7.2 认识证明（分层作业·练题型）数学新教材北师大版八年级上册

分层作业 7.2 认识证明 目 录 A组 巩固过关 题型01 判断是不是命题 题型02 真假命题 题型03 命题的题设与结论 题型04 举反例 题型05 定理与证明 题型06 填写理论依据 B组 能力进阶 C组 思维拔高 拓展 链接中考 判断是不是命题题型01 一、单选题 1．下列语句中，是定义的是（    ） A．两点确定一条直线 B．两点之间的所有连线中，线段最短 C．两点之间线段的长度，叫作这两点之间的距离 D．三角形中任意两边的和大于第三边 【答案】C 【分析】明确定义是对概念含义的描述规定，需与事实、性质类命题区分． 【详解】解：A、两点确定一条直线，是基本事实，不属于定义； B、两点之间的所有连线中，线段最短，是基本事实，不属于定义； C、对“两点之间的距离”的含义作出明确规定，属于定义； D、三角形中任意两边的和大于第三边，是三角形的性质定理，不属于定义． 2．下列语句是命题的是（     ） A．连接 B．相等的角是对顶角 C．小于90度的角是锐角吗？ D．画 【答案】B 【分析】根据命题的定义判断即可． 【详解】解：A、连接是作图，不是命题； B、相等的角是对顶角是命题； C、小于90度的角是锐角吗？是疑问句，不是命题； D、画是作图，不是命题． 3．下列语言叙述是命题的是（     ） A．《给阿嬷的情书》是一部非常感人的电影． B．你喜欢长沙吗？ C．赶紧去学习！ D．画一条端点为的射线． 【答案】A 【分析】命题是对一件事情作出判断的语句，根据该定义判断各选项即可得到答案． 【详解】A选项对《给阿嬷的情书》的作品性质作出了判断，是完整的陈述句，符合命题的定义； B选项是疑问句，没有对事情作出判断，不符合命题定义； C选项是祈使句，没有对事情作出判断，不符合命题定义； D选项是作图指令，没有对事情作出判断，不符合命题定义． 二、填空题 4．一个命题是由______两部分组成． 【答案】题设（或条件）和结论 【分析】此题考查了命题的组成．命题有两部分组成，即题设（或条件）和结论．据此回答即可． 【详解】解：一个命题由题设（或条件）和结论两部分组成． 故答案为：题设（或条件）和结论 5．下列说法：①作直线的平行线；②；③垂线段最短吗？④同角的余角相等，其中是命题的有______个． 【答案】 【分析】根据“判断一件事情的语句叫做命题”，逐一判断每个说法即可． 【详解】解：①“作直线的平行线”是作图指令，没有对事情作出判断，不是命题； ②“”对两个数的大小关系作出了判断，是命题； ③“垂线段最短吗？”是疑问句，没有对事情作出判断，不是命题； ④“同角的余角相等”对余角的关系作出了判断，是命题； 因此是命题的共有个． 6．下列语句中，属于定义的是_______，是命题的是_______．（请填写序号） ①三角形的内角和等于；②无限不循环小数称为无理数；③你的作业做完了吗？④天空真蓝啊！⑤对顶角不相等；⑥连接两点的线段的长度，叫作这两点间的距离． 【答案】 ②⑥/⑥② ①②⑤⑥ 【分析】此题考查了定义及命题，根据三角形内角和定理、无理数的定义和对顶角性质、两点间的距离进行判断即可解决． 【详解】解：①三角形的内角和等于，是命题，不是定义； ②无限不循环小数称为无理数，是定义，也是命题； ③你的作业做完了吗？既不是定义也不是命题； ④天空真蓝啊！既不是定义也不是命题； ⑤对顶角不相等；不是定义，是命题； ⑥连接两点的线段的长度，叫作这两点间的距离，是定义，也是命题； 属于定义的是②⑥；是命题的是①②⑤⑥； 故答案为：②⑥；①②⑤⑥． 真假命题题型02 一、单选题 1．下列命题中，是真命题的是（     ） A．如果直线与相交，直线与相交，那么直线与相交 B．两个锐角互余 C．的算术平方根是 D．如果两个实数相等，那么它们的平方相等 【答案】D 【分析】通过举反例排除假命题，再验证剩余选项的正确性． 【详解】解：A选项： 若直线，直线与、均相交，满足题设但与不相交，故A为假命题； B选项：例如和均为锐角，和为，不互余，直角三角形中的两个锐角才互余，故B为假命题； C选项： 64的算术平方根是，不是，故C为假命题； D选项：如果两个实数相等，那么它们的平方相等，是真命题． 2．下列命题中，真命题是（     ） A．若一个数的立方等于它本身，则这个数一定是 B．若一个数的绝对值等于它本身，则这个数一定是正数 C．若一个数的平方根等于它本身，则这个数是和 D．若一个数的立方根等于它本身，则这个数为、、 【答案】D 【详解】解：A选项，，即1的立方等于本身，故A为假命题； B选项，，即0的绝对值等于本身，故B为假命题； C选项，的平方根是，不等于本身，故C为假命题； D选项，，，的立方根均等于本身，故D为真命题． 3．对于下列四个命题： ①如果有两个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补 ②如果和是对顶角，那么 ③一个角的余角一定小于这个角的补角 ④如果和互余，与的余角互补，那么和互补 真命题有（     ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】A 【分析】本题结合平行线性质，对顶角性质，余角补角的定义，逐个判断命题真假，即可得到真命题个数． 【详解】①根据平行线的性质，如果两个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补，故①是真命题； ②由对顶角的性质可知，对顶角相等，因此如果和是对顶角，那么，故②是真命题； ③设这个角为，因为该角有余角，因此，该角的余角为，补角为，因为，因此，即一个角的余角一定小于这个角的补角，故③是真命题； ④因为和互余，因此的余角为，又因为与的余角互补，因此，即和互补，故④是真命题； 综上，四个命题均为真命题． 故选：A． 4．下列命题中，是真命题的是（     ） A．若，， 则 B．相等的角是对顶角 C．若， 则 D．两个锐角的和是钝角 【答案】A 【分析】通过举反例的方法来判断命题的真假即可． 【详解】解： A、根据平行线的基本性质，平行于同一条直线的两条直线互相平行， ，，，本命题是真命题； B、举反例：两个位置不相对的直角，角度相等但不是对顶角，因此本命题是假命题； C、举反例：，，满足，但，，因此本命题是假命题； D、举反例：和都是锐角，和为仍是锐角，不是钝角，因此本命题是假命题． 5．下列命题是真命题的是（    ） A．4的算术平方根是2 B．直线外一点到这条直线的垂线段，叫做点到直线的距离 C．若一个数的立方根等于它本身，则这个数一定是0或1 D．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 【答案】A 【分析】本题为基本概念辨析题，根据算术平方根、点到直线的距离、立方根、垂直的定义逐一判断命题真假即可． 【详解】解：对选项A：∵ ，算术平方根为非负平方根，∴ 的算术平方根是，A是真命题； 对选项B：点到直线的距离是直线外一点到这条直线的垂线段的长度，不是垂线段本身，∴ B是假命题； 对选项C：立方根等于本身的数是，和，∴ C是假命题； 对选项D：只有在同一平面内，过一点才有且只有一条直线与已知直线垂直，选项缺少前提，∴ D是假命题． 二、填空题 6．命题“若，则”是______________命题．（选填“真”或“假”） 【答案】 假 【分析】根据二次根式的性质，，因此仅能推出，可举反例判断命题真假． 【详解】解：根据二次根式的性质，可得，， ∵若，可得，即或， 举反例：取，，此时，满足，但， ∴原命题不成立，是假命题． 7．下列命题：相等的角都是对顶角；不小于直角的角是锐角；若，则或；若，则．其中属于真命题的是______． 【答案】③④ 【详解】解：相等的角都是对顶角，错误，是假命题； 不小于直角的角是锐角，错误，是假命题； 若，则或，正确，是真命题； 若，则正确，是真命题． 8．下列命题中，是真命题的是______________．（填序号） ①相等的角是对顶角． ②连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短． ③用根号表示的数都是无理数． 【答案】 ② 【详解】解：① 相等的角不一定是对顶角，例如两平行线被第三条直线所截得到的同位角相等，但同位角不是对顶角，因此①是假命题； ② 由垂线的基本性质可知，连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短，因此②是真命题； ③ 用根号表示的数不都是无理数，例如，是有理数，因此③是假命题． 命题的题设与结论题型03 一、单选题 1．命题“两直线平行，内错角相等”中的“内错角”（   ） A．是题设 B．既是题设，也是结论 C．是结论 D．既不是题设，也不是结论 【答案】D 【分析】先将原命题改写为“如果…那么…”的形式，区分出完整题设和结论，再判断“内错角”的属性 【详解】解：将原命题改写为“如果两直线平行，那么内错角相等”， 命题中，“如果”引出的部分是题设，“那么”引出的部分是结论， ∵ 完整题设为“两直线平行”，完整结论为“内错角相等”， ∴ “内错角”只是结论中的部分名词，既不是完整题设，也不是完整结论， 因此选D 2．命题“如果，那么”的条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查命题的结构组成，在命题“如果P，那么Q”中，P是条件，Q是结论，据此即可解答． 【详解】解：∵命题是“如果，那么 ”， ∴ 条件部分是， 故选A． 二、填空题 3．如果是整数，那么是偶数，其中题设是____________，结论是____________，这是____________命题（填真或假） 【答案】 是整数 是偶数 真 【分析】命题为“如果…那么…”的形式，“如果”后接的部分是题设，“那么”后接的部分是结论，结合偶数定义即可判断命题真假． 【详解】解：对于“如果…那么…”形式的命题， “如果”引出的部分是题设，因此本题题设是是整数； “那么”引出的部分是结论，因此本题结论是是偶数； 是整数时，一定能被整除，符合偶数的定义， 该命题是真命题． 4．把命题“对顶角相等”改写成“如果……那么……”的形式________． 【答案】如果两个角是对顶角，那么这两个角相等． 【详解】原命题“对顶角相等”中，条件是“两个角是对顶角”，结论是“这两个角相等”， 因此改写成“如果…，那么…”的形式为：如果两个角是对顶角，那么这两个角相等． 5．将命题“在三角形中，等边对等角”改写成“如果……，那么……”的形式是：___________． 【答案】如果在一个三角形中有两条边相等，那么这两条边所对的角相等 【详解】略 6．“同角的余角相等”改写成“如果…那么…”的形式，如果___________，那么___________． 【答案】 两个角是同一个角的余角 这两个角相等 【分析】找出原命题的题设与结论，明确“如果”后接题设，“那么”后接结论即可完成改写． 【详解】解：原命题“同角的余角相等”中，题设为两个角是同一个角的余角，结论为这两个角相等， 因此可得：如果两个角是同一个角的余角，那么这两个角相等． 三、解答题 7．将下列命题改成“如果…，那么…”的形式，并指出命题的条件和结论． (1)平行于同一条直线的两条直线平行； (2)两个有理数相乘，同号得正． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）找出命题的条件和结论，进而得出答案； （2）找出命题的条件和结论，进而得出答案． 【详解】（1）解：如果两条直线都平行于同一条直线，那么这两条直线平行．条件：两条直线都平行于同一条直线，结论：这两条直线平行； （2）解：如果两个有理数同号，那么它们相乘的积为正．条件：两个有理数同号，结论：它们相乘的积为正． 举反例题型04 一、单选题 1．为说明“若，则”是假命题，可举反例（     ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】要说明原命题是假命题，只需找出满足条件，但不满足结论的反例，逐个验证选项即可． 【详解】解：选项A．，，且，符合原命题，不是反例． 选项B．，，且，满足条件，但不满足结论，是原命题的反例． 选项C．，，不满足命题条件，不是反例． 选项D．，，不满足命题条件，不是反例． 2．对于命题“如果，那么”，能说明它是假命题的反例是（     ） A．， B． C．， D．， 【答案】B 【分析】能说明原命题是假命题的反例，需要满足原命题的条件，但不满足原命题的结论，据此逐一判断选项即可． 【详解】解：A、∵，， ∴，且，不可以说明原命题是假命题，故此选项不符合题意； B、∵， ∴，且，可以说明原命题是假命题，故此选项符合题意； C、∵，， ∴，不满足，不可以说明原命题是假命题，故此选项不符合题意； D、∵， ∴，不满足，不可以说明原命题是假命题，故此选项不符合题意． 3．对于命题“如果，那么”能说明该命题为假命题的反例是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查命题的真假判断，反例需满足命题的条件，但不满足命题的结论，找出符合要求的选项即可，解题关键是掌握分式有意义的条件与不等式的计算. 【详解】解：A.时，无意义，不符合要求，故排除； B.，，满足，且，满足命题结论，不能作为反例，故排除； C.，，，不满足的条件，不符合要求，故排除； D.，，满足，且，，此时，即，不满足命题的结论，符合反例要求. 二、填空题 4．能说明“若，则”是假命题的一个反例是___________．（写出一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】只需找到满足，但不满足的一组即可． 【详解】解：取，， 计算得，． ，即满足条件， 而，即不满足结论， 这组数可以说明原命题是假命题． 5．小聪认为命题“两个无理数的积一定是无理数”不正确，请你帮他举一个反例：_____． 【答案】（答案不唯一） 【分析】要说明命题“两个无理数的积一定是无理数”不正确，只需找到两个乘积为有理数的无理数，即可作为反例． 【详解】解：无理数是无限不循环小数，取和，二者均为无理数， ，是有理数， 这两个无理数的乘积是有理数，可作为原命题的反例． 三、解答题 6．下列命题是真命题还是假命题？如果是假命题，请举出反例． (1)如果一个数的绝对值等于它本身，那么这个数一定是正数． (2)等角的补角相等． (3)如果，那么． (4)两个奇数的和一定是偶数． 【答案】(1)假命题；反例：0 (2)真命题 (3)假命题；反例： (4)真命题 【分析】本题考查了判断命题真假，举反例，熟练掌握相关知识是解题的关键； （1）绝对值等于本身的数不仅有正数，0的绝对值是0． （2）若两个角相等（设为），则它们的补角分别为和，显然相等． （3）当时， （4）奇数可表示为（为整数），两个奇数相加为，是2的倍数，故为偶数． 【详解】（1）解：假命题 反例：0的绝对值等于它本身，但0不是正数． （2）解：真命题 （3）假命题 反例：取，则． （4）解：真命题． 定理与证明题型05 一、单选题 1．下列命题不是公理的是（    ） A．两点确定一条直线 B．两点之间线段最短 C．同角的补角相等 D．同位角相等，两直线平行 【答案】C 【分析】本题考查公理与定理的区分．公理是不需要证明的基本命题，而定理是通过公理推导出的命题，据此可得答案． 【详解】解：A、B、D三个选项中的命题都是公理， C选项中的命题需要证明，即该命题不是公理， 如则， 故选：C． 2．有下列描述：①过点 A 作直线 AF // BC ；②连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线；③两直线平行，同旁内角互补；④垂直于同一直线的两条直线互相垂直.其中是定理 的有（    ） A．0 个 B．1 个 C．2 个 D．3 个 【答案】B 【分析】通过真命题（公理或其他已被证明的定理）出发,经过受逻辑限制的演绎推导,证明为正确的结论的命题或公式叫做定理. 【详解】①是题目条件或者要求,不是定理; ②是三角形中位线定义,不是定理; ③是定理; ④是假命题,应该是垂直于同一直线的两条直线互相平行. 故选B. 【点睛】该题考查了定理定义,首先先判断该句是否是真命题,如果是真命题的话,再判断是否经过逻辑推理可以进行证明,如果是,就说明该句是定理. 3．下列命题是定理的是（    ） A．内错角相等 B．同位角相等，两直线平行 C．一个角的余角不等于它本身 D．在同一平面内，有且只有一条直线与已知直线垂直 【答案】B 【分析】根据定理的定义和平行线的性质与判定、余角的定义和垂线的性质逐项判断即得答案． 【详解】解：A、内错角相等，需要有前提条件“两直线平行”，是假命题，本选项不符合题意； B、同位角相等，两直线平行，是真命题，也是定理，本选项符合题意； C、一个角的余角可以等于它本身，如45°，是假命题，本选项不符合题意； D、在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，是假命题，本选项不符合题意． 故选B． 【点睛】本题考查了命题与定理、平行线的性质和判定、余角的概念和垂直的性质等知识，一个命题是定理首先它必须是一个真命题，掌握以上基本知识是解答的关键． 4．“两点确定一条直线”这句话是（　　） A．定理 B．基本事实 C．结论 D．定义 【答案】B 【分析】两点确定一条直线是个陈述句，是事实存在的，属于基本事实． 【详解】解：“两点确定一条直线”这句话是基本事实； 故选B． 【点睛】此题考查了命题与定理、公理，要熟悉课本中的性质定理是解题的关键，是一道基础题． 5．下列命题中，不是定理的是（　　） A．直角三角形两锐角互余 B．两直线平行，同旁内角互补 C．n边形的内角和为（n﹣2）×180° D．相等的角是对顶角 【答案】D 【分析】根据定理是正确的命题判断． 【详解】直角三角形两锐角互余，A是定理； 两直线平行，同旁内角互补，B是定理； n边形的内角和为（n﹣2）×180°，C是定理； 相等的角不一定是对顶角，D不是定理． 故选D． 【点睛】本题考查了命题和定理，命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理． 填写理论依据题型06 一、单选题 1．老师布置了一项作业，对一个真命题进行证明，下面是小云给出的证明过程：    证明：如图，， ． ， ， ， 已知该证明过程是正确的，则证明的真命题是（    ） A．在同一平面内，若，且，则 B．在同一平面内，若，且，则 C．两直线平行，同位角不相等 D．两直线平行，同位角相等 【答案】A 【分析】阅读证明可以得到答案． 【详解】解：根据证明过程可知，证明的真命题是，且，则， 故选：A． 【点睛】本题考查命题与定理，解题的关键是能分清命题的题设与结论． 二、填空题 2．有下列各项：①公理；②已学定理；③定义；④等量代换；⑤不等式的性质；⑥度量结果；⑦已知条件；⑧正确的观察结果；⑨猜测结果．其中可以作为推理依据的有________（填序号）． 【答案】①②③④⑤⑦ 【分析】本题考查了定理与证明，熟练掌握定理与证明的特性是解题的关键； 先明确推理依据的定义，在逐项分析所给各项是否符合推理依据的要求，最后统计符合条件的个数即可. 【详解】解：推理依据是指在数学推理过程中，无需证明即可直接使用的确定事实，包括公认的基本事实、学过的定义、性质、定理、公理以及题目中给出的已知条件等. ①公理：公理是经过人类长期反复实践检验，不需要再加证明的基本命题，是推理依据； ②已学定理：定理是经过证明的真命题，是推理依据； ③定义：定义是对事物本质特征的描述，是明确概念的依据，是推理依据； ④等量代换：等量代换是基本的逻辑规则，即如果两个量相等，那么它们可以互相替换，是推理依据； ⑤不等式的性质： 不等式的性质是经过证明的，如不等式两边同时加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变等，是推理依据； ⑥度量结果：度量结果可能因测量工具、方法等因素存在误差，不是确定的已知事实，不能作为推理依据； ⑦已知条件：题目中给出的已知条件是推理的起点，是推理依据； ⑧正确的观察结果： 观察结果可能受主观或客观因素影响，不是绝对可靠的确定事实，不能作为推理依据； ⑨猜测结果：猜测结果没有经过证明，不具有确定性，不能作为推理依据； 故答案为：①②③④⑤⑦ ． 三、解答题 3．如图，在直线上取一点O，作，使平分．请你猜想和的数量关系，并说明理由． 其中一种解题过程如下：请在括号中注明根据，在横线上补全步骤． 解：∵， ∴ （ ）． ∴． ∴（ ）． ∵ 平分， ∴ （ ）． ∵ 是平角， ∴（ ）． ∴． ∴． ∴ ． 【答案】；角的和的定义；等式的基本性质；；角平分线的定义；平角的定义；； 【分析】利用直角、角平分线、平角的性质，通过等式代换推导两角关系． 【详解】略 4．补全下列推理过程： 如图，，，，试说明． 解：∵，，（已知）， ∴（垂直的定义）， ∴（____________）． ∴（____________）． ∵（已知）， ∴____________（等量代换）． ∴（____________）． 【答案】 同位角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等；；内错角相等，两直线平行． 【分析】本题考查证明补充条件，根据条件与结论因果关系直接填写即可得到答案； 【详解】略 5．如图，与交于点O，，，说明：，请完善解答过程，并在括号内填写相应的理论依据 说明：∵ （已知） ∴ （等式的性质） 即 ∵ （已知） ∴（ ） 在和中 ∵ （已证） （已证） （ ） ∴ （ ） ∴ （ ） 【答案】，，等边对等角，，，公共边相等，，全等三角形的对应角相等 【分析】根据等边对等角，利用证明三角形全等，再根据全等三角形的对应角相等，作答即可. 【详解】略 6．如图，平分交于点，，，，求的度数．补全下面的解答过程，并在括号内填写相应的内容或理论依据． 解：因为平分（已知） 所以① （② ） 因为（已知） 又因为（平角定义） 所以（③ ） 所以（④ ） 所以⑤ （⑥ ） 又因为（已知） 所以⑦ （等量代换） 所以（同旁内角互补，两直线平行） 所以（⑧ ） 【答案】①；②角平分线的定义；③同角的补角相等；④内错角相等，两直线平行；⑤；⑥两直线平行，同旁内角互补；⑦；⑧两直线平行，同位角相等 【分析】先求出的度数，再得出，则，进而可得，然后得出，最后根据平行线的性质求解即可． 【详解】解：略． 7．如图，，，，试说明．请完善下面的推理过程，并在括号内填写相应的理论依据． 解：，（已知） ，（______） ．（______） ，（已知） ，（等量代换） ．（______） ______．（两直线平行，同位角相等） ，（已知） ，（______） ．（等量代换） 【答案】见解析 【分析】根据平行线的判定方法和性质，进行作答即可. 【详解】解：，（已知） ，（同位角相等，两直线平行） ．（两直线平行，内错角相等） ，（已知） ，（等量代换） ．（同旁内角互补，两直线平行） ．（两直线平行，同位角相等） ，（已知） ，（垂直的定义） ．（等量代换） 8．如图，平分，，，试说明．请完善解答过程，并在括号内填写相应的理论依据． 解：∵平分 ∴（                   ） ∵（已知）， ∴（等式的基本事实） ∴（                                    ） ∴（                             ） ∵（已知） ∴（                                     ） ∴（                                       ） 【答案】角平分线的定义；内错角相等，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补；同角的补角相等；同位角相等，两直线平行 【分析】根据角平分线定义得出，根据平行线的判定得出，根据补角的性质得出，最后根据平行线的判定得出答案即可． 【详解】解：平分， （角平分线的定义 ）， （已知）， （等式的基本事实）， （内错角相等，两直线平行）， （两直线平行，同旁内角互补 ）， （已知）， （同角的补角相等）, ∴（同位角相等，两直线平行）． 一、单选题 1．下列命题为真命题的是（   ） A．相等的角是对顶角 B．同位角一定相等 C．垂线段一定最短 D．两点之间线段最短 【答案】D 【分析】根据对顶角、同位角的概念，垂线段最短，两点之间线段最短的性质进行判断． 【详解】解：A、相等的角不一定是对顶角，可能是同位角，也可能是内错角等其他位置关系，该命题是假命题，故A选项不符合题意； B、只有当两直线平行时，同位角才相等，该命题是假命题，故B选项不符合题意； C、连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短，则原命题表述不严谨，该命题是假命题，故C选项不符合题意； D、两点之间线段最短，是真命题，故D选项符合题意． 2．下列选项中，可以用来证明命题“若，则”假命题的反例是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：A、当，时， ，， 不满足条件，结论也不成立，不能作为反例，不合题意； B、当，时， ，， 满足条件但结论不成立，能作为反例，符合题意； C、当，时， ，又， 不满足条件，但结论成立，不能作为反例，不合题意； D、当，时， ∵，又， 满足条件，结论也成立，不能作为反例，不合题意． 3．下列各组、的值能作为说明命题“，则”为假命题的反例的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：、，不满足，不能成为说明命题为假命题的反例； 、，不满足，不能成为说明命题为假命题的反例； 、，满足，也满足，不能成为说明命题为假命题的反例； 、满足，不满足，能成为说明命题为假命题的反例． 4．下列语句中：①一条直线有且只有一条垂线；②不相等的两个角一定不是对顶角；③两条不相交的直线叫做平行线；④若两个角的一对边在同一直线上，另一对边互相平行，则这两个角相等；其中错误的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题为几何概念辨析题，需根据垂线，对顶角，平行线等初中几何基本概念，逐一判断每个语句的正误，统计错误个数得到答案． 【详解】解：逐一判断各语句： ①∵过直线上任意一点都可作该直线的垂线，一条直线上有无数个点 ∴一条直线有无数条垂线，①错误； ②∵对顶角一定相等， ∴不相等的两个角一定不是对顶角，②正确； ③∵平行线的定义要求前提是“在同一平面内”，该语句缺少前提条件， ∴③错误； ④∵若两个角的一对边在同一直线上，另一对边互相平行，则这两个角相等或互补， ∴④错误； 综上，错误的语句共3个，故选C． 5．下列命题是假命题的是（    ） A．对顶角相等 B．全等三角形的面积相等 C．如果，那么 D．9的平方根是 【答案】C 【分析】本题考查了命题真假的判断，根据对顶角性质、全等三角形性质、平方的性质及平方根定义，逐一判断各命题真假，找出假命题即可． 【详解】由对顶角的性质为对顶角相等，故A是真命题，不符合题意； 全等三角形可完全重合，则其面积相等，故B是真命题，不符合题意； ∵当时，，但，说明存在满足， ∴“如果，那么”是假命题，故C是假命题，符合题意； ∵， ∴9的平方根是，故D是真命题，不符合题意． 故选：C． 6．下列命题中，是真命题的是（　　） A．如果，则 B．如果，则 C．平方根等于本身的数有0和1 D．如果，则 【答案】B 【分析】本题考查平方根、立方根的性质及命题真假的判断，需逐一分析各选项，结合相关性质判断命题是否为真命题． 【详解】解：A选项： ∵当时，，但 ∴该命题是假命题． B选项： ∵ ∴ 又∵ ∴ 根据立方根的唯一性，得 ∴ ∴该命题是真命题． C选项： ∵1的平方根是，不等于它本身，只有0的平方根是0，等于其本身， ∴该命题是假命题． D选项： ∵当，，时，，，但 ∴该命题是假命题． 故选B 7．下列命题： ①的算术平方根是4； ②实数和数轴上的点一一对应； ③两点确定一条直线是公理； ④直角三角形两条直角边长度的平方和等于斜边的平方； ⑤标准差是方差的平方根； ⑥对顶角相等． 其中是真命题有（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】B 【分析】本题考查了判断命题的真假． 根据算术平方根的定义、实数和数轴的关系、两点确定一条直线、勾股定理、标准差的定义、对顶角相等逐一判断即可． 【详解】解：命题①：，4的算术平方根是2，不是4，命题①错误； 命题②：实数与数轴上的点一一对应是实数基本性质，命题②正确； 命题③：两点确定一条直线是几何公理，命题③正确； 命题④：直角三角形两条直角边长度的平方和等于斜边的平方是勾股定理，命题④正确； 命题⑤：标准差是方差的算术平方根而非平方根，命题⑤错误； 命题⑥：对顶角相等是几何定理，命题⑥正确； 真命题有②③④⑥，共4个． 故选：B． 二、填空题 8．参加“涪外好少年”杯七年级数学能力展示的七年级（1）班甲、乙、丙、丁四位同学一起去向黄特询问竞赛的成绩，黄特说，“你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩．”看了以后，甲对大家说：“我还是不知道我的成绩．”根据以上信息，则能知道自己成绩的同学是____________ 【答案】乙和丁 【分析】从甲的“不知道”反推乙、丙的成绩组合，再利用该组合推导乙的成绩即可． 【详解】解：如果乙、丙都是优秀，那甲只能是良好，甲就能确定自己的成绩； 如果乙、丙都是良好，那甲只能是优秀，甲也能确定自己的成绩； 因此，乙、丙一定是一优一良； 乙看到了丙的成绩，又知道乙、丙是一优一良， 若丙是优秀，乙就一定是良好； 若丙是良好，乙就一定是优秀； 所以乙能知道自己的成绩。 因为乙、丙是一优一良，所以剩下的甲、丁也必然是一优一良， 丁看到了甲的成绩： 若甲是优秀，丁就一定是良好； 若甲是良好，丁就一定是优秀； 所以丁能知道自己的成绩． 则能知道自己成绩的同学是乙和丁． 三、解答题 9．已知，和． (1)如图1，请直接写出与的关系； (2)如图2，写出与的关系，并说明理由； (3)结合（1），（2）的结论，请用自己的语言归纳得到一个真命题． 【答案】(1) (2) 解：，理由如下： 设交于， ∵， ∴，， ∴． (3)如果两个角的两边分别平行，那么这两个角相等或者互补 【分析】（1）根据两直线平行，同位角相等即可证明； （2）根据平行线的性质得，，则； （3）根据（1）（2）的结论归纳得到一个真命题,即可求解． 【详解】（1）解：，理由如下： 设交于， ∵， ∴，， ∴； （2）略 （3）解：如果两个角的两边分别平行，那么这两个角相等或者互补 10．春天是放风筝的季节，清朝诗人高鼎在《村居》中用两句诗描绘了春天放风筝的场景：“草长莺飞二月天”，“忙趁东风放纸鸢”．我们研究的四边形中有一种叫筝形，如图1所示． 【筝形的定义】 两组邻边分别相等的四边形．即：若四边形满足且，则四边形为筝形． （）【任务】如图2是由小正方形组成的网格图，在网格中仅用无刻度的直尺和笔，画出一个顶点在格点的筝形； 【任务】某数学活动小组在探究筝形的角、对角线的性质过程中，得出以下命题： 命题：筝形有一组对角相等． 命题：筝形一条对角线垂直平分另一条对角线． 命题：筝形的每一条对角线平分一组对角． （）以上命题是真命题的有______个． （）选择其中的一个真命题，结合图1写出已知求证并对这个命题进行证明． 【答案】（）画图见解析（答案不唯一）； （）； （）选择命题． 已知：如图①，筝形中，，； 求证：； 证明：如图①，连接， 在和中， ， ∴， ∴； 选择命题． 已知：如图②，筝形中，，，对角线相交于点； 求证：且． 证明：在和中， ， ∴， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， 即， ∴且． 【分析】本题考查了筝形的定义，全等三角形的判定和性质，熟练掌握知识点是解题的关键． （）根据筝形的定义画图即可； （）根据筝形的特征判断即可求解； （）根据全等三角形的判定和性质即可求证； 【详解】（）解：如图所示，四边形即为所求；（答案不唯一） （）解：命题：筝形有一组对角相等，是真命题； 命题：筝形一条对角线垂直平分另一条对角线，是真命题； 命题：筝形的每一条对角线平分一组对角，是假命题； ∴以上命题是真命题的有个， 故答案为：； （）略 一、填空题 1．，，，，这支足球队进行循环赛，每两队之间比赛一场．每场比赛胜者得分、负者得分，打平则双方各得分，最后支球队的积分各不相同，从高到低依次为，，，，，又已知支球队当中只有没输过，只有没赢过，而且战胜了．战胜球队的是_______队． 【答案】 【分析】根据已知条件，队单循环每队踢场，没输过、没赢过、胜，积分满足且各不相同，逐步推导各队胜负即可得到结论． 【详解】解：已知战胜了，且没赢过， 至少胜平，积分至少得分． 支球队中只有没输过，说明输过， 则可能是胜负、胜平负、胜平负、胜平负，对应积分为分、分、分、分． 至少得分，且， 至少为分， 可能是胜负、胜平负，对应积分为分、分． ，且没输过，则只可能是胜平、胜平，对应积分为分、分． ①若为胜平，此时的积分为分， ， 只能为胜负，此时的积分为分，即负，胜、、， 则负、负，而比得分多， 至少得5分，但此时最多胜平负，积分最多为分，与至少得5分相矛盾， 故该情况不符合题意，舍去． ②若为胜平，为胜负，此时的积分为分，的积分为分， 至少得分且， 一定得分，只能是胜平负，结合负分类讨论： 当胜平平时，与为胜负矛盾； 当胜平平时，与为胜平，为胜负均矛盾； 当胜平平时，结合为胜负，可得胜，与为胜平矛盾； 故该情况不符合题意，舍去． ③若为胜平，为胜平负，此时的积分为分，的积分为分， 、、的积分应分别是分、分、分， 结合积分且各不相同，推导各队赛果和积分： ：平，胜，胜，负，总积分分； ：平，胜，平，平，总积分分； ：胜，平，负，平，总积分分； ：胜，负，负，平，总积分分； ：平，平，平，负，总积分分； 该结果满足所有题干条件，只输给，因此战胜的只有队． 二、解答题 2．在学习全等三角形及其性质中例题16后，受此启发，小海和小明有了新的探究． 例16   证明：两边对应相等且其中一组等边上的中线相等的两个三角形全等． 如图，已知：在和中，，，、分别是边、上的中线，且．求证：． (1)小海发现：“两角对应相等且其中一组等角的平分线相等的两个三角形全等”是真命题． ①如图，请根据题意在图中画出示意图；并根据条件和结论，参照你的示意图，写出“已知”和“求证”； ②写出由条件推出结论的完整过程． (2)小明发现：“两边对应相等且其中一组等边上的高相等的两个三角形全等”是真命题．该结论是否正确？请简单说明理由，无需完整过程． 【答案】(1)①如图： 已知：在和中，，，平分，平分，且；求证：． ② 证明：∵平分，平分， ∴，， 又∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在和中， ， ∴； (2)结论不正确，理由：可以构造反例：两个三角形有两边对应相等，且其中一组等边上的高相等，但这两个三角形一个是锐角三角形，一个是钝角三角形，它们不全等．如图： ，，，则与不全等． 【分析】（1）①在和中，分别作和的角平分线、； 已知：在和中，，，平分，平分，且；求证：． ② 先证明，根据证明，得，再根据即可证明； （2）结论不正确，可以举反例说明． 【详解】（1）解：①在和中，分别作和的角平分线、； ②略 （2）略 3．如图1，已知在和中，，，．在此条件下，再强化条件，分别得到下列三个命题． 命题1：若与是直角，则． 命题：若与是钝角，则． 命题：若与是锐角，则． (1)命题1为真命题，理由：__________________； (2)请将下面命题2的证明过程补充完整； 证明：如图，作交的延长线于点，交的延长线于点， ∵， ∴． 在和中， … (3)命题3是否为真命题？请画出图形，并说明理由． 【答案】(1) 命题是真命题，理由如下： 与是直角， 和是直角三角形， ，， （）； (2) 证明：如图，作交的延长线于点，交的延长线于点， ， ． 在和中， ， （）， ， 在和中， ， （）， ， 又，， （）； (3) 命题3不是真命题， 如图所示：以为圆心，长为半径画弧，交于、， 虽然，，，但是和不全等， 故命题不是真命题． 【分析】（1）根据直角三角形全等的判定定理即可得到结论； （2）由可证，可得，由可证，可得，由可证； （3）以为圆心，长为半径画弧，交于、；得和不全等． 【详解】（1）解：略； （2）略； （3）解：略． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 分层作业 7.2 认识证明 目 录 A组 巩固过关 题型01 判断是不是命题 题型02 真假命题 题型03 命题的题设与结论 题型04 举反例 题型05 定理与证明 题型06 填写理论依据 B组 能力进阶 C组 思维拔高 拓展 链接中考 判断是不是命题题型01 一、单选题 1．下列语句中，是定义的是（    ） A．两点确定一条直线 B．两点之间的所有连线中，线段最短 C．两点之间线段的长度，叫作这两点之间的距离 D．三角形中任意两边的和大于第三边 2．下列语句是命题的是（     ） A．连接 B．相等的角是对顶角 C．小于90度的角是锐角吗？ D．画 3．下列语言叙述是命题的是（     ） A．《给阿嬷的情书》是一部非常感人的电影． B．你喜欢长沙吗？ C．赶紧去学习！ D．画一条端点为的射线． 二、填空题 4．一个命题是由______两部分组成． 5．下列说法：①作直线的平行线；②；③垂线段最短吗？④同角的余角相等，其中是命题的有______个． 6．下列语句中，属于定义的是_______，是命题的是_______．（请填写序号） ①三角形的内角和等于；②无限不循环小数称为无理数；③你的作业做完了吗？④天空真蓝啊！⑤对顶角不相等；⑥连接两点的线段的长度，叫作这两点间的距离． 真假命题题型02 一、单选题 1．下列命题中，是真命题的是（     ） A．如果直线与相交，直线与相交，那么直线与相交 B．两个锐角互余 C．的算术平方根是 D．如果两个实数相等，那么它们的平方相等 2．下列命题中，真命题是（     ） A．若一个数的立方等于它本身，则这个数一定是 B．若一个数的绝对值等于它本身，则这个数一定是正数 C．若一个数的平方根等于它本身，则这个数是和 D．若一个数的立方根等于它本身，则这个数为、、 3．对于下列四个命题： ①如果有两个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补 ②如果和是对顶角，那么 ③一个角的余角一定小于这个角的补角 ④如果和互余，与的余角互补，那么和互补 真命题有（     ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 4．下列命题中，是真命题的是（     ） A．若，， 则 B．相等的角是对顶角 C．若， 则 D．两个锐角的和是钝角 5．下列命题是真命题的是（    ） A．4的算术平方根是2 B．直线外一点到这条直线的垂线段，叫做点到直线的距离 C．若一个数的立方根等于它本身，则这个数一定是0或1 D．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 二、填空题 6．命题“若，则”是______________命题．（选填“真”或“假”） 7．下列命题：相等的角都是对顶角；不小于直角的角是锐角；若，则或；若，则．其中属于真命题的是______． 8．下列命题中，是真命题的是______________．（填序号） ①相等的角是对顶角． ②连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短． ③用根号表示的数都是无理数． 命题的题设与结论题型03 一、单选题 1．命题“两直线平行，内错角相等”中的“内错角”（   ） A．是题设 B．既是题设，也是结论 C．是结论 D．既不是题设，也不是结论 2．命题“如果，那么”的条件是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 3．如果是整数，那么是偶数，其中题设是____________，结论是____________，这是____________命题（填真或假） 4．把命题“对顶角相等”改写成“如果……那么……”的形式________． 5．将命题“在三角形中，等边对等角”改写成“如果……，那么……”的形式是：___________． 6．“同角的余角相等”改写成“如果…那么…”的形式，如果___________，那么___________． 三、解答题 7．将下列命题改成“如果…，那么…”的形式，并指出命题的条件和结论． (1)平行于同一条直线的两条直线平行； (2)两个有理数相乘，同号得正． 举反例题型04 一、单选题 1．为说明“若，则”是假命题，可举反例（     ） A．， B．， C．， D．， 2．对于命题“如果，那么”，能说明它是假命题的反例是（     ） A．， B． C．， D．， 3．对于命题“如果，那么”能说明该命题为假命题的反例是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 4．能说明“若，则”是假命题的一个反例是___________．（写出一个即可） 5．小聪认为命题“两个无理数的积一定是无理数”不正确，请你帮他举一个反例：_____． 三、解答题 6．下列命题是真命题还是假命题？如果是假命题，请举出反例． (1)如果一个数的绝对值等于它本身，那么这个数一定是正数． (2)等角的补角相等． (3)如果，那么． (4)两个奇数的和一定是偶数． 定理与证明题型05 一、单选题 1．下列命题不是公理的是（    ） A．两点确定一条直线 B．两点之间线段最短 C．同角的补角相等 D．同位角相等，两直线平行 2．有下列描述：①过点 A 作直线 AF // BC ；②连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线；③两直线平行，同旁内角互补；④垂直于同一直线的两条直线互相垂直.其中是定理 的有（    ） A．0 个 B．1 个 C．2 个 D．3 个 3．下列命题是定理的是（    ） A．内错角相等 B．同位角相等，两直线平行 C．一个角的余角不等于它本身 D．在同一平面内，有且只有一条直线与已知直线垂直 4．“两点确定一条直线”这句话是（　　） A．定理 B．基本事实 C．结论 D．定义 5．下列命题中，不是定理的是（　　） A．直角三角形两锐角互余 B．两直线平行，同旁内角互补 C．n边形的内角和为（n﹣2）×180° D．相等的角是对顶角 填写理论依据题型06 一、单选题 1．老师布置了一项作业，对一个真命题进行证明，下面是小云给出的证明过程：    证明：如图，， ． ， ， ， 已知该证明过程是正确的，则证明的真命题是（    ） A．在同一平面内，若，且，则 B．在同一平面内，若，且，则 C．两直线平行，同位角不相等 D．两直线平行，同位角相等 二、填空题 2．有下列各项：①公理；②已学定理；③定义；④等量代换；⑤不等式的性质；⑥度量结果；⑦已知条件；⑧正确的观察结果；⑨猜测结果．其中可以作为推理依据的有________（填序号）． 三、解答题 3．如图，在直线上取一点O，作，使平分．请你猜想和的数量关系，并说明理由． 其中一种解题过程如下：请在括号中注明根据，在横线上补全步骤． 解：∵， ∴ （ ）． ∴． ∴（ ）． ∵ 平分， ∴ （ ）． ∵ 是平角， ∴（ ）． ∴． ∴． ∴ ． 4．补全下列推理过程： 如图，，，，试说明． 解：∵，，（已知）， ∴（垂直的定义）， ∴（____________）． ∴（____________）． ∵（已知）， ∴____________（等量代换）． ∴（____________）． 5．如图，与交于点O，，，说明：，请完善解答过程，并在括号内填写相应的理论依据 说明：∵ （已知） ∴ （等式的性质） 即 ∵ （已知） ∴（ ） 在和中 ∵ （已证） （已证） （ ） ∴ （ ） ∴ （ ） 6．如图，平分交于点，，，，求的度数．补全下面的解答过程，并在括号内填写相应的内容或理论依据． 解：因为平分（已知） 所以① （② ） 因为（已知） 又因为（平角定义） 所以（③ ） 所以（④ ） 所以⑤ （⑥ ） 又因为（已知） 所以⑦ （等量代换） 所以（同旁内角互补，两直线平行） 所以（⑧ ） 7．如图，，，，试说明．请完善下面的推理过程，并在括号内填写相应的理论依据． 解：，（已知） ，（______） ．（______） ，（已知） ，（等量代换） ．（______） ______．（两直线平行，同位角相等） ，（已知） ，（______） ．（等量代换） 8．如图，平分，，，试说明．请完善解答过程，并在括号内填写相应的理论依据． 解：∵平分 ∴（                   ） ∵（已知）， ∴（等式的基本事实） ∴（                                    ） ∴（                             ） ∵（已知） ∴（                                     ） ∴（                                       ） 一、单选题 1．下列命题为真命题的是（   ） A．相等的角是对顶角 B．同位角一定相等 C．垂线段一定最短 D．两点之间线段最短 2．下列选项中，可以用来证明命题“若，则”假命题的反例是（   ） A． B． C． D． 3．下列各组、的值能作为说明命题“，则”为假命题的反例的是（   ） A． B． C． D． 4．下列语句中：①一条直线有且只有一条垂线；②不相等的两个角一定不是对顶角；③两条不相交的直线叫做平行线；④若两个角的一对边在同一直线上，另一对边互相平行，则这两个角相等；其中错误的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．下列命题是假命题的是（    ） A．对顶角相等 B．全等三角形的面积相等 C．如果，那么 D．9的平方根是 6．下列命题中，是真命题的是（　　） A．如果，则 B．如果，则 C．平方根等于本身的数有0和1 D．如果，则 7．下列命题： ①的算术平方根是4； ②实数和数轴上的点一一对应； ③两点确定一条直线是公理； ④直角三角形两条直角边长度的平方和等于斜边的平方； ⑤标准差是方差的平方根； ⑥对顶角相等． 其中是真命题有（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 二、填空题 8．参加“涪外好少年”杯七年级数学能力展示的七年级（1）班甲、乙、丙、丁四位同学一起去向黄特询问竞赛的成绩，黄特说，“你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩．”看了以后，甲对大家说：“我还是不知道我的成绩．”根据以上信息，则能知道自己成绩的同学是____________ 三、解答题 9．已知，和． (1)如图1，请直接写出与的关系； (2)如图2，写出与的关系，并说明理由； (3)结合（1），（2）的结论，请用自己的语言归纳得到一个真命题． 10．春天是放风筝的季节，清朝诗人高鼎在《村居》中用两句诗描绘了春天放风筝的场景：“草长莺飞二月天”，“忙趁东风放纸鸢”．我们研究的四边形中有一种叫筝形，如图1所示． 【筝形的定义】 两组邻边分别相等的四边形．即：若四边形满足且，则四边形为筝形． （）【任务】如图2是由小正方形组成的网格图，在网格中仅用无刻度的直尺和笔，画出一个顶点在格点的筝形； 【任务】某数学活动小组在探究筝形的角、对角线的性质过程中，得出以下命题： 命题：筝形有一组对角相等． 命题：筝形一条对角线垂直平分另一条对角线． 命题：筝形的每一条对角线平分一组对角． （）以上命题是真命题的有______个． （）选择其中的一个真命题，结合图1写出已知求证并对这个命题进行证明． 一、填空题 1．，，，，这支足球队进行循环赛，每两队之间比赛一场．每场比赛胜者得分、负者得分，打平则双方各得分，最后支球队的积分各不相同，从高到低依次为，，，，，又已知支球队当中只有没输过，只有没赢过，而且战胜了．战胜球队的是_______队． 二、解答题 2．在学习全等三角形及其性质中例题16后，受此启发，小海和小明有了新的探究． 例16   证明：两边对应相等且其中一组等边上的中线相等的两个三角形全等． 如图，已知：在和中，，，、分别是边、上的中线，且．求证：． (1)小海发现：“两角对应相等且其中一组等角的平分线相等的两个三角形全等”是真命题． ①如图，请根据题意在图中画出示意图；并根据条件和结论，参照你的示意图，写出“已知”和“求证”； ②写出由条件推出结论的完整过程． (2)小明发现：“两边对应相等且其中一组等边上的高相等的两个三角形全等”是真命题．该结论是否正确？请简单说明理由，无需完整过程． 3．如图1，已知在和中，，，．在此条件下，再强化条件，分别得到下列三个命题． 命题1：若与是直角，则． 命题：若与是钝角，则． 命题：若与是锐角，则． (1)命题1为真命题，理由：__________________； (2)请将下面命题2的证明过程补充完整； 证明：如图，作交的延长线于点，交的延长线于点， ∵， ∴． 在和中， … (3)命题3是否为真命题？请画出图形，并说明理由． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $