期中复习专题3——拓展探究与压轴突破- 2026-2027学年北师大版八年级数学上册

期中复习专题3——拓展探究与压轴突破 （北师大版八年级上册：期中核心考点） 目录 一、专题定位 1 二、核心考点梳理 1 三、压轴与拓展 2 题型1：含隐含条件二次根式化简求值解答题 2 题型2：无理数整数、小数部分结合代数式求值综合题 6 题型3：二次根式新定义阅读理解探究题 9 题型4：勾股定理翻折多问几何综合解答题 13 题型5：构造直角三角形几何探究解答题 18 题型6：坐标系中点坐标与两点间距离 23 题型7：坐标系动点线段相等存在性探究题 31 一、专题定位 本专题聚焦勾股定理、实数、位置与坐标跨章节综合问题，精准对标八上期中统考压轴命题方向。着重落实数形结合、分类讨论、几何建模、动态探究四大核心数学思想，针对多问式大题、隐含条件挖掘、动点分析等学生思维短板开展专项突破。本专题面向班级优生培优，适用于期中第三轮复习、压轴专项讲练、拔高限时训练，训练学生拆解复杂大题的能力，攻克试卷拉分压轴题，实现高分段突破。 二、核心考点梳理 章节 考点 勾股定理 直角三角形翻折几何综合计算与证明；最短路径多场景分类讨论；辅助线构造直角三角形几何探究 实数 含隐含条件的二次根式化简求值；无理数估算与整数、小数部分代数式综合求值；同类二次根式参数求解；二次根式新定义阅读理解与探究 位置与坐标 坐标与勾股定理跨章综合判定直角三角形；坐标系动点线段、面积存在性探究；坐标变换与几何条件结合的分类讨论综合问题 三、压轴与拓展 题型1：含隐含条件二次根式化简求值解答题 1.（25-26八年级下·广东汕头·期末）阅读材料：把根式进行化简，若能找到两个数，使，，即把变成，从而可以对根式进行化简． 例如：化简：． 解：， ． 根据上述材料，解答下列问题． （1）化简：． （2）化简：． （3）计算：． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】（1）仿照例题即可求解； （2）将化为，再利用二次根式的性质化简计算； （3）将变形为，再利用二次根式的性质化简计算． （1）解：∵， ∴； （2）解：∵ ， 而，则 ∴； （3）解： ． 2.（26-27九年级上·河南南阳·阶段检测）已知，化简二次根式的正确结果是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先确定出a、b的取值范围，再根据二次根式性质化简即可． 解：∵， ， ∵， ，， ． 3.（24-25八年级上·上海闵行·阶段检测）已知实数a、c满足，则________． 【答案】 【分析】将原式变形配方，利用平方和二次根式的非负性求出和的值，再代入计算目标式． 解：∵， ∴对等式变形整理得 ， ∵（二次根式有意义时，）， ∴上式可化为 ， ∵平方数和二次根式均为非负数，两个非负数的和为， ∴， ∴， 解得，， ∴， 代入得 ． 4.（25-26七年级下·上海·期末）化简 （1）； （2）； （3）． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】（1）先利用完全平方公式进行变形，再利用二次根式的性质计算即可得出结果； （2）先利用完全平方公式进行变形，再利用二次根式的性质计算即可得出结果； （3）先利用完全平方公式进行变形，再利用二次根式的性质计算即可得出结果． （1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 题型2：无理数整数、小数部分结合代数式求值综合题 1.（26-27八年级上·陕西咸阳·阶段检测）规定用符号表示一个实数的整数部分，一个实数减去它的整数部分表示这个实数的小数部分，例如：，的小数部分为；，的小数部分为．按此规定解答下列问题： （1） ，的小数部分为 ； （2）若，分别是的整数部分和小数部分，求，的值． 【答案】（1）3，；（2），． 【分析】（1）估算出无理数的范围，从而得到无理数的整数部分和小数部分； （2）根据二次根式的混合运算化简，估算出无理数的范围，得到无理数的整数部分和小数部分． （1）解：∵， ∴， ∴， ∴的小数部分为， 故答案为：3，； （2）解：， ∵，， ∴， ∴，． 2.（2025·广东佛山·一模）若的整数部分为，小数部分为，则（   ） A．2 B． C．0 D． 【答案】A 【分析】本题考查了估算无理数的大小的应用，解题的关键是求出、的值．根据的范围，求出的范围，从而确定、的值，代入所求式子计算即可． 解： 的整数部分为a，小数部分为b， ， 故选：A． 3.（25-26七年级下·黑龙江齐齐哈尔·期中）若的整数部分为a，小数部分为b，则___________． 【答案】/ 【分析】本题考查无理数整数部分与小数部分的计算，先估算得到的取值范围，进而推得的取值范围，求出，的值，再代入代数式计算即可． 解：， ， 不等式各项同时减1，得， 的整数部分，小数部分 ， ∴． 4.（25-26七年级下·山东济宁·期中）已知，x为的整数部分，y为的小数部分．求的值． 【答案】 【分析】由，可得a+b=33，再根据x为的整数部分，y为的小数部分，确定x、y的值代入计算即可． 解：∵，，， ∴∴． ∵，x为的整数部分，y为的小数部分， ∴，．∴． 答：的值为． 【点拨】本题考查了非负数的性质，以及估算无理数的大小，求出x、y的值是解决问题的关键． 题型3：二次根式新定义阅读理解探究题 1.（25-26八年级下·河南新乡·期中）定义：若两个二次根式的代数式，满足，且是有理数，则称与是关于的“友好二次根式”． （1）若m与是关于的友好二次根式，求的值； （2）若与是关于的友好二次根式，求的值． 【答案】（1）；（2）2 【分析】（1）根据新定义计算即可求解； （2）根据题意，得，解方程，即可求解． （1）解：根据题意，得． （2）解：根据题意，得． ∴． ∴． ∴． 2.（24-25八年级下·山东德州·期中）对于任意不相等的两个实数，定义运算※如下：当时，，当时，，例如，按上述规定，计算的结果为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是实数的运算，根据所给的式子求出和的值，再根据二次根式的加减计算方法进行计算即可． 解：由题意得， ， ， ， 故选：B． 3.（24-25八年级下·江苏宿迁·阶段检测）对于任意两个不相等的正实数，，定义一种新运算“”，即，如，则______． 【答案】 【分析】根据定义的新运算列式为，将其计算即可． 解：∵， ∴ ． 4.（25-26七年级上·河北保定·期中）定义新运算：对于任意有理数a，b，都有，等式右边是通常的加法、减法及乘法运算，比如，数字2和5在该新运算下结果为-5，计算如下： （1）求的值； （2）对于有理数a，b，若定义运算：，计算的值等于____________； （3）试说明无论x取何值时，都为定值． 【答案】（1）11；（2）7；（3）解：， ， ， 因此，无论x取何值，结果均为0，是定值 【分析】此题主要考查了定义新运算． （1）根据的定义计算即可； （2）根据的定义计算即可； （3）根据的定义分别计算和，相减即可． （1）解：∵， ∴ ； （2）解：∵， ∴； 故答案为：7； （3）略 题型4：勾股定理翻折多问几何综合解答题 1.（25-26八年级下·全国·周测）如图，在长方形纸片中，为的中点，连接，将沿折叠得到，连接．若，，求的长． 【答案】 【分析】连接交于点，由折叠可知：，，可得垂直平分，再证，得到，在中，利用等面积法求出的长，最后在中，利用勾股定理即可求出答案． 解：如图，连接交于点． 将沿折叠得到， ，，垂直平分． 为的中点， ， ． ， ， ， ． 在中，由勾股定理，得， ， ． 在中，由勾股定理，得． 【点拨】本题主要考查了翻折变换，矩形的性质，勾股定理，平行线的判定和性质等内容，熟练掌握翻折变换和勾股定理的应用是解题的关键． 2.（26-27八年级上·福建三明·阶段检测）直角三角形纸片的两直角边长分别为，，现将如图那样折叠，使点与点重合，折痕为，则的值是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由折叠可得，设，则，根据勾股定理建立方程求出的长度，即可求解的值． 解：根据题意得，设，则． 在中，根据勾股定理得：， 即， 解得， 故． 3.（25-26八年级下·北京·期末）如图，在中，，，．将分别沿，折叠，使点A，C都与点B重合，若，则________． 【答案】 【分析】根据折叠计算可得，设，则，利用勾股定理列方程即可解答． 解：， ， 由折叠得，，，，， ∴， 设，则， 在中，， ， 解得， ． 4.（2025八年级上·全国·专题练习）如图，长方形中，，点分别在边上，沿着折叠长方形，使点分别落在处． （1）如图1，当落在线段的中点位置时，则 ； （2）如图2，若点与点重合，连接，当线段的值最小时，的长度为 ． 【答案】（1）；（2） 【分析】此题考查了翻折变换（折叠问题），矩形的性质，勾股定理，掌握翻折的性质以及勾股定理是解题的关键． 由折叠的性质可得，设，则，在中，利用勾股定理求出x的值，即可求解； 当共线时，的值最小，为的长，线段的值最小时，点在上的点处，点在点处，在中，由勾股定理得，设，由折叠的性质得，，从而得到，在中，利用勾股定理求出y的值，即可求解． （1）解：在长方形中，， 为线段的中点， ， 由折叠的性质，得， 设，则， 在中，由勾股定理得， ， 解得， ． 故答案为：． （2）连接， ， 当共线时，的值最小，为的长， 此时，点在上的点处，点在点处，如图， ， 在中，由勾股定理得， 设， 由折叠的性质得，， ， 在中，由勾股定理得， ， 解得， 线段的值最小时，的长度为． 故答案为：． 题型5：构造直角三角形几何探究解答题 1.（25-26八年级下·四川南充·期末）如图，为线段上一动点，分别过点、作，，连接，．已知，，，设，． （1）写出与的函数关系式． （2）求的最小值． 【答案】（1）；（2）的最小值为 【分析】（1）结合线段总长表示出直角三角形直角边，利用勾股定理分别表示、，相加化简得到与的函数关系式； （2）构造矩形转化水平、竖直线段长度，拼接出直角三角形，依据“两点之间线段最短”，将的最小值转化为直角三角形斜边长度，再用勾股定理计算最小值． （1）解：，， ， 为直角三角形， ， 同理，， ， 即； （2）解：过点作于，连接， 四边形是矩形， ，， ， 在中，， ， ， 的最小值为． 2.（2026八年级上·全国·专题练习）在同一平面内，点到直线的距离为，点到直线的距离为，，且、均在直线上方，若直线上有一点，连接、，则的最小值为（     ） A． B． C．或 D．或 【答案】A 【分析】用轴对称性质将转化为两点之间的线段长，再结合勾股定理计算最小值． 解：如图，，，，， 过点作交的延长线于点，则四边形是矩形， ，， ， 作点关于直线的对称点，可得，，则， ，根据两点之间线段最短，可知的最小值为线段的长度， 在中，， 即，解得， 在中，， 的最小值为． 3.（26-27八年级上·四川达州·阶段检测）如图，在中，，，D是线段上一点，连接，，，则的长为___． 【答案】 【分析】过作于，在两个直角三角形中用勾股定理建立关于的方程求出和，再在中求，最后由得解． 解：过作于点， ， ， ， 设，则， ， ， ， ， ，，， ，即， ， ． 4.（25-26八年级下·河南安阳·期末）一个手机支架的示意图如图所示．可分别绕点转动，测得．若，垂足分别为，求点到的距离． 【答案】 解：连接． ， ． ． ， ． ， ． ． 点到的距离为． 题型6：坐标系中点坐标与两点间距离 1.（25-26七年级下·山东德州·期中）【阅读理解】在平面直角坐标系中，已知点，点，点是线段的中点，则点的坐标为，如：，，则的中点的坐标为，即点的坐标为． （1）【知识应用】已知，，则线段的中点的坐标是 ． （2）【知识应用】若点，线段的中点坐标为，则点的坐标是 （用含、的式子表示）； （3）【思维拓展】已知三点，，，第四个点与点，点，点中的任意一个点构成的线段的中点，与另外两点构成的线段的中点重合，请求点的坐标． 【答案】（1）；（2）；（3）点的坐标为，或 【分析】（1）根据坐标中点公式求解即可； （2）设点的坐标为，根据坐标中点公式列方程组求解即可； （3）分类与中点重合时，与中点重合时，与中点重合时三种情况讨论即可． （1）解：∵，， 线段的中点的坐标是，即； （2）解：设点的坐标为， 点，线段的中点的坐标为， ， 解得：， 即点的坐标为； （3）解：分类讨论： ①与中点重合时， ， ，， 此时； ②与中点重合时， ， ，， 此时； ③与中点重合时， ， ，， 此时， 点的坐标为，或． 2.（25-26七年级下·陕西安康·期末）已知点，，且是的中点，则，，也可以理解为点关于点的对称点为．在平面直角坐标系中，有点，，点关于的对称点为，关于的对称点为，则点的坐标是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用中点坐标公式，若两点关于某点对称，则该对称中心是两点连线的中点，分步计算和的坐标即可. 解：设坐标为， ∵点关于的对称点为， ∴是线段的中点， ∴，， 解得，，即， 设坐标为， ∵关于的对称点为， ∴是线段的中点， ∴，， 解得，， ∴点的坐标为. 3.（25-26八年级下·江西赣州·期末）如图，在平面直角坐标系中，点，，，点是线段的中点，点在边上运动，点是边的中点，当为等腰三角形时，则点的坐标为__________． 【答案】或或 【分析】由点、坐标结合点是线段的中点求出点坐标，设点坐标为，根据两点距离公式求出、、，当为等腰三角形时，分、、三种情况分别列方程求解，即可得点的坐标． 解：∵，，点是线段的中点， ∴点坐标为， 点在边上运动，可设点坐标为， ∵点是边的中点，， ∴点坐标为， 又∵，， ∴，，， 当为等腰三角形时，分三种情况讨论： ①当时， ，解得或（不合题意，舍去）， 此时，； ②当时， ，解得或（不合题意，舍去）， 此时，； ③当时， ，解得， 此时，； 综上，当为等腰三角形时，点的坐标为或或． 4.（25-26八年级下·福建龙岩·期中）先阅读下列一段文字，再回答问题。 我们已经知道在数轴上，如果点A表示的数为a，点B表示的数为b，那么的长度等于，借助平面直角坐标系与勾股定理可以研究平面内两点，之间的距离，小明已经构建了如图所示平面直角坐标系及直角三角形，则两点间距离； （1）根据上面结论，已知点，，求的长； （2）已知点A，B所在的直线平行于y轴，点A的纵坐标为，点B的纵坐标为1，求A，B两点间的距离；当两点，所在的直线在坐标轴上或平行于坐标轴或垂直于坐标轴时，求两点间的距离； （3）已知，，在y轴上找点Q，使是以为腰的等腰三角形． 【答案】（1）10；（2）；或；（3）点的坐标为或或或 【分析】（1）根据给出公式求解； （2）根据坐标的特征，利用公式求解； （3）根据等腰三角形的定义，利用公式分两种情况进行讨论求解． （1）解：，， ∴； （2）解：设点A横坐标为t， ∵点A，B所在的直线平行于y轴，点A的纵坐标为，点B的纵坐标为1， ∴点A的坐标为， ∴； ①当点，在x轴上时，则， ∴； ②当点，在y轴上时，则， ∴； ③当平行y轴（或垂直x轴）时，则， ∴； ④当平行x轴（或垂直y轴）时，则， ∴； 综上所述：当点，所在的直线在坐标轴上或平行于坐标轴或垂直于坐标轴时，或； （3）解：设点Q的坐标为， ∵点，， ∴，，， ∵是以为腰的等腰三角形， ∴有以下两种情况： ①如图所示，当点M为顶点，为底边时，则， ∴， 整理得：， 解得：或， ∴点Q的坐标为或； ②如图所示，当点N为顶点，为底边时，则， ∴， 整理得：， 解得：或， ∴点Q的坐标为或， 综上所述：点Q的坐标为或或或． 题型7：坐标系动点线段相等存在性探究题 1.（25-26七年级下·黑龙江佳木斯·期末）如图，在以为原点的平面直角坐标系中，有一个长方形，，且．是边上的一点，且，动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿运动，最终到达点．设点运动的时间为秒． （1）填空：_____，_____； （2）求出点在运动过程中的面积（用含的式子表示）； （3）是否存在一点，使的面积等于20？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）8，6；（2）；（3）存在，点的坐标为或 【分析】（1）因为绝对值和算术平方根都具有非负性，两个非负数的和为0，则每个非负数都为0，所以可据此求出m、n的值． （2）先根据长方形的性质确定各点坐标，再按动点P的运动路径分两种情况：P在上、P在上，分别确定不同时间段t的取值范围，结合三角形面积公式或割补法表示出的面积S． （3）针对不同阶段的S的表达式，分别令，求解对应的t值，再根据t的取值范围判断解是否有效，进而求出对应P点的坐标． （1）解：根据非负数的性质：绝对值和算术平方根都是非负数， 若和为0， 则绝对值和算术平方根均为0， 可得：，， ∴， 解得，． （2）解：，，点运动速度为每秒2个单位，分两种情况讨论： ①当点在上（）：，的底为，高为的纵坐标， ∴ ②当点在上（）：坐标为， 长方形面积减去周围三个三角形面积， 可得： ． 综上，． （3）解：存在，点的坐标为或，推导如下： 若，令， 解得，符合范围， 此时； 若，令， 解得，符合范围， 此时． 2.（25-26八年级上·河南漯河·期中）如图，在平面直角坐标中，的顶点均在边长为1个单位长度的正方形网格的格点上，已知点，如果在x轴的下方存在一点D，使得与全等，那么点D的坐标为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的判定，点的坐标，理解没有用“”表示两三角形全等时，对应点不确定，以此进行分类讨论是解题的关键． 解：如图， 当时， 由图得：， 当时， 由图得：， 在x轴的下方的坐标为或， 使得与全等； 故选：D． 3.（25-26七年级下·江苏南通·期中）如图，在平面直角坐标系中，点，，，连接，，为折线段上的动点（不与点，重合），记，其中为实数． （1）当时，的最大值为______； （2）若存在最大值，则的最小值为______． 【答案】 3 2 【分析】（1）当时，表示折线段上的点到直线的距离，当点与点重合时，点到直线的距离最大，即可得的最大值； （2）点和点到直线的距离相等，且大于点到直线的距离，由不与点，重合，可得当时，无最大值，当点与点重合时，取最大值，即可得的最小值． （1）解：当时，， 根据绝对值的意义可知，表示折线段上的点到直线的距离， ∴当点与点重合时，点到直线的距离最大， ∴当时，的最大值为， （2）解：∵，，， ∴点和点到直线的距离相等，且大于点到直线的距离， ∵为折线段上的动点，且不与点，重合， ∴当时，无最大值， 当时，的最大值为，此时，点与点重合， ∴若存在最大值，则的最小值为． 4.（25-26八年级上·全国·单元复习）在长方形中，以点为坐标原点建立如下图所示的平面直角坐标系，，且，满足．有一动点从点出发，按逆时针方向以每秒个单位长度的速度在长方形上运动一周． （1）点的坐标为_______；当运动时，点的坐标为_______． （2）在运动过程中，当点距离原点个单位长度时，求点的运动时间． （3）点在线段上运动的过程中，是否存在一点，使得的面积为？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） ； ；（2）或；（3）存在，点的坐标为 【分析】本题考查了平面直角坐标系中的动点问题，（1）根据题干给出的条件可以得到，的值，即可求出点的坐标，根据的速度和运动时间可以求得的路程则可知此时的坐标；（2）判定点距离原点为时的点有几个，然后进行求解即可；（3）根据的面积为推导点的坐标，有解则存在，无解则不存在. （1）解： ； 解得， 则点 点； 当运动时，点P走过的路程为：， ； 故答案为：；. （2）解：， 当点距离原点个单位长度时，存在以下两种情况： ①点在线段上，如图①． 由题意得：在中， ，． 由勾股定理得： ． ， 点运动了个单位长度， 运动时间为； ②点与点重合． 因为， 所以点运动了个单位长度， 运动时间为． 综上所述，点的运动时间为或； 故答案为：或． （3）解：存在． 如图②所示，当点在线段上时， 设点的运动时间为，则， ． ， 即， 解得， ， 点的坐标为； 故答案为：存在，． 题型8：坐标几何多情况分类讨论压轴解答题 1. 2. 3. 4. 学科网（北京）股份有限公司 $ 期中复习专题3——拓展探究与压轴突破 （北师大版八年级上册：期中核心考点） 目录 一、专题定位 1 二、核心考点梳理 1 三、压轴与拓展 2 题型1：含隐含条件二次根式化简求值解答题 2 题型2：无理数整数、小数部分结合代数式求值综合题 3 题型3：二次根式新定义阅读理解探究题 4 题型4：勾股定理翻折多问几何综合解答题 5 题型5：构造直角三角形几何探究解答题 6 题型6：坐标系中点坐标与两点间距离 7 题型7：坐标系动点线段相等存在性探究题 9 一、专题定位 本专题聚焦勾股定理、实数、位置与坐标跨章节综合问题，精准对标八上期中统考压轴命题方向。着重落实数形结合、分类讨论、几何建模、动态探究四大核心数学思想，针对多问式大题、隐含条件挖掘、动点分析等学生思维短板开展专项突破。本专题面向班级优生培优，适用于期中第三轮复习、压轴专项讲练、拔高限时训练，训练学生拆解复杂大题的能力，攻克试卷拉分压轴题，实现高分段突破。 二、核心考点梳理 章节 考点 勾股定理 直角三角形翻折几何综合计算与证明；最短路径多场景分类讨论；辅助线构造直角三角形几何探究 实数 含隐含条件的二次根式化简求值；无理数估算与整数、小数部分代数式综合求值；同类二次根式参数求解；二次根式新定义阅读理解与探究 位置与坐标 坐标与勾股定理跨章综合判定直角三角形；坐标系动点线段、面积存在性探究；坐标变换与几何条件结合的分类讨论综合问题 三、压轴与拓展 题型1：含隐含条件二次根式化简求值解答题 1.（25-26八年级下·广东汕头·期末）阅读材料：把根式进行化简，若能找到两个数，使，，即把变成，从而可以对根式进行化简． 例如：化简：． 解：， ． 根据上述材料，解答下列问题． （1）化简：． （2）化简：． （3）计算：． 2.（26-27九年级上·河南南阳·阶段检测）已知，化简二次根式的正确结果是（     ） A． B． C． D． 3.（24-25八年级上·上海闵行·阶段检测）已知实数a、c满足，则________． 4.（25-26七年级下·上海·期末）化简 （1）； （2）； （3）． 题型2：无理数整数、小数部分结合代数式求值综合题 1.（26-27八年级上·陕西咸阳·阶段检测）规定用符号表示一个实数的整数部分，一个实数减去它的整数部分表示这个实数的小数部分，例如：，的小数部分为；，的小数部分为．按此规定解答下列问题： （1） ，的小数部分为 ； （2）若，分别是的整数部分和小数部分，求，的值． 2.（2025·广东佛山·一模）若的整数部分为，小数部分为，则（   ） A．2 B． C．0 D． 3.（25-26七年级下·黑龙江齐齐哈尔·期中）若的整数部分为a，小数部分为b，则___________． 4.（25-26七年级下·山东济宁·期中）已知，x为的整数部分，y为的小数部分．求的值． 题型3：二次根式新定义阅读理解探究题 1.（25-26八年级下·河南新乡·期中）定义：若两个二次根式的代数式，满足，且是有理数，则称与是关于的“友好二次根式”． （1）若m与是关于的友好二次根式，求的值； （2）若与是关于的友好二次根式，求的值． 2.（24-25八年级下·山东德州·期中）对于任意不相等的两个实数，定义运算※如下：当时，，当时，，例如，按上述规定，计算的结果为（   ） A． B． C． D． 3.（24-25八年级下·江苏宿迁·阶段检测）对于任意两个不相等的正实数，，定义一种新运算“”，即，如，则______． 4.（25-26七年级上·河北保定·期中）定义新运算：对于任意有理数a，b，都有，等式右边是通常的加法、减法及乘法运算，比如，数字2和5在该新运算下结果为-5，计算如下： （1）求的值； （2）对于有理数a，b，若定义运算：，计算的值等于____________； （3）试说明无论x取何值时，都为定值． 题型4：勾股定理翻折多问几何综合解答题 1.（25-26八年级下·全国·周测）如图，在长方形纸片中，为的中点，连接，将沿折叠得到，连接．若，，求的长． 2.（26-27八年级上·福建三明·阶段检测）直角三角形纸片的两直角边长分别为，，现将如图那样折叠，使点与点重合，折痕为，则的值是（     ） A． B． C． D． 3.（25-26八年级下·北京·期末）如图，在中，，，．将分别沿，折叠，使点A，C都与点B重合，若，则________． 4.（2025八年级上·全国·专题练习）如图，长方形中，，点分别在边上，沿着折叠长方形，使点分别落在处． （1）如图1，当落在线段的中点位置时，则 ； （2）如图2，若点与点重合，连接，当线段的值最小时，的长度为 ． 题型5：构造直角三角形几何探究解答题 1.（25-26八年级下·四川南充·期末）如图，为线段上一动点，分别过点、作，，连接，．已知，，，设，． （1）写出与的函数关系式． （2）求的最小值． 2.（2026八年级上·全国·专题练习）在同一平面内，点到直线的距离为，点到直线的距离为，，且、均在直线上方，若直线上有一点，连接、，则的最小值为（     ） A． B． C．或 D．或 3.（26-27八年级上·四川达州·阶段检测）如图，在中，，，D是线段上一点，连接，，，则的长为___． 4.（25-26八年级下·河南安阳·期末）一个手机支架的示意图如图所示．可分别绕点转动，测得．若，垂足分别为，求点到的距离． 题型6：坐标系中点坐标与两点间距离 1.（25-26七年级下·山东德州·期中）【阅读理解】在平面直角坐标系中，已知点，点，点是线段的中点，则点的坐标为，如：，，则的中点的坐标为，即点的坐标为． （1）【知识应用】已知，，则线段的中点的坐标是 ． （2）【知识应用】若点，线段的中点坐标为，则点的坐标是 （用含、的式子表示）； （3）【思维拓展】已知三点，，，第四个点与点，点，点中的任意一个点构成的线段的中点，与另外两点构成的线段的中点重合，请求点的坐标． 2.（25-26七年级下·陕西安康·期末）已知点，，且是的中点，则，，也可以理解为点关于点的对称点为．在平面直角坐标系中，有点，，点关于的对称点为，关于的对称点为，则点的坐标是（     ） A． B． C． D． 3.（25-26八年级下·江西赣州·期末）如图，在平面直角坐标系中，点，，，点是线段的中点，点在边上运动，点是边的中点，当为等腰三角形时，则点的坐标为__________． 4.（25-26八年级下·福建龙岩·期中）先阅读下列一段文字，再回答问题。 我们已经知道在数轴上，如果点A表示的数为a，点B表示的数为b，那么的长度等于，借助平面直角坐标系与勾股定理可以研究平面内两点，之间的距离，小明已经构建了如图所示平面直角坐标系及直角三角形，则两点间距离； （1）根据上面结论，已知点，，求的长； （2）已知点A，B所在的直线平行于y轴，点A的纵坐标为，点B的纵坐标为1，求A，B两点间的距离；当两点，所在的直线在坐标轴上或平行于坐标轴或垂直于坐标轴时，求两点间的距离； （3）已知，，在y轴上找点Q，使是以为腰的等腰三角形． 题型7：坐标系动点线段相等存在性探究题 1.（25-26七年级下·黑龙江佳木斯·期末）如图，在以为原点的平面直角坐标系中，有一个长方形，，且．是边上的一点，且，动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿运动，最终到达点．设点运动的时间为秒． （1）填空：_____，_____； （2）求出点在运动过程中的面积（用含的式子表示）； （3）是否存在一点，使的面积等于20？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 2.（25-26八年级上·河南漯河·期中）如图，在平面直角坐标中，的顶点均在边长为1个单位长度的正方形网格的格点上，已知点，如果在x轴的下方存在一点D，使得与全等，那么点D的坐标为（    ） A． B． C．或 D．或 3.（25-26七年级下·江苏南通·期中）如图，在平面直角坐标系中，点，，，连接，，为折线段上的动点（不与点，重合），记，其中为实数． （1）当时，的最大值为______； （2）若存在最大值，则的最小值为______． 4.（25-26八年级上·全国·单元复习）在长方形中，以点为坐标原点建立如下图所示的平面直角坐标系，，且，满足．有一动点从点出发，按逆时针方向以每秒个单位长度的速度在长方形上运动一周． （1）点的坐标为_______；当运动时，点的坐标为_______． （2）在运动过程中，当点距离原点个单位长度时，求点的运动时间． （3）点在线段上运动的过程中，是否存在一点，使得的面积为？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $