8.12 解析几何中的融合、创新问题(强基课)复习讲义-2027届高三数学一轮复习

8.12　解析几何中的融合、创新问题(强基课) 　1.解析几何中创新问题的表现形式有:(1)与其他数学知识融合,如数列、函数、导数等;(2)定义新的解析几何概念,如距离、曲线等.解决解析几何创新题理解新定义是基础、计算是关键.　2.此类问题难度较大,在高考中一般作为压轴题出现. 题型一　解析几何与其他知识交汇问题 例1 在平面直角坐标系Oxy中,若圆A:(x-a)2+y2=r2(a∈N*)与抛物线C:y2=4x有公共点T(x,y)(x≠0),且圆A与抛物线C在点T 处有相同的切线,则称a为抛物线C的和谐数,圆A为a的和谐圆. (1)试判断3是否为抛物线C的和谐数.若是,求出3的和谐圆;否则,请说明理由. (2)设a1,a2,…,an(n≥3)均为抛物线C的和谐数,且a1<a2<…<an,记a1,a2,…,an 的和谐圆分别为圆A1,A2,…,An,设圆A1,A2,…,An 与抛物线C的公共点分别为T1,T2,…,Tn,已知a1=5,且∀k∈{2,3,…,n-1,n},圆Ak-1 与Ak外切. (ⅰ)求数列{an}的通项公式; (ⅱ)设点A0(1,0),记△A0AkTk的面积为Sk,证明:<. (1)解　假设3是抛物线C的和谐数,则3的和谐圆为A:(x-3)2+y2=r2, 由对称性,不妨设圆A与抛物线C有公共点T(x0,2), 显然抛物线C在点T 处的切线,即曲线f(x)=2在点T 处的切线, 易知该切线的斜率为f'(x0)=, ∵圆A与抛物线C在点T 处有相同的切线, ∴·=-1,解得x0=1, ∴圆A与抛物线C有公共点T(1,2), ∴和谐圆的半径为=2, ∴3是抛物线C的和谐数,且3的和谐圆为(x-3)2+y2=8. (2)(ⅰ)解　由对称性,只需考虑T1,T2,…,Tn 均在x轴上方的情形,不妨设Tk(xk,2), ∵ak为抛物线C的和谐数, ∴ak的和谐圆为Ak:(x-ak)2+y2=, ∴由(1)可知,·=-1,解得xk=ak-2, ∴Tk(ak-2,2), ∵Tk在圆Ak上, ∴rk==2, ∵∀k∈{2,3,…,n-1,n},圆Ak-1 与Ak外切,且ak-1<ak, ∴ak-ak-1=rk-1+rk=2+2, 即(ak-1)-(ak-1-1)=2+2,∴-=2, ∴数列{}是等差数列,其公差为2,首项为=2, ∴=2+2(n-1)=2n,即an=4n2+1, ∴数列{an}的通项公式为an=4n2+1. (ⅱ)证明　显然点A0(1,0)为抛物线C的焦点,∴|A0Tk|=ak-1=4k2, 易知|A0Ak|=4k2,且|AkTk|=rk=2=4k,∴△A0AkTk为等腰三角形, 易知△A0AkTk的面积 Sk=·4k·=4k2·, 当k≥2时,=2>2=2, ∴Sk>4k2·2=8(k3-k), ∴<= =, ∴<=<, ∴不等式<得证. 解析几何中的数列性质研究,要依据已有的条件求出数列的通项公式或构建数列的递推关系,再根据数列通项公式的结构特点求和,解决相关问题. 题型二　解析几何中的新定义问题 例2 蔓叶线是古希腊数学家狄奥克勒斯在公元前180年为了解决倍立方问题发现的曲线,蔓叶线与半个圆周一起,形状看上去像常春藤蔓的叶子,如图1所示.在平面直角坐标系中,圆A:+y2=,点M是直线l:x=1上在第一象限内的任一点,直线OM的倾斜角为θ (O为坐标原点),且交圆A于点N(N与O不重合),第一象限内的点P在直线OM上,且满足=,一蔓叶线C的方程为y2=,如图2所示. (1)求蔓叶线C上任一点横坐标的取值范围; (2)证明:点P在蔓叶线C上; (3)设直线l0:mx+ny=1(m2+n2≠0)与蔓叶线C交于不同的三点R,S,T,且直线OR,OS,OT 的斜率之和为2 026,证明:直线l0过定点. 参考公式:法国数学家弗朗索瓦·韦达提出了三次方程的韦达定理:若x1,x2,x3是关于一元三次方程ax3+bx2+cx+d=0(a≠0)的三个根,则x1+x2+x3=-,x1x2+x2x3+x1x3=,x1x2x3=-. (1)解　因为蔓叶线C的方程为y2=, 则≥0且1-x≠0. 不等式等价于或 解得0≤x<1. 则蔓叶线C上任一点横坐标的取值范围为[0,1). (2)证明　设M(1,y0)(y0>0),已知直线OM的方程为y=kx(k=y0),将其代入圆A的方程+y2=,得到+k2x2=. 对+k2x2=进行整理得(1+k2)x2-x=0, 解得x=0或x=,因为N点不是原点,所以N点横坐标为xN=. 已知=,设P(x,y),M(1,y0),N点横坐标为xN=. 根据向量坐标运算,=(x,y),=,因为y=kx,所以x=1-=,y=kx=. 将x=代入蔓叶线方程y2=的右边:==·=, 而y2==,即蔓叶线方程右边的值等于y2,等式成立. 所以点P的坐标满足蔓叶线方程,点P在蔓叶线C上. (3)证明　l0:mx+ny=1(m2+n2≠0),齐次化联立直线与曲线,得到y2=,那么ny3+(m-1)xy2-x3=0,即n+(m-1)-1=0, 根据方程联立的意义可知,所得的关于的一元三次方程的三个根即为k1,k2,k3, 结合韦达定理知道,k1+k2+k3==2 026,故 1-m=2 026n,则1-2 026n=m, 代入直线方程,即(1-2 026n)x+ny=1,化简得(y-2 026x)n+x-1=0,式子恒成立, 则令x-1=0,y-2 026x=0,解得x=1,y=2 026.故直线l0过定点(1,2 026).原命题成立. 解决圆锥曲线背景下的新定义问题,关键在于理解新定义的本质,并将其与常规曲线的知识相结合,转化为常规问题解决,方法总结如下: 1.明确新定义,理解新定义、符号等的含义. 2.仔细研究新定义曲线的方程,从方程得到其性质(如对称性、变量的取值范围等). 3.联系常规知识,把新定义问题转化为常规问题解决. 1.定义:对于椭圆+=1(a>b>0)上不同的两点M(x1,y1),N(x2,y2),若向量m=,n=满足m·n=t,则称点M,N为该椭圆的一个“t类共轭点对”,点M,N为一对t类互为共轭点.已知O为坐标原点,点M(x1,y1),N(x2,y2)是焦距为4的椭圆E:+=1(a>b>0)的一个“0类共轭点对”,且|OM|2+|ON|2=12. (1)求椭圆E的标准方程. (2)已知点A(x0,y0)是椭圆E上的一个动点,点B,C是E上不同的两点,且都与点A是一对-类互为共轭点,点A关于y轴的对称点为P,若直线PB,PC的斜率都存在,设直线PB,PC的斜率分别为k1,k2,试探究k1k2是否为定值,若是,求出该定值;若不是,请说明理由. 解　(1)因为点M(x1,y1),N(x2,y2)是焦距为4的椭圆E:+=1(a>b>0)的一个“0类共轭点对”, 所以m·n=0,即+=0,所以=, 因为点M(x1,y1),N(x2,y2)在椭圆E上,所以+=1,+=1, 所以==,整理得+=a2, 所以+=b2+b2=b2. 所以|OM|2+|ON|2=+++=a2+b2=12, 因为c=2,所以a2-b2=4,所以a2=8,b2=4, 所以椭圆E的标准方程为+=1. (2)因为点A(x0,y0)在椭圆E上,所以+=1,即+2=8. 设B(x3,y3),C(x4,y4),因为点B,C是E上不同的两点,且都与点A是一对-类互为 共轭点, 所以+=-,+=-, 所以直线BC的方程为+=-,即x0x+2y0y+4=0. 当y0≠0时,直线BC的方程为y=-x-, 代入+=1,消去y并整理得x2+x0x+-6=0, 所以x3+x4=-x0,x3x4=-6, 所以y3+y4=-(x3+x4)- =-(-x0)-=-y0, y3y4===1-. 由题可得P(-x0,y0), 所以k1·k2=·====-. 当y0=0时,若A(2,0),则B(-,),C(-,-), 此时P(-2,0),所以k1=,k2=-,故k1k2=-; 若A(-2,0),则B(,),C(,-), 此时P(2,0),所以k1=-,k2=,故k1k2=-. 综上,k1k2为定值,且定值为-. 2.已知椭圆E:+=1(a>b>0)的左右焦点分别为F1(-1,0),F2(1,0),离心率为. (1)求E的方程. (2)过点T(3,0)且不垂直于y轴的直线与E交于A,B两点,直线AF2与E交于另一点C. (ⅰ)证明:∠F1F2C=∠F1F2B; (ⅱ)若点M是△ABC的外心,求△AMC面积的最大值. (1)解　依题意,解得则b==, 所以椭圆方程为+=1. (2)(ⅰ)证明　设直线AB的方程为x=my+3,A(x1,y1),B(x2,y2), 由整理得(2m2+3)y2+12my+12=0, 由Δ=(12m)2-48(2m2+3)=48(m2-3)>0,得m2>3, y1+y2=-,y1y2=,my1y2+y1+y2=-=0, 若BF2⊥x轴,由 解得则B, 此时AB的斜率k=±,即m2=3,不合题意,则AF2,BF2的斜率均存在, 因此+=+===0, 所以+=0,∠F1F2C=∠F1F2B. (ⅱ)解　设AB的中点为N(x0,y0),则y0==-,x0=my0+3=, 点N,线段AB的垂直平分线方程为y+=-m, 由(ⅰ)知,点B,C关于x轴对称,令y=0,得x=,则M, 于是△AMC的面积S△AMC=|MF2||y1+y2|=·=, 令t=|m|>,设f(t)=,t>, 求导得f'(t)==, 当<t<时,f'(t)>0;当t>时,f'(t)<0, 函数f(t)在上单调递增,在上单调递减, 所以当t=时,f(t)取得最大值f(t)max=f=, 所以△AMC面积的最大值为. 学科网（北京）股份有限公司 $ 8.12　解析几何中的融合、创新问题(强基课) 　1.解析几何中创新问题的表现形式有:(1)与其他数学知识融合,如数列、函数、导数等;(2)定义新的解析几何概念,如距离、曲线等.解决解析几何创新题理解新定义是基础、计算是关键.　2.此类问题难度较大,在高考中一般作为压轴题出现. 题型一　解析几何与其他知识交汇问题 例1 在平面直角坐标系Oxy中,若圆A:(x-a)2+y2=r2(a∈N*)与抛物线C:y2=4x有公共点T(x,y)(x≠0),且圆A与抛物线C在点T 处有相同的切线,则称a为抛物线C的和谐数,圆A为a的和谐圆. (1)试判断3是否为抛物线C的和谐数.若是,求出3的和谐圆;否则,请说明理由. (2)设a1,a2,…,an(n≥3)均为抛物线C的和谐数,且a1<a2<…<an,记a1,a2,…,an 的和谐圆分别为圆A1,A2,…,An,设圆A1,A2,…,An 与抛物线C的公共点分别为T1,T2,…,Tn,已知a1=5,且∀k∈{2,3,…,n-1,n},圆Ak-1 与Ak外切. (ⅰ)求数列{an}的通项公式; (ⅱ)设点A0(1,0),记△A0AkTk的面积为Sk,证明:<. 解析几何中的数列性质研究,要依据已有的条件求出数列的通项公式或构建数列的递推关系,再根据数列通项公式的结构特点求和,解决相关问题. 题型二　解析几何中的新定义问题 例2 蔓叶线是古希腊数学家狄奥克勒斯在公元前180年为了解决倍立方问题发现的曲线,蔓叶线与半个圆周一起,形状看上去像常春藤蔓的叶子,如图1所示.在平面直角坐标系中,圆A:+y2=,点M是直线l:x=1上在第一象限内的任一点,直线OM的倾斜角为θ (O为坐标原点),且交圆A于点N(N与O不重合),第一象限内的点P在直线OM上,且满足=,一蔓叶线C的方程为y2=,如图2所示. (1)求蔓叶线C上任一点横坐标的取值范围; (2)证明:点P在蔓叶线C上; (3)设直线l0:mx+ny=1(m2+n2≠0)与蔓叶线C交于不同的三点R,S,T,且直线OR,OS,OT 的斜率之和为2 026,证明:直线l0过定点. 参考公式:法国数学家弗朗索瓦·韦达提出了三次方程的韦达定理:若x1,x2,x3是关于一元三次方程ax3+bx2+cx+d=0(a≠0)的三个根,则x1+x2+x3=-,x1x2+x2x3+x1x3=,x1x2x3=-. 解决圆锥曲线背景下的新定义问题,关键在于理解新定义的本质,并将其与常规曲线的知识相结合,转化为常规问题解决,方法总结如下: 1.明确新定义,理解新定义、符号等的含义. 2.仔细研究新定义曲线的方程,从方程得到其性质(如对称性、变量的取值范围等). 3.联系常规知识,把新定义问题转化为常规问题解决. 1.定义:对于椭圆+=1(a>b>0)上不同的两点M(x1,y1),N(x2,y2),若向量m=,n=满足m·n=t,则称点M,N为该椭圆的一个“t类共轭点对”,点M,N为一对t类互为共轭点.已知O为坐标原点,点M(x1,y1),N(x2,y2)是焦距为4的椭圆E:+=1(a>b>0)的一个“0类共轭点对”,且|OM|2+|ON|2=12. (1)求椭圆E的标准方程. (2)已知点A(x0,y0)是椭圆E上的一个动点,点B,C是E上不同的两点,且都与点A是一对-类互为共轭点,点A关于y轴的对称点为P,若直线PB,PC的斜率都存在,设直线PB,PC的斜率分别为k1,k2,试探究k1k2是否为定值,若是,求出该定值;若不是,请说明理由. 2.已知椭圆E:+=1(a>b>0)的左右焦点分别为F1(-1,0),F2(1,0),离心率为. (1)求E的方程. (2)过点T(3,0)且不垂直于y轴的直线与E交于A,B两点,直线AF2与E交于另一点C. (ⅰ)证明:∠F1F2C=∠F1F2B; (ⅱ)若点M是△ABC的外心,求△AMC面积的最大值. 学科网（北京）股份有限公司 $