，的最小值是，则的值为（   ） A．4 B．或1 C． D．1 3.（25-26九年级下·湖北武汉·期中）函数（b为常数）有下列结论：①无论b为何值，该函数图象过定点；②若，则当时，y随x增大而减小；③该函数图象关于y轴对称；④当时，该函数的最小值是．其中正确的结论是______________．（填写序号） 4.（25-26八年级下·浙江杭州·阶段检测）在直角坐标系中，已知抛物线的表达式为． （1）求抛物线的顶点坐标，并直接写出当满足什么条件时，随的增大而增大． （2）当时，函数的最大值与最小值之和为，求的值． 题型3：二次函数图像平移、交点综合 1.（26-27九年级上·北京·阶段检测）在平面直角坐标系中，已知抛物线（）， （1）若抛物线对称轴为，求的值； （2）已知是抛物线上的点，的横坐标是，抛物线的顶点为，且可以由抛物线平移得到（特别地，当是的顶点时，即为），若对于，抛物线都与轴有两个交点，求的取值范围． 2.（25-26九年级上·云南曲靖·期末）在平面直角坐标系中，将二次函数y=（x-1）（x-3）+2的图像平移后，所得函数图像与x轴的两个交点之间的距离为2个单位，则平移方式为（    ） A．向上平移2个单位 B．向下平移2个单位 C．向左平移2个单位 D．向右平移2个单位 3.（26-27九年级上·上海金山·阶段检测）如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．将抛物线沿y轴向下平移t个单位，当平移后的抛物线与x轴有且只有一个交点时，则______． 4.（2026·四川广元·二模）若抛物线（是常数，）经过点，． （1）求a与b之间的关系式． （2）若将此抛物线向上平移2个单位长度，该抛物线与轴没有交点，求的取值范围． （3）已知点，在抛物线上，满足，当对于任意的，满足时，都有．求证：． 题型4：二次函数面积、利润实际应用 1.（26-27九年级上·广东汕头·阶段检测）如图，某农户要用长的篱笆，在练江边靠墙（墙长）围一块长方形苗圃（靠墙的一边不围），苗圃的一边垂直于墙． （1）设垂直于墙的一边长为，求苗圃面积S与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； （2）当x为多少时，苗圃的面积最大？最大面积是多少平方米？ 2.（25-26九年级下·广东揭阳·阶段检测）如图，点P是双曲线C：y＝（x＞0）上的一点，过点P作x轴的垂线交直线AB∶y＝x﹣2于点Q，连接OP，OQ，当点P在曲线C上运动，且点P在Q上方时，△POQ面积的最大值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 3.（26-27九年级上·全国·课后作业）石林人参果果肉清爽又多汁，是云南的特色水果之一．若将进货价为8元/斤的人参果按10元/斤出售，每日能销售100斤．已知人参果的售价在一定范围内每涨价1元，其日销售量就减少10斤．为实现利润最大化，决定对其涨价x元销售，则每斤的利润为_______元，每日的销量为_______斤，每日获得的总利润____________，当售价为_______元/斤时可获得最大利润． 4.（湖北十堰市茅箭区十堰二中等校2026-2027学年九年级上学期第一次学情自测数学试卷）某商品的进价为每件35元，售价为每件45元，每个月可卖出210件．每件商品的售价每上涨1元，则每个月少卖10件（每件售价不能高于60元）．设每件商品的售价上涨元（为正整数），每个月的销售利润为元． （1）求与的函数关系式，并直接写出自变量的取值范围； （2）每件商品的售价定为多少元时，每个月的利润恰为2200元？ （3）若商场做慈善活动，每售出一件产品捐出2元给慈善基金会，那么每件商品的售价定为多少元时，每个月可获得最大利润？最大利润是多少元？ 题型5：画树状图、列表法求概率 1.（26-27九年级上·浙江杭州·阶段检测）一个不透明的抽奖盒中有2张红色卡片，1张蓝色卡片，1张黄色卡片，这些卡片除颜色外完全相同． （1）从中随机抽取一张卡片，求抽到红色卡片的概率． （2）先随机抽取一张卡片，不放回，再随机抽取一张卡片，请用树状图或列表法，求两次抽到的卡片颜色不同的概率． 2.（25-26九年级上·陕西安康·阶段检测）如图，两个相同的可以自由转动的转盘A，B，转盘A被三等分，分别标有数字2，0，；转盘B被四等分，分别标有数字3，2，，．如果同时转动转盘A，B，转盘停止时，两个指针指向转盘A，B上的对应数字分别为，（当指针指在两个扇形的交线上时，需重新转动转盘），那么点落在平面直角坐标系中第二象限的概率是（     ） A． B． C． D． 3.（26-27九年级上·全国·课前预习）用图中两个可以自由转动的转盘做“配紫色”游戏，分别转动两个转盘，若其中一个转出红色，另一个转出蓝色即可配成紫色，那么可配成紫色的概率是________． 4.（26-27九年级上·重庆·期中）某校初二年级举办“中华传统文化知识竞赛”，从甲、乙两个班各随机抽取20名学生的竞赛成绩，进行整理、描述和分析（竞赛成绩用表示，总分为100分，共分成四个组，其中A：；B：；C：；D：） 甲班学生B组的成绩为：82，81，83，84，82，86，82，85． 乙班被抽取学生的成绩为：68，70，72，74，76，78，80，82，82，83，83，83，83，85，85，88，89，90，90，92． 甲乙两班抽取学生的统计表 班级 平均分 中位数 众数 甲班 80 a 82 乙班 80 83 b 请根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：______，______，______； （2）学校要选派一名甲班学生和一名乙班学生作为本次竞赛的文化宣传大使．已知甲班A组学生中是2名男生和2名女生，乙班A组学生中恰好是1名男生2名女生．现从甲班A组和乙班A组中分别随机选一名学生，用树状图或列表法求恰好抽取到一名男生和一名女生的概率． 题型6：放回与不放回试验概率辨析 1.（2026·湖南衡阳·模拟预测）一个不透明的口袋里装有除表面上分别标有1，2，3，4数字外，其余完全相同的四个小球，现从中摸球，每次摸球前先搅拌均匀． （1）从中不放回地任取两个球，求取得两球的数字和为4的概率； （2）从中任取一个球，记下数字后放回袋中，搅拌均匀后再从中任取一球，求取得的两球数字和为4的概率． 2.（2026·河南·三模）现有五张质地均匀，大小完全相同的卡片，在其正面分别标有数字，，0，2，3，把卡片背面朝上洗匀，从中随机抽出一张后，不放回，再从中随机抽出一张，则两次抽出的卡片所标数字之和为正数的概率为（　　） A． B． C． D． 3.（26-27九年级上·全国·课后作业）从三个写有数字“，，1”的相同硬纸片中随机抽取一张记为x，记下硬纸片上的数字，放回后洗匀，再抽取一张记为y，则点在二次函数的图象上的概率为______． 4.（25-26七年级下·陕西汉中·期末）学校组织“研学旅行”活动，班长手中的抽奖箱里共有8张景区门票：其中3张是天汉湿地公园的门票（记为A类），5张是兴汉胜境的门票（记为B类）．这些门票背面完全一样，洗匀后从中随机抽取一张． （1）如果班长先抽出一张天汉湿地公园的门票，看完后将其放回箱中，再次洗匀后抽取一张，求这次抽到天汉湿地公园门票的概率是多少？ （2）如果班长先抽出一张天汉湿地公园的门票，不放回箱中，并向箱中放入5张诸葛古镇的门票（记为C类），此时再从中抽取一张，求抽到兴汉胜境门票的概率是多少？ 题型7：垂径定理+勾股定理弦长半径计算 1.（25-26九年级上·广东江门·期末）如图，是的直径，是的弦，于点E，C是的中点，连接． （1）求证：． （2）若，求的半径． 2.（2026·陕西榆林·模拟预测）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具．如图，当筒车工作时，盛水桶的运行路径可以看作是以轴心O为圆心的，且圆心在水面上方．在某一时刻，被水面截得的弦长为6米，过点O作，交于点C，交于点D，水面下盛水桶的最大深度为1米（即米），则的半径为（   ） A．5.5米 B．5米 C．4.5米 D．4米 3.（26-27九年级上·江苏宿迁·阶段检测）如图，拱桥可以近似地看作直径为的圆弧，桥拱和路面之间用数根钢索垂直相连，其正下方的路面长度为，那么这些钢索中最长的一根的长度为______________． 4.（25-26九年级上·甘肃临夏·阶段检测）如图，是半圆的直径，是圆上的两点，，与交于点． （1）求证：为的中点． （2）若，求的长度． 题型8：圆周角定理及推论角度综合计算 1.（26-27九年级上·江苏宿迁·阶段检测）如图所示，是圆O的一条弦，是圆O直径，，垂足为E． （1）若，求的度数； （2）若，，求圆O的半径长． 2.（25-26九年级上·江苏泰州·阶段检测）如图，已知点A、B、C在上，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 3.（2026·陕西榆林·模拟预测）如图， 是的直径，点C，D，E在上，，若，则的度数为_______°． 4.（26-27九年级上·北京·阶段检测）如图，是的直径，弦交于点，于点，连接，，满足． （1）求证：平分； （2）若，，求半径． 题型9：圆内接四边形性质应用计算 1.（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，是半圆O的直径，，D是上任意一点，求的度数． 2.（26-27九年级上·江苏宿迁·阶段检测）如图，已知四边形内接于，，则的大小是（     ） A． B． C． D． 3.（25-26九年级上·江苏泰州·阶段检测）如图，已知点、、、、在上，若，则的度数为__________________________． 4.（25-26九年级上·浙江杭州·期末）如图，在中，，以底边为直径作，连接，分别与，相交于点，． （1）连接，直接写出与的度数； （2）若，求的长． 题型10：圆心角、弧、弦关系证明 1.（2026·河南周口·一模）如图，是的直径， 是的弦，过点作的切线，交的延长线于点，连接，点是上一点，且， 连接 ． （1）求证：； （2）若，，求的半径． 2.（2026·湖北恩施·模拟预测）如图，是的半径，分别以点A、点O为圆心，以适当的长为半径作弧，两弧交于点，连接并延长交于点，连接是上不与点重合的点，连接，则的度数为（   ） A． B． C． D． 3.（2026·江苏盐城·一模）如图，是半圆的直径，点C、D是半圆上的两点，，且，则的度数为_____°． 4.（2026·安徽·模拟预测）如图，为的内接三角形，为的高，垂足为，且． （1）求证：； （2）若，，求的半径． 题型11：二次函数与圆结合坐标、线段综合计算 1.（25-26九年级上·河南商丘·阶段检测）图1是景区中的一个喷灌设备，图2是该设备喷灌时的示意图，喷出水柱可以近似看作一条抛物线，该抛物线在与喷灌设备的水平距离为8米处达到最高，高度为米，水柱落地处离喷灌设备20米． （1）以水平地面为x轴，以喷水装置所在直线为y轴，请在图2中建立平面直角坐标系； （2）求的长； （3）该喷灌设备可自动旋转，喷洒区域是一个以点A为圆心的圆，求喷洒区域的面积．（取） 2.（2026·广西南宁·一模）如图，抛物线与轴交于，两点，是以点为圆心，2为半径的圆上的动点，是线段的中点，连接，则线段的最大值是（    ） A．3 B．3.5 C．4 D．4.5 3.（2026·浙江衢州·一模）“一切为了U”是常山在赶考共同富裕道路上，最新确定的城市品牌．已知线段，对于坐标平面内的一个动点P，如果满足，则称点P为线段的“U点”，如图，二次函数与x轴交于点A和点B．（1）线段的长度为__________；（2）若线段的“U”点落在y轴的正半轴上，则该“U点”的坐标为_________． 4.（25-26九年级上·浙江杭州·期中）如图1是一座圆弧型拱桥侧面示意图．水面宽与桥长均为24米，桥拱顶部离水面的距离为8米，以桥拱顶部为原点，桥面为x轴建立平面直角坐标系． （1）求圆弧型桥拱所在圆的半径； （2）如图2，桥面上方有3根高度均为4米的支柱，，，过相邻两根支柱顶端的钢缆呈形状相同的抛物线，其最低点到桥面的距离为1米． ①求出轴右侧一条钢缆抛物线的函数表达式； ②为庆祝节日，在钢缆和桥拱之间竖直装饰若干条彩带，求经过钢缆最低点的彩带的长度． 题型12：圆背景下建立二次函数模型求解线段最值中档 1.（2026·广东珠海·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴交于两点，与y轴交于C点，且． （1）求抛物线的解析式； （2）在第一象限内抛物线上是否存在点M，使，如果存在，求M点的坐标，如果不存在，说明理由； （3）若D是抛物线第二象限上一动点，过点D作轴于点F，过点A、B、D的圆与交于E点，求的面积． 2.（24-25九年级上·湖北武汉·阶段检测）如图，二次函数与轴交于、两点，与轴交于点，点与点关于轴对称，点从点出发向点运动，点在上，且，则图中阴影部分面积的最小值是（　　） A． B． C．9 D． 3.（2026·甘肃武威·三模）如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．若点D为抛物线上一点且横坐标为，点E为y轴上一点，点F在以点A为圆心，2为半径的圆上，则的最小值 __________________． 学科网（北京）股份有限公司 $