7.10 解析几何综合探究讲义-2027届高三数学一轮复习

第三编 · U7 解析几何 7.10解析几何综合探究 高中数学一轮复习讲义 一、考情与考点定位 本讲不再新增概念，练的是把前面九讲的工具组合使用的能力：一道题里同时出现递进的多问、可选的设法、能省一半的几何关系。核心只有两条——多问递进与运算优化。 （一）高考怎么考 解析几何压轴题近年已从"一问到底"改成"分台阶给分"，并且把运算量本身变成了考查对象。先看卷面上的位置。 表 1: 高考解析几何综合题考情梳理 年份 卷别 题号 考查点 2026 全国一卷 18 椭圆焦点弦与原点连线的交点构成三角形：先用两个三角形的面积之比反求直线方程，再求 的最小值，两问共用同一组韦达式 2025 全国一卷 18 椭圆下顶点与右顶点定曲线，射线上的动点满足两段长度之积为常数，三问递进，末问求两点距离最大值 2025 全国一卷 10（多选） 抛物线焦点弦与准线：定义、线段相等、弦长下界、两线段之积的下界四个独立判断 2024 新课标Ⅱ卷 19 双曲线上一串依次构造的点：先求具体坐标，再证某个差成等比，最后证三角形面积为定值 2024 新课标Ⅱ卷 10（多选） 抛物线与圆同框：准线与圆的位置关系、切线长、线段垂直、满足等式的点的个数 表 1 里有三条线索值得逐条对上题号。 线索一：压轴题被拆成台阶。2026 年全国一卷第 18 题是三问（定曲线 → 由两个三角形的面积之比反求直线 → 求一个角正切的最小值），2025 年全国一卷第 18 题（定曲线 → 用两个字母表示动点 → 求最大值）与 2024 年新课标Ⅱ卷第 19 题（求具体坐标 → 证一般递推 → 证面积定值）也是三问。三届题面里，后一问都直接引用前一问的记号与结论，跳过前问基本做不动后问。2026 年全国二卷第 18 题还多带一点开放性：末问问参数 取何值时动点轨迹有对称中心、平移后是哪类曲线——台阶照爬，但结论要自己判断。 线索二：解析几何把结果交给别的章节。2024 年新课标Ⅱ卷第 19 题把点列交给数列去证等比、去算面积；2026 年全国一卷第 18 题把末问交给三角函数与不等式， 的最值要在联立之后另起一算；2025 年全国一卷第 10 题把四个选项分别交给定义、方程与不等式。压轴题的分不在"联立"上，而在联立之后那一步。 线索三：多选题把综合判断前移。2024 年新课标Ⅱ卷第 10 题与 2025 年全国一卷第 10 题都是四个互相独立的小判断，谁便宜先做谁，根本不需要把整道题算到底。 （二）必备知识清单 表 2: 本讲必备知识清单 知识块 必须记准的内容 掌握要求 定义与焦半径 抛物线上点到焦点的距离等于它到准线的距离： 时 ；椭圆、双曲线的第一定义 会把"到焦点"换成"到准线" 焦点弦 倾斜角为 时 ，，通径 最短 会用 做变量直接求最值 设法与设线 过 轴上定点 的直线设 ； 即竖直直线 会选设法并说明它为何不漏解 韦达与弦长 ， 会整体代换，不逐个求根 面积 直线过 时 ；三点式 会按定点位置挑公式 点差与降次 中点弦 ；抛物线上两点连线斜率 会用点差并回验判别式 递推结构 一步构造写成 、 的线性表达式，再找 会从特例推广到一般 范围与取等 均值不等式、二次函数闭区间最值、点—圆距离 会先定范围再验取等 二、知识梳理：把定义变成可操作的动作 综合题的"知识"不是定理清单，而是三个动作：读台阶、选路径、先算几何。下面逐条把定义翻译成动作。 （一）把多问读成一条链 拿到压轴题先别动笔，用三句话回答：第 (1) 问算出来的是什么对象？第 (2) 问的未知量是不是第 (1) 问用过的记号？第 (3) 问要证的式子里哪一部分前面已经出现过？台阶关系只有三种。 （1）特例 → 一般：前一问给具体数值（如 、），后一问换成字母。做法是把前一问的每一步用字母重做一遍，而不是重新想思路。 （2）表达式 → 轨迹：前一问要你用字母表示某个动点，后一问拿这个表达式去代条件。做法是代进去一次成式，不引入新参数。 （3）结论 → 工具：前一问证出的定值、等比是后一问唯一的入口。做法是给它起个代号（、、），后一问全程只用代号。 台阶题的三条铁律 一、后问必须用上前问，用不上就说明你走错了路；命题人不会白送一问。二、前问的具体数值要"换字母重做"，不要"另起炉灶重算"。三、做完前问立刻把它的结论命名，后问只写名字不写原式，能少抄一半的字符。 （二）把运算量变成可选的对象 动笔前先估一次最高次数。同一道题，设法不同，式子的次数能差两级：设直线与椭圆联立常把式子抬到三次、四次；设曲线上的点用方程降次，往往停在一次或二次。四种常用设法的代价如下。 （1）设 ：必须讨论斜率不存在，联立后得到 的二次方程，弦长带根号。 （2）设 ：过 轴上定点时首选， 正好是竖直直线，不用分类，联立后是 的二次方程，。 （3）设曲线上的点 并用曲线方程降次：适合"从原点或顶点引出两条线"的题，全程不出现直线方程。 （4）设倾斜角 ：焦点弦专用， 一行就能求最值。 五条省算规则 一、能设点就不联立。二、能整体代换就不逐个求根。三、先约分再展开，先把公因式提出来再乘开。四、韦达定理只写两行： 与 ，不要把 、 分别解出来。五、式子算到三次以上立刻停笔，回头换设法——这不是算得慢，是路走错了。 （三）先算几何，再算代数 几何关系是免费的，晚用一步就亏了。三件套如下。 （1）定义转换：看到"到焦点的距离"立刻换成"到准线的距离"，看到两距离相等立刻想到垂直平分线。 （2）面积分割：直线过 轴上定点 时，用 ，以 为公共底、两点到 轴的距离为高，省掉点到直线的距离公式。 （3）点与圆：切线长 ；"到圆心距离 = 到定直线距离"要把曲线换成交点个数问题，而不是硬设点解方程。 本讲必记的四个结论 一、抛物线 上两点的连线斜率 ，免联立。二、过 轴上定点 的直线与 交于 、，则 为定值；当 时 。三、焦点弦：，。四、椭圆 上两点 、 满足 时，，且 。 三、题型模型分类：先认情境，再选工具 综合题的"型"写在题面上：问几层、点怎么来、图形里有没有第二个曲线。按这三点分六个模型，模型定了，工具也就定了。 表 3: 解析几何综合题的六个模型速查表 模型 一眼认出它的样子 核心动作 对应例题 一 · 台阶式多问 题干分 (1)(2)(3)，后问出现前问的记号 前问结论整体代入，不重算 例 1 二 · 迭代构造点列 出现 、、、 与构造规则 写一步递推，抓 例 2 三 · 过 轴定点的弦 直线过 ，问弦长或三角形面积 设 ，只用 、 例 3 四 · 曲线与圆同框 题面里既有圆锥曲线又有圆、切线、垂足 先算距离与位置，再上代数 例 4 五 · 从原点引两条线 给两条连线斜率之间的关系 设斜率不设线，点用 表示 例 5 六 · 焦点弦与倾斜角 直线过焦点，问长度乘积或最值 焦半径加 一行到底 例 6 （一）模型一：台阶式多问 识别标志：题干拆成两到三问，后一问的文字里直接出现前一问设过的字母（、、）。标准动作：把前问结论命名后代入后问。最易错的地方是把后问当新题，重新设一遍参数，结果两套记号互不认识，算到一半发现接不上。 （二）模型二：迭代构造点列 识别标志：题面给出"过 作……交于 ，再令 为 的对称点"这类构造规则。标准动作：把规则逐字翻译成坐标运算，得到 关于 的表达式，再找 或 这类整体。易错：只验算 就写"同理可得"，以及忘了验证构造出来的点确实落在题设那一支上。 （三）模型三：过 x 轴定点的弦 识别标志：直线恒过 轴上一定点 ，问弦长、面积或最值。标准动作：设 ，把交点信息全部装在 与 里，面积用 。易错：设 后漏掉竖直直线，而最值常常就在那条竖直直线处取到。 （四）模型四：曲线与圆同框 识别标志：一道题里同时出现圆锥曲线、圆、切线或垂足。标准动作：先把圆的心与半径、曲线的焦点与准线全标在图上，用点到直线距离、切线长公式、垂直平分线这些几何量做判断，只在最后一步才设点解方程。易错：一上来就设 点坐标硬算四个选项，把每个判断题都做成解答题。 （五）模型五：从原点引两条线 识别标志：题面给的是两条从原点（或顶点）出发的连线的斜率关系，而不是直线与曲线的交点关系。标准动作：不设直线方程，把曲线上的点写成 与曲线联立的一次结果，用 表示坐标与长度。易错：设出直线 再联立，凭空多出两个参数和一次韦达。 （六）模型六：焦点弦与倾斜角 识别标志：直线过焦点，问 、 的和、积或最值。标准动作：用焦半径 或 ，把倾斜角 当唯一变量。易错：把焦点弦当普通弦硬算，或忘了 且 的范围限制。 四、例题精讲 六道例题一一对应上面六个模型，每题统一按四步展开：认台阶 → 选路径 → 精简算 → 校验。第一步管"这一问该用哪一问的结果"，第二、三步管运算优化，第四步专管三件事——判别式与点是否存在、变量范围与取等条件、斜率不存在的情形。 （一）模型一：台阶式三问的椭圆题 例题 1（模型一·三问递进的椭圆题） 已知椭圆 ： 的离心率为 ，下顶点为 ，右顶点为 ，。 （1）求 的标准方程； （2）已知动点 不在 轴上，点 在射线 上，且满足 。 （i）设 ，求点 的坐标（用 ， 表示）； （ii）设 为坐标原点， 是 上的动点，直线 的斜率为直线 的斜率的 3 倍，求 的最大值。 图 1: 椭圆的下顶点 A、右顶点 B 与射线 AP 上的点 R 第 1 步 · 认台阶：三问是一条链，不是一题三问。(1) 定出曲线，(2i) 把"射线 + 长度之积"翻成坐标，(2ii) 拿 (2i) 的表达式去代斜率条件。跳过 (2i) 做 (2ii) 等于凭空多设两个参数。 第 2 步 · 选路径：(1) 用 与 两个条件解 、，注意 不能漏。(2i) 用"数乘"表示射线上的点：，，这样既不用讨论斜率不存在，又把 直接写出来。(2ii) 先把 的轨迹算出来，再用点—圆心—半径求最值，不要设 的坐标去硬算两点距离。 第 3 步 · 精简算： （1）由 得 ，故 。又 、，，解得 ，。所以 ：，。 （2i）记 。若 ，则 ，与 矛盾，故 、。由 与 得 ，于是 （2ii）因为 ，，且 ， 由 得 ，两边乘 ：，即 。代回 的定义： 所以 在以 为圆心、 为半径的圆上。此时 ，故 自动成立， 保证 落在射线 上。 设 在 上，则 ，， 当 时 取最大值 27，。又 在圆 上， 第一个不等号取等当且仅当 在线段 上，即 、 分居圆心两侧。 第 4 步 · 校验：取等位置要实算一遍。 时 ，取 ，，故 。它的横坐标不为 0（满足"不在 轴上"），纵坐标约 −7.67，在 内， 成立，取等可以实现。再核三处： 已证； 使两个斜率都有意义； 的取值范围来自椭圆，闭区间 [−1,1]，最值点 在区间内。 故 (1) ：；(2i) ，其中 ；(2ii) 的最大值为 。 两问之间不要重设参数 第 (2ii) 问最常见的失分是"重新设 、再设直线 的方程"，于是 的坐标要重算一遍，斜率关系也要重列一遍，白白多出四五个字母。题目让你在第 (2i) 问用 、 表示 ，就是让你在第 (2ii) 问直接搬过来用。 （二）模型二：依次构造的点列 例题 2（模型二·依次构造的点列） 已知双曲线 ： ，点 在 上， 为常数，。按如下方式依次构造点 ：过 作斜率为 的直线与 的左支交于点 ，令 为 关于 轴的对称点，记 的坐标为 。 （1）若 ，求 ，； （2）证明：数列 是公比为 的等比数列； （3）设 为 的面积，证明：对任意正整数 ，。 图 2: 双曲线两支与依次构造得到的点 P1、Q1、P2 第 1 步 · 认台阶：(1) 是 (2) 的手工演示——把 换成字母 ，"作斜率为 的直线 → 取左支交点 → 关于 轴对称"这三步本身就是递推公式。(3) 用的正是 (2) 的两个等比： 与 。 第 2 步 · 选路径：联立时设增量而不是设未知数：令 ，。因为 已经在曲线上，常数项自动抵消，二次方程立刻有一个根 ，另一个根一步写出，比展开后用韦达定理少算三行。(3) 全程只用 与 这一对整体，不逐个展开坐标。 第 3 步 · 精简算：，故 ：。 （1） 时直线为 。代入得 ，化简为 ，解得 或 。异于 的交点是 ，在左支上。 与 关于 轴对称，故 ，即 ，。 （2）把 、 代入 ： 因为 ，常数项为 0，故 （即 本身）或 于是 的坐标为 ，取相反数得 两式相减： 首项 ，且 时 ，故 是以 1 为首项、 为公比的等比数列。 同理两式相加得 ，公比与上面互为倒数。 （3）记 （），。由 (2) 知 ；又 在 上，，故 。两式相加相减： 把 换成 就是 ，换成 就是 ，于是 用 ，记 、，括号里的交叉项为 其中 已被整体约掉。所以 只含常数 ，与 无关，故 对任意正整数 成立。 第 4 步 · 校验：一验构造合法： 且 （因 、），故 ，即 、 的横坐标为负，确实落在左支上。二验首项非零：，否则"公比"无从谈起。三验特例对齐： 时 ，由通式 、，与 (1) 一致；此时 ，用 、、 直算面积也是 8。 故 (1) ，；(2)(3) 如上所证。 递推题的两条通用经验 一、曲线形如 常数时，"差"与"和"是一对天然的整体： 恒为常数，只要知道一个就能表示点。二、面积要证与 无关，就不要去算 的每一项，而是把坐标写成 与 的形式，让 在最后的交叉相乘里自己消失。 （三）模型三：过 x 轴定点的弦 例题 3（模型三·过 x 轴定点的弦） 已知抛物线 ：，过点 的直线 与 交于 、 两点， 为坐标原点。 （1）求 面积的最小值； （2）求 的最小值，并指出两问取最值时直线 的位置。 图 3: 过点 M 的割线与竖直割线及三角形 OAB 第 1 步 · 认台阶：两问共用同一套"设线—韦达"。第 (2) 问不要重来，只要把 用同一组 、 写出来。 第 2 步 · 选路径：直线过 轴上定点，设 。它把竖直直线 收在 里，不用分类；面积用 ，不用点到直线距离。 第 3 步 · 精简算：代入 得 ，故 （1），当 时取等。 （2），当 时取等。两问在同一条直线上取到最小值，即 为 ，与 轴垂直。 第 4 步 · 校验：一验判别式： 对一切实数 成立（其实 已保证两根异号、两交点必存在）。二验 ：直线 与 交于 、，、，与公式一致。三验面积公式的适用性：、 在 轴同侧或异侧都成立，因为以 为公共底时面积是两三角形之和或之差，绝对值后都是 。 故 (1) 面积最小值 ；(2) 最小值 ，两问都在 轴时取到。 设 y 等于 k 乘以 x 减 2，最值就丢了 若设 ：，竖直直线 不在设法内，而本题两问的最小值恰好都在 处取到——这样的解法只能得到"下确界"却取不到，或直接算不出最小值。过 轴上定点的直线，一律设 。 （四）模型四：抛物线与圆同框 例题 4（模型四·抛物线与圆同框） 已知抛物线 ： 的准线为 ， 为 上的动点，过 作 ： 的一条切线， 为切点；过 作 的垂线，垂足为 ，则（） A.  与 相切 B. 当 、、 三点共线时， C. 当 时， D. 满足 的点 有且仅有 2 个 图 4: 抛物线、准线 l、圆 A 与从 P 引出的切线 第 1 步 · 认台阶：四个选项是四个独立小判断，没有递进关系，因此先做便宜的：A 只需一个距离公式，B、C 靠特殊位置定出 ，D 是"个数"问题，要转成方程解的个数。 第 2 步 · 选路径：先把几何量标全：，：， 的圆心 、半径 。设点用参数式 （它在 上恒成立），则 ，。切线长一律用 ，不去求切点。 第 3 步 · 精简算： A. 圆心 到直线 的距离为 ，故 与 相切，✓ B.  与 的纵坐标都是 ，所以直线 是水平线。、、 共线要求 也在这条水平线上，即 ，，。此时 ，，✓ C.  即 ，，。取 ，则 ，，，；取 时 。两种情形都不垂直， D. 由抛物线定义 就是 到准线的距离，等于 ，故 ，即 到 与到 等距， 在线段 的垂直平分线上。 中点 ，方向 (1,−4)，垂直平分线为 ，即 。代入 得 ，，两根 ，对应 各一个，故恰有 2 个点 ，✓ 第 4 步 · 校验：B 里要确认切线真的存在：， 在圆外 ✓；且 、、 三点互不重合（、）。D 里"有且仅有"要两头验：垂直平分线与抛物线联立是 的二次方程，最多 2 个交点，而 给出 2 个不同实根，每个 对应唯一 ，不多不少。C 的两个 值都验过，不是只验一个就下结论。 故答案为 ABD。 （五）模型五：从原点引两条线 例题 5（模型五·从原点引两条线） 已知椭圆 ：，、 是 上不同于顶点的两点， 为坐标原点，直线 、 的斜率分别为 、，且 。 （1）求证： 为定值； （2）求证： 的面积为定值。 图 5: 椭圆上两点 A、B 与原点 O 构成的三角形 第 1 步 · 认台阶：(2) 与 (1) 用的是同一组表达式：把 、 都写成"斜率 与椭圆"的交点，两问各自代入即可，不需要为 (2) 重新设线。 第 2 步 · 选路径：题面给的是两条过原点的直线的斜率关系，最省的办法是不设直线 ——设 与椭圆联立， 直接解出，。面积用 ，全程只有 一个字母。 第 3 步 · 精简算： （1）把 代入 ：，故 ， 由 得 ，于是 ， 相加：，为定值（恰为 ）。 （2）由上面的 、 得 ，即 。又 故 。于是 为定值（恰为 ）。 第 4 步 · 校验：一验分母： 恒成立，且 （否则 不成立），故所有除法合法。二验 、 不重合： 说明两斜率异号，，、、 不共线，面积公式适用。三验 ，交点确实在椭圆的横坐标范围 [−2,2] 内。四验"不同于顶点"：顶点处斜率为 0 或不存在， 已自动排除。全程未设直线 ，因此不需要讨论 斜率不存在。 把斜率当参数的适用信号 条件是"从原点（或顶点、焦点）出发的两条线的斜率之积或之和"，而结论只涉及 、、 这类不含直线 AB 截距的量时，设斜率比设直线省一半工作量。反过来，若结论要问直线 过定点，仍须回到设线。 （六）模型六：焦点弦的最值 例题 6（模型六·焦点弦的最值） 已知抛物线 ： 的焦点为 ，过 的直线交 于 、 两点， 为坐标原点。 （1）求 的值； （2）求 的最小值，并求此时 的面积。 图 6: 过焦点 F 的弦 AB 与原点 O 构成的三角形 第 1 步 · 认台阶：(2) 不必重算——把 (1) 的定值通分就是 与 的关系，最小值直接从定值来。 第 2 步 · 选路径：两条路。设线 走代数，稳；用焦半径 走几何，短。这里先用设线法把 (1) 算实，再回手用焦半径一行验证，两问都靠均值不等式收尾。 第 3 步 · 精简算：设 ：（过 ， 为竖直弦）。代入 得 ， （1）由焦半径 、， （2）由 (1) 通分的结果，，即 。用均值不等式： 等号当且仅当 ，即 轴（，此时 、， 恰为通径）。此时 第 4 步 · 校验：一验 恒成立，两交点总存在。二验焦半径公式的使用条件：、 在抛物线上， ✓。三验取等可实现： 对应 的竖直直线，确在设法内。四用倾斜角复核：、，则 ， 取等，与上面一致。 故 (1) 的值为 1；(2) 最小值为 4，此时 的面积为 2。 五、易错点辨析 下面六条是本讲失分最集中的地方，每一条都对应上面某道例题的第四步。 表 4: 本讲六个高频错误及其纠正 错误表现 错因 正确做法 后一问另起炉灶，重新设一遍参数 把多问题当成几道独立小题，记号翻倍后接不上 前问结论起代号（、、），后问只用代号整体代入 设 后丢掉竖直直线 定点在 轴上却用斜率式设法 过 轴上定点一律设 ， 即竖直直线 联立后硬展开三次、四次式 没利用"已知点在曲线上"消常数项 设增量 ，常数项自动抵消，一根为 0 直接读另一根 点差法求出斜率就收尾 点差只用了"相减"这一必要条件 回代验 ，或验中点在曲线内部 递推构造只算 就写"同理" 没把构造规则翻译成坐标表达式 用 推一般一步，再找 这类整体 最值不验取等是否在范围内 均值不等式或二次函数最值点落在定义域外 先写变量范围，再验取等条件可实现，并给出取等时的点 六、当堂检测 A 组练本讲的基本动作（焦半径、点差、面积分割、一步递推），B 组是综合判断与多问递进，C 组是两道压轴小问。 （一）A 组：基础过关 A1 过抛物线 ： 的焦点 的直线交 于 、 两点。若 ，求 。 A2 已知椭圆 ：，弦 的中点为 ，求直线 的斜率。 A3 过点 的直线 与抛物线 ： 交于 、 两点， 为坐标原点。若 ，求 的面积。 A4 已知抛物线 ：，点 在 上。过 作斜率为 −1 的直线交 于另一点 ，求 的坐标。 （二）B 组：能力提升 B5 已知焦点在 轴上的椭圆 ： 的离心率为 ，短轴长为 。 （1）求 的标准方程； （2）、 为 的两焦点，点 在 上且 ，求 的面积。 B6 已知椭圆 ：，过点 的直线 与 交于 、 两点，且 恰为 的中点，求 的方程。 B7 设抛物线 ： 的焦点为 ，过 的直线交 于 、 两点，过 且垂直于 的直线交准线 ： 于 ，过点 作准线 的垂线，垂足为 ，则（） A.  B.  C.  D.  B8 已知抛物线 ： 的焦点为 ，过 的直线交 于 、 两点， 为坐标原点，求 面积的最小值。 （三）C 组：压轴突破 C9 已知抛物线 ：，点 在 上。按如下方式依次构造点 ：过 作斜率为 −1 的直线交 于另一点 ，再过 作斜率为 1 的直线交 于另一点 ，记 的坐标为 。 （1）求 、； （2）求 的通项公式； （3）设 为 的面积，求 ，并判断 是否为等差数列。 C10 已知抛物线 ：，过点 的直线 与 交于 、 两点， 为坐标原点。 （1）求证：； （2）求 面积的最小值。 七、参考答案与提示 （一）A 组 A1答案：。 提示：用 ，此处 得 ，故倒数和为 1，。易错点：把 与 弄混，误写成 。 A2答案：。 提示：点差法 。易错点：只代公式不验存在性—— 在椭圆内（），弦才真的存在。 A3答案：。 提示：直线过 轴上定点 ，用 ，不需要求直线方程。易错点：先去算点到直线距离与弦长，多绕三步还容易错。另需注意这条弦的纵坐标差有下界：设 得 ，，题目给的 8 落在可取范围内（）。 A4答案：。 提示：抛物线 上两点连线斜率 ，此处 ， 得 ，。易错点：把分子写成 而不是 。 （二）B 组 B5答案：（1）；（2）。 提示：（1）， 与 联立得 。（2）设 、，则 ，余弦定理 ，即 ，，。易错点：短轴长 当成 之外还要看焦点在哪条轴上；用 可一行验算 。 B6答案：。 提示：点差法 。回代： 与 联立得 ，，弦存在。易错点：不验 就写方程，遇到中点在椭圆外会得出一条不相交的直线。 B7答案：ACD。 提示：A 是抛物线定义。取 竖直这一特殊位置最快：、、，则 、，可判 B 错（）、C 取等。一般地设倾斜角 ，，、，相乘开方得 。易错点：多选题把四个选项当成一条链，从 A 推到 D，其实每个选项各走各的路。 B8答案：最小值为 8。 提示：，设 ，代入得 ，，， 取等。易错点： 用成 时把 的 记成 8（应为 4，）。 （三）C 组 C9答案：（1）、；（2）；（3）， 不是等差数列。 提示：（1）抛物线上两点连线斜率 。由 得 ，再由 得 ；同理 。（2）一步递推： 给 ， 给 ，公差 4。（3）； 随 变化，故不是等差数列。易错点：把"二阶等差"（ 是 的二次式）误判成等差。 C10答案：（1）证明见下；（2）最小值 16。 提示：（1）设 ，代入得 ，，，故 ，。（2）， 时取等。易错点： 要用 整体算出，别把 、 分别展开。 本讲到此结束。合上讲义，只看六个模型的速查表，能不能把每道例题的四步复述出来——能，这一关才算过。 学科网（北京）股份有限公司 $