第二章 直线和圆的方程 单元试卷-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

第二章 直线和圆的方程 单元试卷 2026-2027学年第一学期高二数学人教A版选择性必修第一册 一、单选题 1．直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 2．过点且与直线垂直的直线方程为（    ） A． B． C． D． 3．与直线关于轴对称的直线方程为（     ） A． B． C． D． 4．已知圆，则直线被圆截得的弦的长度为（    ） A．2 B．7 C． D． 5．若点为圆的弦的中点，则弦所在直线的方程为（    ） A． B． C． D． 6．若动点，分别在直线：和：上移动，则线段的中点点到原点的距离的最小值为（   ） A． B． C． D． 7．已知圆，直线，则圆上到直线的距离等于的点有（    ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 8．在平面直角坐标系xOy中，过x轴上的点P分别向圆和圆引切线，记切线长分别为．则的最小值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 二、多选题 9．已知直线，互相平行，且，之间的距离为，则（    ） A． B． C．3 D．5 10．已知两条直线：与，下列说法正确的是（    ） A．始终过定点 B．若，则或 C．若直线的一个方向向量为，则 D．当时，始终不过第四象限 11．已知圆和直线，则（    ） A．直线与圆的位置关系无法判定 B．当时，圆上的点到直线的最远距离为 C．当圆上有且仅有3个点到直线的距离等于1时， D．如果直线与圆相交于两点，则弦的中点的轨迹是一个圆 三、填空题 12．已知点分别在直线和上，若的中点恰好在直线上，则点的坐标为___________． 13．设集合，，若中有且只有一个元素，则的取值集合为__________． 14．一条光线从点射出，经直线反射后与圆C：相切，则反射光线所在直线的方程可以为_____．（写出满足条件的一条直线方程即可） 四、解答题 15．已知直线l经过点，且斜率为 (1)求直线l的方程； (2)若直线m与l平行，且点P到直线m的距离为3，求直线m的方程． 16．在平面直角坐标系中，三个顶点坐标分别为，， (1)求边所在直线方程； (2)求边上高线所在直线方程； (3)求的外接圆方程． 17．已知圆：，直线过点. (1)若在两坐标轴上的截距相等，求的方程； (2)若与圆相切，求的方程； (3)若与圆相交于，两点，且（其中为圆的圆心）为直角三角形，求的方程. 18．已知，圆． (1)若圆与圆外切，求实数k的值； (2)求圆心的轨迹方程； (3)是否存在定直线l，使得动圆C截直线l所得的弦长恒为？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由． 19．如图，与相外离，的半径为2，的半径为1，，为连接两圆圆心的线段上的一点，切于点，切于点． (1)若，求的长； (2)试问线段上是否存在一点，使，若存在，问这样的点有几个？并求出的值；如果不存在，说明理由； (3)当点在线段上运动到某处使时，．试问除上述情况外，当点在线段上运动到何处（说明的长是多少）时，与仍相似，并判断此时直线与的位置关系，证明你的结论． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二章 直线和圆的方程 单元试卷 2026-2027学年第一学期高二数学人教A版选择性必修第一册 一、单选题 1．直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由直线的一般方程得到斜截式方程，求得直线的斜率，从而求得直线的倾斜角. 【详解】由，得. 所以直线的斜率为. 设直线的倾斜角为，则. 因为，所以. 故选：D. 2．过点且与直线垂直的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据两直线互相垂直可得所求直线的斜率，利用直线的点斜式方程即得. 【详解】由直线可得其斜率为：，则与其垂直的直线斜率为， 故过点且与直线垂直的直线方程为，即：. 故选：C. 3．与直线关于轴对称的直线方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】在所求直线上任取一点，则点关于轴的对称点在直线，将点的坐标代入直线的方程，可求出所求直线的方程. 【分析】在所求直线上任取一点，则点关于轴的对称点在直线上， 故所求直线方程为，即. 故选：A. 4．已知圆，则直线被圆截得的弦的长度为（    ） A．2 B．7 C． D． 【答案】D 【分析】求得圆心到直线的距离，判断直线和圆的位置关系，根据弦长、弦心距、半径之间的关系，即可求得答案. 【详解】圆的圆心为，半径为5， 则到直线的距离为， 即直线和圆相交， 故直线被圆截得的弦的长度为， 故选：D 5．若点为圆的弦的中点，则弦所在直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据垂径定理可知，，结合直线的位置关系，即可求解. 【详解】，即， 即圆心， 由题意可知，，，则， 所以弦所在的直线的方程为，即. 故选：C 6．若动点，分别在直线：和：上移动，则线段的中点点到原点的距离的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先分析出M的轨迹，再求到原点的距离的最小值. 【详解】由题意可知：M点的轨迹为平行于直线和且到、距离相等的直线l， 因为直线和在轴上的截距分别为， 所以直线l在轴上的截距为，故其方程为：， 故到原点的距离的最小值为. 故选：A 7．已知圆，直线，则圆上到直线的距离等于的点有（    ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据圆的标准方程得到圆心和半径，计算圆心到直线的距离并判断直线和圆的位置关系，再结合半径，判断到直线的距离为的两条直线与圆的位置关系即可. 【详解】易知圆的圆心为，半径为，圆心到直线的距离，所以直线与圆相交，结合圆的半径为，到直线的距离为的直线有两条，    可得一条与圆相离，一条与圆相交，因此圆上有且仅有2个点到直线的距离等于. 故选：B. 8．在平面直角坐标系xOy中，过x轴上的点P分别向圆和圆引切线，记切线长分别为．则的最小值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【分析】利用两点间的距离公式，将切线长的和转化为到两圆心的距离和，利用三点共线距离最小即可求解. 【详解】，圆心，半径 ，圆心，半径 设点P， 则 ， 即到与两点距离之和的最小值， 当、、三点共线时，的和最小， 即的和最小值为. 故选：D 【点睛】本题考查了两点间的距离公式，需熟记公式，属于基础题. 二、多选题 9．已知直线，互相平行，且，之间的距离为，则（    ） A． B． C．3 D．5 【答案】AC 【分析】由，解得．利用平行线之间的距离公式即可得出． 【详解】由，解得，满足． 的方程为，有，则， 解得或，故． 故选：AC． 10．已知两条直线：与，下列说法正确的是（    ） A．始终过定点 B．若，则或 C．若直线的一个方向向量为，则 D．当时，始终不过第四象限 【答案】AD 【分析】A选项，变形后可得方程组，求出所过定点；B选项，时，两直线重合，B错误；C选项，根据直线的方向向量可得直线的斜率，从而得到，两直线不垂直；D选项，将直线转化为斜截式方程，可得始终不过第四象限. 【详解】对于A，直线，由得，始终过定点，A正确； 对于B，当时，直线与直线重合，B错误； 对于C，由选项得直线的斜率，显然， 而，则有， 此时，斜率为，两直线斜率乘积不为， 直线与直线不垂直，C错误； 对于D，当时，， 因为，，所以直线经过第一、二、三象限， 可得始终不过第四象限，D正确． 11．已知圆和直线，则（    ） A．直线与圆的位置关系无法判定 B．当时，圆上的点到直线的最远距离为 C．当圆上有且仅有3个点到直线的距离等于1时， D．如果直线与圆相交于两点，则弦的中点的轨迹是一个圆 【答案】BCD 【分析】对于A，由于直线恒过定点，所以判断此定点与圆的位置关系即可；对于B，求出圆心到直线的距离再加上圆的半径即可；对于C，由题意可得只要圆心到直线的距离为1即可；对于D，设弦的中点为，由垂径定理知，从而可得结论. 【详解】解：由题知，圆的圆心为，半径为， 直线，故直线过定点， 对于A选项，由于点在圆内，故直线与圆相交，A错误； 对于B选项，当时，直线，圆心到直线的距离为，故圆上的点到直线的最远距离为，B正确； 对于C选项，当圆上有且仅有3个点到直线的距离等于1时，圆心到直线的距离为 ，解得，C正确； 对于D选项，由于直线过定点，设弦的中点为，则，即点的轨迹为以为直径的圆，故D正确. 故选：BCD 三、填空题 12．已知点分别在直线和上，若的中点恰好在直线上，则点的坐标为___________． 【答案】 【分析】先分析两条直线是平行关系，那么中点在两条平行直线等距的直线上，求出那条直线，然后与联立即可求出答案. 【详解】直线与直线是平行关系，所以的中点在两直线等距且平行的直线上，设，因为直线与直线和直线等距，所以， 又因为在直线又在直线上，所以，解得，，即. 故答案为：. 13．设集合，，若中有且只有一个元素，则的取值集合为__________． 【答案】1或11 【分析】由题意可知两圆只能相切，然后分别算出各圆的圆心坐标、半径、圆心距，从而即可求解. 【详解】由题意若中有且只有一个元素， 则当且仅当圆与圆相切， 圆的圆心坐标、半径分别为，圆的圆心坐标、半径分别为， 而两圆的圆心距为， 因为， 所以两圆不可能外切，只能内切，此时， 解得或. 故答案为：1或11. 14．一条光线从点射出，经直线反射后与圆C：相切，则反射光线所在直线的方程可以为_____．（写出满足条件的一条直线方程即可） 【答案】或（一个方程即给满分） 【分析】设关于直线对称的点为，由光学性质可得，反射光线过，当反射光线斜率存在时，设其方程，由圆心到反射光线的距离等于半径可求出斜率，再讨论反射光线斜率不存在的情况即可. 【详解】设关于直线对称的点为， 所以，解得， 当反射光线斜率存在时，设其所在直线的方程为即 因为反射光线与圆C：相切， 所以圆心到反射光线的距离，即，解得，所以反射光线所在直线的方程为； 当反射光线斜率不存在时，设其所在直线的方程为，满足反射光线与圆相切， 故反射光线所在直线的方程为或. 故答案为：或（一个方程即给满分） 四、解答题 15．已知直线l经过点，且斜率为 (1)求直线l的方程； (2)若直线m与l平行，且点P到直线m的距离为3，求直线m的方程． 【答案】(1)； (2)或. 【分析】（1）根据直线的点斜式方程即可求得答案； （2）根据两直线的平行，设直线m的方程，利用点到直线的距离公式列方程求得参数，可得答案. 【详解】（1）因为直线l经过点，且斜率为, 故直线l的方程为，即； （2）因为直线m与l平行，故设直线m的方程为， 由点P到直线m的距离为3可得，解得或， 故直线m的方程为：或. 16．在平面直角坐标系中，三个顶点坐标分别为，， (1)求边所在直线方程； (2)求边上高线所在直线方程； (3)求的外接圆方程． 【答案】(1)； (2)； (3). 【分析】（1）利用直线的两点式方程求解即可； （2）求出边所在直线方程，利用直线垂直的斜率关系，结合点斜式可得； （3）设出圆的一般式方程，将三点坐标代入求解可得. 【详解】（1）因为，， 所以，由两点式方程可得边所在直线方程为：，即. （2）因为，，所以， 记边上高线所在直线方程的斜率为，则，得， 又边上高线所在直线过点， 所以所求方程为，即. （3）设的外接圆方程为，（）， 则，即， 解得，满足， 所以的外接圆方程为. 17．已知圆：，直线过点. (1)若在两坐标轴上的截距相等，求的方程； (2)若与圆相切，求的方程； (3)若与圆相交于，两点，且（其中为圆的圆心）为直角三角形，求的方程. 【答案】(1)或. (2) (3)或. 【分析】（1）按直线过原点，不过原点分两类求解； （2）确定在圆上，轴，易得切线方程； （3）确定直线斜率存在，由直角三角形可得圆心到直线的距离，设出直线方程，由点到直线距离公式求得参数得直线方程． 【详解】（1）若经过原点，设方程为，由得，则的方程为. 若不经过原点，则可设的方程为， 因为过点，所以，解得， 所以的方程为，即. 故的方程为或. （2）由圆：，可得圆心，半径为2. 因为点在圆上，轴，所以直线的方程为. （3）因为为直角三角形，且，所以， 则圆心到的距离为. 由题意易得的斜率一定存在，所以可设的方程为，即. 由，解得或， 故的方程为或. 18．已知，圆． (1)若圆与圆外切，求实数k的值； (2)求圆心的轨迹方程； (3)是否存在定直线l，使得动圆C截直线l所得的弦长恒为？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由． 【答案】(1)或 (2) (3)存在，且的方程为或 【分析】（1）根据两圆外切列方程，化简求得的值. （2）求得的坐标并消去参数，从而求得的轨迹方程. （3）求得圆心到直线的距离，根据两平行线间的距离公式求得正确答案. 【详解】（1）圆 ， ， 所以圆的圆心为，半径. 圆的圆心为，半径为， 由于圆与圆外切，所以， 解得或. （2）由（1）得，即， 消去得， 所以圆心的轨迹方程为. （3）设直线交圆于两点，设到直线的距离为， 则，假设存在符合题意的定直线， 则， 即圆心与直线的距离恒为， 而圆心的轨迹方程为， 所以可设直线的方程为，且， 解得或， 所以存在符合题意的定直线，且定直线的方程为或. 19．如图，与相外离，的半径为2，的半径为1，，为连接两圆圆心的线段上的一点，切于点，切于点． (1)若，求的长； (2)试问线段上是否存在一点，使，若存在，问这样的点有几个？并求出的值；如果不存在，说明理由； (3)当点在线段上运动到某处使时，．试问除上述情况外，当点在线段上运动到何处（说明的长是多少）时，与仍相似，并判断此时直线与的位置关系，证明你的结论． 【答案】(1) (2)存在，满足条件的点只有一个，此时 (3)当时，有，此时直线与相切. 证明：当时，,此时， ∴. 又，∴， 如图，为的延长线上一点， 则，∴点在的角平分线上， ∴点到的距离相等, 又为的切线， ∴点到的距离都为1，即直线与相切. 【分析】（1）根据勾股定理及可列出关于的方程，解方程即可； （2）设，确定的范围，用的代数式表示，代入，可求出； （3）由相似三角形的性质和角平分线的性质可得点到的距离相等，再根据切线的判定方法即可解决问题. 【详解】（1）∵分别为，的切线，分别为，的半径， ∴. 由勾股定理可得. 又，∴. 又，是线段上的一点，∴， ∴，解得. （2）存在，假定存在一点，使得， 设，则， 由可得. 即， 代入可得，即， 解得（舍去），， ∴满足条件的点只有一个，此时. （3）略 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $