期中复习专题4——中考真题专项训练- 2026-2027学年北师大版八年级数学上册

期中复习专题4——中考真题专项训练 （1） 选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 1．（2026·四川德阳·中考真题）2的相反数是（     ） A． B． C． D． 2．（2026·江苏镇江·中考真题）等于（     ） A． B． C． D． 3．（2026·云南·中考真题）点所在的象限为（     ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 4．（2026·四川巴中·中考真题）“今有方池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问：水深几何？”这是我国数学史上的“葭生池中”问题．即，，，则（    ） A．8 B．10 C．12 D．13 5．（2026·四川眉山·中考真题）如图，图1是北京国际数学家大会的会标，它取材于我国古代数学家赵爽的“弦图”，是由四个全等的直角三角形拼成．若图1中大正方形的面积为24，小正方形的面积为4，现将这四个直角三角形拼成图2，则图2中大正方形的面积为（    ） A．24 B．36 C．40 D．44 6．（2025·海南·中考真题）在如图所示的正方形网格中，若建立平面直角坐标系，使“少”“年”的坐标分别为、，则“强”的坐标为（   ） A． B． C． D． 7．（2026·浙江·中考真题）如图，正方形由四个全等的直角三角形和中间一个小正方形组成，连接．若，则（    ） A．5 B． C． D．4 8．（2026·四川乐山·中考真题）若实数、满足，则的值是（     ） A． B． C． D． 9．（2025·四川内江·中考真题）对于正整数x，规定函数．在平面直角坐标系中，将点中的，分别按照上述规定，同步进行运算得到新的点的横、纵坐标（其中，均为正整数）．例如，点经过第次运算得到点．经过第次运算得到点，经过第次运算得到点，经过有限次运算后，必进入循环圈，按上述规定，将点经过第次运算后得到点是（   ） A． B． C． D． 10．（2025·湖北武汉·中考真题）如图1，在中，是边上的定点．点从点出发，依次沿两边匀速运动，运动到点时停止．设点运动的路程为，的长为，关于的函数图象如图2所示．其中分别是两段曲线的最低点．点的纵坐标是（    ） A． B． C． D． （2） 填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（2026·陕西·中考真题）在实数，，，中，最大的数是_________． 12．（2026·海南·中考真题）圆周率是无限不循环小数，历史上祖冲之、刘徽等数学家都对有过深入研究．请写出一个小于的有理数________． 13．（2026·四川成都·中考真题）在平面直角坐标系中，点关于y轴对称的点的坐标为_____． 14．（2025·江苏连云港·中考真题）如图，长为的梯子靠在墙上，梯子的底端离墙脚线的距离为，则梯子顶端的高度h为_______m． 15．（2026·江苏徐州·中考真题）如图，将三角形纸片沿折叠，使点落在点处，若，，，则的周长为_________． 16．（2025·四川德阳·中考真题）在平面直角坐标系中，已知，，如果的面积为，那么点的坐标可以是______．（只需写出一个即可） 17．（2026·黑龙江绥化·中考真题）如图，已知，，，，，，，…，依此规律，则点的坐标为______． 18．（2026·山东·中考真题）任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1；若是偶数，就将该数除以2．反复进行上述两种运算，经过有限次运算后，必进入循环圈1→4→2→1，这就是“冰雹猜想”．在平面直角坐标系中，将点中的，分别按照“冰雹猜想”同步进行运算得到新的点的横、纵坐标，其中，均为正整数．例如，点经过第1次运算得到点，经过第2次运算得到点，以此类推．则点经过2024次运算后得到点________． （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（2026·陕西·中考真题）如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为1，和的顶点都在格点上．求证：． 20．（本小题满分8分）（2026·内蒙古·中考真题）计算下列各题： （1）对实数，定义一种新运算“”：，其中，等式右边是实数运算．计算：． （2）已知多项式，，求． 21．（本小题满分10分）（2026·宁夏银川·一模）阅读下列一段文字，然后回答下列问题． 已知在平面内两点 ，其两点间的距离，同时，当两点所在的直线平行于坐标轴时，两点间距离公式可简化为或 （1）已知，试求两点间的距离 （2）已知在平行于轴的直线上，点的纵坐标为，点的纵坐标为，试求两点的距离． （3）已知一个三角形各顶点坐标为，你能判定此三角形的形状吗？说明理由． 22．（本小题满分10分）（2026·湖南长沙·二模）如图，在中，．垂足为D，，延长至E，使得，连接． （1）求证：； （2）若，，求的面积． 23．（本小题满分10分）（25-26八年级下·山东德州·期末）消防车上的云梯示意图如图所示，云梯最多只能伸长到米，消防车高米，如图，某栋楼发生火灾，在这栋楼的处有一老人需要救援，救人时消防车上的云梯伸长至最长，此时消防车的位置与楼房的距离为米． （1）求处与地面的距离； （2）完成处的救援后，消防员发现在处的上方米的处有一小孩没有及时撤离，为了能成功地救出小孩，消防车从处向着火的楼房靠近的距离为多少米？ 24．（本小题满分12分）（2026·浙江嘉兴·模拟预测）【阅读】数学中，常对同一个量（图形的面积、点的个数、三角形的内角和等）用两种不同的方法计算，从而建立相等关系，我们把这一思想称为“算两次”“算两次”也称做富比尼原理，是一种重要的数学思想． 【理解】 （1）如图1，两个边长分别为、、的直角三角形和一个两条直角边都是的直角三角形拼成一个梯形．用两种不同的方法计算梯形的面积，并写出你发现的结论； （2）如图2，行列的棋子排成一个正方形，用两种不同的方法计算棋子的个数，可得等式：______． 【运用】 （3）n边形有个顶点，在它的内部再画个点，以个点为顶点，把边形剪成若干个三角形，设最多可以剪得个这样的三角形．当，时，如图，最多可以剪得个这样的三角形，所以． 当，时，如图，______；当，______时，； 对于一般的情形，在边形内画个点，通过归纳猜想，可得______用含、的代数式表示）． 学科网（北京）股份有限公司 $ 期中复习专题4——中考真题专项训练 （1） 选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 1．（2026·四川德阳·中考真题）2的相反数是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 解：2的相反数是． 2．（2026·江苏镇江·中考真题）等于（     ） A． B． C． D． 【答案】A 解：∵， ∴． 3．（2026·云南·中考真题）点所在的象限为（     ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【分析】根据各象限点的横纵坐标符号特点第一象限；第二象限；第三象限；第四象限,即可判断． 解：点所在象限为第一象限． 4．（2026·四川巴中·中考真题）“今有方池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问：水深几何？”这是我国数学史上的“葭生池中”问题．即，，，则（    ） A．8 B．10 C．12 D．13 【答案】C 【分析】本题考查勾股定理的实际应用．设，则，由勾股定理列出方程进行求解即可． 解：设，则， 由题意，得：， 解得：，即， 故选：C． 5．（2026·四川眉山·中考真题）如图，图1是北京国际数学家大会的会标，它取材于我国古代数学家赵爽的“弦图”，是由四个全等的直角三角形拼成．若图1中大正方形的面积为24，小正方形的面积为4，现将这四个直角三角形拼成图2，则图2中大正方形的面积为（    ） A．24 B．36 C．40 D．44 【答案】D 【分析】本题考查勾股定理，设直角三角形的两直角边为 ， ，斜边为 ，根据图1，结合已知条件得到，，进而求出的值，再进一步求解即可. 解：如图，直角三角形的两直角边为，，斜边为， 图1中大正方形的面积是24， ， 小正方形的面积是4， ， ， 图2中最大的正方形的面积； 故选：D． 6．（2025·海南·中考真题）在如图所示的正方形网格中，若建立平面直角坐标系，使“少”“年”的坐标分别为、，则“强”的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平面直角坐标系，根据“少”“年”的坐标确定直角坐标系，读出点的坐标即可． 解：∵“少”“年”的坐标分别为、， ∴建立直角坐标系如下： ， ∴“强”的坐标为， 故选：B 7．（2026·浙江·中考真题）如图，正方形由四个全等的直角三角形和中间一个小正方形组成，连接．若，则（    ） A．5 B． C． D．4 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理，正方形的性质，全等三角形的性质，求得的长度，利用勾股定理即可解答，利用全等三角形的性质得到是解题的关键． 解：是四个全等的直角三角形， ，， ， 四边形为正方形， ， ， 故选：C． 8．（2026·四川乐山·中考真题）若实数、满足，则的值是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用非负数的性质求解，多个非负数的和为0时，每个非负数都等于0，据此求出和的值，再计算即可． 解： ，，且， ，， 解得： ，， ． 9．（2025·四川内江·中考真题）对于正整数x，规定函数．在平面直角坐标系中，将点中的，分别按照上述规定，同步进行运算得到新的点的横、纵坐标（其中，均为正整数）．例如，点经过第次运算得到点．经过第次运算得到点，经过第次运算得到点，经过有限次运算后，必进入循环圈，按上述规定，将点经过第次运算后得到点是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了数字类规律探究，点的坐标规律，求函数值，通过计算点每次运算后的结果，发现其变化呈现周期性循环，周期为3次．利用周期性规律，确定第2025次运算后的结果． 解：初始点：（第0次运算）． 第1次： 横坐标为偶数，； 纵坐标为奇数，； 得到点． 第2次： 横坐标为奇数，； 纵坐标为偶数，； 得到点． 第3次： 横坐标为偶数，； 纵坐标为偶数，； 得到点，与初始点相同， 即三次一循环， ， ∴第次运算后对应点与第3次运算后的点相同，即． 故选：A． 10．（2025·湖北武汉·中考真题）如图1，在中，是边上的定点．点从点出发，依次沿两边匀速运动，运动到点时停止．设点运动的路程为，的长为，关于的函数图象如图2所示．其中分别是两段曲线的最低点．点的纵坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查动点问题的函数图象，根据图2得到的长度及点D到的距离，点N的纵坐标表示点D到的距离，掌握勾股定理及其逆定理、三角形面积计算公式是解题的关键．由图2可知的长度及点D到的距离，点N的纵坐标表示点D到的距离，再根据勾股定理及其逆定理、三角形面积公式求出点D到的距离即可． 解：根据图2，，点D到的距离，点N的纵坐标表示点D到的距离．如图： 在中，利用勾股定理，得， 在中利用勾股定理，得， 则， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中利用勾股定理，得， 则， 解得， ∴点N的纵坐标是． 故选：B． （2） 填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（2026·陕西·中考真题）在实数，，，中，最大的数是_________． 【答案】 【分析】根据实数大小比较法则，正数大于0，0大于负数，先排除负数与0，再比较两个正数和的大小，即可得到最大的数． 解：∵是负数，因此， 和都是正数，都大于0，且， ∴， ∴最大的数是． 12．（2026·海南·中考真题）圆周率是无限不循环小数，历史上祖冲之、刘徽等数学家都对有过深入研究．请写出一个小于的有理数________． 【答案】 （答案不唯一，任意小于的有理数均可） 【分析】，只需写出一个小于的有理数即可． 解：∵， ∴只需找出一个小于的有理数即可，例如，是整数，属于有理数，且，符合要求． 13．（2026·四川成都·中考真题）在平面直角坐标系中，点关于y轴对称的点的坐标为_____． 【答案】 【分析】关于轴对称的点横坐标互为相反数，纵坐标不变，据此解答即可． 解：在平面直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标为． 14．（2025·江苏连云港·中考真题）如图，长为的梯子靠在墙上，梯子的底端离墙脚线的距离为，则梯子顶端的高度h为_______m． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理，根据长为的梯子靠在墙上，梯子的底端离墙脚线的距离为，进行列式计算，即可作答． 解：∵长为的梯子靠在墙上，梯子的底端离墙脚线的距离为， ∴， 故答案为：． 15．（2026·江苏徐州·中考真题）如图，将三角形纸片沿折叠，使点落在点处，若，，，则的周长为_________． 【答案】7 【分析】利用勾股定理求出 的长，根据折叠的性质得到 ，从而将 的周长转化为 求解． 解：∵，，， ∴， 由折叠的性质可知，， ∴的周长 ． 16．（2025·四川德阳·中考真题）在平面直角坐标系中，已知，，如果的面积为，那么点的坐标可以是______．（只需写出一个即可） 【答案】（答案不唯一，纵坐标绝对值为即可） 【分析】本题考查了平面直角坐标系中点的位置，三角形面积公式，由，，得，又的面积为，可得，所以，从而求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 解：∵，， ∴， ∵的面积为， ∴， ∴， ∴， ∴点的坐标可以是， 故答案为：．（答案不唯一，纵坐标绝对值为即可） 17．（2026·黑龙江绥化·中考真题）如图，已知，，，，，，，…，依此规律，则点的坐标为______． 【答案】 【分析】本题考查了点坐标的规律探究．解题的关键在于根据题意推导出一般性规律．根据题意可知个点坐标的纵坐标为一个循环，的坐标为，据此可求得的坐标． 解：∵，，，，，，，…，， ∴可知个点坐标的纵坐标为一个循环，的坐标为， ∵， ∴的坐标为． ∴的坐标为 故答案为：． 18．（2026·山东·中考真题）任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1；若是偶数，就将该数除以2．反复进行上述两种运算，经过有限次运算后，必进入循环圈1→4→2→1，这就是“冰雹猜想”．在平面直角坐标系中，将点中的，分别按照“冰雹猜想”同步进行运算得到新的点的横、纵坐标，其中，均为正整数．例如，点经过第1次运算得到点，经过第2次运算得到点，以此类推．则点经过2024次运算后得到点________． 【答案】 【分析】本题考查了新定义，点的规律，根据新定义依次计算出各点的坐标，然后找出规律，最后应用规律求解即可． 解：点经过1次运算后得到点为，即为， 经过2次运算后得到点为，即为， 经过3次运算后得到点为，即为， ……， 发现规律：点经过3次运算后还是， ∵， ∴点经过2024次运算后得到点， 故答案为：． （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（2026·陕西·中考真题）如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为1，和的顶点都在格点上．求证：． 【答案】证明：如图，每个小正方形的边长均为1， 在和中， ∵，， ∴， 同理可得：，， 在和中， ∴≌， ∴． 【分析】本题考查了三角形全等的判定和性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 根据网格图中，每个小正方形的边长为1，得到两个三角形的每条边长，从而得到两三角形对应边相等，得到两三角形全等，即可得到结果． 解：略 20．（本小题满分8分）（2026·内蒙古·中考真题）计算下列各题： （1）对实数，定义一种新运算“”：，其中，等式右边是实数运算．计算：． （2）已知多项式，，求． 【答案】（1）1；（2） （1）解：∵， ∴ ； （2）解：将，代入得： ． 21．（本小题满分10分）（2026·宁夏银川·一模）阅读下列一段文字，然后回答下列问题． 已知在平面内两点 ，其两点间的距离，同时，当两点所在的直线平行于坐标轴时，两点间距离公式可简化为或 （1）已知，试求两点间的距离 （2）已知在平行于轴的直线上，点的纵坐标为，点的纵坐标为，试求两点的距离． （3）已知一个三角形各顶点坐标为，你能判定此三角形的形状吗？说明理由． 【答案】（1）；（2）；（3）解：是等腰三角形． 理由如下： ， ，，， 则， 是等腰三角形． 【分析】（1）直接将代入两点间的距离公式求解即可； （2）由平行于轴的直线上的两点间距离公式求解即可； （3）由两点间的距离公式分别求出的三条边长即可判断． （1）解：由材料中两点间的距离公式，将代入公式得； （2）解：在平行于轴的直线上， 点的横坐标相等， 由平行于轴的直线上的两点间距离公式可得； （3）略 22．（本小题满分10分）（2026·湖南长沙·二模）如图，在中，．垂足为D，，延长至E，使得，连接． （1）求证：； （2）若，，求的面积． 【答案】（1）证明：， ， 在和中， ， ， ． （2）22 【分析】（1）利用全等三角形的判定方法证明，即可得证； （2）利用勾股定理求出的长，利用全等三角形的性质得到，得出的长，再利用勾股定理求出的长，最后利用三角形的面积公式即可求解． 解：（1）略 （2）解：∵，，， ， ， 由（1）得，， ， ， ， ∴， 的面积． 23．（本小题满分10分）（25-26八年级下·山东德州·期末）消防车上的云梯示意图如图所示，云梯最多只能伸长到米，消防车高米，如图，某栋楼发生火灾，在这栋楼的处有一老人需要救援，救人时消防车上的云梯伸长至最长，此时消防车的位置与楼房的距离为米． （1）求处与地面的距离； （2）完成处的救援后，消防员发现在处的上方米的处有一小孩没有及时撤离，为了能成功地救出小孩，消防车从处向着火的楼房靠近的距离为多少米？ 【答案】（1）处与地面的距离是米；（2）消防车从处向着火的楼房靠近的距离为米 【分析】（1）利用勾股定理求出的长度，再根据求出处与地面的距离； （2）利用勾股定理求出的长度，根据求出结果． （1）解：在中， 米，米，米， （米），                （米）， 答：处与地面的距离是米；                                （2）解：由题意得米， 米，（米）， （米），        （米）． 答：消防车从处向着火的楼房靠近的距离为米． 24．（本小题满分12分）（2026·浙江嘉兴·模拟预测）【阅读】数学中，常对同一个量（图形的面积、点的个数、三角形的内角和等）用两种不同的方法计算，从而建立相等关系，我们把这一思想称为“算两次”“算两次”也称做富比尼原理，是一种重要的数学思想． 【理解】 （1）如图1，两个边长分别为、、的直角三角形和一个两条直角边都是的直角三角形拼成一个梯形．用两种不同的方法计算梯形的面积，并写出你发现的结论； （2）如图2，行列的棋子排成一个正方形，用两种不同的方法计算棋子的个数，可得等式：______． 【运用】 （3）n边形有个顶点，在它的内部再画个点，以个点为顶点，把边形剪成若干个三角形，设最多可以剪得个这样的三角形．当，时，如图，最多可以剪得个这样的三角形，所以． 当，时，如图，______；当，______时，； 对于一般的情形，在边形内画个点，通过归纳猜想，可得______用含、的代数式表示）． 【答案】（1），，结论：直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方；（2）；（3）①，；② 【分析】（1）用两种方法表示出梯形的面积，从而得出，即可得出结论； （2）由图可得行列的棋子排成一个正方形，棋子个数为，按斜线计数每线棋子分别为，，，，，，，，，，，，，由两种方法的棋子数相等得出答案； （3）根据画出图形探究不难发现，三角形内部每增加一个点，分割部分增加部分，即可得出结论． （1）解：由图形可得，， ∴， ∴， ∴， 结论：直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方； （2）解：行列的棋子排成一个正方形，棋子个数为， 按下图的斜线的棋子数相加得， ∴； （3）解：当，时，如图，； 当，时，； 个三角形，共条边，其中边形的每边都只使用一次，其他边各使用两次，故边形内部共有条线段； 边形内部有个点时，其内部共有条线段，共分成个三角形，每增加一个点，都必在某个小三角形内，从而增加3条线段，故边形内部有个点时，其内部共有条线段； 由， 化简得． 学科网（北京）股份有限公司 $