期中复习专题2——综合运算与推理证明- 2026-2027学年北师大版八年级数学上册

期中复习专题2——综合运算与推理证明 （北师大版八年级上册：期中核心基础考点） 目录 一、专题定位 1 二、核心考点梳理 2 三、必考、常考题型 2 题型1：二次根式标准化化简解答题 2 题型2：二次根式加减专项运算解答题 3 题型3：二次根式乘除专项运算解答题 3 题型4：二次根式四则混合运算解答题 4 题型5：二次根式分母有理化专项计算题 5 题型6：二次根式化简求值解答题 6 题型7：利用勾股定理解三角形解答题 8 题型8：勾股定理逆定理证明直角三角形解答题 9 题型9：勾股定理实际应用题（梯子、航海、距离测量模型） 11 题型10：几何体表面最短路径计算解答题 12 题型11：直角三角形、矩形折叠边长计算解答题 14 题型12：平面直角坐标系内两点距离计算题 15 题型13：割补法求解坐标系内多边形面积解答题 17 题型14：坐标与几何图形综合压轴题 19 题型15：利用勾股逆定理判断三角形形状填空题 22 一、专题定位 本专题整合勾股定理、实数、位置与坐标三章核心中档重难点，聚焦精准运算、逻辑推理、几何计算、坐标应用四大核心能力，是八上期中分值占比最高、提分关键的核心板块。区别于基础概念识记，本专题侧重公式性质的综合运用、解题步骤的规范书写、分类讨论数学思想的落地，针对性解决学生计算失误、几何推理逻辑混乱、解题步骤不完整等高频失分问题。适配期中第二轮专题复习、课堂专项讲练、课后拔高训练、中档题型组卷测评，全面覆盖两地期中选择、填空、解答高频中档考题。 二、核心考点梳理 章节 考点 勾股定理 直角三角形边长分类计算（斜边、直角边分类讨论）；勾股定理逆定理证明直角三角形、判定三角形形状；立体图形表面最短路径计算；直角三角形基础折叠边长计算 实数 二次根式核心性质综合应用；二次根式化简、四则运算、分母有理化；同类二次根式识别与合并运算；实数混合运算；算术平方根、绝对值双重非负性代数式求值 位置与坐标 平面直角坐标系内两点间距离公式计算；割补法求解坐标系内多边形面积；多次轴对称变换的坐标计算与规律应用 三、必考、常考题型 题型1：二次根式标准化化简解答题 1．（26-27八年级上·吉林长春·阶段检测）实数，在数轴上对应点的位置如图所示，化简：． 2．（26-27八年级上·江西·期中）下面我们观察： ，反之， ， ． 仿上例，求： （1）化简：； （2）计算： ． 3．（24-25八年级上·上海·阶段检测）计算： （1） （2） 4．（24-25八年级上·上海闵行·阶段检测）计算： （1） （2） 题型2：二次根式加减专项运算解答题 1．（26-27九年级上·福建泉州·阶段检测）计算： （1）； （2）． 2．（2026八年级上·全国·专题练习）计算 （1） （2） 3．（25-26八年级下·内蒙古呼和浩特·期末）计算： （1）； （2）． 4．（25-26八年级上·全国·课后作业）计算： （1）； （2）． 题型3：二次根式乘除专项运算解答题 1．（25-26八年级上·全国·随堂练习）计算： （1）； （2）． 2．（24-25八年级下·河南周口·期末）计算： （1）； （2） 3．（24-25八年级下·广西南宁·期中）计算： （1）； （2）． 4．（24-25八年级下·全国·课后作业）计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 题型4：二次根式四则混合运算解答题 1．（24-25八年级下·新疆乌鲁木齐·阶段检测）计算 （1） （2） （3） 2．（25-26八年级上·山西太原·期末）计算下列各题： （1）； （2）． 3．（25-26八年级下·全国·课后作业）计算： （1）． （2）． 4．（25-26八年级上·河南平顶山·期末）计算 （1） （2） 题型5：二次根式分母有理化专项计算题 1．（25-26八年级上·福建福州·期末）已知，； （1）计算______；______；______； （2）求的值． 2．（24-25八年级上·上海·阶段检测）计算：． 3．（25-26八年级上·全国·随堂练习）【类比思想】解决问题：已知，求的值．小明是这样分析与解答的： 因为， 所以， 所以，即， 所以， 所以． 请根据小明的分析过程，解答以下问题： （1）计算：； （2）计算： （3）若，求的值． 4．（24-25八年级下·山东聊城·阶段检测）小明在解决问题，已知，求的值，他是这样分析与解答的： ∵． ∴ ∴，即 ∴ ∴． 请你根据小明分析过程的思想方法，解决如下问题： （1）分母有理化：______， （2）计算：； （3）若，求的值． 题型6：二次根式化简求值解答题 1．（24-25八年级上·上海·阶段检测）已知：，，求代数式的值． 2．（25-26八年级上·陕西咸阳·阶段检测）已知，求代数式的值． 3．（25-26八年级下·云南·期中）某同学在解决问题：已知 ，求 的值时，他是这样分析的： 请你根据该同学的分析过程，解决如下问题： （1）化简： （2）若，求的值； 4．（25-26八年级下·浙江金华·期中）小明在解决问题：已知，求的值．他是这样分析与解的： ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 请你根据小明的分析过程，解决如下问题： （1）化简： （2）若． ①求的值． ②直接写出代数式的值 ； ． 题型7：利用勾股定理解三角形解答题 1．（26-27八年级上·江西九江·阶段检测）如图，在中，，点是延长线上的点，连接．若，，，求的长． 2．（26-27八年级上·陕西咸阳·阶段检测）如图，在中．于点D，若，，求的面积． 3．（24-25八年级上·山东青岛·阶段检测）如图，在中，，，，点从点开始沿 边向点以的速度移动，设运动时间为t秒． （1）用含t的代数式表示____，____ （2）t为何值时，的面积等于面积的一半？ 4．（2026八年级上·江苏·专题练习）如图，在中，，，，D，E分别是和边上的点，将沿折叠，点B的对应点为点． （1）若是的中点，则的长为__________． （2）若点在线段上（含端点），则的取值范围为__________． 题型8：勾股定理逆定理证明直角三角形解答题 1．（26-27八年级上·福建三明·阶段检测）定义：如图，点，把线段分割成，，，若以，，为边的三角形是一个直角三角形，则称点，是线段的勾股分割点． （1）已知点，把线段分割成，，，若，，，则点，是线段的勾股分割点吗请说明理由． （2）已知点，是线段的勾股分割点，且为直角边，若，，求的长． 2．（26-27八年级上·浙江金华·阶段检测）图为某学校安装的自动伸缩式窗户，图为其侧面示意图，窗框高度，、分别为伸缩杆与窗框、玻璃底部的连结点，．当窗户闭合时，、恰好重合． （1）当窗户开启最大模式时（如图），伸缩杆长度为，请判断伸缩杆与窗框的位置关系，并说明理由． （2）如图，当、间的垂直高度差时，求伸缩杆的长度． 3．（25-26八年级下·贵州黔西南·期中）如图，在四边形中，，，，，． （1）求的长； （2）求四边形的面积． 4．（25-26八年级下·辽宁大连·期末）如果把看作关于，，的方程，那么满足这个方程的正整数解，，通常叫作勾股数组，可以记作．毕达哥拉斯学派提出了一个构造勾股数组的公式，根据该公式可以构造出如下勾股数组：；；；… 分析这些勾股数组可以发现，，，，… （1）分析其中的规律，请写出一组满足上述规律的勾股数组； （2）小红将移项并因式分解得，请写出满足上述规律的第个勾股数组（用含的式子表示），并尝试用小红的方法证明； （3）若是满足上述规律的一组勾股数组，求的值． 题型9：勾股定理实际应用题（梯子、航海、距离测量模型） 1．（25-26八年级下·辽宁大连·期末）如图，一架长的梯子斜靠在一竖直的墙上，，这时，梯子的底端到墙底的距离为． （1）求此时梯子的顶端距地面的高度． （2）如果梯子的顶端沿墙下滑，那么梯子底端外移吗？通过计算说明你的结论． 2．（25-26八年级下·陕西西安·期末）如图，一艘轮船从海港沿正东方向向海港行驶，点处有一座灯塔，轮船行驶了后到达点处（即），此时轮船正好位于灯塔的正南方，继续向东行驶了到达海港处（即），已知灯塔到海港的距离为，求灯塔到海港的距离． 3．（26-27八年级上·山东枣庄·阶段检测）春天放风筝是深受大家喜爱的一项活动．如图，牵线放风筝的同学站在处，风筝在处，先测得他抓线的地方与地面的垂直距离为米，然后测得他与风筝的水平距离为米，最后根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为米． （1）风筝的垂直高度______米； （2）如果小明想风筝沿方向下降米，则他应该往回收线多少米？ 4．（25-26八年级上·河南·期末）勾股定理被誉为数学界的璀璨明珠，在数学发展历程中占有举足轻重的地位．历史上有很多方法可以验证勾股定理． （1）如图1，在四边形中，，、、三点共线，，请利用图1验证勾股定理； （2）如图2，某桥洞的横截面由半圆和正方形构成，，近期雨水多，水位上涨至，水深米．一艘货船装满货物后，露出水面部分横截面为长方形，高米，宽为米，请判断这艘货船能否安全通过此桥洞，并说明理由． 题型10：几何体表面最短路径计算解答题 1．（25-26八年级下·贵州·期中）如图，A，B两块试验田相距200，C为水源地，，为了方便灌溉，现有下面两种方案修筑水渠． 甲方案：从水源地C分别沿线段修筑两条水渠到A，B两块试验田． 乙方案：过点C作的垂线，垂足为H，先从水源地C沿线段修筑一条水渠到所在直线上，再从H分别沿线段向A，B两块试验田进行修筑． 以上两种方案中，哪一种方案所修的水渠较短?请通过计算说明． 2．（25-26八年级下·河南安阳·阶段检测）如图①，一个圆柱的底面周长为，高为，用一根绳子从点A出发绕侧面一周到点B，则绳长至少为多少？ 解：圆柱①的侧面沿剪开，展开图如图②所示． 在中，______，______，_______，则运用“________”可求_______． 由“_______”可知，绳子的最短长度就是线段______的长，即绳长至少为________． 3．（25-26八年级下·内蒙古乌兰察布·阶段检测）某工厂大型设备“圆柱形储罐”，高为12米，底面半径为米．为便于设备检修，在罐体侧面底部点处设有一个检修入口，在罐顶与点相对的边缘点处设有一个观测窗口．现需从检修入口到观测窗口沿罐体外表面敷设一条电缆线，为节省材料，请计算沿罐体侧面敷设的电缆线最短长度是多少？（取3） 4．（25-26八年级上·河南平顶山·期末）如图，圆柱的高为13cm，底面周长为20cm，点B距上底面1cm，在圆柱下底面的点A处有一只蚂蚁，它想吃到点B处的食物． （1）小萌思考后，先将曲面问题化为平面问题，将圆柱沿点A竖直剪开，然后得到其侧面展开图．请你画出该圆柱的展开图，并标出A，B两点的位置； （2）若蚂蚁沿圆柱侧面爬行，在展开图中画出表示蚂蚁爬行的最短路程的线段，并求它爬行的最短路程．（精确到0.1cm，参考数据：） 题型11：直角三角形、矩形折叠边长计算解答题 1．（25-26八年级上·陕西咸阳·阶段检测）如图，在中，分别为边上的点，将沿折叠，使点C与点A重合，求的长． 2．（25-26八年级下·上海松江·阶段检测）已知，四边形为长方形，，，点E由点D向运动，点F由点D向运动．将沿BF折叠，点C恰好落在点E处时，求此时的长； 3．（25-26七年级上·全国·期末）如图将长方形纸片 折叠，使得点 D 落在 边上的点M 处，折痕经过点 C，与边 交于点 N． （1）尺规作图：求作点 N，M；（不写作法，保留作图痕迹） （2）若，，求 的长． 4．（25-26八年级上·福建漳州·阶段检测）如图，在长方形中，． （1）如图①，将长方形沿翻折，使点A与点C重合，点D落在点处，求BF的长； （2）如图②，将沿翻折，若交于点E，求的面积； （3）如图③，，P为边上的一点，将沿翻折得到，，分别交边于点E，F，且，求的长． 题型12：平面直角坐标系内两点距离计算题 1．（26-27八年级上·山东济南·阶段检测）阅读下列材料后回答问题： 在平面直角坐标系中，已知x轴上的两点的距离记作，如果是平面上任意两点，我们可以通过构造直角三角形来求A、B间的距离．如图，过A、B两点分别向x轴、y轴作垂线和，垂足分别记作，直线与交于Q点． 在中，，∵， ∴，由此得任意两点之间的距离公式： 如果某圆的圆心为，半径为r．设是圆上任一点，根据“圆上任一点到定点（圆心）的距离都等于定长（半径）”，我们不难得到，即，整理得：．我们称此式为圆心在原点，半径为r的圆的方程． （1）直接应用平面内两点间距离公式，求点之间的距离； （2）如果圆心在点，半径为3，求此圆的方程． （3）方程是否是圆的方程？如果是，求出圆心坐标与半径． 2．（25-26八年级下·新疆喀什·期末）如图．在平面直角坐标系中，． （1）判断的形状； （2）请画出关于轴对称的，并写出的坐标； （3）在轴上画出点，使最小．（保留作图痕迹） 3．（25-26七年级下·黑龙江佳木斯·期末）先阅读下列一段文字，再回答后面的问题． 已知平面内两点，这两点间的距离，同时，当两点所在的直线在坐标轴上或平行于坐标轴或垂直于坐标轴时，两点间距离公式可简化为或． （1）已知，试求A，B两点间的距离； （2）已知A，B在平行于y轴的直线上，点A的纵坐标为5，点B的纵坐标为，试求A，B两点间的距离． 4．（25-26七年级下·江苏南通·期中）先阅读下列一段文字，再解答问题． 已知在平面内有两点，其两点间的距离公式为，同时，当两点所在的直线在坐标轴上或平行于坐标轴或垂直于坐标轴时，两点间距离公式可简化为或． （1）已知点，试求两点间的距离； （2）已知点在平行于轴的直线上，点的横坐标为，点的横坐标为，试求两点间的距离； （3）应用平面内两点间的距离公式，求代数式的最小值． 题型13：割补法求解坐标系内多边形面积解答题 1．（26-27八年级上·宁夏银川·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，是x轴负半轴上一点，C是y轴负半轴上的一点，轴并交y轴负半轴于，且，点B在第三象限，且． （1）求点A、B、C的坐标； （2）求 （3）如图2，点P从A出发沿x轴正方向以每秒2个单位长度的速度移动，点Q从O出发沿y轴负方向以每秒1个单位长度的速度移动，在点P、Q移动的过程中，连接、，使的面积是面积的5倍，求出点P的坐标； 2．（25-26七年级下·山东滨州·期末）计算 如图，在平面直角坐标系中，已知两点，，连接、、． （1）求三角形的面积． （2）求与y轴的交点坐标． 3．（25-26七年级下·广东惠州·期中）在平面直角坐标系中，是坐标原点，过点分别作轴和轴的平行线，交轴于点，交轴于点，是线段的中点，点从点出发沿线段向终点运动，速度为每秒2个单位长度，设点运动的时间为（秒）． （1）请直接写出点和点的坐标：（    ），（    ） （2）时，的长度为__________，时，的长度为__________，试用含的代数式表示线段的长度． （3）作线段、，当三角形的面积等于直角梯形的面积的时，求的值，并求出此时点的坐标． 4．（25-26七年级下·江西上饶·期中）如图，在平面直角坐标系中，对应坐标轴上的个单位长度， 轴， 轴，且，，，动点从点出发，以每秒的速度，沿路线向点运动；动点从点出发，以每秒的速度，沿路线向点运动．若，两点同时出发，其中一点到达终点时，两点都停止运动． （1）直接写出，，三个点的坐标； （2）当，两点运动的时间为秒时，求三角形的面积； （3）设，两点运动的时间为秒，当三角形的面积为时，求 的值． 题型14：坐标与几何图形综合压轴题 1．（26-27八年级上·湖北荆州·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，已知点，，，交轴于点． （1）求的面积； （2）是轴上一点，若的面积是面积的2倍，求点的坐标； （3）是坐标平面内一点，若与全等，请直接写出所有符合条件的点的坐标． 2．（25-26八年级上·新疆塔城·期末）阅读理解，自主探究：在初中几何学习中，当图形中出现多个直角且存在相等的线段时，可结合全等三角形的判定与性质来分析线段之间的关系，这是解决这类几何问题的常用思路． 【问题解决】 （1）如图1，在等腰直角中，，，过点作直线，于点，于点，则与的数量关系是__________； 【问题探究】 （2）如图2，在等腰直角中，，，过点作直线，于点，于点，，，求的长； 【拓展延伸】 （3）如图3，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，第一象限内是否存在一点，使为等腰直角三角形？如果存在，请直接写出点的坐标． 3．（25-26七年级下·辽宁大连·期末）如图1，在平面直角坐标系中，点，，，且满足，交y轴于点D． （1）直接写出点A的坐标 ，B的坐标 ，D的坐标 ； （2）E是射线上一动点，与的角平分线交于点F． ①如图2，当点E在线段上时，若，求的度数； ②如图3，当点E在线段的延长线上时，若，求的度数． （3）在射线上是否存在这样的点E，使，若存在，请直接写出点E坐标；若不存在，请说明理由． 4．（25-26七年级下·重庆·期末）如图，在平面直角坐标系中，点，且满足：，连接． （1）如图1，点的坐标为_____，点的坐标为_____． （2）如图2，若点在轴上，当时，求点的坐标； （3）如图3，对于正方形，连接，将正方形分割成两个直角三角形，称这两个直角三角形为“半正方形”，故和分别是以，为直角的“半正方形”．若点在坐标平面内，且，将轴向下平移2个单位得到直线，在直线上是否存在点，使得以点为顶点的三角形是以为直角的“半正方形”，若存在，请直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由． 题型15：利用勾股逆定理判断三角形形状填空题 1．（26-27八年级上·山东济南·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标为，顶点均在小正方形的网格点上． （1）作，使和关于轴对称； （2）分别写出以下顶点的坐标： _________；_________；_________． （3）直接写出的面积：_________． （4）在x轴上画出点P，使+最小，并写出最小值为_________． 2．（26-27八年级上·江西·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，，，，直线m（直线m上所有点的横坐标均为）． （1）在图中作出关于直线m对称的，并求出的面积； （2）线段交x轴于D点，直接写出点D关于直线m对称点的坐标________； （3）线段上有一点，直接写出点M关于直线m对称点的坐标________． 3．（26-27八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）如图，平面直角坐标系中，点的坐标为，为轴正半轴上一点，连接，． （1）求点的坐标： （2）如图，为轴负半轴上一点，连接，设点的横坐标为，的面积为，用含的式子表示（不用写出的取值范围）； （3）如图，在（2）的条件下，为轴负半轴上左侧一点，连接，过作，连接，，，若，求的值． 4．（26-27八年级上·山东济南·阶段检测）在平面直角坐标系中，对于任意两点与的“美好距离”，给出如下定义： 若，则点与点的“美好距离”为； 若，则点与点的“美好距离”为． 用符号表示，两点的“美好距离”． （1）已知点，为轴上的一个动点， ①若点与点的“美好距离”为2，满足条件的点的坐标是__________（写出1个即可）； ②点与点的“美好距离”的最小值是__________； （2）已知直线过且平行于轴，是直线上的一个动点，如图1，点的坐标是，求出点与点的“美好距离”的最小值是多少？当与的“美好距离”取最小值时，求出点的横坐标的最小值是多少？ 学科网（北京）股份有限公司 $期中复习专题2一一综合运算与推理证明 (北师大版八年级上册：期中核心基础考点) 目录 、专题定位】 二、核心考点梳理 2 三、必考、常考题型 .2 题型1：二次根式标准化化简解答题.…。 .2 题型2：二次根式加减专项运算解答题…。 .5 题型3：二次根式乘除专项运算解答题 ..7 题型4：二次根式四则混合运算解答题 12 题型5：二次根式分母有理化专项计算题. .15 题型6：二次根式化简求值解答题.… .20 题型7：利用勾股定理解三角形解答题。 .25 题型8：勾股定理逆定理证明直角三角形解答题 29 题型9：勾股定理实际应用题（梯子、航海、距离测量模型） 35 题型10：几何体表面最短路径计算解答题40 题型11：直角三角形、矩形折叠边长计算解答题. 44 题型12：平面直角坐标系内两点距离计算题. .50 题型13：割补法求解坐标系内多边形面积解答题… .56 题型14：坐标与几何图形综合压轴题. ...65 题型15：利用勾股逆定理判断三角形形状填空题. .83 一、专题定位 本专题整合勾股定理、实数、位置与坐标三章核心中档重难点，聚焦精准运算、逻辑 推理、几何计算、坐标应用四大核心能力，是八上期中分值占比最高、提分关键的核心板 块。区别于基础概念识记，本专题侧重公式性质的综合运用、解题步骤的规范书写、分类 讨论数学思想的落地，针对性解决学生计算失误、几何推理逻辑混乱、解题步骤不完整等 高频失分问题。适配期中第二轮专题复习、课堂专项讲练、课后拔高训练、中档题型组卷 测评，全面覆盖两地期中选择、填空、解答高频中档考题。 二、核心考点梳理 章节 考点 直角三角形边长分类计算（斜边、直角边分类讨论）；勾股定理逆定理证 勾股定理 明直角三角形、判定三角形形状；立体图形表面最短路径计算；直角三角 形基础折叠边长计算 二次根式核心性质综合应用； 二次根式化简、四则运算、分母有理化；同 实数 类二次根式识别与合并运算；实数混合运算；算术平方根、绝对值双重非 负性代数式求值 位置与坐标 平面直角坐标系内两点间距离公式计算；割补法求解坐标系内多边形面 积；：多次轴对称变换的坐标计算与规律应用 三、必考、常考题型 题型1：二次根式标准化化简解答题 1.(26-27八年级上·吉林长春阶段检测)实数a,b在数轴上对应点的位置如图 所示，化简：la-b-a-V(a+b」 0b→ 【答案】-a+2b 【分析】由图可知：a<0<b,可得a-b<0,a+b<0,匠=a,再化简即可. 解：由图可知：a<0<b, ∴.a-b<0.a+b<0. :.la-b-i/a-Y(a+b) =-(a-b)-a+(a+b) =-a+b-a+a+b =-a+2b 2.(26-27八年级上江西期中)下面我们观察： (V2-1=(2-2x1x2+1P=2-22+1=3-22,反之， 3-22=2-2W2+1=（2-1, 3-22=(2-12 V3-2W2=V2-1. 仿上例，求： (1)化简：V4-23: (2)计算：V3-2V2+V5-2W6+V7-2W12+…+V19-2√90. 【答案】(1)V3-1;(2)10-1 【分析】(1)根据完全平方公式化简即可： (2)结合完全平方公式，找到规律，进而解题. 解：4-25=1-23+(3=1-3， 4-2w5=-=5-1: (2)解：：Nn+1-vn=n+1-2n(n+)+n=2n+1-2√n(n+1, ..2n+1-2/n(n+1)=Vn+1-/n, 则vV3-2W2+V5-2√6+V7-2W12+…+V19-290 =不2-+3-2+4-++i0-例 =V2-1+3-2+√4-3+…+V10-9 =V10-1. 3.(24-25八年级上·上海·阶段检测)计算： (1)9+-64-V(-2 (2)v81+-27-W3-2-5 【答案】(1)-3；(2)4 【分析】()根据二次根式的性质，立方根，算术平方根，有理数的加减运算，解答即可. (2)根据二次根式的性质，立方根，算术平方根，绝对值的化简，二次根式的加减运算，解 答即可. (1)解：原式=3-4-2=-3」 (2)解：原式=9-3+V3-2-V3=4, 4.(24-25八年级上·上海闵行·阶段检测)计算： 49ay(x>0,a<0) (1)12x 2 1 (2)3+13-2 【答案】(1) 7a3xy 6x;2)-3 49dy.3x 149a xy Ta3xy (1)解：原式= 12x.3x V36x2 6x (2)解：原式 25-1 3+2 25-,5+2=5-1-5-2=-3 3+1(3-可3-2]5+2)3-P'(-2 题型2：二次根式加减专项运算解答题 1.(26-27九年级上福建泉州·阶段检测)计算： (s-小5+2+5： 2(月+p--20 【答案】(4)4+72 ；(2)-5 【分析】(1)根据二次根式的混合运算法则计算求解，即可解题； (2)根据负整数指数幂、绝对值性质、以及二次根式性质化简各项，再合并计算，即可解 题 山：原式5-小w5+45+号 =4-2+42+ 2 =4+72 2 (2)解： +p--2m =2+V5-2-25 =-5. 2.(2026八年级上全国·专题练习)计算 (1)(-2}-8+V9 (2)2(V2-5)+3-2 【答案】(1)5：(2)V2-3 (1)解：(-2}-8+v =4-2+3 =5: (2)解：2(2-3)+V5-v2 -22-23+V3-V2 =2-V3. 3.(25-26八年级下·内蒙古呼和浩特·期末)计算： (1)V12-V32-2V48+3W18: 2a-g-网 【管案】山55-65：23y5 (1)解：原式=2V3-4V2-2×43+3×3V2 =25-4V2-83+9W2 =5V2-6W3: 2解：照式-5-64x×55 6 42 =2-3-2+5 -33 2 4.(25-26八年级上全国课后作业)计算： 8(+8: (2)(24-2)-(⑧-i8+54) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，掌握二次根式的性质，选择恰当的解题方法，是解 答本题的关键。 (1)先把二次根式化为最简二次根式，然后合并同类二次根式，得到答案. (2)先把二次根式化为最简二次根式，然后合并同类二次根式，得到答案. = =2W6-V2-2V2+32-36=-V6 (2)解：原式 题型3：二次根式乘除专项运算解答题 1.(25-26八年级上全国随堂练习)计算： 少(s+6-4: 2)i÷5+吸-7w 【答案1)4N5+2:(②号万 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，掌握二次根式的运算法则是解答本题的关键： ()先将二次根式化简，然后去括号计算乘法，再算加减，即可求解： (②)先计算二次根式的除法并将二次根式化简，再算加减，然后即可求解 (1)解：原式=(2W2+5)×√6-2√2 =2W2×√6+V3×V6-22 =4V3+3W2-2W2 =43+V2: a解：恩式-21写+527-105 =3W7+27-10W7 2.(24-25八年级下河南周口期末)计算： (1)4-2×V3+V32÷V2: (2)（5+25-2)+27 【答案】(1)0：(2)33-1 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，平方差公式，准确熟练地进行计算是解题的关键. (1)先计算二次根式的乘除法，再算加减，即可解答： (2)利用平方差公式进行计算，即可解答. (1)解：V4-12xV3+V32÷√2 =2-36+V16 =2-6+4 =0: (2)解：（3+2(3-2+27 =3-4+35 =35-1. 3.(24-25八年级下·广西南宁·期中)计算： (1)3W18÷V2+12×V3: (2)（2-+(5+35-5). 【答案】(1)15；(2)5-2W2. 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，解题的关键是掌握二次根式的混合运算法则. (1)分别计算二次根式除法和乘法，再合并即可求解； (2)分别利用完全平方公式和平方差公式计算，再合并即可求解. (1)解：3W18÷V2+2x√5 =3W18÷2+V12×3 =3×3+6 =9+6 =15: (2)解：（N2-1+(N5+⑤5-5) =2-2W2+1+5-3 =5-22. 4.(24-25八年级下·全国课后作业)计算： ④6停 2)24×(295, 322 (3)945*35*2023 3x2 ② 【管案1山受；②号6；⊙)6；④y 【分析】本题考查了二次根式的乘除混合运算. (1)利用二次根式的乘除混合运算法则计算即可求解； (2)利用二次根式的乘除混合运算法则计算即可求解： (3)利用二次根式的乘除混合运算法则计算即可求解： (4)利用二次根式的乘除混合运算法则计算即可求解， )解：6×V2 18 31 6x2×18 6×3×1 =2×18 =2 v2 2: ②解：4×号95 321 = ×2×V24×32÷2 439 -x8√2 号6， (3)解：945÷3， 3 + =275x5x3/ 320V3 ,8 3 =22×106 203 号6， y 3x2 x (4)解：V2x 3x2 12y2 3x2.12y2 2y.x y-18xy 2x =3y 题型4：二次根式四则混合运算解答题 1.(24-25八年级下·新疆乌鲁木齐阶段检测)计算 (1)V18-32+√2 2s5-5顶+6 (3)(248-327÷v6 【答案1四0：24：6)号 2 【分析】本题考查二次根式的混合运算： ()先把二次根式化成最简二次根式，然后合并即可： (2)根据二次根式的混合运算进行计算即可求解： (3)先把二次根式化成最简二次根式，然后把括号内合并后进行二次根式的除法运算. (1)解：18-V32+2 =3v2-4v2+V2 =0: ②解：5-5vBG -2+6 =4-√6+6 =4； (3)解：(48-327)÷v6 =(83-93÷v6 =(-5)÷6 2 2.(25-26八年级上山西太原·期末)计算下列各题： (1)18-V8+52: 2x8+5+25-2. 【答案】(1)6W2:(2)3 【分析】本题考查了二次根式的运算，熟练掌握其运算法则是解题的关键. (1)根据相关运算法则计算即可： (2)根据相关运算法则计算即可. (1)解：原式=3W2-2√2+5√2 =62: (2)解：原式=4+(5-2 =2+5-4 =3」 3.(25-26八年级下全国课后作业)计算： (1)(5o-5xv6)÷2. (2)(212+348-475÷5-(2. 【答案】(1)2；(2)6 【分析】本题考查了二次根式的混合运算：熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘除法法 则、二次根式加减法法则是解决问题的关键。 ()先化简二次根式，计算括号内二次根式的乘法，再算括号内二次根式的减法，最后算除 法即可： (2)先将括号内的各项化为最简二次根式并合并，再计算除法，最后算减法即可， (1)解：原式=5V2-32)÷2 =2W2÷√2 =2 (2)解：原式=(4V3+12V5-20w3)÷3-2 =-43÷V3-2 =-4-2 =-6 4.(25-26八年级上河南平顶山期末)计算 1)5-2+(i2+5)÷5-(5+05- 23G+2-5-2x2 【答案】山3-5：(2)11-6 · 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键. ()先分别计算绝对值、二次根式的除法、平方差公式部分，再进行加减运算。 (2)先分别化简二次根式、计算完全平方、二次根式的乘法，再进行加减运算. 1)解：3-2+(2+)÷5-(5+(5- =2-5+2÷5+5÷)-矿-) =2-3+(2+1)-(3-1) =2-V3+3-2 =3-V5: ②解3+5--n -3+-46+-2a -+1-6-26 =11-11v6 2 题型5：二次根式分母有理化专项计算题 3 3 1,(25-26八年级上福建福州期末)已知x=7-2,y=、 V7+2: 1.1 (1)计算x+y=—y=一xy (2)求x2-5y+y的值. 【12725:7 【分析】本题主要考查了分母有理化、二次根式的混合运算法则、代数式求值等知识点，掌握 整体代入思想是解题的关键， 先对分母有理化可得x万+2y=万22再求+y、+ 再利用二次 根式的运算法则计算即可； (2)x2-5xy+y2化成(x+y)'-7y,再将(1)的相关结论代入求值即可. 3 3(V7+2 3(万+2-万+2， 1解：：x=7-27-27+274 3 37-237-2-7-2, y7+27-27+27-4 ∴x+y=V7+2+√7-2=27，y=(N7+2V7-2=7-4=3, 1+1=y+x=x+y-2万 x y xy xy xy3· 故答案为：27,3,21 3 (2)解：x2-5xy+y2 =x2+2y+y2-73y =(x+y2-7xy =(27-7x3 =28-21 =7 2.(24-25八年级上上海阶段检测)计算：V12+2万3x了 √27· 【答案】33+ 【分析】根据二次根式的性质化简，分母有理化，二次根式的乘法计算即可.本题考查了二次 根式的性质，分母有理化，二次根式的乘法，熟练掌握运算法则是解题的关键. 解：V2+1 3x 2-3 27 =25+ 2+V5 -V3x-1 2-V3)(2+5) 3V5 =23+2+6-} =35+ 3· 3.(25-26八年级上全国随堂练习)【类比思想】解决问题：已知a=2+5,求 2a2-8a+1的值.小明是这样分析与解答的： 2-V5 =2-V3 因为a=2+3(2+32-5 所以a-2=-3, 所以(a-2)}2=3,即a2-4a+4=3, 所以a2-4a=-1, 所以2a2-8a+1=2(a2-4a+1=2×(-1)+1=-1. 请根据小明的分析过程，解答以下问题： 1 1 1 (1)计算：2++5+N2+4+5+…+100+9: 1,1 1 (2)计算：5+1+5+N5t7+5++V9+V97 1 (3)若a=2-1,求4a2-8a+1的值. 【答案1（山g2)2；35 3W11-1 【分析】本题主要考查了二次根式的化简求值，掌握分母有理化和整体代入思想是解题的关 键； (1)利用分母有理化，平方差公式计算即可： (2)利用分母有理化，平方差公式计算即可： (3)利用分母有理化求a=V2+1,整体代入计算即可 (1)解：原式=(V2-+V5-v2)+(V4-5)++(1o0-v9 =V100-1 =10-1 =9」 2原式=51+5,6,55+4网7_两13而-l 22 2 2 2 2 1 2+1一=2+1， (3)因为a=2-1(2-12+1） 所以a-1=V2,所以(a-l)2=2, 即a-2a+1=2,所以a2-2a=1, 所以4a2-8a+1=4(a2-2a)+1=4x1+1=5, 1 4.(24-25八年级下山东聊城阶段检测)小明在解决问题，已知a=2+5,求 2a2-8a+1的值，他是这样分析与解答的： 2-5 =2-v3 :a=2+52+52-5 ∴.a-2=-V3 .(a-2=3,即a2-4a+4=3 ∴.a2-4a=-1 .2a-8a+1=2(a-4a）+1=2×(-1)+1=-1. 请你根据小明分析过程的思想方法，解决如下问题： 1 (1)分母有理化：7+6一， 1+1 1 (2)计算：2+15+5+4+5++I0+9 (3)若a=5-2,求3d-12a+6的值. 【答案】(1)V7-V6;(2)9:3)9 【分析】本题考查的是分母有理化，构建整体代入求解代数式的值，熟练运算方法是解题的关 键 (1)分子与分母都乘以√万-V6,再利用平方差公式计算即可得到答案： (2)先把每一项都分母有理化，再合并同类二次根式即可得到答案： (3)先求解a=V5+2,再变形可得：a2-4a=1,再整体代入即可得到答案. √万-6 (1)解：7+6(7+6V7-6) 万-6-万-6， 7-6 1. 1 1 (2)解：2+1+3+24+5i00+9 十十 =√2-1+V5-√2+.+V100-√99 =V100-1 =10-1=9； 1 V5+2 3)解：a=、 5-2（5+2)V5-2 =5+2, ∴a-2=V5, .(a-22=5,即ad2-4a+4=5. .2-4a=1, 3a2-12a+6=3a2-4a+6=3+6=9 题型6：二次根式化简求值解答题 1,(24-25八年级上上海阶段检测)已知：x=7+5,=7-5,求代数式 (x+3)y+3)的值. 【答案】3V7+ 2 【分析】先把x,y的值化简，然后求出x+y=√万，少=2，再把原式化简，最后整体代入， 进行计算即可 1 解：：x= 7+5y=7-5: 17-51-万+5 x=7+522,y √7-52， x+y=7,5+5+5-万，=万，5.7+5= 2 2 22=2 :.(x+3)(y+3) =y+3x+3y+9 =xy+3(x+y)+9 37+9 =37+19 2 2.(25-26八年级上陕西咸阳阶段检测)已知x=5+1,求代数式x2-2x+3的 值. 【答案】7 【分析】利用完全平方公式进行计算即可， 解：原式=(x-+2=(5+1-1+2=5+2=7. 3.(25-26八年级下云南期中)某同学在解决问题：已知“=2一1，求 4a2-8a-1的值时，他是这样分析的： 1 √2+1 a=2-i(2-12+ =V2+1 .a-1=√2 .(a-12=2,a2-2a+1=2 ∴.a2-2a=1, ∴.4a2-8a-1=4a2-2a）-1=4x1-1=3 请你根据该同学的分析过程，解决如下问题： 1 (1)化简：2+1 (2)若a=2+N3,求2a2-8a+3的值： 【答案】(1)V2-1;(2)1 【分析】(1)利用分母有理化化简即可： (2)先利用分母有理化把“化简，再根据完全平方公式计算即可. 1 V2-1 1)解：2+1(W2+12- =2-1. 西解a2p+8-同j2-5. 2-5 a-2=-V5: .(a-2)2=3,a2-4a+4=3, .a2-4a=-1, .2ax2-8a+3=2(a2-4a+3=2×(-l)+3=1 4.(25-26八年级下浙江金华期中)小明在解决问题：已知4=2-1，求 2a2-4a+1的值.他是这样分析与解的： 2+1 a=2-1(2-12+) =√2+1 .a-1=V2, .(a-102=2, .a2-2a+1=2, ∴.a2-2a=1, .2d2-4a+1=2(a2-2a+1=2x1+1=3 请你根据小明的分析过程，解决如下问题： 1 1 (1)化简：5+i+5+5+t99+v97 十 1 (2)若a=5+2· ①求3a+12a-5的值. ②直接写出代数式的值d+2a-9a-1-；30+13a-。+2026=-. 【答案】(1) 3:202@-320 【分析】(1)先分母有理化，然后再进行二次根式的运算即可： (2)①由题意易得a=V5-2,则a+2=V5,然后可得a2+4a=1,进而代入求解即可： ②由①及根据整体思想可进行求解。 5-1 5-5 V99-√97 1解：原式（不3+13-可5+3j5-万…t9+97j9-9可列 -5-l+5-5+…+-网 2 2 5-1+5-3+.+V99-√97 2 =99-1 2 =3-1 2: 1 (2)解：a= V5+2: 1 √5-2 .a=5+2(5+25-2 =5-2 a+2=V5, (a+2)}=5, a2+4a+4=5, .a2+4a=1, ①3a2+12a-5=3(a2+4a)-5=3×1-5=-2. ②a3+2a2-9a-1 =a3+4a2-2a2-9a-1 =a(a2+4a-2(a2+4a-a-l =a-2-a-1 =-3: 3a2+13a-1+2026 a =302+12a+a-1+2026 a =3(a2+4a)+a-1+2026 a =35-22 +2026 =3+5-2-(W5+2+2026 =3+V5-2-V5-2+2026 =2025 题型7：利用勾股定理解三角形解答题 1.(26-27八年级上江西九江阶段检测)如图，在△ABC中，∠ABC=90°，点D是 BC延长线上的点，连接AD,若AC=13,AB=12,AD=15,求CD的长. 【答案】4 【分析】利用勾股定理求出BC,BD,然后求解即可 解：∠ABC=90°，AC=13,AB=12,AD=15, ..BC=AC2-AB2 =5,BD=AD2-AB2=9, ∴.CD=BD-BC=4 2.(26-27八年级上陕西咸阳·阶段检测)如图，在△ABC中.AD⊥BC于点D,若 AB=BC=13,AD=5,求AACD的面积. D 【答案】2 【分析】先利用勾股定理求得BD=12,从而求得CD=BC-BD=1,最后利用三角形面积公 式即可求解， 解：：AD⊥BC, ∴.∠ADB=∠ADC=90°， 由勾股定理，得BD=√AB2-AD2=V132-52=12, .CD=BC-BD=13-12=1, ACD的面积为CD-4D-x1x5- 1 2 3.(24-25八年级上山东青岛阶段检测)如图，在△ABC中，AB=50cm, BC=30cm,∠C=90°，点P从点A开始沿AC边向点C以2cm/s的速度移动，设运 动时间为t秒. (1)用含t的代数式表示AP=,PC=」 (2)t为何值时，△PCB的面积等于△ABC面积的一半？ 【答案】(1)21Cm,(40-2)cm;(2)t为10秒时，△PCB的面积等于△4BC面积的一半. 【分析】(1)由勾股定理求得AC=40cm,再根据题意列式即可： (2)根据题意得到△PCB的面积等于△APC面积，即AP=PC,据此列式计算即可求解. (1)解：，AB=50cm,BC=30cm,∠C=90°， .AC=VAB2-BC2=V502-302=40(cm), 由题意得AP=21cm,PC=(40-21)cm, (2)解：：△PCB的面积等于△ABC面积的一半， ∴.△PCB的面积等于△APB面积， .AP=PC, .2t=40-2t, 解得t=10, 答：t为10秒时，△PCB的面积等于△ABC面积的一半. 4.(2026八年级上江苏·专题练习)如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6, BC=8,D,E分别是AB和BC边上的点，将△BDE沿DE折叠，点B的对应点为点B (I)若B'是AC的中点，则CE的长为 (2)若点B在线段AC上（含端点），则CE的取值范围为 B' -=B 55 〔答】①6：2②4CE3 【分析】(1)由B'是AC中点得B'C=3,设BE=x,根据折叠性质得B'E=x,则CE=8-x ·.在Rt△CBE中，由勾股定理BC2+CE2=BE2,列方程32+(8-x'=x2进行求解即可： (2)当B与A重合时，B'E最大，CE最小：设BE=m,在Rt△ACE中由勾股定理解得 m-草得B- =4:当B与C重合时，CE最大，此时CE=BE=4即可得到CE的取值范 围 (1)解：：B是AC的中点， BC=4C=3, 设BE=x,则CE=BC-BE=8-x, 根据折叠可得，B'E=x, 在Rt△CB'E中，B'C2+CE2=B'E2, 32+(8-x2=x2, 73 解得x=16, CE=8-7355 1616 (2)解：根据折叠可得，E=BE, 当B'E的值最大即点A与点B重合时，CE的值最小，如图1， A(B =-B 图1 此时AE=B'E, 设B'E=BE=m,则CE=8-m, 在RtAACE中，AC2+CE2=AE2 .62+(8-m2=m2 25 解得m二 4 .CE=7 4: 当B'E的值最小即点C与点B重合时，CE的值最大，如图2， C(B)☑ -.B E 图2 此时CE=B'E=BE=4. CE <CE≤4 4 综上所述， 的取值范围为 题型8：勾股定理逆定理证明直角三角形解答题 1.(26-27八年级上福建三明阶段检测)定义：如图，点M,N把线段AB分割 成AM,MN,NB,若以AM,MN,NB为边的三角形是一个直角三角形，则称点 M,N是线段AB的勾股分割点. (1)已知点M,N把线段AB分割成AM,MN,NB,若AM=5,MN=13, BW=12,则点M,N是线段AB的勾股分割点吗？请说明理由. (2)已知点M,N是线段AB的勾股分割点，且AM为直角边，若AB=12,AM=5 ,求BN的长， A M 【答案】(1)点M,N是线段AB的勾股分割点， 理由如下： :AM=5,MN=13,BN=12, ∴.AM2+BW2=52+122=169,MW2=132=169. .AM2+BN2 MN2, ,以AM,MN,NB为边的三角形是一个直角三角形， ∴，点M,N是线段AB的勾股分割点. 12.37 (2)BN的长为7或7 解：(1)略 (2)解：：AB=12,AM=5, .MN=AB-AM-BN=12-5-BN =7-BN. :点M,N是线段AB的勾股分割点，且AM为直角边， 当N是斜边时，AM+BN:=w2,S3+BN'=(-BN,解有BN- 7 当BN是斜边时，M+MW:=BN,+7-BN=BN2,解得BN- 7 1237 综上所述，BN的长为7或7· 2.(26-27八年级上·浙江金华阶段检测)图1为某学校安装的自动伸缩式窗户， 图2为其侧面示意图，窗框高度AB=30cm,C、D分别为伸缩杆与窗框、玻璃底部 的连结点，AC=18cm.当窗户闭合时，B、D恰好重合. (1)当窗户开启最大模式时（如图2），伸缩杆CD长度为24cm,请判断伸缩杆 CD与窗框AB的位置关系，并说明理由. (2)如图3，当B、D间的垂直高度差h=5cm时，求伸缩杆CD的长度. A C D B h- 图1 图2 图3 【答案】(I)解：CD1AB,理由如下： 根据题意可知，AB=AD=30cm, ..AC=18cm CD=24cm ∴.AC2+CD2=900 :AD2=900 .AC2+CD2=AD2, ∴.∠ACD=90° 故伸缩杆CD与窗框AB的位置关系为CD⊥AB (2)18cm 【分析】(1)借助勾股定理逆定理证出直角，得到伸缩杆与窗框的位置关系； (2)过点D作DE⊥AB,先求出线段CE、AE,根据勾股定理算出DE2,再在Rt△DCE 中，利用勾股定理求出伸缩杆CD的长， 解：(1)略 (2)解：如图，过点D作DE⊥AB, C DA E h B 根据题意可知，BE=h=5cm, .AD=AB=30cm,AC=18cm, .BC=12cm, .CE BC-BE=12-5=7cm, .AE=AC+CE=18+7=25cm. .DE2=AD2-AE2=275, :.在Rt△DCE中，DC=VDE2+EC2=V275+49=18cm. 3.(25-26八年级下·贵州黔西南期中)如图，在四边形ABCD中，∠B=90°， AB=4,BC=3,CD=12,AD=13. BO (1)求AC的长； (2)求四边形ABCD的面积. 【答案】(1)AC的长为5：(2)四边形ABCD的面积为36 【分析】(1)在△ABC中，根据勾股定理求得AC的长即可： (2)在△ACD中，根据AC2+CD2=AD'得到△ACD是直角三角形，利用 S四边形ABCD=SABe+S。4D进行求解即可. (1)解：在△ABC中，∠B=90°， .AC=VAB2+BC2=V42+32=5: (2)解：在△ACD中，由于52+122=132，即AC2+CD2=AD2, .△ACD是直角三角形， .S4D=SAMc+SaD=2子2=6+30=36 4.(25-26八年级下辽宁大连期末)如果把a2+b=c2看作关于a,b,c的方程， 那么满足这个方程的正整数解a,b,c通常叫作勾股数组，可以记作(a,b,c).毕达 哥拉斯学派提出了一个构造勾股数组的公式，根据该公式可以构造出如下勾股数 组：(3,4,5)；(5,12,13)：(7,24,25)：… 分析这些勾股数组可以发现，4=1×(3+)，12=2×(5+1)，24=3×(7+1)， (1)分析其中的规律，请写出一组满足上述规律的勾股数组： (2)小红将a+b=c移项并因式分解得a=c2-b2=(c+b)(c-b),请写出满足上述 规律的第n个勾股数组（用含n的式子表示），并尝试用小红的方法证明： (3)若(x,x+7,x+m)是满足上述规律的一组勾股数组，求x的值。 【答案】(1)(9,40,41)：(2)第n个勾股数组为(2n+l,2n(n+1),2n(n+l)+). 证明：由题意可知：第n个勾股数组的最小数字（第一个数字）是2n+l, 令a=2n+l,b=2n(n+1),c=2n(n+1)+1. c+b=2n(n+1)+1+2n(n+1)=4n2+4n+1, c-b=2n(n+l)+1-2n(n+l)=1, 则c2-b2=(c+b)(c-b)=4n2+4n+1×1=2n+12=a2, 即a2+b2=c2, 所以(2n+l,2n(n+l)2n(n+l)+)是满足上述规律的第n个勾股数组. (3)x的值为5 【分析】(1)根据算式规律写出下一个等式，从而得出对应的勾股数组： (2)先根据最小数字（勾股数组第一个数字）总结规律可知第个勾股数组的最小数字（第 一个数字)是a=2n+l,再利用题干中等式规律可知第n个勾股数组的第二个数字是 b=n(2n+1+)即b=2n(n+),则第n个勾股数组的第三个数字c=2n(n+)+1,从而总结出 第n个勾股数组为(2n+l,2n(n+)2n(n+)+).验证c2-b2=(c+b)(c-b)=a2是否成立即可 证明 (3)因为(xx+7,x+m）是满足上述规律的一组勾股数组，故令x=2n+1,则 x+7=2n(n+1),x+m=2n(n+l)+1,利用作差法消元求出n和m,继而求出x. 解：(1)由4=1×(3+1)，12=2×(5+)，24=3×(7+1)的规律可知：下一个等式是 40=4×(9+1), 则对应的勾股数组是(9,40,41)： (2)略 (3)因为(xx+7,x+m)是满足上述规律的一组勾股数组， 故令x=2n+l,则x+7=2n(n+l),x+m=2n(n+1)+l, .(x+7)-x=2n(n+1)-(2n+1),(x+m)-(x+7）=2n(n+1)+1-2n(n+1）=1, .7=2n2+2n-2n-1,m-7=1, 解得：n=2(负值舍去)，m=8, .x=2n+1=5,x+7=12,x+m=13. 此时x2+(x+7=52+122=132=(x+m)2,符合题意， . 所以，x的值为 题型9：勾股定理实际应用题（梯子、航海、距离测量模型） 1.(25-26八年级下辽宁大连期末)如图，一架2.5m长的梯子AB斜靠在一竖直 的墙AC上，∠C=90°，这时，梯子的底端B到墙底C的距离BC为0.7m. (1)求此时梯子的顶端A距地面的高度AC. (2)如果梯子的顶端A沿墙下滑0.4m,那么梯子底端B外移0.4m吗？通过计算说 明你的结论. BB 【答案】(1)2.4m:(2)梯子底端B外移不是0.4m, 理由：由图可知梯子的顶端A沿墙下滑0.4m后， C=AC-0.4=2.4-0.4=2(m),AB'=AB=2.5m, .B'C=VAB2-AC2=V2.52-22=1.5(m), BB=B'C-BC=1.5-0.7=0.8(m), 所以梯子底端B外移不是0.4m. 【分析】(1)根据勾股定理AC2+BC2=AB计算AC的长度即可： (2)先根据顶端下滑的距离计算出下滑后顶端到地面的高度A'C,再用勾股定理计算出新的 底端到墙底的距离CB,最后将CB与BC的差和0.4m比较即可. (1)解：，∠C=90°，AB=2.5m,BC=0.7m, .AC=VAB2-BC2=V2.52-0.7=2.4(m）, 答：此时梯子的顶端A距地面的高度AC为2.4m; (2)略. 2.(25-26八年级下·陕西西安·期末)如图，一艘轮船从海港B沿正东方向向海港 C行驶，点A处有一座灯塔，轮船行驶了5km后到达点D处（即BD=5km),此时 轮船正好位于灯塔A的正南方，继续向东行驶了9m到达海港C处（即DC=9km ),已知灯塔A到海港B的距离AB为l3km,求灯塔A到海港C的距离AC. 东 B 【答案】15km 【分析】由题意可知AD⊥BC,根据勾股定理计算即可， 解：由题意可知AD⊥BC, AB =13km,BD =5km, ∴.AD=VAB2-BD2=12km, ..DC=9km ..AC=A4D2+CD2 =15km 3.(26-27八年级上·山东枣庄·阶段检测)春天放风筝是深受大家喜爱的一项活 动.如图，牵线放风筝的同学站在A处，风筝在C处，先测得他抓线的地方与地面 的垂直距离AB为1.5米，然后测得他与风筝的水平距离AE为15米，最后根据手中 剩余线的长度计算出风筝线BC的长为25米. (1)风筝的垂直高度CE=米； (2)如果小明想风筝沿CE方向下降12米，则他应该往回收线多少米？ E 【答案】(1)21.5：(2)8 【分析】(I)利用勾股定理求出CD的长，再加上DE的长度，即可求出CE的高度： (2)根据勾股定理求出BM的长，即可得到结论. (1)解：如图，过B作BD⊥CE于D, B -D 7ha7202 由题意得：∠CDB=90°，BD=AE=15米，DE=AB=1.5米，BC=25米， .CD=VBC2-BD2=√252-152=20（米）， .CE=CD+DE=20+1.5=21.5(米)： (2)解：设风筝沿CE方向下降12米至点M,连接BM, :CM=12米， .DM=CD-CM=20-12=8(米)， .BM=VDM2+BD2=V82+15=17(米)， BC-BM=25-17=8(米)， ∴.他应该往回收线8米。 4.(25-26八年级上河南期末)勾股定理被誉为数学界的璀璨明珠，在数学发展 历程中占有举足轻重的地位.历史上有很多方法可以验证勾股定理， (1)如图1，在四边形ABCD中，∠B=∠C=∠AED=90°，B、E、C三点共线， RtAABES≌RtAECD,请利用图I验证勾股定理； (2)如图2，某桥洞的横截面由半圆和正方形构成，AB=AD=5m,近期雨水多， 水位上涨至EF,水深AE=3.8米.一艘货船装满货物后，露出水面部分横截面为长 方形，高2.5米，宽为3米，请判断这艘货船能否安全通过此桥洞，并说明理由. 6 C C 用 B a E b A B 图1 图2 【答案】(1)证明：S稀形= (AB+CD)BC (a+b) 2 2 'RtAABE≌Rt△ECD .Sww-2S.m+S.-ab:2+ 1 2 2 (a+b)}2_ 12 2 2ab2+)c2, .d2+b2=c2. (2)可以安全通过， 理由：取CD中点P,由题知：PM=1.5, 过点M作MN⊥CD交桥洞于点N,连接PW,如下图所示： N D PM E B .PN=2.5, ∴.在RtAPMN中，MN=VPW2-PM2=2, .2+5-3.8=3.2>2.5, ,可以安全通过 【分析】本题考查勾股定理的应用，熟练运用勾股定理是解题的关键】 (1)根据面积公式计算，可证出勾股定理： (2)过点M作MN⊥CD交桥洞于点N,连接PN,结合勾股定理求出MN的长度，计算其与 水面的高度，进行比较即可. 解：(1)略 (2)略 题型10：几何体表面最短路径计算解答题 1.(25-26八年级下·贵州期中)如图，A,B两块试验田相距200m,C为水源 地，AC=160m,BC=120m,为了方便灌溉，现有下面两种方案修筑水渠. 甲方案：从水源地C分别沿线段CA,CB修筑两条水渠到A,B两块试验田. 乙方案：过点C作AB的垂线，垂足为H,先从水源地C沿线段CH修筑一条水渠到 AB所在直线上，再从H分别沿线段HA,HB向A,B两块试验田进行修筑. 以上两种方案中，哪一种方案所修的水渠较短？请通过计算说明. 水源地 B 【答案】甲方案所修的水渠较短，说明如下： ,过点C作AB的垂线，垂足为H, :在RtAACH中，AC2-AH2=CH2, 在Rt△BCH中，BC2-BH2=CH2, ∴.AC2-AH2=BC2-BH2 由题意得AB=200m,设AH=xm,则BH=(200-x)m :AC=160m,BC=120m. .1602-x2=1202-(200-x)}2, 解得x=128 .AH=128m, .CH=√AC2-AH2=V1602-1282=96(m). AC+BC=280m,CH+AH+BH CH +AB=296m. ∴.AC+BC<CH+AH+BH, .甲方案所修的水渠较短， 【分析】设AH=m对RtAACH,Rt△BCH,运用勾股定理得到AC2-AH=BC2-BH,然后 建立方程求解x,然后比较AC+BC和CH+AH+BH即可， 解：略。 2.(25-26八年级下·河南安阳阶段检测)如图①，一个圆柱的底面周长为12cm, 高为16cm,用一根绳子从点A出发绕侧面一周到点B,则绳长至少为多少？ ② 解：圆柱①的侧面沿AB剪开，展开图如图②所示. 在△ABC中，∠C= °，AC= cm,BC= cm,则运 用“ ”可求AB=」 cm 由“ ”可知，绳子的最短长度就是线段 的长，即绳长至少为 cm 【答案】90；12；16；勾股定理；20：两点之间，线段最短：AB;20 【分析】根据题干图结合勾股定理和“两点之间，线段最短”作答即可. 解：圆柱①的侧面沿AB剪开，展开图如图②所示 在△ABC中，∠C=90°，AC=12cm,BC=16cm,则运用“勾股定理”可求 AB=V122+162=20(cm). 由“两点之间，线段最短”可知，绳子的最短长度就是线段AB的长，即绳长至少为20Cm 3.(25-26八年级下·内蒙古乌兰察布阶段检测)某工厂大型设备“圆柱形储 16 罐”，高为12米，底面半径为3米.为便于设备检修，在罐体侧面底部点4处设 有一个检修入口，在罐顶与点A相对的边缘点B处设有一个观测窗口.现需从检修 入口A到观测窗口B沿罐体外表面敷设一条电缆线，为节省材料，请计算沿罐体侧 面敷设的电缆线最短长度是多少？（π取3） 【答案】20米 【分析】根据圆柱展开图，两点之间线段最短，勾股定理求解即可： 解：将“圆柱形储罐”展开为如图所示，由题意可知BC⊥AC, 16 :圆柱底面半径为3米，元取3， “底面圆的周长的-半AC=)x2×3x16 2 =16米. 圆柱的高为12米， BC=12米. 在Rt△ABC中，由勾股定理得，AB=VAC2+BC2=V16+122=20米. 故答案为：20米. 4.(25-26八年级上河南平顶山期末)如图，圆柱的高为13cm,底面周长为 20cm,点B距上底面1cm,在圆柱下底面的点A处有一只蚂蚁，它想吃到点B处的 食物. (1)小萌思考后，先将曲面问题化为平面问题，将圆柱沿点A竖直剪开，然后得 到其侧面展开图.请你画出该圆柱的展开图，并标出A,B两点的位置： (2)若蚂蚁沿圆柱侧面爬行，在展开图中画出表示蚂蚁爬行的最短路程的线段， 并求它爬行的最短路程.（精确到0.1cm,参考数据：√61≈7.81） B 【答案】(1)如图所示： B (2)蚂蚁爬行的最短路程为15.6cm 【分析】本题主要考查勾股定理的应用，最短路径问题等知识点熟练掌握以上知识点是做题的 关键，(1)根据题意，画出圆柱的侧面展开图即可；(2)根据蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路 程是指展开后线段AB的长，根据勾股定理即可求出答案 (1)解：该圆柱的展开图为矩形，将圆柱沿点A竖直剪开，则点B在与点A所在的线段的对 边中点正下方1m处， (2)解：如图， B 连接AB,则线段AB的长就是蚂蚁爬行的最短路程. 由匙意知，4C-20=-10(em),C=13-1=12Xcy:∠ACB=90 根据勾股定理，得AB2=AC2+BC2=102+122=244, .AB=2V61(cm)≈15.6(cm). 答：蚂蚁爬行的最短路程为15.6cm. 题型11：直角三角形、矩形折叠边长计算解答题 1.(25-26八年级上·陕西咸阳阶段检测)如图，在Rt△ABC中， ∠B=90°，AB=2,BC=4,D,E分别为边AC,BC上的点，将△CED沿DE折叠，使点C与 点A重合，求CE的长. D 【答案】CE的长为2 解：由折叠的性质知，AE=CE, 设AE=CE=x,则BE=4-x, 在Rt△ABE中，由勾股定理，得AB2+BE2=AE2, 所以22+(4-x)2=x2, 解得x=2 所以CE的长为2： 2.(25-26八年级下·上海松江阶段检测)已知，四边形ABCD为长方形，AB=8, BC=I0,点E由点D向DA运动，点F由点D向DC运动，将△CBF沿BF折叠，点 C恰好落在点E处时，求此时BF的长： 图1 【答案】5V5 【分析】根据折叠可得CF=EF,在Rt△EFD中利用勾股定理列方程求出DF,然后在 Rt△BCF中利用勾股定理求解即可. 解：由折叠知，BC=BE=10,EF=CF, 四边形ABCD为长方形， AD=BC=10,∠A=∠D=∠C=90°， 在Rt△ABE中，由勾股定理得：AE=√BE2-AB2=V10-82=6, ED=AD-AE=10-6=4, 设CF=x,则EF=x, :.DF=DC-CF=8-x, 在Rt△DEF中，由勾股定理得：DE2+DF2=EF2, .42+(8-x)}=x2,解得x=5, CF=5, 在Rt△BCF中，由勾股定理得：BF=VBC2+CF2=V102+52=5√5. 3.(25-26七年级上全国·期末)如图将长方形纸片ABCD折叠，使得点D落在 AB边上的点M处，折痕经过点C,与边AD交于点N. (1)尺规作图：求作点N,M:(不写作法，保留作图痕迹) (2)若AB=CD=10,AD=BC=8,求AN的长. D B 【答案】(1)如图： D B M (2)3 【分析】本题考查了尺规作图作角平分线、勾股定理，熟练掌握以上知识点是解题的关键. (I)以点C为圆心作CM=CD交AB于点M,连接CM,再根据角平分线的作法作∠MCD 的角平分线CN即可； (2)连接MN,由折叠可得CM=CD=I0,MN=DN,在RtABCM中根据勾股定理求出 AM,设AN=x,在RLAAMN中再结合勾股定理解题即可. (1)解：作图步骤： ①以点C为圆心，CD为半径画弧交AB于点M: ②以点C为圆心，小于CD的长为半径画弧交CD于点E,交CM于点F: ③分别以点EF为圆心，大于2EF长为半径画弧交于点p: ④连接CP并延长交AD于点N; (2)解：连接MN,由折叠可得CM=CD=10,MN=DN, 在RIABCM中，BM=VCM2-BC2=V102-82=6, ∴.AM=AB-BM=4, 设AN=x,则MWN=DN=8-x, 在RtAAMN中，MN2=AM2+AN2, 即(8-x2=42+x2, 解得x=3, .AN=3. 4.(25-26八年级上福建漳州阶段检测)如图，在长方形ABCD中， AB=CD=10,BC=AD=6 (I)如图①，将长方形ABCD沿EF翻折，使点A与点C重合，点D落在点D处， 求BF的长； (2)如图②，将△ABD沿BD翻折，若AB交CD于点E,求△BDE的面积； (3)如图③，，P为AD边上的一点，将△ABP沿BP翻折得到△A'BP,AB,AP分 别交CD边于点E,F,且DF=A'F,求CE的长. B 图① 图② 图③ 【答案】（山：（②）1g；(3 16 40 【分析】此题考查勾股定理，折叠的性质，全等三角形的判定和性质，正确理解题意确定三角 形的三边由勾股定理建立方程是解题的关键， (1)设BF=x,在Rt△BFC中，根据BF2+BC2=CF2,构建方程即可解决问题： ()②首先证明DB=EB,设CE=y,在RLABEC中，利用勾股定理构建方程，求出CE= 5, 再代入数值到Sam=×DE×BC进行计第，即可解决间思： (3)设PA=PA=m,首先证明△DFP≌aA'FE,推出DP=AE=6-m,PF=EF,由 DF=FA',推出DE=PA'=m,EC=I0-m,BE=4+m,在Rt△ECB中，可得 (4+m2=62+(10-m)2,解方程即可解决问题： (1)解：根据折叠的性质，得AF=CF 四边形ABCD是长方形， .∴.∠B=90° 设BF=x, 则AF=CF=AB-BF=I0-x, 在Rt△BFC中，BF2+BC2=FC2, x2+62=(10-x)2, 16 解得x= 5: ÷BF=16 5· (2)解：，四边形ABCD是长方形， .∠A=∠C=90° 根据折叠的性质，得∠A=∠A'=90°，AD=AD 又，BC=AD, ∴.AD=CB,∠A=LC. ,AB交CD于点E, .∠AED=∠CEB, .△A'ED2aCEB(AAS), ∴.ED=EB 设CE=y, 则ED=EB=DC-CE=10-y. 在Rt△BCE中，CE2+BC2=BE2, .y+6=10-y)2, 16 解得y= 5 CE=16 5· DE=10-1634 55 ÷8m=x DEx BC=-)×34x6=102 1 25 5 (3)解：四边形ABCD是长方形， ∴.∠A=∠D=90° 由折叠的性质， 得∠A=∠A=90,AP=AP,AB=AB=10, ∴.∠D=∠A=90° 又DF=AF,∠DFP=∠AFE, .aDFP≌△A'FE(ASA), :DP=A'E,PF=EF, .DE=PA'. 又：AD=BC=6, 设PA=m, DP=A'E=AD-PA=6-m,DE=PA'=m. EC=10-m,BE=10-(6-m)=4+m. 在Rt△ECB中，(4+m)2=62+(10-m)2, 解翔如：” CE=10-3040 7-7 题型12：平面直角坐标系内两点距离计算题 1.(26-27八年级上山东济南阶段检测)阅读下列材料后回答问题： 在平面直角坐标系中，已知x轴上的两点A(x,0),B(,0)的距离记作4B=x-, 如果A(x,),B(:)是平面上任意两点，我们可以通过构造直角三角形来求A、B 间的距离.如图，过A、B两点分别向x轴、y轴作垂线AMAW和BM2BN2,垂足 分别记作M,(s,0),N(O,y)M2(x,0),N,(0),直线AN,与BM2交于Q点. 在RtAABQ中，AB=Ag+QB,:Ag=M,M2=s-xl,Bg=|NN=y2-y .AB=x-x+y-,由此得任意两点A(,h),B(x)之间的距离公式： 4B=+ 如果某圆的圆心为(0,0)，半径为.设P(x,y)是圆上任一点，根据“圆上任一点到 定点（圆心）的距离都等于定长（半径）”，我们不难得到PO=r,即 √(x-0+(y-0)=r,整理得：x2+y=r2.我们称此式为圆心在原点，半径为r的 圆的方程. (1)直接应用平面内两点间距离公式，求点4(1，-3)，B(2,)之间的距离： (2)如果圆心在点P(2,3),半径为3，求此圆的方程. (3)方程x2+y-12x+8y+36=0是否是圆的方程？如果是，求出圆心坐标与半径. N2h.- B Na. A OM M 【答案】(1)5：(2)(x-2+(y-3=9;(3)此方程是圆的方程：圆心的坐标为(6，-4) ,半径的长为4 【分析】(1)根据两点之间的距离公式计算即可： (2)根据圆的方程的定义列式计算即可： (3)应用配方法得出完全平方，再根据新定义得出结论： (1)解：：A(1,-3),B(-2,1), .AB=V-2-1+1-(-3)2=V32+42=5: (2)解：圆心在点P(2,3),半径为3， ∴由题意得：(x-2)2+(y-3)}2=32, .(x-2)+(y-3)2=9: (3)解：：x2+y2-12x+8y+36=0, .x2-12x+y2+8y=-36, .(x2-12x+36)+(y2+8y+16)=-36+36+16 (x-6)}+(y+4)}=16, .(x-62+(y+4)2=42, 故此方程是圆的方程：圆心的坐标为(6，-4)，半径的长为4. 2.(25-26八年级下·新疆喀什期末)如图.在平面直角坐标系中， A1,4),B(5,0),C(2,1). (1)判断△ABC的形状： (2)请画出△ABC关于x轴对称的△4BC,并写出A的坐标： (3)在y轴上画出点P,使PA+PC最小.（保留作图痕迹） 4 3 2 C B 5-4-3-2-10 234 2 4 【答案】(I)△ABC为等腰三角形 (2) 4-3-2-10 3B)文： 4(1,-4) (3) 5-4-3-2-1Q 2347B) 【分析】(1)根据勾股定理及其逆定理判断即可： (2)根据轴对称的性质作图，进而根据平面直角坐标系写出的坐标即可； (3)根据轴对称的性质及两点之间线段最短作图即可. (1)解：AB2=(5-1)2+(0-4)2=16+16=32」 AC2=(2-1)2+(1-4)2=1+9=10. BC2=(5-2)2+(0-1)2=9+1=10, ,AC=BC,且AC2+BC2=20≠AB2, ∴.△ABC为等腰三角形： (2)略： (3)略. 3.(25-26七年级下·黑龙江佳木斯·期末)先阅读下列一段文字，再回答后面的问 题. 已知平面内两点(x,),B(x2,y2),这两点间的距离B=V(x-x)+(y-)2,同 时，当两点所在的直线在坐标轴上或平行于坐标轴或垂直于坐标轴时，两点间距离 公式可简化为-或y-. (1)已知A2,4),B(-3,-8),试求A,B两点间的距离： (2)已知A,B在平行于y轴的直线上，点A的纵坐标为5，点B的纵坐标为-3， 试求A,B两点间的距离. 【答案】(1)13：(2)8 【分析】(1)将点A、B的坐标代入两点间的距离公式进行解答即可： (2)点A、B两点间的距离为y一，进行计算即可. (1)解：A,B两点间的距离=V(-3-2+(-8-4)2=13: (2)解：由题意，得：A,B两点间的距离=5-(-3)=8 4.(25-26七年级下江苏南通期中)先阅读下列一段文字，再解答问题. 己知在平面内有两点(xy),B(:,y),其两点间的距离公式为 B=V(:2-x)+(2-y)2，同时，当两点所在的直线在坐标轴上或平行于坐标轴或 垂直于坐标轴时，两点间距离公式可简化为-x或y-. (1)已知点A(7,3),B(2,-9),试求A,B两点间的距离： (2)已知点A,B在平行于x轴的直线上，点A的横坐标为8，点B的横坐标为-2， 试求A,B两点间的距离： (3)应用平面内两点间的距离公式，求代数式Vx-1)}+(y+2+V(x-2+(y-7) 的最小值. 【答案】(1)13：(2)10，(3)V65 【分析】(1)直接根据两点间距离公式计算即可： (2)根据平行于坐标轴的距离公式计算即可： (3)先根据V(x-)}+(y+1+V(x-2'+(y-7)}的意义得出点(x,y)在以(，-)和(2,7)为端 点的线段上时，原式值最小，再根据两点间距离公式计算即可. (1)解：A(7,3),B(2,-9), AB=V(2-7)2+(-9-3}=13: (2)解：根据题意可知：点A,B在平行于x轴的直线上， .AB=8-(-2=10: (3)解：：V(x-1+(y+2+V(x-2)2+(y-7)}表示点(x,y)到(，-)和(2,7)的距离之和， 又，两点之间线段最短， “点(x,)在以（山，）和(2，)为端点的线段上时，原式值最小， V(x-12+(y+12+(x-2}+(-7) V1-2}2+(-1-7)}=V65 的最小值为： 题型13：割补法求解坐标系内多边形面积解答题 1.(26-27八年级上宁夏银川阶段检测)如图，在平面直角坐标系中，A(a,0)是 x轴负半轴上一点，C是y轴负半轴上的一点，CB⊥y轴并交y轴负半轴于C(O,b), 且la+8+(b+6)°=0，点B在第三象限，且BC=4. (I)求点A、B、C的坐标： (2)求SoMC (3)如图2，点P从A出发沿x轴正方向以每秒2个单位长度的速度移动，点Q从 O出发沿y轴负方向以每秒1个单位长度的速度移动，在点P、O移动的过程中，连 接PB、QB,使△PAB的面积是△OBC面积的5倍，求出点P的坐标： y B 图1 图2 【答1480.B4-6.c0-6:②6,3P0成r220 【分析】(I)非负性求出a,b的值，即可得出结果； (2)根据梯形的面积公式进行求解即可； (3)根据三角形的面积公式以及两个三角形的面积公式列出方程进行求解即可. (1)解：：a+8+(b+6=0, .a+8=0,b+6=0. .a=-8,b=-6 .A(-8,0),C(0,-6), :CB⊥y轴，且BC=4, .B(-4,6): (2)解：由(1)知：A(-8,0),B(4,6),C(0,6) ÷04c=2×(4+8)×6=36, (3)解：设P,的移动时间为t,则由题意，得P(-8+21,0),(0,-), Sm-34p-=2x2x6=,Se200k2X1+6x4=21+, ,△PAB的面积是△QBC面积的5倍， :.61=106-, 15 解得1=4或1=15’ -8+21=-8+15-1 +2=-2或-8+21=-8+30=22： ro 或P(2,0) 2.(25-26七年级下·山东滨州期末)计算 如图，在平面直角坐标系中，己知两点A(4,6),B(6,4),连接A0、B0、AB. (1)求三角形AOB的面积. (2)求AB与y轴的交点坐标 【容案山26a0 【分析】(I)过点A作AE⊥x轴于点E,过点B作BF⊥x轴于点F,根据点的坐标求出相 关线段的长度，利用作差法求三角形面积： (2)设AB与y轴的交点为点C,利用三角形的面积求出OC长度，即可得出点的坐标. (I)解：如图，过点A作AE⊥x轴于点E,过点B作BF⊥x轴于点F, F A(4,6),B(6,4), .E(-4,0),F(6,0), .AE=6,BF=4,0E=4,0F=6,EF=10 .SAOB=S梯形AB-SAOE-S,BOr x6+4x106x4x6x4 =50-12-12 =26: (2)解：如图，设AB与y轴的交点为点C, V 由(1)得三角形AOB的面积为26， ÷20c0+)-26, 即0c6+4)-26. 解得0C=26 3.(25-26七年级下广东惠州期中)在平面直角坐标系中，0是坐标原点，过点 A(⑧，6)分别作x轴和y轴的平行线，交y轴于点B,交x轴于点C,M是线段AB的 中点，点P从M点出发沿线段MA-AC向终点C运动，速度为每秒2个单位长度， 设点P运动的时间为t(秒). (1)请直接写出点B和点C的坐标：B（),C（) (2)t=1时，AP的长度为 1=3时，AP的长度为 试用含 t的代数式表示线段AP的长度， (3)作线段oP、PM,当三角形MOP的面积等于直角梯形AMOC的面积的3时， 求t的值，并求出此时点P的坐标. M B B M O C 备用图 备用图 [4-21(0≤t≤2) 【答案】少0.6'80：2)4P= 2t-4(2<t≤5)： (3)的值为。，点的坐标为 (8,6) 【分析】本题主要考查坐标与图形，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解是解题的关键. (1)根据点A的坐标确定点B和点C的坐标即可解答： (2)分点P在MA和AC上两种情况，列出代数式求解即可： (3)分点P在MA和AC上两种情况，根据三角形MOP的面积等于直角梯形AMOC的面积的 3,列出方程进行求解即可. (1)解：过点A8,6)分别作x轴和y轴的平行线，交y轴于点B,交x轴于点C, ..OC=AB=8.OB=CA=6. ·B(0,6),C(8,0): (2):M是线段AB的中点， M=4, :点P从M点出发沿线段MA-AC向终点C运动，速度为每秒2个单位长度， 则当点P运动到点A时，所需时间为4÷2=2(S), 则当点P运动到点C时，所需时间为(4+6)÷2=5(s), ∴.当0≤1≤2时，AP=AM-PM=4-2t, .当2<1≤5时，AP=21-4, 4-21(0≤1≤2) 综上所述，线段，的长度表示为AP= AP 21-4(2<1≤5) (3),直角梯形4M0C的面积=(4M+0C)4C=4+8)x6=36。 ·SMop=2×36=12, 3 当0≤1≤2时，如图2， B 图2 则Sm=)MP.0B=)26=12. 2 解得t=2, ∴.MP=4, 此时点P与点A重合，故P(8,6): 当2<t≤5时，如图3， 图3 8e+5e-Snw8w-号8w-24, 由(2)知AP=21-4,则CP=AC-AP=6-(21-4)=10-21, w+5m号4P-MM+5cn-0c=-44+00-208=24, 2 解得t=2(舍去)， 故t的值为2，点P的坐标为(8,6) 4.(25-26七年级下·江西上饶期中)如图，在平面直角坐标系中，1cm对应坐标 轴上的1个单位长度，AB‖CDI‖x轴，BCI DEy轴，且AB=CD=6cm,OA=7cm ,DE=3Cm,动点P从点A出发，以每秒lcm的速度，沿A→B→C路线向点C运 动：动点O从点O出发，以每秒2cm的速度，沿0→E→D路线向点D运动.若P ，两点同时出发，其中一点到达终点时，两点都停止运动. (1)直接写出B,C,D三个点的坐标： (2)当P,Q两点运动的时间为4秒时，求三角形PQC的面积： (3)设P,9两点运动的时间为>0)秒，当三角形OPp的面积为21cm时，求t 的值. P B D 0Q 【答案】(1)点B的坐标为(6,7)，点C的坐标为(6,3)，点D的坐标为(12,3)：(2)1cm: (3)1=3秒 【分析】(1)根据线段之间的关系求出各点的坐标即可： (2)当运动的时间为4秒时，AP=4cm,O0=8cm,根据 SrOc=S,PM0-S,pPKc-S矩形Kc-SCwO即可求出结果： (3)根据运动的速度和路程可知，点P、Q最多运动7.5秒，分点P在AB上运动，在BC上 运动，根据三角形的面积公式，分情况求出t值. (1)解：AB=CD=6cm,OA=7cm, “点B的坐标为(6,7)， ..DE =3cm, 点C的坐标为(6,3)， ∴.AB+CD=12cm 点D的坐标为(12,3)： (2)解：当运动的时间为4秒时， ∴.AP=4cm,O2=8cm. 如下图所示，延长BC交OE于点N,则BN⊥OE,过点P作PM⊥OE,延长DC交PM于点 K,则DK⊥PM, 则有ON=AB=6cm,CN=DE=3cm,OM=AP=4cm, ..MO=00-OM=8-4=4cm MN=ON-OM=6-4=2cm, ∴.NQ=Mg-MN=4-2=2cm S.rec=SPM-SaPKC-S矩形wC-S.cwe 7x442-2x 2*2x3 =14-4-6-3 =1cm2; PB K C O→N O Ex (3)解：：OE+ED=AB+CD+DE=6+6+3=15cm, ∴点从点0运动到点E需要15÷2=7.5秒， .AB+BC=6+4=10cm. ∴点P从点A运动到点C需要10÷l=10秒， ∴点P、最多运动7.5秒， 即点P在AB上运动， 当0<1≤6时，如下图所示， 可得：O0=21cm, 1 S.om-2000A=2x7x21=7em, 2 当7t=21时， 可得：1=3秒： 0→Q Ex 当6<1≤7.5时，如下图所示， 过点P作PM IIOE,交ED的延长线于点M, PM =CD=6cm,MD=PC=AB+BC-1=(10-t)cm,EQ=(2t-12)cm. ∴ME=MD+DE=10-t+3=(13-)cm,Mg=ME-Eg=13-t-(21-12)=(25-3)cm, .S,Ore=S梯形poEW-S,OEe-SaPw -(PM+OEYAE-PM-AQ-OEOE =26+1203-0-x6x25-30-x2x(21-12) =9(13-t)-3(25-3)-6(2t-12) =117-91-75+9t-121+72 =114-12t. 当114-121=21时， 31 解得：1=4秒，不合题意，舍去： M E x 综上所述，当1=3 △OPO 时， 的面积为 1cm2 题型14：坐标与几何图形综合压轴题 1.(26-27八年级上湖北荆州阶段检测)如图，在平面直角坐标系中，已知点 A(-2,1),B(3,1),C(4,3),AB交y轴于点D. (1)求△ABC的面积： (2)P是y轴上一点，若aPCD的面积是△ABC面积的2倍，求点P的坐标： (3)E是坐标平面内一点，若△ABE与△ABC全等，请直接写出所有符合条件的点 E的坐标. D 【答案】(1)Sc=5;(2)点P的坐标为(0，-4)或(0,6)；(3)点E的坐标为(4，-)或 (-3,-1)或(-3,3) 【分析】(1)利用三角形面积公式求解即可： (②)利用三角形面积公式列式得到2PD×4=2×5,再分两种情况讨论求解即可： (3)画出图形，分三种情况讨论求解即可. (1)解：SMc=)(3+2)×(3-1)=5: 2 (2)解：由题意得2 PD×4=2×5. D 解得PD=5, 1-5=4,1+5=6 ∴点P的坐标为(0，-4)或(0,6)： (3)解：如图：△ABE≌△ABC或△BAE,≌△ABC或△BAE,≌△ABC, 4 ∴点E的坐标为(4，)或(-3，-)或(-3,3) 2.(25-26八年级上·新疆塔城期末)阅读理解，自主探究：在初中几何学习中， 当图形中出现多个直角且存在相等的线段时，可结合全等三角形的判定与性质来分 析线段之间的关系，这是解决这类几何问题的常用思路 V D B 图1 图2 图3 备用图 【问题解决】 (I)如图1，在等腰直角△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC,过点C作直线DE, AD⊥CE于点D,BE⊥DE于点E,则CD与BE的数量关系是 【问题探究】 (2)如图2，在等腰直角△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC,过点C作直线CE, AD⊥CE于点D,BE⊥CE于点E,AD=2cm,DE=l.6cm,求BE的长： 【拓展延伸】 (3)如图3，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(-2,6)，点B的坐标为(6,2)，第 一象限内是否存在一点P,使△ABP为等腰直角三角形？如果存在，请直接写出点 P的坐标. 【答案】(1)CD=BE;(2)BE=0.4cm;(3)存在：P点的坐标为：(10,10)，(2,14)， (4,8). 【分析】(I)利用AAS证明△ADC≌△CEB,即可得到CD=BE: (2)利用AAS证明△BCE≌aCAD,再利用全等三角形的性质运算即可： (3)分类讨论P点的位置，结合全等三角形的性质运算即可. (1)解：CD=BE,理由如下： AD⊥DE,BE⊥DE, ∴.∠D=∠E=90°=∠ACB, ,∠D+∠DAC=∠ACE=∠ACB+∠BCE, .∠DAC=∠BCE, ∴在△ADC与△CEB中， ∠D=∠E ∠DAC=∠BCE, AC=BC ·.△ADC≌aCEB(AAS), ..CD=BE: (2)解：·AD⊥CE,BE⊥CE, .∠E=∠ADC=90°， .∠ACB=90°， ∴.∠ACD+∠BCE=90°，∠ACD+∠CAD=90°. .∠BCE=∠CAD, .△BCE和△CAD中， I∠E=∠ADC ∠BCE=∠CAD, BC=AC .△BCE≌ACAD(AAS). .BE=CD,CE=AD=2cm, .BE=CD=CE-DE=2-1.6=0.4cm; (3)解：存在，理由如下： ①：当PB=AB,∠ABP=9O°时，过点B作平行于x轴的直线DE,AD⊥DE于点D, PE⊥DE于点E,如图所示： y A< D B A(-2,6),B(6,2), ·AD=6-2=4,BD=6-(-2)=8, 由(1)同理可证△ABD≌△PEB, ∴.AD=BE=4,PE=BD=8, “.P点的横坐标=BE+xa=4+6=10,P点的纵坐标=PE+yg=8+2=10, .P(10,10): ②：当PA=AB,∠PAB=90°时，过点A作平行于y轴的直线GF,PG⊥GF于点G, BF⊥GF于点F,如图所示： Fh ---B “A(-2,6),B(6,2), ∴AF=6-2=4,BF=6-(-2)=8 由(1)同理可证△PGA≌△AFB, .PG=AF=4,GA=BF=8, .P点的横坐标=PG+x4=4+(-2)=2,P点的纵坐标=GA+y4=8+6=14, .P(2,14): ③：当PA=PB,∠APB=90°时，过点P作平行于x轴的直线MN,AM LMN于点M, BN⊥MN于点N,如图所示： M 设P(a,b), :A(-2,6),B(6,2), :.PN=Xp-xp=6-a,NB=yp-yp=b-2,PM=xp-x1=a-(-2)=a+2, MA=yp-y=b-6. 由(1)同理可证△APM≌aPBN, .PN=MA,PM=NB. 6-a=b-6 .a+2=b-2' a=4 解得： b=8’ .P(4,8), 综上，P点的坐标为：(10,10)，(2,14)，(4,8). 3.(25-26七年级下辽宁大连期末)如图1，在平面直角坐标系中，点4A(a,0), B(b,0),C(-5,-5),且满足(a+4)+Va-4b=0,CD∥AB交y轴于点D. (1)直接写出点A的坐标，B的坐标，D的坐标_： (2)E是射线OD上一动点，∠EBO与∠ECD的角平分线交于点F. ①如图2，当点E在线段OD上时，若BE⊥CE,求∠F的度数： ②如图3，当点E在线段OD的延长线上时，若∠BEC=α，求∠F的度数. (3)在射线DO上是否存在这样的点E,使S△Mc:S△c=I:1,若存在，请直接写出 点E坐标；若不存在，请说明理由 B 图1 图2 图3 【答案】④（←40：L0:0,-:②①45：@∠BrC-0；存在：点B的 坐标为0，-2)或(05) 【分析】(1)由非负数的性质可求得，b的值，得A、B的坐标，再由CD∥AB即可求得点 D的坐标： (2)①过点F向左作FGAB,利用平行线的性质得∠BFC=∠FBO+∠FCD,过点E向左作 EH∥AB,同理得∠BEC=∠EB0+∠ECD=9O°，再由角平分线的性质即可求解： ②过点F向左作FG‖AB,利用平行线的性质得∠BFC=∠FBO-∠FCD,过点E向左作 EH∥AB,同理得∠BEC=∠EBO-∠ECD,再由角平分线的性质即可求解： 3)分两种情况考虑：①当点E在线段DO上时：②点E在线段DO的延长线上时：利用割 补方法表示出△BEC的面积即可求解. (1)解：(a+4≥0Wa-4b20,且(a+4)}+Va-46=0, ∴.a+4=0,a-4b=0, ∴.a=4,b=-1, .A(4,0);B(-1,0): :CDI‖AB交y轴于点D,C(-5,-5), .D(0,-5) (2)解：①过点F向左作FG‖AB,则∠FBO=LBFG, .ABII CD .FGII CD, .∴.LGFC=LFCD, .∠BFC=LBFG+∠GFC=∠FBO+∠FCD, 过点E向左作EH∥AB, B H E 图2 同理得∠BEC=∠EBO+∠ECD, BE⊥CE, ∴.∠BEC=∠EBO+∠ECD=90°， :BF、CF分别是∠EBO、∠ECD的角平分线， 20Br=EB0∠rcD-D, .∠BFG= 3Bac,∠c-BcD, :.∠BFC=∠BFG+∠GFC=(∠EBO+∠ECD)=45, 即LF=45°： ②过点F向左作FGI‖AB,则∠FBO=∠BFG, :·ABIICD .FGCD, ∴.LGFC=LFCD, ∴.∠BFC=∠BFG-∠GFC=∠FBO-LFCD, 过点E向左作EH∥AB, D G 图3 同理得∠BEC=∠EBO-∠ECD=a, :BF、CF分别∠EBO、∠ECD的角平分线， :∠OBF=)∠EBO,∠FCD=)∠ECD, 2 2 ÷.∠BFG=)∠EBO,LGFC=)∠ECD, 2 :.∠BFC=∠BFG-∠GFC=(∠EBO-∠ECD)=29 (3)解：设E(0,m), A(-4,0);B(-1,0);C(-5,-5),D(0,-5), .OB=1,AB=3,OD=5,CD=5. ①当点E在线段DO上时，如图： 则m<0,OE=-m,DE=m+5, ∴.S.BEC=S梯形OBD-Sa0BE-SCDE +列x5-1(时号xa+列 5 =-2m+。 2 8号4份3x55 2，SMABC:SABc=l:l, ,515 .-2m+22 即0-)： B E 图4 ②当点E在线段DO的延长线上时，如图5； 则m>0,OE=m,DE=m+5, ∴.SBc=ScDE-S梯形OBCD-S,OBE =方x5xm+5列-0+5列x5-1xm -2m-5 2 S.ARC=SMmC SAREC1:1 2m5 m=5, 即E(0,5): BO D 图5 综上，点E的坐标为 0, 2或(0,5) 4.(25-26七年级下·重庆·期末)如图，在平面直角坐标系中，点 4a,Ba0,co),且满足：2-d+6=5=0,连接4B.BC.C4 (1)如图1，点B的坐标为一，点C的坐标为一· (2)如图2，若点P在y轴上，当S△4m=SAc时，求点P的坐标； (3)如图3，对于正方形DEFG,连接EG,，EG将正方形DEFG分割成两个直角三 角形，称这两个直角三角形为“半正方形”，故△EDG和△EFG分别是以∠D,∠F 为直角的“半正方形”.若点y在华标平面内，月心一草。指，轴向下平移2 个单位得到直线I,在直线I上是否存在点N,使得以点A,M,N为顶点的三角形是 以∠A为直角的“半正方形”，若存在，请直接写出点N的坐标，若不存在，请说 明理由. VA 图1 图2 D G B 10 图3 备用图 【案1（←0s0:②r0支P0:382骏-2 【分析】(1)根据非负数的性质求得a,b的值，即可求解： (2)设P的坐标为(0，)，过点A作AD⊥y轴于点D,分两种情况讨论，当P在D点上方 时，即y>2,S△4=SPoC-S梯形0e-S4n=6;当y<0时， SAACP=S。Poc+S梯形AOC-SAm=6，,分别解方程，即可求解： (3)过点M,N分别作k的垂线，垂足分别为E,F,证明△AEM≌aNFA(AAS)得出 3 EM=AF=n-,AE=FN=4则M(5,n+)或M(-3,3-n,根据Sacw=3建立方程解 方程，即可求解 （dy解：：4).a0c6o,且满起：2-d+65=0 .2-a=0,b-5=0 ∴.a=2,b=5 ∴.A1,2),B(-1,0),C(5,0) (2)解：，点P在y轴上， 设P的坐标为(0，y) A(1,2),B(-1,0),C(5,0) .BC=6, 1 ∴Sc=2x6x2=6 .SAACP=S△MBC=6 如图，过点A作AD1y轴于点D, D B 图2 .D(0,2) .OC=5,AD=1,OD=2 ∴.S梯形ADOC= 2×1+5)x2=6 显然，当点P在OD之间时，S4CP<6,不合题意， 分两种情况讨论： ①如图，当P在D点上方时，即y>2 D C 图2 S△4Cr=S.roc-S梯形ADoc-SADP 2x5-620-2x1=2y-5 ∴.2y-5=6 解：y号 :r9 ②当y<0时，如图 A 图2 S△ACr=SPOC+S梯形ADOC-SADP =(yx5+6-22-yx1=5-2y .5-2y=6 解有：=-号 r 综上所述， ro2)ar(o-2) (3)如图，过A作直线k:y=2, 过点M,N分别作k的垂线，垂足分别为E,F, FA E BO ! 备用图 ∴.∠AFN=∠AEM=90° .'∠MAN=90° .∴.∠FAN=90°-∠EAM=∠AME 又：AM=AW ∴.△AEM≌△NFA(AAS) ∴.AE=NF,ME=AF ,将x轴向下平移2个单位得到直线， k∥l,1:y=-2 设N(n,-2),则F(n,2), .AF=n-1 NF=2-(-2)=4 :EM=AF=n-1,AE=FN=4, :.M(1+4,2+n-1),即(5，n+1)或M(1-4,2-n+1)即(-3,3-n) A1,2),C(5,0) 当M(5,n+)时，如图，C,M,E共线，连接MC 备用图 8wcCw×i 加+4 =2n+1 2咖+-9 当n+1>0时，即2(n+1）=2 解得：n=19 -2 19 当n1<0时，2a+=写 解利：= 02 即N82或02 当M(-3,3-n)时，如图，过点C作CT1k于点T,则T(5,2), 备用图 当n-1>0时，即n>1时 .SACw=S梯形EMCT-SABM-S.ACT =0m-+2x(4+42n-k4x4×2 a-1+2)x8-n-x4-4 =4(n+1)-2(n-1)-4 =2n+2 2n+2= 3,解得：n=19 6 2 当n-1<0时，即n<1时 如图，延长ME交x轴于点S M :.SC=5-(-3)=8,4E=4, .S.4CM=S.Mcs+S.AuS-S.4c8 =m-+2列x8-2×8×20a-+2x4 =0-n+2x8-8-20-n+2) =4(3-n)-8-2(3-n) =-2-2n -2-2n= 3 解相：8=-君 综上所述， vg2或-g2 题型15：利用勾股逆定理判断三角形形状填空题 1.(26-27八年级上山东济南阶段检测)如图，在平面直角坐标系中，△ABC的 顶点A坐标为(-2,3)，顶点B,C均在小正方形的网格点上 (1)作△4B,G,使△4BG和△ABC关于y轴对称； (2)分别写出以下顶点的坐标： B C (3)直接写出△ABC的面积： (4)在x轴上画出点P,使PB+PA最小，并写出最小值为 【答案】(1)如图，△ABC即为所求： VA A (2)(2,3):(3,-1):(6,5):(3)9:(4) √17 【分析】(1)根据轴对称的性质画出图形，即可： (2)根据轴对称得到4，B,C的坐标，即可. (3)用长方形面积减去周围三个直角三角形的面积，即可： (4)根据两点之间线段最短原理，点P在AB上，即AB与x轴的交点为点P,用两点间距离 公式计算即可. 解：(1)略 (2)略 (3)解：把△ABC放在一个能完全包裹它的矩形中，用长方形面积减去周围3个直角三角形 的面积： 包裹△ABC的矩形长为6、宽为4，面积=4×6=24； 三个多余的直角三角形面积：2×2×4+ 1 3x6+5x1x4=15, 2 2 ∴.S4Bc=24-15=9 (4)解：线段AB与x轴的交点就是所求的点P,此时PA+PB=AB,图略： AB=V42+12=V17, 即PA+PB的最小值为7. 2.(26-27八年级上江西阶段检测)如图，在平面直角坐标系中，4(4，)， B(-1,-),C(-3,2),直线m(直线m上所有点的横坐标均为-1)· (1)在图中作出△ABC关于直线m对称的△4BG,并求出△4BG的面积； (2)线段AB交x轴于D点，直接写出点D关于直线m对称点D的坐标 (3)线段AC上有一点M(x,),直接写出点M关于直线m对称点M的坐标 5 3 3 -5-4-3-2+10 1 2345x B 3 3 m 【答案】(1)解：所作△4BG如图所示： 54 3 9 A 45衣 BB 220:(3)(2- 【分析】(1)分别作出△ABC关于直线m的对称点，再顺次连接即可： (2)由图知A(4,),B(-山，-)，再利用坐标中点公式求出点D的坐标，最后结合轴对称性质 求解，即可解题； (3)根据轴对称的性质求解即可. 解：(1)略 (2)解：由图知A(4,1),B(-1,-1) 0的型标为2)(30 点D关于直线加对称点n的坐标为行0片 (3)解：线段AC上有一点M(书，)，-1+(-)-x=-2-x, ∴点M关于直线m对称点M1的坐标为(-2-x,y) 3.(26-27八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测)如图，平面直角坐标系中，点B的 坐标为(0,4)，A为x轴正半轴上一点，连接AB,S△B0=8. (1)求点A的坐标： (2)如图2，P为x轴负半轴上一点，连接BP,设点P的横坐标为4，△BOP的面 积为，用含t的式子表示S(不用写出t的取值范围)： (3)如图3，在(2)的条件下，C为x轴负半轴上P左侧一点，连接BC,过C作 CO⊥OC,连接B0,∠OBP=∠QBP,∠BP9=135°，若CQ=l,求1的值. V B A 图1 图2 图3 【答案】(1)A(4,0):(2)S=-21;(3)1=-1 【分析】(1)由题意可得OB=4，,再结合三角形面积公式计算得出OA=4,即可得出结果： (2)表示出OP=-(,再结合三角形面积公式计算即可得出结果： (3)在y轴的负半轴上取一点E,使得BO=BE,连接PE,证明△OBP≌aEBP(SAS),得出 QP=EP,∠BPE=∠BPg=135°，再证明aPOC≌aEPO(AAS),得出OP=CQ=1,从而得 解。 (1)解：点B的坐标为(0,4)， .OB=4. ,S△AB0=8,∠AOB=90°， OB.OA 1 .2 2×4x01=8, .0A=4, ,A为x轴正半轴上一点， .A(4,0): (2)解：，P为x轴负半轴上一点，点P的横坐标为t, .OP=-t,∠BOP=90° .0B=4, s-0p0B=(40k4=2x (3)解：如图，在y轴的负半轴上取一点E,使得B吧=BE,连接PE, B P A衣 E 在△QBP和△EBP中， BO=BE ∠OBP=LQBP, BP=BP ∴.△OBP≌EBP(SAS), ∴.QP=EP,∠BPE=∠BPg=135o .∠QPE=360°-∠BPE-∠BPQ=90°， ∴.∠QPC+∠OPE=90°. ..co Loc, .∠PCQ=∠EOP=90° ∴.∠OPC+∠PQC=90° .∠OPE=∠POC, 在△P2C和△EPO中， I∠PQC=∠OPE ∠PCQ=∠EOP, OP=EP .aPOC≌aEPO(AAS). ..OP=CO=1, 由(2)可得OP=-t, .-=1, .t=-1. 4.(26-27八年级上·山东济南阶段检测)在平面直角坐标系中，对于任意两点 P(x,y)与(x2)的“美好距离”，给出如下定义： 若-x4-,则点P与点Q的“美好距离”为压-： 若：-x<-,则点P与点的“美好距离”为-. 用符号M四表示P,两点的“美好距离”. (1)已知点A B为y轴上的一个动点， ①若点A与点B的“美好距离”为2，满足条件的点B的坐标是 (写出 1个即可)； ②点A与点B的“美好距离”的最小值是 (2)已知直线I过(2,3)且平行于x轴，C是直线1上的一个动点，如图1，点D的坐 标是(0，)，求出点C与点D的“美好距离”的最小值是多少？当C与D的“美好距 离”取最小值时，求出点C的横坐标的最小值是多少？ 1+D -2-1,0123 【答案】(1)①(0,2)或(0，-2)（任写一个即可）：②2；(2)点C与点D的“美好距 离”的最小值是2；点C横坐标的最小值是-2 【分析】根据“美好距离”的定义即可求解. (1)解：①设B(0,y), 动B3以-=0- 1 :Mw=2,且2<2， ∴由“美好距离”的定义得以=2， 解得y=+2, 点B的坐标可以是(0,2)或(0，-2)： ②0知k-x=2以-为=川， ·由“美好距离”的定义可得， 当时时，Ma=,此时Mu> 当<2时，Ms=2, .点A与点B的“美好距离”的最小值是2： (2)解：设C(x,3), D(0,1), x-x=x-0=x,y-2=3-1=2, ·由“美好距离”的定义可得， 当≥2时，Mn=x≥2， 当x<2时，Mcn=2, ·点C与点D的“美好距离”的最小值是2， x≤2，即-2≤x≤2， .点C横坐标的最小值是-2.