第二章 直线和圆的方程 单元检测卷（五）-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

人教A版2019高中数学选择性必修一 第二章 直线和圆的方程 单元检测卷（五） 学校＿＿＿＿＿＿　考号＿＿＿＿＿＿　班级＿＿＿＿＿＿　姓名＿＿＿＿＿＿ 注意事项： 1．本试卷满分 150 分，考试时间 120 分钟． 2．答卷前，考生务必将自己的学校、班级、考号、姓名填写清楚． 3．回答选择题时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡对应的位置上，写在本试卷上无效． 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、单项选择题（本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．已知直线 （，）经过点 ，则 的最小值为（　　） A． B． C． D． 2．圆 与圆 的公共弦长为（　　） A． B． C． D． 3．过点 作圆 的切线，切线与两条坐标轴围成的三角形面积为（　　） A． B． C． D． 4．直线 （）恒过定点（　　） A． B． C． D． 5．若圆 关于直线 对称，则 的最大值为（　　） A． B． C． D． 6．已知点 是圆 上一点，过点 作该圆的切线，切线与两条坐标轴分别交于 、，则 的最小值为（　　） A． B． C． D． 7．已知点 在圆 上，， 为坐标原点，则 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 8．已知圆 ，直线 经过点 且与圆 交于 、 两点， 为坐标原点，则 的最小值为（　　） A． B． C． D． 二、多项选择题（本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分） 9．已知圆 ，点 在直线 上运动，过点 作圆 的切线，切点为 ，则下列结论中正确的有（　　） A．切线长 的最小值为 B． 的最小值为 C．当 取最小值时，点 的坐标为 D．切线长 的最大值为 10．已知圆 与圆 ，则下列结论中正确的有（　　） A．两圆相交 B．两圆公共弦所在直线的方程为 C．公共弦的长为 D．两圆的公切线共有 条 11．已知点 在圆 上运动，点 ，则下列结论中正确的有（　　） A． 的最大值为 B． 的最小值为 C．过点 的圆 的切线长为 D．过点 的圆 的切线方程为 或 三、填空题（本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分） 12．圆心在直线 上，且经过点 ， 的圆的方程为＿＿＿＿＿＿． 13．已知点 在圆 上，则 的最小值为＿＿＿＿＿＿． 14．已知圆 与圆 ，点 在圆 上，点 在圆 上，则 的最小值为＿＿＿＿＿＿． 四、解答题（本题共 5 小题，共 77 分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（13 分）已知直线 经过点 ，且与 轴、 轴的正半轴分别交于 、 两点． （1）当 的面积最小时，求直线 的方程； （2）当 最小时，求直线 的方程． 16．（15 分）已知圆 ，点 ． （1）求过点 的圆 的切线方程及切线长； （2）过点 的直线 与圆 交于 、 两点，若 ，求直线 的方程． 17．（15 分）已知圆 ，直线 与圆 交于 、 两点，圆心为 ． （1）若 ，求 的值； （2）若 ，求 的值； （3）求 面积的最大值． 18．（17 分）已知圆 与圆 相交于 、 两点，、 分别为两圆圆心． 图1 （1）求公共弦 所在直线的方程及公共弦的长； （2）求经过 、 两点及点 的圆的方程； （3）求四边形 的面积． 19．（17 分）已知圆 ，点 ，点 是圆 上的动点，点 在线段 上且满足 ． 图2 （1）求点 的轨迹方程； （2）求 的取值范围； （3）求 的最大值与最小值，其中 为坐标原点． 学科网（北京）股份有限公司 $人教A版2019高中数学选择性必修一 第二章 直线和圆的方程 单元检测卷（五） 学校＿＿＿＿＿＿　考号＿＿＿＿＿＿　班级＿＿＿＿＿＿　姓名＿＿＿＿＿＿ 注意事项： 1．本试卷满分 150 分，考试时间 120 分钟． 2．答卷前，考生务必将自己的学校、班级、考号、姓名填写清楚． 3．回答选择题时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡对应的位置上，写在本试卷上无效． 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、单项选择题（本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．已知直线 （，）经过点 ，则 的最小值为（　　） A． B． C． D． 2．圆 与圆 的公共弦长为（　　） A． B． C． D． 3．过点 作圆 的切线，切线与两条坐标轴围成的三角形面积为（　　） A． B． C． D． 4．直线 （）恒过定点（　　） A． B． C． D． 5．若圆 关于直线 对称，则 的最大值为（　　） A． B． C． D． 6．已知点 是圆 上一点，过点 作该圆的切线，切线与两条坐标轴分别交于 、，则 的最小值为（　　） A． B． C． D． 7．已知点 在圆 上，， 为坐标原点，则 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 8．已知圆 ，直线 经过点 且与圆 交于 、 两点， 为坐标原点，则 的最小值为（　　） A． B． C． D． 二、多项选择题（本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分） 9．已知圆 ，点 在直线 上运动，过点 作圆 的切线，切点为 ，则下列结论中正确的有（　　） A．切线长 的最小值为 B． 的最小值为 C．当 取最小值时，点 的坐标为 D．切线长 的最大值为 10．已知圆 与圆 ，则下列结论中正确的有（　　） A．两圆相交 B．两圆公共弦所在直线的方程为 C．公共弦的长为 D．两圆的公切线共有 条 11．已知点 在圆 上运动，点 ，则下列结论中正确的有（　　） A． 的最大值为 B． 的最小值为 C．过点 的圆 的切线长为 D．过点 的圆 的切线方程为 或 三、填空题（本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分） 12．圆心在直线 上，且经过点 ， 的圆的方程为＿＿＿＿＿＿． 13．已知点 在圆 上，则 的最小值为＿＿＿＿＿＿． 14．已知圆 与圆 ，点 在圆 上，点 在圆 上，则 的最小值为＿＿＿＿＿＿． 四、解答题（本题共 5 小题，共 77 分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（13 分）已知直线 经过点 ，且与 轴、 轴的正半轴分别交于 、 两点． （1）当 的面积最小时，求直线 的方程； （2）当 最小时，求直线 的方程． 16．（15 分）已知圆 ，点 ． （1）求过点 的圆 的切线方程及切线长； （2）过点 的直线 与圆 交于 、 两点，若 ，求直线 的方程． 17．（15 分）已知圆 ，直线 与圆 交于 、 两点，圆心为 ． （1）若 ，求 的值； （2）若 ，求 的值； （3）求 面积的最大值． 18．（17 分）已知圆 与圆 相交于 、 两点，、 分别为两圆圆心． 图1 （1）求公共弦 所在直线的方程及公共弦的长； （2）求经过 、 两点及点 的圆的方程； （3）求四边形 的面积． 19．（17 分）已知圆 ，点 ，点 是圆 上的动点，点 在线段 上且满足 ． 图2 （1）求点 的轨迹方程； （2）求 的取值范围； （3）求 的最大值与最小值，其中 为坐标原点． 参考答案与解析 一、单项选择题（每小题 5 分，共 40 分） 1．【答案】A　【解析】由直线过点 得 ．于是 ，当 即 时取等号，此时 ，．故最小值为 ． 2．【答案】A　【解析】 化为 ； 化为 ．两式相减得 ，即 ，这就是公共弦所在直线．圆心 到直线 的距离 ，故公共弦长 ． 3．【答案】A　【解析】因为 ，点 在圆上，切线方程为 ．令 得 ，令 得 ，故切线与两坐标轴围成的三角形面积 ． 4．【答案】A　【解析】整理为 ，令 且 ，解得 ，，故直线恒过定点 ． 5．【答案】A　【解析】圆化为 ，圆心为 ．圆关于直线对称，则该直线过圆心，故 ，即 ．于是 ，当 时取最大值 ． 6．【答案】A　【解析】设 ，则切线方程为 ，它与两坐标轴的交点为 ，（）．于是 ，故 ，当 即 或 时取到最小值 ． 7．【答案】A　【解析】设 ，则 ．设 ，即 ，它与圆有公共点时 可取到：，即 ，解得 ． 8．【答案】A　【解析】由 及 得 ．点 在圆内，弦长 （当直线过圆心时取 ），故 ，最小值为 （此时直线为 ，弦为直径）． 二、多项选择题（每小题 6 分，共 18 分） 9．【答案】ABC　【解析】圆心 ，半径 ．点 在直线 上， 的最小值即圆心到该直线的距离 ，B 正确．切线长 ，A 正确．取到最小值时 是圆心到直线的垂足，由 与 得 ，C 正确．点 可在直线上无限远移， 无最大值，D 错误．故选 ABC． 10．【答案】ABC　【解析】 化为 ，圆心 ，半径 ； 圆心 ，半径 ，圆心距 ．因为 ，两圆相交，A 正确．两圆方程相减：，得 ，即 ，B 正确．圆心 到该直线的距离为 ，公共弦长 ，C 正确．相交的两圆只有 条公切线，D 错误．故选 ABC． 11．【答案】ABC　【解析】，半径 ，故 的最大值为 ，最小值为 ，A、B 正确．切线长 ，C 正确．过 的切线斜率为 ，而直线 、 都不经过点 ，D 错误．故选 ABC． 三、填空题（每小题 5 分，共 15 分） 12．【答案】　【解析】设圆心 ．由圆过 、 得 ，即 ，解得 ，故圆心为 ，半径 ． 13．【答案】　【解析】设 ，即 ，它与圆有公共点时 可取到．圆心 ，半径 ，，即 ，解得 ，故最小值为 ． 14．【答案】　【解析】圆 圆心 ，半径 ；圆 圆心 ，半径 ，圆心距 ．因为 ，两圆外离，故 的最小值为 ． 四、解答题（共 77 分） 15．（13 分）【答案】（1）；（2） 【解析】（1）设 ，，，，则 ，由 过 得 ．由基本不等式 ，得 ，于是 ，等号当 ，即 ， 时成立．此时 ，即 ．（7 分） （2）由 与两坐标轴正半轴相交知其斜率 ，设 （）．令 得 ，令 得 ．于是 ，．故 ，等号当 即 时成立．此时 ，即 ．（6 分） 16．（15 分）【答案】（1） 与 ，切线长 ；（2） 或 【解析】（1）当切线斜率存在时，设切线为 ，即 ，由 得 ，，对应切线为 与 ，即 与 ；当斜率不存在时，直线 过圆心，不是切线．切线长 ．（7 分） （2）圆心到直线 的距离 满足 ，即 ，得 ．当斜率存在时，设 ，即 ，则 ，得 ，，对应直线 与 ；当斜率不存在时，直线 过圆心，，不合．故所求直线为 或 ．（8 分） 17．（15 分）【答案】（1） 或 ；（2）；（3） 【解析】圆心 ，半径 ，圆心到直线 的距离 ． （1）由 且 知 ，于是 ，即 ，得 ，故 或 ．（6 分） （2）由 得 ，即 ，故 ．（4 分） （3），当 即 时取等号，此时 或 ．故面积的最大值为 ．（5 分） 18．（17 分）【答案】（1），公共弦长 ；（2）；（3） 【解析】（1） 化为 ，与 相减得 ，即 ，这就是公共弦所在直线．圆心 到该直线的距离为 ，故公共弦长 ．（6 分） （2）设过两圆交点的圆为 ，即 ．代入 得 ，即 ，．于是 ，即 ，两边乘 得 ，即 ．（6 分） （3）四边形 的两条对角线为 与 ，由两圆公共弦垂直于连心线知 ，故其面积 ．（5 分） 19．（17 分）【答案】（1）；（2）；（3）最大值 ，最小值 【解析】（1）设 ，．由 知 分有向线段 的比为 ，即 ，故 ，，即 ，．又 在圆 上，，代入得 ，即 ，故 ，点 的轨迹是以 为圆心、 为半径的圆．（6 分） （2）由 且 在线段 上，得 ．圆 的圆心为 ，半径 ，，故 ，于是 ．（6 分） （3）点 在圆 上，圆心为 ，半径 ，圆心到原点 的距离为 ，故 的最大值为 ，最小值为 ．（5 分） 学科网（北京）股份有限公司 $