专题05随机事件、简单随机事件的概率期中复习讲义（核心知识梳理+典例精讲+分层专项训练）2026-2027学年浙教版九年级数学上册

专题05随机事件、简单随机事件的概率期中复习讲义 ✵复习目标 1.识别必然事件、不可能事件、随机事件，区分确定事件与随机事件。 2.理解概率的意义，掌握概率的取值范围。 3.掌握等可能条件下简单随机事件的概率公式，能用列表法、树状图法不重不漏列举所有等可能结果并计算概率。 ✵高频题型梳理 题型1.事件的分类 题型2.判断事件发生的可能性的大小 题型3.改变条件使事件发生的可能性相同 题型4.概率的意义理解 题型5.判断几个事件概率的大小关系 题型6.列举随机实验的所有可能结果 题型7.判断实验所得结果是否是等可能的 题型8.根据概率公式计算概率 题型9.根据概率作判断 题型10.已知概率求数量 题型11.几何概率 题型12.列举法求概率 题型13.列表法或树状图法求概率 题型14.分层专项训练 ✵核心知识梳理 知识点一、事件的分类 必然事件：在一定条件下，必然会发生的事件。 不可能事件：在一定条件下，一定不会发生的事件。 必然事件与不可能事件统称为确定事件。 随机事件：在一定条件下，可能发生，也可能不发生的事件，也叫不确定事件。 随机事件发生的可能性有大小，不同随机事件发生的可能性大小可能不同。 知识点二、概率的意义与取值范围 概率用来刻画事件发生可能性的大小，记作P(A)。 必然事件：P(A)=1； 不可能事件：P(A)=0； 随机事件：0<P(A)<1 随机事件发生的可能性越大，概率越接近1；可能性越小，概率越接近0。 知识点三、等可能条件下的概率公式 当一次试验满足两个条件：①所有可能结果只有有限个；②各个结果发生的可能性相等。 P(A)= n:试验所有等可能的结果总数； m：事件A所包含的等可能结果的个数。 知识点四、列举等可能结果的方法 列表法：适合试验包含两步的情形，有序列出全部等可能结果。 树状图法：适合两步或多步试验，清晰列举所有结果，避免重复、遗漏。 ✵易错提醒 1.运用P(A)=的前提是试验结果等可能；若各结果可能性不相等，不能直接套用公式。 2.列举结果时，区分放回试验与不放回试验，两种情况总的等可能结果数不同。 3.概率仅表示事件发生可能性的大小，不能预测单次试验是否一定发生。 ✵典例精讲 题型1.事件的分类 1．下列事件属于随机事件的是（     ） A．太阳从东方升起 B．标准大气压下水在沸腾 C．掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上 D．三角形内角和为 【答案】C 【详解】解：A、B、太阳从东方升起、标准大气压下水在沸腾是必然事件； D、三角形内角和为，故三角形内角和为是不可能事件； C、掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上可能发生也可能不发生，是随机事件． 2．下列事件：①明天是晴天；②任意掷一枚质地均匀的骰子，向上的一面的点数是偶数；③在标准大气压下，气温为时，冰能熔化成水；④0大于一切负数．其中是必然事件的有__________（填序号）． 【答案】③④ 【分析】先明确必然事件的定义，再逐一判断每个事件的类型，即可得到结果． 【详解】解：必然事件的定义为：在一定条件下，必然会发生的事件，称为必然事件， ①明天是否为晴天不确定，可能发生也可能不发生，属于随机事件， ②任意掷一枚质地均匀的骰子，向上一面的点数可能是奇数也可能是偶数，结果不确定，属于随机事件， ③标准大气压下，冰在温度高于时会熔化为水，高于，该事件一定发生，属于必然事件， ④根据有理数的大小比较法则，大于一切负数，该事件一定成立，属于必然事件． 3．下列事件中，哪些是必然事件？哪些是不可能事件？哪些是随机事件？为什么？ (1)打开电视机，它正在播广告； (2)抛掷10枚硬币，结果是3个正面朝上与8个反面朝上； (3)黑暗中，我从我的一大串钥匙中随便选中一把，用它打开了门； (4)投掷一枚普通的正方体骰子，掷得的数不是奇数便是偶数； (5)我将一粒种子埋在土里，给它阳光和水分，它会长出小苗． 【答案】(1) 解：随机事件，理由如下： 打开电视机时，可能正在播广告，也可能播放其他节目，结果无法预先确定，故是随机事件； (2) 解：不可能事件，理由如下： 抛掷10枚硬币，正面与反面朝上的总枚数为10，，总枚数超过10，该事件不可能发生，故是不可能事件； (3) 解：随机事件，理由如下： 从一大串钥匙中任选一把，可能打开门，也可能打不开，结果无法预先确定，故是随机事件； (4) 解：必然事件，理由如下： 普通正方体骰子的点数为1到6，每个点数不是奇数就是偶数，该事件一定发生，故是必然事件； (5) 解：随机事件，理由如下： 种子在有阳光和水分的条件下，可能长出小苗，也可能无法发芽，结果无法预先确定，故是随机事件． 【分析】在一定条件下，一定会发生的事件叫做必然事件，可能发生，也可能不发生的事件叫做随机事件，不可能发生的事件叫做不可能事件，据此逐一判断即可． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 （4）略 （5）略 题型2.判断事件发生的可能性的大小 1．下列诗句所描述的事件中，发生的可能性最小的是（     ） A．黄河入海流 B．大漠孤烟直 C．手可摘星辰 D．红豆生南国 【答案】C 【分析】不可能事件发生的可能性为，是所有事件中最小的，以此为突破口判断各选项的事件类型即可． 【详解】解：A选项“黄河入海流”与D选项“红豆生南国”均为必然事件，发生的可能性为； B选项“大漠孤烟直”是随机事件，发生的可能性在与之间； C选项“手可摘星辰”是不可能事件，发生的可能性为． ∴ 发生可能性最小的是C选项对应的事件． 2．从形状、大小相同的9张数字卡片中任意抽1张，抽出的恰好是①偶数；②小于6的数；③不小于9的数．将这些事件的序号按发生的可能性从大到小排列，则有__________（用“”连接）． 【答案】 【详解】解：中，偶数有2，4，6，8共4个，小于6的数有1，2，3，4，5共5个，不小于9的数只有9，共1个， ∵， 故发生的可能性从大到小排列为. 3．下列五个事件中，哪些是必然事件？哪些是不可能事件？哪些是随机事件？根据你的判断，把这些事件的序号按发生的可能性从小到大的顺序排列． ①1个标准大气压下水加热到时开始沸腾； ②手机号码的末位数字为偶数； ③的绝对值小于0； ④掷一枚质地均匀的骰子所得点数小于3； ⑤从装有3个白球和6个红球的不透明的袋子（袋中只有白球和红球，它们除了颜色不同以外没有任何其他区别，且球已搅匀）中摸出1个球是红球． 【答案】①必然事件；②随机事件；③不可能事件；④随机事件；⑤随机事件；可能性从小到大的顺序排列为 【详解】解：①1个标准大气压下水加热到时开始沸腾是必然事件，∴发生的概率． ②手机号码的末位数字为偶数是随机事件，从0到9的数字中有5个奇数、5个偶数， 手机号码的末位数字为偶数的概率． ③的绝对值小于0是不可能事件， 发生的概率． ④掷一枚质地均匀的骰子所得点数小于3是随机事件，点数小于3的概率． ⑤从装有3个白球和6个红球的不透明的袋子（袋中只有白球和红球，它们除了颜色不同外没有任何其他区别，且球已搅匀）中摸出1个球是红球是随机事件，摸到红球的概率． ， ∴这些事件的序号按发生的可能性从小到大的顺序排列为． 题型3.改变条件使事件发生的可能性相同 1．有5张背面完全相同的卡片，正面分别标有成语故事：“水满则溢”、“水中捞月”、“一步登天”、“水涨船高”、“刻舟求剑”．将卡片背面朝上洗匀后，从中随机抽取一张．为使抽到的卡片正面的成语故事中不可能事件和必然事件的可能性相等，小明增加了一张卡片，则这张卡片正面的成语故事可能为（   ） A．百步穿杨 B．大海捞针 C．守株待兔 D．瓮中捉鳖 【答案】D 【分析】需使不可能事件与必然事件的数量相等，从而概率相同. 【详解】解：原卡片中不可能事件有3个（水中捞月、一步登天、刻舟求剑），必然事件有2个（水满则溢、水涨船高），增加一张卡片后总数为6张；若新增卡片为必然事件，则必然事件数量变为3，与不可能事件数量3相等，此时两者的概率均为； 选项D“瓮中捉鳖”是必然事件，满足条件； 故选：D. 2．一只不透明的袋子中装有2个白球和3个红球，现在向袋中再放入n个白球，袋中的这些球除颜色外都相同，搅匀后从中任意摸出1个球，若要使摸到白球比摸到红球的可能性大，则n的最小值等于______． 【答案】2 【分析】使得不透明的袋子中白球比红球的个数多1即可求解． 【详解】解：∵要使摸到白球比摸到红球的可能性大， ∴n的最小值等于3+1-2=2． 故答案为：2． 【点睛】本题考查了可能性的大小，本题可以通过比较白球和红球的个数求解． 3．盒中装有红球、黄球共100个，每个球除颜色以外都相同，每次从盒中摸一个球，摸三次，请你设计下面几种情况的摸球方案． (1)摸到红球是不可能的； (2)摸到红球是必然的； (3)摸到红球情况有三种：很可能，可能，不太可能． 【答案】(1)盒中只有100个黄球，摸出1个红球； (2)盒中只有100个红球，摸出1个红球； (3) 盒中有99个红球、1个黄球，摸到红球； 盒中有50个红球，50个黄球，摸出1个红球； 盒中有99个黄球，1个红球，摸出1个红球（答案不唯一）． 【分析】（1）不放红球即可． （2）都放红球即可． （3）根据可能性的程度确定红球比例即可． 【详解】（1）解：略． （2）解：略． （3）解：略． 【点睛】本题主要考查随机事件概率的运算方法，能够通过概率大小确定红球个数是解题关键． 题型4.概率的意义理解 1．下列说法正确的是（     ） A．“明天的降水概率为”，意味着明天下雨的可能性较大 B．“任意画一个三角形，其内角和是”是随机事件 C．“某彩票中奖概率是”，表示买50张这种彩票一定会中奖 D．抛一枚硬币20次，有11次正面朝上，则正面向上的概率为 【答案】A 【分析】根据概率的含义和必然事件、随机事件的定义，逐一判断选项即可. 【详解】解：∵ A选项中明天的降水概率为，概率大于，意味着明天下雨的可能性较大，∴A正确； ∵ 任意三角形的内角和一定是，该事件是必然事件，不是随机事件，∴B错误； ∵ 彩票中奖概率表示中奖的可能性，买张这种彩票也不一定会中奖，∴C错误； ∵ 抛硬币每次抛出，正面向上的概率都是，和之前的抛掷结果无关，∴D错误. 2．抛掷一枚质地均匀的硬币，前面100次抛掷有53次正面朝上，第101次抛掷正面朝上的概率是______． 【答案】 【分析】本题考查了概率的定义．根据概率的意义可知，每一次正面朝上的概率都为，据此即可求解． 【详解】解：每一次正面朝上的概率都为， 第101次抛掷该硬币出现正面朝上的概率是． 故答案为：． 3．解释下列句子的意思： (1)从布袋中取出1个红球的概率是90%； (2)玩“石头、剪刀、布”游戏时，每次出手势后能分出胜负的概率是； (3)在某个问题给出的3个选项中只有一个正确，随机选一个，选对的概率是． 【答案】(1)大量重复摸球时，布袋中取1个红球的频率稳定在90%附近； (2)大量重复游戏时，两人玩“石头、剪刀、布”每次出手分胜负的频率稳定在附近； (3)大量重复选择时，3个选项中随机选对的频率稳定在附近． 【分析】概率是表示随机事件发生可能性大小的数值，其含义可通过“大量重复试验中，事件发生的频率接近该概率值”来描述． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 题型5.判断几个事件概率的大小关系 1．下列是任意抛掷一枚质地均匀的正六面体骰子所得结果，其中发生的可能性最大的是（    ） A．朝上的点数为2 B．朝上的点数为7 C．朝上的点数为2的倍数 D．朝上的点数不大于2 【答案】C 【分析】抛掷一枚质地均匀的正六面体骰子，点数1~6朝上的概率相等，都是，据此计算各个选项所代表事件的概率． 【详解】解：A、朝上点数为2的可能性为； B、朝上点数为7的可能性为0； C、朝上点数为2的倍数的可能性为； D、朝上点数不大于2的可能性为． 故选C． 【点睛】本题主要考查事件可能性的大小，掌握等可能事件发生的概率公式是解题的关键． 2．一个不透明的袋子中装有1个红球，2个黑球，1个白球，它们除颜色外都相同，若从中任意摸出1个球，摸出红球的可能性_________摸出白球的可能性（填“大于”、“小于”或“等于”）． 【答案】 等于 【分析】本题考查可能性的大小，分别计算从中任意摸出1个球，摸出红球的可能性和摸出白球的可能性，比较二者大小即可得到答案． 【详解】解：袋子中球的总个数为 ， 从中任意摸出1个球， 摸出红球的可能性大小为 ，摸出白球的可能性大小为 ， 因此摸出红球的可能性等于摸出白球的可能性． 3．有一个转盘（如图所示），被分成6个相等的扇形，颜色分为红、绿、黄三种，指针的位置固定．转动转盘后任其自由停止，其中的某个扇形会恰好停在指针所指的位置（指针指向两个扇形的交线时，重新转动）．下列事件：①指针指向红色；②指针指向绿色；③指针指向黄色；④指针不指向黄色；⑤指针不指向绿色． 思考各事件的可能性大小，然后回答下列问题：    (1)可能性最大和最小的事件分别是哪个？（用序号表示） (2)将这些事件的序号按发生的可能性从小到大的顺序排列． 【答案】(1)⑤；② (2) 【分析】（1）分别求出各个事件的概率，即可比较出对应事件可能性大小关系； （2）根据所求的概率，即可得出答案． 【详解】（1）∵共3红2黄1绿相等的六部分， ∴①指针指向红色的概率为； ②指针指向绿色的概率为； ③指针指向黄色的概率为； ④指针不指向黄色的概率为， ⑤指针不指向绿色的概率为， ∴可能性最大的是⑤，可能性最小的事件是②； （2）解：由（1）得：． 【点睛】本题考查的是可能性大小的判断，解决这类题目要注意具体情况具体对待．用到的知识点为：可能性等于所求情况数与总情况数之比． 题型6.列举随机实验的所有可能结果 1．如左图的天平架是平衡的，其中同一种物体的质量都相等，如右图，现将不同质量的一“○”和一个“”从通道的顶端同时放下，两个物体等可能的向左或向右落在下面的托盘中，此时两个托盘上物体的质量分别为和，则下列关系可能出现的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分析左图可知，1个“ ”的质量等于2个“○”的质量．两个物体等可能的向左或向右落时，共有4种情况，分别计算出左边托盘和右边托盘的质量，即可得出和的关系． 【详解】解：由左图可知2个“○”与1个“ ”的质量等于2个“ ”的质量， 1个“ ”的质量等于2个“○”的质量． 右图中，两个物体等可能的向左或向右落在下面的托盘中， 共有4种情况： （1）“○”和“ ”都落到左边的托盘时： 左边有3个“○”2个“ ”，相当于7个“○”，右边有2个“ ”，相当于4个“○”，此时； （2）“○”和“ ”都落到右边的托盘时： 左边有2个“○”1个“ ”，相当于4个“○”，右边有3个“ ” 1个“○”，相当于7个“○”，此时； （3）“○”落到左边的托盘，“ ” 落到右边的托盘时： 左边有3个“○”1个“ ”，相当于5个“○”，右边有3个“ ”，相当于6个“○”，此时； （4）“○”落到右边的托盘，“ ” 落到左边的托盘时： 左边有2个“○”2个“ ”，相当于6个“○”，右边有2个“ ” 1个“○”，相当于5个“○”，此时； 观察四个选项可知，只有选项C符合题意， 故选C． 【点睛】本题考查等可能事件、等式的性质，解题的关键是读懂题意，计算所有等可能情况下和的比值． 2．从中取三个不同的数，使它们的和能被3整除，且至少有一个是偶数，则不同的取法共有___________种． 【答案】 【分析】利用排除法，先计算所有和能被整除的取法，再减去三个都是奇数且和能被3整除的取法，即可得到结果. 【详解】解：先将按除以的余数分为三类：余的数有，共个，其中奇数个，偶数个；余的数有，共个，其中奇数个，偶数个；余的数有，共个，其中奇数个，偶数个； 三个数和能被整除的情况分为四类：三个都余；三个都余；三个都余；一个余一个余一个余， 三个都余的总取法：含有的组合有4个，含有的组合有3个，含有的组合有2个，含有的组合有1个，共个，即含有3的组合有10个； 同理含有6的组合（不含有3）有6个；含有9的组合（不含有3、6）有3个；含有12的组合（不含有3、6、9）有1个， 一共有个； 同理三个都余的组合有35种；三个都余的组合有35种；一个余一个余一个余的组合有294种； 总取法有种， 三个都是奇数且和能被3整除的取法： 其中被3整除的类中奇数组合有，1个； 被3除余1的类中奇数组合有、、、，共4个； 被3除余2的类中奇数组合有，1个； 从三列奇数中各取一个的取法有种， 全为奇数的取法共有种， 故至少有一个偶数的不同取法为：种. 3．求解下列问题： （1）在1～10这10个自然数中，每次取两个数，使得所取两数之和大于10，共有多少种取法？ （2）在1～100这100个自然数中，每次取两个数，使得所取两数之和大于100，共有多少种取法？ （3）你还能提出什么问题？ （4）各边长度都是整数、最大边长为11的三角形有多少个？本题与上述哪个问题有联系？它们的区别是什么？ 【答案】（1）；（2）； （3）（答案不唯一）在1到21这21个自然数中，每次取两个不同的数，使得所取的两个数之和大于21，有多少种不同的取法？ （4）36， 根据题意得：①每次取两个不同的数，使得所取的两个数之和大于11，有10+8+6+4+2=30种不同的取法； ②若另两个数相同，则6+6，7+7，…，11+11，共6种不同的取法；所以各边长都是整数，最大边长为11的三角形有：30+6=36（个）． 【分析】（1）仔细分析题意，可先取出一个数，根据取出的这个数来确定另一个数的可能取值，取第一个数为10，则第二个数可以为1，2,……，9,同理第一个数取9，可以发现若第一个数为10，则可能的取法有9种，若第一个数取9，则可能的取法有7种，若第一个数取8，可能的取法有5种，……，将所有类别的取法相加，即可求得结果； （2）利用类似于（1）的方法进行分析即可解答； （3）提一个类似于（1）（2）的问题即可； （4）结合（1）、（2）的方法，注意要考虑两边相等的情况 【详解】（1）根据题意每次取的两个数之和大于10，可能取法为： 10+1、10+2、10+3、…10+9，共9种 9+2、 9+3、 9+4、 …9+8，共7种 8+3、8+4、8+5、8+6、8+7，共5种 7+4、7+5、7+6，共3种 6+5，共1种 所以可能的取法共有9+7+5+3+1=（种） （2）同理可得可能的取法的种数为=2500（种） （3）略． （4）略． 它与上述两个问题都类似，区别这个问题要考虑两个数相同时的情况． 【点睛】此题考查分类加法计数原理的运用.分类加法计数原理：完成一件事，有n类办法，在第1类办法中有m1种不同的方法，在第2类办法中有m2种不同的方法，……，在第n类办法中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有m1+m2+……+mn种不同的方法.注意分类后，寻找规律，避免大量运算，其次注意分类讨论要不重不漏． 题型7.判断实验所得结果是否是等可能的 1．在一次数学活动课上，某数学老师将1~10共十个整数依次写在十张不透明的卡片上（每张卡片上只写一个数字，每一个数字只写在一张卡片上，而且把写有数字的那一面朝下），他先像洗扑克牌一样打乱这些卡片的顺序，然后把甲，乙，丙，丁，戊五位同学叫到讲台上，随机地发给每位同学两张卡片，并要求他们把自己手里拿的两张卡片上的数字之和写在黑板上，写出的结果依次是：甲：7；乙：12；丙：17；丁：3；戊：16根据以上信息，下列判断正确的是（    ） A．戊同学手里拿的两张卡片上的数字是9和7 B．丙同学手里拿的两张卡片上的数字是9和8 C．乙同学手里拿的两张卡片上的数字是4和8 D．甲同学手里拿的两张卡片上的数字是2和5 【答案】B 【分析】正确的推理判断即可求解． 【详解】解：因为丁同学手里拿的两张卡片上的数字之和是3，所以丁拿的卡片只能是1和2，则甲同学手里拿的就只能是3和4． 如果戊同学手里拿的两张卡片上的数字是9和7， 则乙同学拿的就是6和6，因为不能重复，所以A是错误的； 如果丙同学拿的是9和8，则乙同学拿的是5和7，戊同学拿的就是10和6，符合数学的演绎推理，是正确的． 根据数学选择题的四选一原则，就选B． 故选：B． 【点睛】本题考查数学演绎推理，结合数学知识，进行正确的演绎推理是解决本题的关键， 2．准备三张大小一样的纸片，上面印有不同的图案（如照片、自己画的图片等），把每张纸片都对折，剪成大小一样的两张图片（如图所示）．将这六张小纸片有图案的一面朝下，然后混合，让你的同伴随机抽出两张小纸片．你认为抽出的两张小纸片正好能成功拼成原图的机会大吗？猜一猜，大概平均几次里会有一次成功呢？收集拼图片活动的试验数据，检验恰好拼成原图的频率是否随试验次数的增加而趋于稳定． 【答案】猜测：抽出的两张小纸片正好能成功拼成原图的机会不大，若尝试20次，大概平均次里会有一次成功； 收集拼图片活动的试验数据如下： 实验者 试验次数（） 成功次数（） 成功的频率（） 同学A 20 4 0.20 同学B 20 5 0.25 同学C 20 3 0.15 同学D 20 4 0.20 同学E 20 6 0.25 同学F 20 2 0.10 合计 120 24 0.20 检验发现：少量试验时，各组的频率会出现波动（0.20、0.25、0.15、0.10各不相同）；把多组试验合并，总试验次数变多，总频率就接近理论值 0.2，即大量重复试验时，拼成原图的频率会逐渐稳定在 0.2 附近 【详解】略 3．彤彤抛五次硬币，次正面朝上，次反面朝上，她抛第次时，下面说法正确的是哪一个？（    ） A．一定正面朝上 B．一定反面朝上 C．不可能正面朝上 D．有可能正面朝上也有可能反面朝上 【答案】D 【分析】根据等可能事件的意义解答即可． 【详解】解：抛硬币正面朝上和反面朝上的概率相同， 每一次抛都是有可能正面朝上也有可能反面朝上， 故选：D． 【点睛】本题考查了等可能事件的定义，能够正确判断事件发生的概率是解本题的关键． 题型8.根据概率公式计算概率 1．一个不透明袋子装有3个红球，2个白球，除颜色外完全相同，随机摸出一个球是红球的概率为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：袋子中装有3个红球，2个白球，除颜色外完全相同，总球数为． 随机摸出一个球是红球的概率为． 2．中国象棋是起源于中国的传统棋类益智游戏，共有32枚棋子，其中马有4枚，将所有棋子背面朝上打乱，从中随机抽取一枚棋子，抽到马的概率为________． 【答案】 【详解】解：抽到马的概率为． 3．某人制成了一个如图所示的转盘，转盘被分成8个相同的扇形，取名为“开心大转盘”．游戏规定：参与者自由转动转盘，转盘停止后，若指针指向字母“A”，则交费2元；若指针指向字母“B”，则获奖3元；若指针指向字母“C”，则获奖1元． (1)任意转动转盘一次，转盘停止后，参与者交费2元、参与者获奖3元、参与者获奖1元的概率各为多少？ (2)任意转动转盘一次，参与者获奖的概率是多少？ 【答案】(1)，， (2) 【详解】（1）解：由题意得，参与者交费2元的概率为， 参与者获奖3元的概率为， 参与者获奖1元的概率为； （2）解：， 答：任意转动转盘一次，参与者获奖的概率是． 题型9.根据概率作判断 1．将个硬币分别单独放在桌面上，其中有个硬币反面朝上，其余硬币正面朝上．规定一次操作必须同时翻转4个不同的硬币，次操作的目标是使所有的硬币都正面朝上． ①如果，而，那么不能实现目标 ②如果，而，那么最小等于 ③如果且（为正整数），若，那么不能实现目标 以上判断正确的个数有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】根据题意，设正面朝上记为，反面朝上记为，根据其和的奇偶性，以及每次同时翻转个不同的硬币，每次不改变和的奇偶性，根据所有的硬币都正面朝上，其和的奇偶性进行判断即可求解． 【详解】解：①如果，而， 则, ∵一次操作必须同时翻转个不同的硬币， ∴每次都改变硬币的正反，不论怎么操作总有个硬币反面朝上或朝下， ∴不能实现目标；故①正确 ②如果，而， 设正面朝上记为，反面朝上记为， 则有个和个，其和为奇数， ∵一次操作必须同时翻转个不同的硬币， ∴每次操作改变个数，其和仍然为奇数， ∴不能实现目标； 故②不正确； ③如果且（为正整数），若， 同②可知，设正面朝上记为，反面朝上记为， 则有个和个，其和为，是奇数， ∵一次操作必须同时翻转个不同的硬币，次操作的目标是使所有的硬币都正面朝上． ∴每次操作改变个数，其和仍然为奇数，而目标的结果为偶数， ∴不能实现目标； 故③正确， 故选：C． 【点睛】本题考查了逻辑推理，概率，能够将问题转化是解题的关键． 2．在一个不透明的箱子中放有10张除地名外完全相同的卡片，卡片数量如表．从箱子中抽出一张卡片，卡片上的地名最有可能是_____． 地名 卡片数量 岳麓山 5张 铜官窑 2张 橘子洲头 3张 【答案】岳麓山 【分析】根据概率的定义，分别计算抽到各地名卡片的概率，比较概率大小，概率最大的就是最有可能抽出的地名. 【详解】解：总共有10张等可能的卡片， 抽到岳麓山的概率为， 抽到铜官窑的概率为， 抽到橘子洲头的概率为， 比较大小得，抽到岳麓山的概率最大，因此卡片上的地名最有可能是岳麓山. 3．自由转动如图所示的转盘，按指针所指区域的指示行动． (1)转动若干次，最后是在出发点前的可能性大还是在出发点后的可能性大？试一试． (2)连续转动20次，看看情况如何． 【答案】(1)最后是在出发点后的可能性大 (2)连续转动20次，结果具有随机性，但总体趋势是后退．例如，若“前进一步”出现10次，“后退两步”出现10次，则总前进的总步数为步，后退的总步数为步．实际操作中，由于每次转动的结果随机，最终位置可能因具体结果而异，但大概率会出现在出发点后 【分析】（1）根据指针停在红色区域和绿色区域的可能性相同，再根据停在红色区域前进一步，停在绿色区域后退两步进行解答即可； （2）根据指针停在红色区域和绿色区域的可能性相同，再根据每次“前进”只移动1步，而“后退”移动2步，进行解答即可． 【详解】（1）解：∵红色区域和绿色区域的面积相等， ∴指针停在红色区域和绿色区域的概率相等，即“前进一步”和“后退两步”的概率一样大， ∵每次“前进”只移动1步，而“后退”移动2步， ∴从步数上看，后退的步数更多， ∴最后是在出发点后的可能性大； （2） 略 题型10.已知概率求数量 1．从某班学生中随机选一名学生是女生的概率是，则该班女生与男生的人数比是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据概率得出女生与全班学生的比例，进而即可求解． 【详解】解：从某班学生中随机选一名学生是女生的概率是， 该班女生人数占总人数的， 该班男生人数占总人数的， 该班女生与男生的人数比是． 2．在一个不透明的盒子中装有4个白球，m个黄球，它们除颜色不同外，其余均相同．若从中随机摸出一个球是白球的概率为，则m＝_____． 【答案】1 【分析】本题考查概率的计算与分式方程的求解，根据摸出白球的概率，结合概率公式列分式方程求解即可，掌握概率公式与分式方程的解法是解题的关键． 【详解】解：从中随机摸出一个球是白球的概率为， ， 解得 ， 检验，当时，，原分式方程有意义 是原分式方程的解． 3．某大型超市店庆开展幸运摸球抽奖活动，抽奖箱中装有红色一等奖球、黄色二等奖球、白色纪念球共计50个，小球大小、重量一模一样，无法靠手感区分．顾客随机从中摸取1个小球，摸到红球斩获一等奖．工作人员清点奖品球数量时得知：黄球的数量比白球数量的2倍少5个，摸到红球的概率为． (1)求抽奖箱中白球的个数； (2)求从抽奖箱中摸出一个球是黄球的概率； (3)从抽奖箱中取走2个白球和3个黄球后，求从剩余的球中摸出一个球是红球的概率． 【答案】(1)抽奖箱中白球的个数为15个； (2)从抽奖箱中摸出一个球是黄球的概率为； (3)从剩余的球中摸出一个球是红球的概率为． 【分析】（1）总个数乘以红球的概率求出红球个数，据此得出黄、白球的总个数，设抽奖箱中白球的个数为x个，根据黄球个数比白球个数的2倍少5个及球的总个数列出关于x的方程，解之即可； （2）用黄球的个数除以球的总个数即可； （3）用红球的个数除以抽奖箱中剩余球的总个数即可． 【详解】（1）解：抽奖箱中红球的个数为（个）， 则抽奖箱中黄、白球的总个数为（个）， 设抽奖箱中白球的个数为x个， 则， 解得， ∴抽奖箱中白球有15个； （2）解：由（1）知，抽奖箱中黄球的个数为个， 所以从抽奖箱中摸出一个球是黄球的概率为； （3）解：取走2个白球和3个黄球后，红球有10个，球的总个数为45个， 所以从剩余的球中摸出一个球是红球的概率为． 题型11.几何概率 1．“七巧板”是我国古代劳动人民发明的一种益智玩具，如图是用“七巧板”拼成的一只“小猫”图案，一个小球（看作一点）在“小猫”图案上随机滚动并停留在某块板上，则它停在小猫头部（阴影部分）的概率是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意得到图中阴影部分面积为“七巧板”拼成的正方形的面积的，据此进行解答即可． 【详解】解：设七巧板中最小的三角形面积为， 根据七巧板的面积关系：整个七巧板（小猫图案）总面积为； 小猫头部阴影部分是个最小三角形加中间正方形，面积和为； 因此小球停在阴影部分的概率为． 2．如果小球在如图所示的地板上自由滚动，并随机停留在某块方砖上，每一块方砖除颜色外完全相同，它最终停留在黑砖上的概率是________． 【答案】 【分析】它最终停留在黑砖上的概率是黑色区域的面积与总面积的比值，解答即可． 【详解】解：设每块小正方形的面积为1，则总面积为12，黑砖的面积为6， 故它最终停留在黑砖上的概率是． 3．图、、是正方形的网格纸板，现进行投针试验，分别随意向三个纸板上投一针． (1)分别求出投中纸板、上的阴影部分的概率． (2)请在图中选取部分方格涂上阴影，使得投中阴影部分的概率等于（1）中求得的概率． (3)如果把纸板上的虚线去掉，（1）、（2）中求得的概率发生变化吗？你能总结出投中阴影部分概率的公式吗？ 【答案】(1)， (2) 解：涂色如下： (3)概率不发生变化，阴影部分概率的公式为 【分析】本题主要考查了几何概率的求法，解题的关键是掌握简单概率公式． （1）利用简单概率公式求解即可； （2）根据概率公式画出图形即可； （3）根据简单概率公式判断即可． 【详解】（1）解：大正方形包含的小正方形个数为（个） 图①阴影部分的正方形个数为8个， 投中纸板上阴影部分的概率为； 图②阴影部分可以看作是矩形的对角线和小正方形的对角线构成的三角形， 每一个阴影三角形的面积等于的矩形面积的一半，即为2个小正方形的面积， 图②阴影部分的正方形个数为个， 投中纸板上阴影部分的概率为； （2）略 （3）解：概率不发生变化， 阴影部分概率的公式为． 题型12.列举法求概率 1．将正面分别标有数字，背面花色相同的三张卡片洗匀后，背面朝上放在桌面上．随机抽取一张作为个位上的数字（不放回），再随机抽取一张作为十位上的数字，两张卡片组成的数恰好为“12”的概率是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】注意抽取为不放回类型，用列举法找出所有等可能结果，结合概率公式计算． 【详解】解：∵ 不放回抽取两张卡片组成两位数，共有6种等可能的结果，分别为12，13，21，23，31，32，其中恰好为12的结果有1种， ∴恰好为“12”的概率为． 2．如图，小球从口往下落，在每个交叉口都有向左或向右两种可能，且可能性相等，则小球最终从口落出的概率为______． 【答案】 【分析】根据“在每个交叉口都有向左或向右两种可能，且可能性相等”可知在点处都是等可能情况，从而得到在四个出口也都是等可能情况，然后直接利用概率公式即可得解． 【详解】解：由图可知，在每个交叉口都有向左或向右两种可能，且可能性相等，小球最终落出的点共有四个，小球最终从点落出的情况只有种情况， 所以小球最终从口落出的概率为． 3．2026年江苏省城市足球联赛常规赛于4月11日正式开赛，四场比赛分别是常州南通，扬州苏州，无锡镇江，连云港盐城． (1)有四场足球赛：常州南通，扬州苏州，无锡镇江，连云港盐城．小明随机观看一场，则观看扬州苏州的概率为___________； (2)某比赛场馆共有四个入口：入口2，3通往南看台，入口1，4通往北看台．小华和小丽将随机选择入口进入场馆现场观看比赛，求他们在相同一侧看台观赛的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用“随机事件的概率该事件可能出现的结果数所有等可能出现的结果总数”这一公式求解； （2）先通过列表法列出两人选择入口的所有等可能结果，再统计出“两人选择同一侧看台”的结果数，最后用目标结果数除以总结果数得到概率． 【详解】（1）解：由题意可知，共有4场比赛，小明随机观看一场，其中观看扬州苏州的情况只有1种， 则观看扬州苏州的概率为； （2）解：根据题意，用列表法列出所有可能的结果： 小华小丽 1(北) 2(南) 3(南) 4(北) 1（北） 2（南） 3（南） 4（北） 由表格可知，共有16种等可能的结果，其中两人在同一侧看台的结果有8种： 同在北看台： 同在南看台： 答：他们在相同一侧看台观赛的概率为． 题型13.列表法或树状图法求概率 1．小新和小颖两人一起做游戏，游戏规则如下：每人从1，2，3，…，10中任意选择一个数，两人选择的数字不能重复，然后两人各转动一次转盘（如图，转盘被分成5个面积相等的扇形），选择的数等于两人转得的数字之和的人为获胜者．如果两人选择的数都不等于转得的数字之和，那么就再做一次上述游戏，直至决出胜负．若你是游戏者，则为了获胜应选择的数是（     ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【分析】列表得出所有等可能的结果数，再从中找到符合条件的结果数，判断即可得解． 【详解】解：列表可得： 小新 小颖 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 6 2 3 4 5 6 7 3 4 5 6 7 8 4 5 6 7 8 9 5 6 7 8 9 10 由表格可得，共有种等可能出现的结果，其中出现的次数最多，为次，即选择获胜的概率最大， 故如果你是游戏者，你获胜选择的数是． 2．为全面落实大课间体育活动制度，丰富学生的课间生活，我校在课间开展羽毛球、滚铁环、篮球三项运动，每人自由选择其中一项，则小晴和小茵选择同一项运动的概率是______________． 【答案】 【分析】先画出树状图，列举两人选择运动的所有等可能结果，再找出两人选择同一项运动的结果数，最后利用概率公式计算即可． 【详解】解：记羽毛球为，滚铁环为，篮球为．根据题意，画树状图如下： 由树状图可知，共有种等可能的结果，其中小晴和小茵选择同一项运动的结果有种，故所求概率为． 3．小明在阅读了《少年中国说》后，制作了如图所示的三张卡片（这三张卡片分别用字母表示．正面文字依次是少、年、强，这三张卡片除正面内容不同外，其余均相同）．现将三张卡片背面朝上，洗匀放好，小明从中随机抽取一张卡片不放回，小亮再从中随机抽取一张卡片．请用列表法或树状图法．求两人抽取的卡片恰好组成“少年”一词的概率． 【答案】 【分析】先画出树状图得到所有等可能性的结果数， 再找到符合题意的结果数，最后依据概率计算公式求解即可． 【详解】解：画树状图为： 由树状图可知一共有种等可能性的结果数，其中两人抽取的卡片恰好组成“少年”一词的结果数有种， ∴两人抽取的卡片恰好组成“少年”一词的概率是． ✵分层专项训练 一、单选题 1．下列事件属于不确定事件的是（     ） A．掷一次骰子，朝上一面的点数大于0 B．从装有3个白球的袋中摸出一个红球 C．明天太阳从西边升起 D．奥运射击冠军盛李豪射击一次，命中10环 【答案】D 【分析】直接对各选项的可能性进行分析，判断说法的正误． 【详解】解：A． 掷一次骰子，朝上一面的点数最小为，必然大于，是必然事件，不符合题意； B． 从装有个白球的袋中摸出红球，是不可能事件，不符合题意； C．明天太阳从西边升起，是不可能事件，不符合题意； D．奥运射击冠军盛李豪射击一次，可能命中环，也可能不命中，是不确定事件，符合题意． 2．一副扑克牌（包含大小王，共54张）从中随机抽取1张，下列事件发生的概率最大的是（   ） A．抽到的牌的数字为5 B．抽到的牌的花色为黑桃 C．抽到的牌是大王或小王 D．抽到的牌是J或Q或K 【答案】B 【分析】本题考查求概率，分别求出各选项中的概率进行判断即可． 【详解】解：抽到的牌的数字为5的概率为；抽到的牌的花色为黑桃的概率为；抽到的牌是大王或小王的概率为，抽到的牌是J或Q或K的概率为， ∵； 故概率最大的是选项B． 故选B． 【点睛】概率比较直接基于有利事件数与总事件数的比值，简单直观． 3．一个不透明袋子里装有3个红球，2个白球，这些球除颜色外完全相同，从中任意摸出一个球，摸到红球的概率是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】概率等于所求情况数与总情况数之比． 【详解】解：∵一个不透明袋子里装有3个红球，2个白球， ∴总球数为， ∴从中任意摸出一个球，摸到红球的概率是． 4．如图，学校现将闲置空地分成A、B、C三部分给学生种植白菜、茄子、辣椒三种蔬菜，每部分试验田只能种植一种蔬菜，则种植白菜与辣椒两种蔬菜不相邻的概率是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先确定所有等可能的安排结果数，再确定白菜与辣椒不相邻的结果数，代入概率公式求解． 【详解】解：所有可能的种植情况如下表： 种植方案 A B C 1 白菜 茄子 辣椒 2 白菜 辣椒 茄子 3 茄子 白菜 辣椒 4 茄子 辣椒 白菜 5 辣椒 白菜 茄子 6 辣椒 茄子 白菜 由表可得，总共有6种等可能的种植方案，其中白菜与辣椒不相邻的种植方案有2种（方案1，6），所以白菜与辣椒两种蔬菜不相邻的概率． 二、填空题 5．在一次数学活动课上，某数学老师将共十个整数依次写在十张不透明的卡片上（每张卡片上只写一个数字，每一个数字只写在一张卡片上，而且把写有数字的那一面朝下）．他先像洗扑克牌一样打乱这些卡片的顺序，然后把甲，乙，丙，丁，戊五位同学叫到讲台上，随机地发给每位同学两张卡片，并要求他们把自己手里拿的两张卡片上的数字之和写在黑板上．写出的结果依次是：甲：；乙：；丙：；丁：；戊：．根据以上信息．请判断戊同学手里拿的两张卡片上的数字是______和______． 【答案】 【分析】根据所有数字互不重复的条件，从和最小的结果入手，列举每种和对应的所有可能数字组合，逐步排除已使用的数字，推理得到剩余未使用数字，最终确定戊手中的两个数字． 【详解】解：由题意可知，十个数字互不重复，五人每人两张卡片，所有数字不重复， 由丁：，可知中两个不同数字和为只有，因此丁手中数字为和； 由甲：，可知和为的不同数字组合为和，和，和，和已被使用，因此甲手中数字只能为和； 此时已使用数字为，剩余未使用数字为， 由乙：，剩余数字中和为的组合只有，其他组合均包含已使用数字，因此乙手中数字为和； 此时已使用数字新增，剩余未使用数字为 ， 由丙：，剩余数字中和为的组合只有，因此丙手中数字只能为和； 此时剩余未使用数字为和，因为，符合戊的和，因此戊同学手里拿的两张卡片上的数字是和． 6．用图中两个可以自由转动的转盘做“配紫色”游戏，分别转动两个转盘，若其中一个转出红色，另一个转出蓝色即可配成紫色，那么可配成紫色的概率是________． 【答案】 【分析】根据题意和图形可知，第一个图形转到红色，同时第二个图形转到蓝色或第一个图形转到蓝色，同时第二个图形转到红色，可配成紫色，画出树状图，从而可以求得可配成紫色的概率． 【详解】解：∵第一个转盘红色占， ∴第一个转盘可以分为1份红色，3份蓝色， ∵第二个转盘红色的圆心角为，占， ∴第二个转盘可以分为1份红色，2份蓝色， ∴画树状图为 由图可知，共有12种等可能的结果数，其中一个转出红色，另一个转出蓝色的占5种， ∴可配成紫色的概率是． 三、解答题 7．商场“迎新年”促销活动规定：在不透明的袋中装有个红球和若干个白球，它们除颜色外其他都相同，凡购物满元，奖励一次在袋中摸球抽奖的机会，若从该袋中第一次摸出1个白球后不放回并搅匀，再摸出1个，摸到白球的概率是． (1)请直接写出袋中白球的个数； (2)该商场采用“在线支付”和“现金支付”两种付款方式，满500元均可抽奖．抽奖者从该不透明的袋中同时取出两个球，根据抽奖者的付款方式和球的颜色决定赠送相应券值的礼金券．试判断采用哪种付款方式，获得元礼金券的概率较大，请说明理由． 在线支付 现金支付 球 两红 一红一白 两白 球 两红 一红一白 两白 礼金券/元 礼金券/元 20 5 20 【答案】(1)袋中白球的个数是3 (2)选择“在线支付”获得20元礼金券的概率较大． 理由：依题意列表如下： 红 红 白 白 白 红 （红，红） （红，白） （红，白） （红，白） 红 （红，红） （红，白） （红，白） （红，白） 白 （白，红） （白，红） （白，白） （白，白） 白 （白，红） （白，红） （白，白） （白，白） 白 （白，红） （白，红） （白，白） （白，白） 由表易知共有20种等可能的结果，其中抽到两个红球的结果有2种，抽到一个红球一个白球的结果有12种，抽到两个白球的结果有6种， 采用“在线支付”获得20元礼金券的概率为，采用“现金支付”获得20元礼金券的概率为． ， ∴选择“在线支付”获得20元礼金券的概率较大． 【分析】（1）直接利用概率公式可得答案． （2）列表可得出所有等可能的结果数以及抽到两个红球的结果数、抽到一个红球一个白球的结果数、抽到两个白球的结果数，再利用概率公式可求出采用在线支付获得20元的礼金券的概率和采用现金支付获得20元的礼金券的概率，进而可得结论． 【详解】（1）设袋中白球的个数为x， 从该袋中第一次摸出1个白球后不放回并搅匀，再摸出1个，摸到白球的概率是 ， 解得，经检验，是原方程的解，且符合题意， 袋中白球的个数是3； （2）略． 8．云南为我国非遗大省，为丰富学生课余生活，了解非遗文化，某校组织甲、乙两个班去本地区“彝族海菜腔”和“白族扎染”两个非遗社团学习，老师通过游戏方式确定去哪个非遗社团． 游戏规则如下： 制作如图所示的两个转盘，每个转盘分别等分为两部分和三部分，第一个转盘上的两种颜色记为a，b，第二个转盘上的三种颜色记为c，d，e，各转动两个转盘一次，第一个转盘的转动结果为x，第二个转盘的转动结果为y．已知红色和蓝色配成紫色，若最终两个转盘的结果配成紫色则甲班去“彝族海菜腔”社团，乙班去“白族扎染”社团，若不能配成紫色，则甲班去“白族扎染”社团，乙班去“彝族海菜腔”社团． (1)请用列表法或画树状图法中的一种方法，求所有可能出现的结果总数． (2)求甲班去“白族扎染”社团，乙班去“彝族海菜腔”社团的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）用树状图列举所有等可能结果，两个转盘分别有种和种结果，总数； （2）根据“红色+蓝色配成紫色”的规则，区分“配成紫色”与“不能配成紫色”两种情况，分别对应甲、乙去不同社团，用古典概型公式求概率． 【详解】（1）解：画树状图如下： 共有6种等可能的结果总数，即． （2）解：根据游戏规则判断：能配成紫色（红+蓝）的结果：，共种 不能配成紫色的结果：，共种， 不能配成紫色时，甲去“白族扎染”、乙去“彝族海菜腔”， ， ∴P（甲班去“白族扎染”社团，乙班去“彝族海菜腔”社团）＝＝． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05随机事件、简单随机事件的概率期中复习讲义 ✵复习目标 1.识别必然事件、不可能事件、随机事件，区分确定事件与随机事件。 2.理解概率的意义，掌握概率的取值范围。 3.掌握等可能条件下简单随机事件的概率公式，能用列表法、树状图法不重不漏列举所有等可能结果并计算概率。 ✵高频题型梳理 题型1.事件的分类 题型2.判断事件发生的可能性的大小 题型3.改变条件使事件发生的可能性相同 题型4.概率的意义理解 题型5.判断几个事件概率的大小关系 题型6.列举随机实验的所有可能结果 题型7.判断实验所得结果是否是等可能的 题型8.根据概率公式计算概率 题型9.根据概率作判断 题型10.已知概率求数量 题型11.几何概率 题型12.列举法求概率 题型13.列表法或树状图法求概率 题型14.分层专项训练 ✵核心知识梳理 知识点一、事件的分类 必然事件：在一定条件下，必然会发生的事件。 不可能事件：在一定条件下，一定不会发生的事件。 必然事件与不可能事件统称为确定事件。 随机事件：在一定条件下，可能发生，也可能不发生的事件，也叫不确定事件。 随机事件发生的可能性有大小，不同随机事件发生的可能性大小可能不同。 知识点二、概率的意义与取值范围 概率用来刻画事件发生可能性的大小，记作P(A)。 必然事件：P(A)=1； 不可能事件：P(A)=0； 随机事件：0<P(A)<1 随机事件发生的可能性越大，概率越接近1；可能性越小，概率越接近0。 知识点三、等可能条件下的概率公式 当一次试验满足两个条件：①所有可能结果只有有限个；②各个结果发生的可能性相等。 P(A)= n:试验所有等可能的结果总数； m：事件A所包含的等可能结果的个数。 知识点四、列举等可能结果的方法 列表法：适合试验包含两步的情形，有序列出全部等可能结果。 树状图法：适合两步或多步试验，清晰列举所有结果，避免重复、遗漏。 ✵易错提醒 1.运用P(A)=的前提是试验结果等可能；若各结果可能性不相等，不能直接套用公式。 2.列举结果时，区分放回试验与不放回试验，两种情况总的等可能结果数不同。 3.概率仅表示事件发生可能性的大小，不能预测单次试验是否一定发生。 ✵典例精讲 题型1.事件的分类 1．下列事件属于随机事件的是（     ） A．太阳从东方升起 B．标准大气压下水在沸腾 C．掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上 D．三角形内角和为 2．下列事件：①明天是晴天；②任意掷一枚质地均匀的骰子，向上的一面的点数是偶数；③在标准大气压下，气温为时，冰能熔化成水；④0大于一切负数．其中是必然事件的有__________（填序号）． 3．下列事件中，哪些是必然事件？哪些是不可能事件？哪些是随机事件？为什么？ (1)打开电视机，它正在播广告； (2)抛掷10枚硬币，结果是3个正面朝上与8个反面朝上； (3)黑暗中，我从我的一大串钥匙中随便选中一把，用它打开了门； (4)投掷一枚普通的正方体骰子，掷得的数不是奇数便是偶数； (5)我将一粒种子埋在土里，给它阳光和水分，它会长出小苗． 题型2.判断事件发生的可能性的大小 1．下列诗句所描述的事件中，发生的可能性最小的是（     ） A．黄河入海流 B．大漠孤烟直 C．手可摘星辰 D．红豆生南国 2．从形状、大小相同的9张数字卡片中任意抽1张，抽出的恰好是①偶数；②小于6的数；③不小于9的数．将这些事件的序号按发生的可能性从大到小排列，则有__________（用“”连接）． 3．下列五个事件中，哪些是必然事件？哪些是不可能事件？哪些是随机事件？根据你的判断，把这些事件的序号按发生的可能性从小到大的顺序排列． ①1个标准大气压下水加热到时开始沸腾； ②手机号码的末位数字为偶数； ③的绝对值小于0； ④掷一枚质地均匀的骰子所得点数小于3； ⑤从装有3个白球和6个红球的不透明的袋子（袋中只有白球和红球，它们除了颜色不同以外没有任何其他区别，且球已搅匀）中摸出1个球是红球． 题型3.改变条件使事件发生的可能性相同 1．有5张背面完全相同的卡片，正面分别标有成语故事：“水满则溢”、“水中捞月”、“一步登天”、“水涨船高”、“刻舟求剑”．将卡片背面朝上洗匀后，从中随机抽取一张．为使抽到的卡片正面的成语故事中不可能事件和必然事件的可能性相等，小明增加了一张卡片，则这张卡片正面的成语故事可能为（   ） A．百步穿杨 B．大海捞针 C．守株待兔 D．瓮中捉鳖 2．一只不透明的袋子中装有2个白球和3个红球，现在向袋中再放入n个白球，袋中的这些球除颜色外都相同，搅匀后从中任意摸出1个球，若要使摸到白球比摸到红球的可能性大，则n的最小值等于______． 3．盒中装有红球、黄球共100个，每个球除颜色以外都相同，每次从盒中摸一个球，摸三次，请你设计下面几种情况的摸球方案． (1)摸到红球是不可能的； (2)摸到红球是必然的； (3)摸到红球情况有三种：很可能，可能，不太可能． 题型4.概率的意义理解 1．下列说法正确的是（     ） A．“明天的降水概率为”，意味着明天下雨的可能性较大 B．“任意画一个三角形，其内角和是”是随机事件 C．“某彩票中奖概率是”，表示买50张这种彩票一定会中奖 D．抛一枚硬币20次，有11次正面朝上，则正面向上的概率为 2．抛掷一枚质地均匀的硬币，前面100次抛掷有53次正面朝上，第101次抛掷正面朝上的概率是______． 3．解释下列句子的意思： (1)从布袋中取出1个红球的概率是90%； (2)玩“石头、剪刀、布”游戏时，每次出手势后能分出胜负的概率是； (3)在某个问题给出的3个选项中只有一个正确，随机选一个，选对的概率是． 题型5.判断几个事件概率的大小关系 1．下列是任意抛掷一枚质地均匀的正六面体骰子所得结果，其中发生的可能性最大的是（    ） A．朝上的点数为2 B．朝上的点数为7 C．朝上的点数为2的倍数 D．朝上的点数不大于2 2．一个不透明的袋子中装有1个红球，2个黑球，1个白球，它们除颜色外都相同，若从中任意摸出1个球，摸出红球的可能性_________摸出白球的可能性（填“大于”、“小于”或“等于”）． 3．有一个转盘（如图所示），被分成6个相等的扇形，颜色分为红、绿、黄三种，指针的位置固定．转动转盘后任其自由停止，其中的某个扇形会恰好停在指针所指的位置（指针指向两个扇形的交线时，重新转动）．下列事件：①指针指向红色；②指针指向绿色；③指针指向黄色；④指针不指向黄色；⑤指针不指向绿色． 思考各事件的可能性大小，然后回答下列问题：    (1)可能性最大和最小的事件分别是哪个？（用序号表示） (2)将这些事件的序号按发生的可能性从小到大的顺序排列． 题型6.列举随机实验的所有可能结果 1．如左图的天平架是平衡的，其中同一种物体的质量都相等，如右图，现将不同质量的一“○”和一个“”从通道的顶端同时放下，两个物体等可能的向左或向右落在下面的托盘中，此时两个托盘上物体的质量分别为和，则下列关系可能出现的是（    ） A． B． C． D． 2．从中取三个不同的数，使它们的和能被3整除，且至少有一个是偶数，则不同的取法共有___________种． 3．求解下列问题： （1）在1～10这10个自然数中，每次取两个数，使得所取两数之和大于10，共有多少种取法？ （2）在1～100这100个自然数中，每次取两个数，使得所取两数之和大于100，共有多少种取法？ （3）你还能提出什么问题？ （4）各边长度都是整数、最大边长为11的三角形有多少个？本题与上述哪个问题有联系？它们的区别是什么？ 题型7.判断实验所得结果是否是等可能的 1．在一次数学活动课上，某数学老师将1~10共十个整数依次写在十张不透明的卡片上（每张卡片上只写一个数字，每一个数字只写在一张卡片上，而且把写有数字的那一面朝下），他先像洗扑克牌一样打乱这些卡片的顺序，然后把甲，乙，丙，丁，戊五位同学叫到讲台上，随机地发给每位同学两张卡片，并要求他们把自己手里拿的两张卡片上的数字之和写在黑板上，写出的结果依次是：甲：7；乙：12；丙：17；丁：3；戊：16根据以上信息，下列判断正确的是（    ） A．戊同学手里拿的两张卡片上的数字是9和7 B．丙同学手里拿的两张卡片上的数字是9和8 C．乙同学手里拿的两张卡片上的数字是4和8 D．甲同学手里拿的两张卡片上的数字是2和5 2．准备三张大小一样的纸片，上面印有不同的图案（如照片、自己画的图片等），把每张纸片都对折，剪成大小一样的两张图片（如图所示）．将这六张小纸片有图案的一面朝下，然后混合，让你的同伴随机抽出两张小纸片．你认为抽出的两张小纸片正好能成功拼成原图的机会大吗？猜一猜，大概平均几次里会有一次成功呢？收集拼图片活动的试验数据，检验恰好拼成原图的频率是否随试验次数的增加而趋于稳定． 3．彤彤抛五次硬币，次正面朝上，次反面朝上，她抛第次时，下面说法正确的是哪一个？（    ） A．一定正面朝上 B．一定反面朝上 C．不可能正面朝上 D．有可能正面朝上也有可能反面朝上 题型8.根据概率公式计算概率 1．一个不透明袋子装有3个红球，2个白球，除颜色外完全相同，随机摸出一个球是红球的概率为（     ） A． B． C． D． 2．中国象棋是起源于中国的传统棋类益智游戏，共有32枚棋子，其中马有4枚，将所有棋子背面朝上打乱，从中随机抽取一枚棋子，抽到马的概率为________． 3．某人制成了一个如图所示的转盘，转盘被分成8个相同的扇形，取名为“开心大转盘”．游戏规定：参与者自由转动转盘，转盘停止后，若指针指向字母“A”，则交费2元；若指针指向字母“B”，则获奖3元；若指针指向字母“C”，则获奖1元． (1)任意转动转盘一次，转盘停止后，参与者交费2元、参与者获奖3元、参与者获奖1元的概率各为多少？ (2)任意转动转盘一次，参与者获奖的概率是多少？ 题型9.根据概率作判断 1．将个硬币分别单独放在桌面上，其中有个硬币反面朝上，其余硬币正面朝上．规定一次操作必须同时翻转4个不同的硬币，次操作的目标是使所有的硬币都正面朝上． ①如果，而，那么不能实现目标 ②如果，而，那么最小等于 ③如果且（为正整数），若，那么不能实现目标 以上判断正确的个数有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 2．在一个不透明的箱子中放有10张除地名外完全相同的卡片，卡片数量如表．从箱子中抽出一张卡片，卡片上的地名最有可能是_____． 地名 卡片数量 岳麓山 5张 铜官窑 2张 橘子洲头 3张 3．自由转动如图所示的转盘，按指针所指区域的指示行动． (1)转动若干次，最后是在出发点前的可能性大还是在出发点后的可能性大？试一试． (2)连续转动20次，看看情况如何． 题型10.已知概率求数量 1．从某班学生中随机选一名学生是女生的概率是，则该班女生与男生的人数比是（     ） A． B． C． D． 2．在一个不透明的盒子中装有4个白球，m个黄球，它们除颜色不同外，其余均相同．若从中随机摸出一个球是白球的概率为，则m＝_____． 3．某大型超市店庆开展幸运摸球抽奖活动，抽奖箱中装有红色一等奖球、黄色二等奖球、白色纪念球共计50个，小球大小、重量一模一样，无法靠手感区分．顾客随机从中摸取1个小球，摸到红球斩获一等奖．工作人员清点奖品球数量时得知：黄球的数量比白球数量的2倍少5个，摸到红球的概率为． (1)求抽奖箱中白球的个数； (2)求从抽奖箱中摸出一个球是黄球的概率； (3)从抽奖箱中取走2个白球和3个黄球后，求从剩余的球中摸出一个球是红球的概率． 题型11.几何概率 1．“七巧板”是我国古代劳动人民发明的一种益智玩具，如图是用“七巧板”拼成的一只“小猫”图案，一个小球（看作一点）在“小猫”图案上随机滚动并停留在某块板上，则它停在小猫头部（阴影部分）的概率是（     ） A． B． C． D． 2．如果小球在如图所示的地板上自由滚动，并随机停留在某块方砖上，每一块方砖除颜色外完全相同，它最终停留在黑砖上的概率是________． 3．图、、是正方形的网格纸板，现进行投针试验，分别随意向三个纸板上投一针． (1)分别求出投中纸板、上的阴影部分的概率． (2)请在图中选取部分方格涂上阴影，使得投中阴影部分的概率等于（1）中求得的概率． (3)如果把纸板上的虚线去掉，（1）、（2）中求得的概率发生变化吗？你能总结出投中阴影部分概率的公式吗？ 题型12.列举法求概率 1．将正面分别标有数字，背面花色相同的三张卡片洗匀后，背面朝上放在桌面上．随机抽取一张作为个位上的数字（不放回），再随机抽取一张作为十位上的数字，两张卡片组成的数恰好为“12”的概率是（     ） A． B． C． D． 2．如图，小球从口往下落，在每个交叉口都有向左或向右两种可能，且可能性相等，则小球最终从口落出的概率为______． 3．2026年江苏省城市足球联赛常规赛于4月11日正式开赛，四场比赛分别是常州南通，扬州苏州，无锡镇江，连云港盐城． (1)有四场足球赛：常州南通，扬州苏州，无锡镇江，连云港盐城．小明随机观看一场，则观看扬州苏州的概率为___________； (2)某比赛场馆共有四个入口：入口2，3通往南看台，入口1，4通往北看台．小华和小丽将随机选择入口进入场馆现场观看比赛，求他们在相同一侧看台观赛的概率． 题型13.列表法或树状图法求概率 1．小新和小颖两人一起做游戏，游戏规则如下：每人从1，2，3，…，10中任意选择一个数，两人选择的数字不能重复，然后两人各转动一次转盘（如图，转盘被分成5个面积相等的扇形），选择的数等于两人转得的数字之和的人为获胜者．如果两人选择的数都不等于转得的数字之和，那么就再做一次上述游戏，直至决出胜负．若你是游戏者，则为了获胜应选择的数是（     ） A．5 B．6 C．7 D．8 2．为全面落实大课间体育活动制度，丰富学生的课间生活，我校在课间开展羽毛球、滚铁环、篮球三项运动，每人自由选择其中一项，则小晴和小茵选择同一项运动的概率是______________． 3．小明在阅读了《少年中国说》后，制作了如图所示的三张卡片（这三张卡片分别用字母表示．正面文字依次是少、年、强，这三张卡片除正面内容不同外，其余均相同）．现将三张卡片背面朝上，洗匀放好，小明从中随机抽取一张卡片不放回，小亮再从中随机抽取一张卡片．请用列表法或树状图法．求两人抽取的卡片恰好组成“少年”一词的概率． ✵分层专项训练 一、单选题 1．下列事件属于不确定事件的是（     ） A．掷一次骰子，朝上一面的点数大于0 B．从装有3个白球的袋中摸出一个红球 C．明天太阳从西边升起 D．奥运射击冠军盛李豪射击一次，命中10环 2．一副扑克牌（包含大小王，共54张）从中随机抽取1张，下列事件发生的概率最大的是（   ） A．抽到的牌的数字为5 B．抽到的牌的花色为黑桃 C．抽到的牌是大王或小王 D．抽到的牌是J或Q或K 3．一个不透明袋子里装有3个红球，2个白球，这些球除颜色外完全相同，从中任意摸出一个球，摸到红球的概率是（     ） A． B． C． D． 4．如图，学校现将闲置空地分成A、B、C三部分给学生种植白菜、茄子、辣椒三种蔬菜，每部分试验田只能种植一种蔬菜，则种植白菜与辣椒两种蔬菜不相邻的概率是（     ） A． B． C． D． 二、填空题 5．在一次数学活动课上，某数学老师将共十个整数依次写在十张不透明的卡片上（每张卡片上只写一个数字，每一个数字只写在一张卡片上，而且把写有数字的那一面朝下）．他先像洗扑克牌一样打乱这些卡片的顺序，然后把甲，乙，丙，丁，戊五位同学叫到讲台上，随机地发给每位同学两张卡片，并要求他们把自己手里拿的两张卡片上的数字之和写在黑板上．写出的结果依次是：甲：；乙：；丙：；丁：；戊：．根据以上信息．请判断戊同学手里拿的两张卡片上的数字是______和______． 6．用图中两个可以自由转动的转盘做“配紫色”游戏，分别转动两个转盘，若其中一个转出红色，另一个转出蓝色即可配成紫色，那么可配成紫色的概率是________． 三、解答题 7．商场“迎新年”促销活动规定：在不透明的袋中装有个红球和若干个白球，它们除颜色外其他都相同，凡购物满元，奖励一次在袋中摸球抽奖的机会，若从该袋中第一次摸出1个白球后不放回并搅匀，再摸出1个，摸到白球的概率是． (1)请直接写出袋中白球的个数； (2)该商场采用“在线支付”和“现金支付”两种付款方式，满500元均可抽奖．抽奖者从该不透明的袋中同时取出两个球，根据抽奖者的付款方式和球的颜色决定赠送相应券值的礼金券．试判断采用哪种付款方式，获得元礼金券的概率较大，请说明理由． 在线支付 现金支付 球 两红 一红一白 两白 球 两红 一红一白 两白 礼金券/元 礼金券/元 20 5 20 8．云南为我国非遗大省，为丰富学生课余生活，了解非遗文化，某校组织甲、乙两个班去本地区“彝族海菜腔”和“白族扎染”两个非遗社团学习，老师通过游戏方式确定去哪个非遗社团． 游戏规则如下： 制作如图所示的两个转盘，每个转盘分别等分为两部分和三部分，第一个转盘上的两种颜色记为a，b，第二个转盘上的三种颜色记为c，d，e，各转动两个转盘一次，第一个转盘的转动结果为x，第二个转盘的转动结果为y．已知红色和蓝色配成紫色，若最终两个转盘的结果配成紫色则甲班去“彝族海菜腔”社团，乙班去“白族扎染”社团，若不能配成紫色，则甲班去“白族扎染”社团，乙班去“彝族海菜腔”社团． (1)请用列表法或画树状图法中的一种方法，求所有可能出现的结果总数． (2)求甲班去“白族扎染”社团，乙班去“彝族海菜腔”社团的概率． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $