精品解析：天津市第一中学滨海学校2026-2027学年高一上学期第一次质量监测数学试题

天津市第一中学滨海学校2026－2027－1第一次质量监测 高一年级数学学科 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷两部分，满分150分，考试时间100分钟． 答卷前，考生务必将自己的学校、姓名、准考证号填写在答题纸上．答卷时，考生务必将Ⅰ卷答案涂在答题纸指定位置；Ⅱ卷答案也写在答题纸上，答在试卷上的无效． 祝各位考生考试顺利！ 第Ⅰ卷 选择题（60分） 注意事项： 1．每题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号． 2．本卷共12小题，每小题5分，共60分． 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知全集，集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】由，，得， 又，所以． 2. 命题“”的否定是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】依据特称命题的否定规则，替换量词、保留变量取值范围、否定原结论即可得出答案. 【详解】因为“”的否定是“”，“”不变，“”的否定是， 所以命题“”的否定是. 3. 下列命题中，正确的是（ ） A. 若，则. B. 若，则. C. 若，则. D. 若，则. 【答案】D 【解析】 【分析】举反例说明A,B,C的正误，利用作差法判断D. 【详解】对于A,取，满足，但是，A错误； 对于B,取，满足，但是，B错误； 对于C，取，满足，但是，C错误； 对于D，当时，则，故，D正确， 故选：D 4. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【详解】由，得，当且仅当时取等号， 反之，由，得，，则， 因此“”是“”的必要不充分条件. 5. 已知函数的定义域为，则的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】已知函数的定义域为， 因此中括号内整体的取值范围与的定义域一致，即满足： ， 解得， 又因为函数表达式为分式，分母为偶次根式，需满足被开方数大于0（分母不能为0），即： ， 解得， 取两个解集的交集，得的定义域为. 6. 若函数的定义域为，值域为，则函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据函数的概念进行排除，使用筛选法得到答案． 【详解】对于A，定义域为，与题干矛盾，不合题意， 对于D，值域取为的真子集，与题干矛盾，不合题意， 对于函数来说，对定义域内任意，都有唯一确定的与其对应，所以C错误，所以B选项正确. 7. 已知函数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用换元法即可求解. 【详解】设，由，得，则， 所以， 所以， 故选：B. 8. 函数的定义域为，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】B 【解析】 【详解】由题设有对一切实数恒成立， 若，恒成立， 若，则，故， 综上，. 9. 下列说法中正确的个数为（ ） ①定义在上的函数，如果有无穷多个，当时，有，那么在上为增函数； ②如果函数在区间上为减函数，在区间上也为减函数，那么在上就一定是减函数； ③对任意的，且，当时，在上是减函数； ④对任意的，且，当时，在上是增函数． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【详解】对于①，“无穷多个”不能代表“所有”“任意”，故①错误； 对于②，以为例，在和分别单调递减，但在不是减函数，可知②错误； 对于③，因为等价于， 而此式又等价于或， 即或，所以在上是减函数，故③正确； 对于④，等价于或， 即或，故④正确． 10. 当一个非空数集满足：如果，那么，，且当时，时，我们称就是一个数域．有以下关于数域的说法：①0是任何数域的元素；②若数域有非零元素，则；③集合是一个数域；④有理数集是一个数域．结论正确的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】根据数域的定义逐一验证四个命题的正确性，统计正确命题的个数即可求解. 【详解】①对任意数域，取，由数域定义得，故是任何数域的元素，①正确； ②若数域有非零元素，取且，由数域定义得，进而，，依此类推，所有正整数均属于，故，②正确； ③取，显然，但，不满足数域定义，故集合不是数域，③错误； ④对任意，均为有理数，且当时，也为有理数，符合数域定义，故有理数集是一个数域，④正确. 综上，正确的命题共3个. 11. 已知函数，正实数，满足，则的最小值为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】计算，进而推导，结合分析函数单调性得，再用基本不等式求最小值. 【详解】将代入函数解析式中： 因此即为： 对任意 ，可得： ， 即. 对求导得：， 因为，显然有：， 所以在 上恒成立， 故函数在 上单调递增. 由 因为在 上单调递增，且 ，， 所以： 将 代入可得： 因为 ，根据基本不等式可得： 当且仅当 ，即时取等号, 此时，满足 为正实数, 因此， 的最小值为 . 12. 已知定义域为的函数满足：，，，都有，且，若，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】构造函数，分析的单调性，并根据的单调性，求解不等式，得到实数的取值范围. 【详解】令函数. 因为，，，都有， 所以，所以， 即，即， 所以函数是定义在上的减函数. 若，且，则， 即，所以，即. 故选：A. 第Ⅱ卷 非选择题（90分） 注意事项：用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题纸上． 二、填空题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分． 13. 已知函数则____. 【答案】2 【解析】 【详解】因为，所以， 又，所以， 14. 若实数满足，，则的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】利用不等式的基本性质，分别求出和的取值范围，再通过同向不等式的可加性计算的取值范围. 【详解】已知实数满足，， 对不等式，可得； 对不等式，可得； 将上述两个不等式相加，得，即，故的取值范围为. 15. 已知集合，，若，，则________． 【答案】 【解析】 【分析】先求解集合，再结合交集、并集的运算性质确定集合，利用一元二次不等式解集与对应方程根的关系，通过韦达定理求出的值，最终计算. 【详解】解不等式，因式分解得，解得，所以. 因为，，结合可得， 即一元二次不等式的解集为. 由一元二次不等式解集的性质可知，方程的两个实根为，. 根据韦达定理： ，代入根得，解得，. 所以. 16. 设函数则不等式的解集是___________ 【答案】 【解析】 【分析】先求出，再根据分段函数的定义域分与两种情况分别求解，最后将两部分解集取并集． 【详解】因为所以原不等式等价于． 当时，，解得 当时，，即 所以结合，得 因此原不等式的解集为 17. 给定函数，，对于，用表示，中的较大者，记为，则_____，若，的值域为_____. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】利用特殊函数值比较大小可求，利用作差法比较大小，可求函数解析式，再求值域即可. 【详解】由已知可得：； 由， 所以当时，，当时，， 即， 当时，的值域为， 当时，的值域为， 当时，，所以函数的值域为， 故答案为：； 18. 设函数． ①若在区间上单调递增，则的取值范围为______； ②当时，若在区间上的值域为，则实数的取值范围为______ 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】①结合二次函数的开口方向与对称轴和单调区间的位置关系即可求解； ②代入的值，根据二次函数的最值、端点函数值即可求的取值范围. 【详解】①因为在区间上单调递增，所以对称轴，即，所以的取值范围为； ②当时，，函数开口向上，对称轴为， 函数的最小值为，又因为，令，得或， 若在区间上的值域为，则需满足取到最小值1，且函数最大值不超过2，，故实数的取值范围为. 19. 已知函数，，若对任意，存在，使得，则实数的取值范围__________ 【答案】 【解析】 【分析】将题设的全称量词与存在量词条件转化为在上的最小值大于等于在上的最小值，分别求解两函数对应区间的最值后列不等式，即可得到的取值范围． 【详解】易知函数是上的单调递减函数， 当时，，所以． ， 令，由得， 则化为 由对勾函数单调性可知，在上单调递减，在上单调递增， 故当时，取得最小值， 即，且该最小值在处可取到． 因为对任意，存在，使得， 所以，即，解得， 则实数的取值范围为． 20. 存在两个不相等的正实数和，使得成立，则最小值是______． 【答案】50 【解析】 【分析】先根据存在性，把问题转化成求右侧齐次式代数式最小值；利用双换元减少变量化成可用基本不等式的形式，最后验证等号成立的条件. 【详解】原不等式变形为， 题目为存在性问题，只需大于等于右侧代数式的最小值即可. 令，则 当且仅当即时取等号. 故即的最小值为 三、解答题：本大题共4小题，共50分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 21. 已知集合，． （1）当时，求，； （2）若，求的取值范围． 【答案】（1）， （2）． 【解析】 【分析】（1）先解不等式求出集合，再代入得到集合，最后计算交集、补集与并集； （2）由得，需要分和两种情况讨论，列出不等式组求解的范围. 【小问1详解】 由题意知， 当时，，所以， 又，所以. 【小问2详解】 若，则， 当时，则，解得； 当时，则，解得． 综上，的取值范围为. 22. 已知函数． （1）当时，求函数在上的最大值； （2）若，解关于的不等式． 【答案】（1）3 （2）时，不等式解集为；时，不等式解集为；时，不等式解集为． 【解析】 【分析】（1）由二次函数的性质求解即可； （2）先因式分解，再对分类讨论即可. 【小问1详解】 当时，， 二次函数的图象开口向上，对称轴为， 因为，在上单调递增， 所以的最大值为 【小问2详解】 由得， 若，则； 若，则； 若，则； 综上：时，不等式解集为；时，不等式解集为； 时，不等式解集为． 23. 已知函数（，）． （1）若关于的不等式的解集为，求的值． （2）若，且当时，的值域也为，其中． （ⅰ）证明：； （ⅱ）求的取值范围． 【答案】（1）， （2）（ⅰ）由题意可知，，的图象的对称轴为直线,开口向上． 当时，在上单调递减， 则 ①-②，得． 又，所以． （ⅱ） 【解析】 【分析】（1）利用一元二次不等式与一元二次方程的关系，再根据韦达定理求解； （2）（ⅰ）利用二次函数的性质可知，的图象的对称轴为直线，开口向上，故在上单调递减，求出值域，最后证明结论. （ⅱ）由（ⅰ）可知，即 即关于x的方程在上有两个不同的实根，再利用二次函数与一元二次方程根的分布关系求解c的取值范围. 【小问1详解】 因为不等式的解集为， 所以，是关于的方程的两个根． 所以，，即，． 【小问2详解】 （ⅰ）略 （ⅱ）由（ⅰ）可知，即 即关于的方程在上有两个不同的实根． 令，的图象开口向上且对称轴为直线， 则，解得． 故c的取值范围是． 24. 已知函数． （1）判断函数在区间上的单调性，并用单调性定义证明； （2）求不等式的解集； （3）设，若，求实数的取值范围． 【答案】（1） 函数在区间上单调递增，证明如下： 任取，且， 则 ，而， 所以，即， 故函数在区间上单调递增； （2）； （3） . 【解析】 【分析】（1）根据单调性的定义，应用作差法判断证明函数的区间单调性； （2）讨论函数的单调区间，应用单调性解不等式求解集； （3）令，问题化为在区间上恒成立，应用分类讨论及二次函数的性质求最值，即可得参数范围. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由解析式知，函数的定义域为， 当时，同（1）证明，知函数在区间上单调递增， 又，所以，即， 所以，即不等式的解集为． 当时，，所以，即， 而函数在上单调递增，所以，即不等式的解集为， 综上，不等式的解集为； 【小问3详解】 ， 令，由及（2）知， 设的图象是开口向上，对称轴为的抛物线． 原问题转化为在区间上恒成立． 由时，有，或，， 当时，函数在上单调递增， 所以，即； 当时，函数在上单调递减， 所以，即； 当时，，函数，符合题意； 综上，实数的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 天津市第一中学滨海学校2026－2027－1第一次质量监测 高一年级数学学科 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷两部分，满分150分，考试时间100分钟． 答卷前，考生务必将自己的学校、姓名、准考证号填写在答题纸上．答卷时，考生务必将Ⅰ卷答案涂在答题纸指定位置；Ⅱ卷答案也写在答题纸上，答在试卷上的无效． 祝各位考生考试顺利！ 第Ⅰ卷 选择题（60分） 注意事项： 1．每题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号． 2．本卷共12小题，每小题5分，共60分． 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知全集，集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 命题“”的否定是（ ） A. B. C. D. 3. 下列命题中，正确的是（ ） A. 若，则. B. 若，则. C. 若，则. D. 若，则. 4. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 已知函数的定义域为，则的定义域为（ ） A. B. C. D. 6. 若函数的定义域为，值域为，则函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数，则（ ） A. B. C. D. 8. 函数的定义域为，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. 或 D. 或 9. 下列说法中正确的个数为（ ） ①定义在上的函数，如果有无穷多个，当时，有，那么在上为增函数； ②如果函数在区间上为减函数，在区间上也为减函数，那么在上就一定是减函数； ③对任意的，且，当时，在上是减函数； ④对任意的，且，当时，在上是增函数． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 10. 当一个非空数集满足：如果，那么，，且当时，时，我们称就是一个数域．有以下关于数域的说法：①0是任何数域的元素；②若数域有非零元素，则；③集合是一个数域；④有理数集是一个数域．结论正确的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 11. 已知函数，正实数，满足，则的最小值为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 12. 已知定义域为的函数满足：，，，都有，且，若，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷 非选择题（90分） 注意事项：用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题纸上． 二、填空题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分． 13. 已知函数则____. 14. 若实数满足，，则的取值范围是______． 15. 已知集合，，若，，则________． 16. 设函数则不等式的解集是___________ 17. 给定函数，，对于，用表示，中的较大者，记为，则_____，若，的值域为_____. 18. 设函数． ①若在区间上单调递增，则的取值范围为______； ②当时，若在区间上的值域为，则实数的取值范围为______ 19. 已知函数，，若对任意，存在，使得，则实数的取值范围__________ 20. 存在两个不相等的正实数和，使得成立，则最小值是______． 三、解答题：本大题共4小题，共50分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 21. 已知集合，． （1）当时，求，； （2）若，求的取值范围． 22. 已知函数． （1）当时，求函数在上的最大值； （2）若，解关于的不等式． 23. 已知函数（，）． （1）若关于的不等式的解集为，求的值． （2）若，且当时，的值域也为，其中． （ⅰ）证明：； （ⅱ）求的取值范围． 24. 已知函数． （1）判断函数在区间上的单调性，并用单调性定义证明； （2）求不等式的解集； （3）设，若，求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $