精品解析：上海市建平中学2026-2027学年高二上学期10月月考数学试题

建平中学高二月考数学试卷 2026.10 一．填空题（本大题共有12题，每题3分，共36分）． 1. 经过两点的直线的倾斜角为___________． 2. 若直线与直线垂直，则__________. 3. 双曲线的渐近线方程为______． 4. 已知，圆的半径为2，则_______________． 5. 已知椭圆：的右焦点，则________； 6. 与椭圆的焦点相同，且离心率为的双曲线的方程为________； 7. 已知圆：，直线：，若与相切，则________． 8. 圆与圆的公共弦的长为______. 9. 已知、为椭圆的两个焦点，经过原点的直线与椭圆交于、两点且、不与椭圆长轴顶点重合，若，四边形的面积为，则________； 10. 记抛物线的焦点为，过的直线与C交于，两点，与C的准线交于点，若，且，则_________． 11. 已知关于的方程有两个不同的解，则实数的取值范围是________ 12. 已知函数，的图象是双曲线，那么这个双曲线的离心率是________． 二．选择题（本大题共有4题，每题3分，共12分）． 13. 已知直线：，：，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 14. 已知，，动点满足，当为3和5时，点的轨迹分别是（ ） A. 双曲线和一条直线 B. 双曲线和两条射线 C. 双曲线的一支和一条直线 D. 双曲线的一支和一条射线 15. 已知双曲线：的左右焦点分别为，，过的直线与的左支交于、两点，，则的离心率为（） A. B. C. D. 16. 除了我们学习过的圆锥曲线，平面内还有很多形状优美的曲线，例如方程所表示的曲线被称为“四叶玫瑰线”，下列关于曲线的4个命题： ①曲线既是轴对称图形，又是中心对称图形； ②曲线上两点之间的最大距离为； ③将横纵坐标都是整数的点称为整点，则曲线上有且只有5个整点； ④若直线与曲线只有一个交点，则满足条件的直线有且仅有一条． 其中真命题的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 三．解答题共52分 17. 已知直线：． （1）若直线在两坐标轴上的截距相等，求的值； （2）过坐标原点作直线的垂线，垂足为，当最大时，求直线方程． 18. 圆经过三点、、． （1）求圆的方程； （2）若圆与圆关于直线对称．求圆的方程． 19. 下边左图是探照灯的反射镜，它可以看作由右图所示抛物线的一部分绕对称轴旋转而成，光源位于抛物线的焦点F处．已知灯口圆的半径为，灯的深度为． （1）将反射镜的旋转轴与镜面的交点称为反射镜的顶点，光源应安置在旋转轴上与顶点相距多远的地方？ （2）为了使反射的光更亮，增大反射镜的面积，将灯口圆的半径增大到，并且保持光源与顶点的距离不变．求探照灯的深度． 20. 已知双曲线：，为原点． （1）求的右顶点到一条渐近线的距离； （2）若点在第一象限且，若、、为一个等腰三角形的三个顶点，求点的横坐标； （3）过双曲线右顶点作两条相互垂直的直线，分别与双曲线交于、两点，求证：直线过定点，并求出定点坐标． 21. 已知椭圆 的左右焦点分别为、 ，离心率 ，点、分别是椭圆的右顶点和上顶点，的边上的中线长为. （1）求椭圆的标准方程； （2）过椭圆上顶点的直线交椭圆于点，且，求直线的方程; （3）直线、过右焦点，且它们的斜率乘积为，设、分别与椭圆交于点、和、.若、分别是线段和的中点，求面积的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 建平中学高二月考数学试卷 2026.10 一．填空题（本大题共有12题，每题3分，共36分）． 1. 经过两点的直线的倾斜角为___________． 【答案】## 【解析】 【详解】∵，∴， 设过的直线的倾斜角为，则，∴． 2. 若直线与直线垂直，则__________. 【答案】 【解析】 【详解】因为， 所以，解得. 3. 双曲线的渐近线方程为______． 【答案】 【解析】 【详解】双曲线的渐近线方程为. 4. 已知，圆的半径为2，则_______________． 【答案】 【解析】 【详解】由圆，其半径为2， 所以，又，则. 5. 已知椭圆：的右焦点，则________； 【答案】 【解析】 【分析】根据椭圆中的的关系求解即可. 【详解】由题意可知， 所以， 又， 解得 6. 与椭圆的焦点相同，且离心率为的双曲线的方程为________； 【答案】 【解析】 【分析】利用椭圆方程得到其焦点在轴上，且求出半焦距，设出双曲线方程，联立方程即可求解. 【详解】由椭圆方程，可得其焦点在轴上， 且其半焦距为， 设所求双曲线方程为， 则，解得， 则该双曲线方程为. 7. 已知圆：，直线：，若与相切，则________． 【答案】 【解析】 【分析】先从圆方程读出圆心与半径，利用直线与圆相切时圆心到直线距离等于半径这一核心关系，套用点到直线距离公式列式，化简求解参数． 【详解】圆：的圆心，半径， 圆心到直线：的距离， 因为直线与圆相切，所以， 即，解得． 8. 圆与圆的公共弦的长为______. 【答案】 【解析】 【分析】将两圆方程作差可得出相交弦所在直线的方程，求出圆的圆心到相交弦所在直线的距离，利用勾股定理可求得相交弦长. 【详解】将圆与圆相减可得， 即两圆的公共弦所在的直线方程为， 又圆圆心到直线的距离， 圆的半径为，所以公共弦长为. 故答案为：. 9. 已知、为椭圆的两个焦点，经过原点的直线与椭圆交于、两点且、不与椭圆长轴顶点重合，若，四边形的面积为，则________； 【答案】 【解析】 【分析】根据对称可得四边形为矩形，进而根据垂直关系以及椭圆定义求解，利用面积为即可求解. 【详解】由于，且、在原点处互相平分，因此四边形为矩形， 因此，即， 又，因此，故， 又四边形的面积为，因此，故，即. 10. 记抛物线的焦点为，过的直线与C交于，两点，与C的准线交于点，若，且，则_________． 【答案】 【解析】 【分析】过A、B作准线的垂线，利用抛物线定义将焦半径转化为点到准线的距离，结合向量条件与相似三角形比例关系求得|FB|，再由中点坐标性质和中位线公式计算p. 【详解】 抛物线的焦点为，准线方程为， 分别过点、作准线的垂线，垂足为、， 根据抛物线定义得，， 设，则， 由得，且四点共线， 故， 因为，故， 则，所以， 由于，约去化简得，解得，即， 此时，故为线段的中点， 设准线与轴交点是，所以是的中位线， 则，即. 11. 已知关于的方程有两个不同的解，则实数的取值范围是________ 【答案】 【解析】 【分析】令，则原方程化为，当即时，原方程化为，表示单位圆的上半部分；当即，或时，则原方程化为，表示等轴双曲线的上半部分（不含与坐标轴的交点）；再结合图象借助直线与圆和双曲线的位置关系分类讨论即可得出结论． 【详解】解：∵方程有两个不同的解，令，则， 则原方程化为， 当即时，原方程化为，表示单位圆的上半部分， 当即，或时，则原方程化为，表示等轴双曲线的上半部分（不含与坐标轴的交点）， 作出图象得， ∵等轴双曲线渐近线为， ∴直线与双曲线最多有一个交点， ∴直线与半圆至少有一个交点， ∴，得， （1）当时，直线与半圆相切，有1个交点，与双曲线有1个交点，则原方程有两个不同的解； （2）当时，直线与半圆相交，有2个交点，与双曲线有1个交点，则原方程有三个不同的解，不合题意； （3）当时，直线与半圆有2个交点和，与双曲线没有交点，故原方程有两个不同的解； （4）当时，直线与半圆有1个交点，与双曲线没有交点，故原方程只有1个解，不合题意； （5）当时，直线与半圆有1个交点，与双曲线有1个交点，故原方程有两个不同的解； （6）当时，直线与半圆有1个交点，与双曲线没有交点，故原方程只有1个解，不合题意； （7）当时，直线与半圆没有交点，与双曲线也没有交点，故原方程没有解，不合题意； 综上，实数的取值范围是， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查方程的解的个数的判断，考查数形结合思想，考查分类讨论思想，属于难题． 12. 已知函数，的图象是双曲线，那么这个双曲线的离心率是________． 【答案】## 【解析】 【分析】根据题意，求得双曲线的渐近线方程分别为和即可求双曲线的离心率.. 【详解】 函数为双勾函数，且其渐近线为直线及直线， 直线的倾斜角为. 由题设，该图象为双曲线，故其实轴与渐近线的夹角为， 设双曲线的实半轴长为，虚半轴长为，则， 故离心率为. 二．选择题（本大题共有4题，每题3分，共12分）． 13. 已知直线：，：，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】先验证充分性是否满足，再验证必要性是否满足即可. 【详解】当时，：，即， 此时，故充分性满足； 当时，则有， 解得，故必要性成立； 所以“”是“”的充要条件. 14. 已知，，动点满足，当为3和5时，点的轨迹分别是（ ） A. 双曲线和一条直线 B. 双曲线和两条射线 C. 双曲线的一支和一条直线 D. 双曲线的一支和一条射线 【答案】D 【解析】 【详解】依题意得． 当时，，此时，符合双曲线定义， 因此点的轨迹是双曲线靠近​的右支，故点的轨迹为双曲线的一支； 当时，，此时， 说明点满足和​、​共线，且在​的右侧（含​点），沿轴正方向延伸， 故点的轨迹为一条射线． 综上，点的轨迹分别是双曲线的一支和一条射线． 15. 已知双曲线：的左右焦点分别为，，过的直线与的左支交于、两点，，则的离心率为（） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用双曲线定义求出各线段长度，借助公共角的余弦值相等建立与的关系，进而求得离心率. 【详解】因为点在双曲线的左支上，故， 设，由得，， 代入得，即， 因此，，， 又点A在双曲线C的左支上，则，解得， ， 在中，由余弦定理，， 在中，， 由两式相等得，化简得：， 即，整理得，即， 因此离心率. 16. 除了我们学习过的圆锥曲线，平面内还有很多形状优美的曲线，例如方程所表示的曲线被称为“四叶玫瑰线”，下列关于曲线的4个命题： ①曲线既是轴对称图形，又是中心对称图形； ②曲线上两点之间的最大距离为； ③将横纵坐标都是整数的点称为整点，则曲线上有且只有5个整点； ④若直线与曲线只有一个交点，则满足条件的直线有且仅有一条． 其中真命题的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】根据曲线对称性的判定方法，可判定①为真命题；设是曲线任意一点，则，结合基本不等式，求得，可判定②是真命题；根据题意，得到，结合，可判定③是真命题；联立方程组,得到，得到方程解的个数，可判定④为真命题， 【详解】对于①，由方程， 将方程中的替换为，可得，即为， 所以曲线的图形关于轴对称； 将方程中的替换为，可得，即为， 所以曲线的图形关于轴对称； 将方程中的分别替换为，可得， 即为，所以曲线的图形关于原点对称， 所以曲线既是轴对称图形，又是中心对称图形，所以①是真命题； 对于②，设是曲线上的任意一点，则， 由，所以， 所以，即， 可得，所以，即，则 根据曲线的对称性，可得曲线上两点之间的最大距离为，所以②是真命题； 对于③，因为，由，可得， 所以，即， 当时，只有，，，，满足， 即只有满足条件， 所以曲线上有且只有5个整点，所以③是真命题； 对于④，联立方程组，可得， 整理得， 当时，等式恒成立，所以是交点； 当时，可得，即， 当时，可得，此时，直线与曲线仅有1个交点； 当时，此时有解，对应两个交点，所以直线与曲线有3个交点， 所以若直线与曲线只有一个交点，则满足条件的直线有且仅有一条， 所以④为真命题， 综上可得，①②③④都是真命题，，所以真命题的个数为4个. 三．解答题共52分 17. 已知直线：． （1）若直线在两坐标轴上的截距相等，求的值； （2）过坐标原点作直线的垂线，垂足为，当最大时，求直线方程． 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】（1）分别令，，求解截距，即可根据相等关系求解， （2）根据直线过定点，即可根据垂直时，最大，根据垂直满足的斜率关系求解即可. 【小问1详解】 由于直线在两坐标轴上的截距相等，故不为0， 在中，令，则， 令，则， 故，解得或 【小问2详解】 由于直线为，故直线过定点， 故当时，此时最大， 由于，故直线的斜率为， 因此直线，即. 18. 圆经过三点、、． （1）求圆的方程； （2）若圆与圆关于直线对称．求圆的方程． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设圆的一般方程为，将，，代入得的方程组，解出，从而得到圆的一般方程. （2）将圆的一般方程化为标准方程，求出圆心和半径，设圆的圆心为，由圆与圆关于直线对称，可知与关于直线对称，且圆半径与圆相等，根据对称点性质列方程组，通过计算求出，，从而得到圆的方程. 【小问1详解】 设圆的一般方程为， 将，，代入， 得方程组， 解得，，， 则圆的一般方程为. 【小问2详解】 圆的一般方程为， 化为标准方程得，圆心为，半径. 设圆的圆心为，由圆与圆关于直线对称， 可知与关于直线对称， 且圆半径与圆相等，均为， 根据对称点性质列方程组为， 解得，，因此圆心，半径， 圆的标准方程为， 展开得一般方程. 19. 下边左图是探照灯的反射镜，它可以看作由右图所示抛物线的一部分绕对称轴旋转而成，光源位于抛物线的焦点F处．已知灯口圆的半径为，灯的深度为． （1）将反射镜的旋转轴与镜面的交点称为反射镜的顶点，光源应安置在旋转轴上与顶点相距多远的地方？ （2）为了使反射的光更亮，增大反射镜的面积，将灯口圆的半径增大到，并且保持光源与顶点的距离不变．求探照灯的深度． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）如右图所示，以反射镜顶点为原点，对称轴为轴，建立坐标系，设抛物线的方程为，灯口边缘点的坐标由题意确定：灯的深度该点的横坐标，灯口圆半径该点的纵坐标，从而得到是抛物线上的点，将该点代入抛物线方程得解； （2）保持光源与顶点距离不变，即不变，新灯口边缘点为 ，代入，解出的值，从而得到所求. 【小问1详解】 如右图所示，以反射镜顶点为原点，对称轴为轴，建立坐标系， 抛物线方程设为， 灯口边缘点的坐标由题意确定：灯的深度该点的横坐标， 灯口圆半径该点的纵坐标， 灯口半径cm，灯深cm，故边缘点为，此点在抛物线上， 则有 ，解得 ， ， 焦点到顶点的距离为， 即光源应安置在旋转轴上距顶点（即）处. 【小问2详解】 保持光源与顶点距离不变，即不变， 新灯口边缘点为，代入，得到 ， 解得 ，即 ， 即探照灯的深度为 （即）. 20. 已知双曲线：，为原点． （1）求的右顶点到一条渐近线的距离； （2）若点在第一象限且，若、、为一个等腰三角形的三个顶点，求点的横坐标； （3）过双曲线右顶点作两条相互垂直的直线，分别与双曲线交于、两点，求证：直线过定点，并求出定点坐标． 【答案】（1） （2） （3）直线过定点，且定点坐标为. 由题知，，显然过点的直线斜率存在且不为， 设过点的直线为，则过与其垂直的直线为， 令与双曲线交点为，与双曲线交点为， 则联立方程， 解得，则，， 所以，即， 将换成，即可得到， 所以， 且， 所以直线斜率， 所以直线方程为， 整理可得， 当时，， 所以直线过定点，且定点坐标为. 【解析】 【分析】（1）根据双曲线方程，求得右顶点坐标以及渐近线方程，然后利用点到直线的距离公式求解即可； （2）根据图像直接舍去一种三角形，然后根据满足条件的两种三角形，利用两腰相等，结合两点之间距离公式，即可求出结果； （3）由题可知，过点的直线斜率存在且不为，设出过的两条相互垂直的直线方程，以及坐标，联立方程解得坐标，表示出直线的方程，即可得证. 【小问1详解】 由双曲线方程为，可得其右顶点为， 且其渐近线方程为， 根据对称性，右顶点到两渐近线的距离相等， 不妨求到的距离， 则化为一般式为， 所以到的距离为， 即的右顶点到一条渐近线的距离为. 【小问2详解】 因为点在第一象限且， 且、、为一个等腰三角形的三个顶点， 则根据草图分析，满足条件的点有两种， 分别为以及两种， 设点坐标为， 则或， 解得（舍去），或， 综上，点的横坐标为. 【小问3详解】 略 21. 已知椭圆 的左右焦点分别为、 ，离心率 ，点、分别是椭圆的右顶点和上顶点，的边上的中线长为. （1）求椭圆的标准方程； （2）过椭圆上顶点的直线交椭圆于点，且，求直线的方程; （3）直线、过右焦点，且它们的斜率乘积为，设、分别与椭圆交于点、和、.若、分别是线段和的中点，求面积的最大值. 【答案】（1） （2）或 （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意可得出关于、、的方程组，解出这三个量的值，即可得出椭圆的标准方程； （2）求出直线的方程，将该直线方程与椭圆方程联立，求出点的坐标，即可求得直线的方程； （3）设直线的方程为，其中，将该直线方程与椭圆方程联立，求出点的坐标，同理可得出点的坐标，分析可知，线段的中点为，然后利用三角形的面积公式结合基本不等式可求得面积的最大值. 【小问1详解】 由题意，因为、，为直角三角形，所以， 又 因为，，解得，， 所以椭圆的标准方程为. 【小问2详解】 易知点，，且，则， 所以，直线的方程为， 联立，解得或，即点或， 当点的坐标为时，直线的方程为； 当点的坐标为时，， 此时，直线的方程为，即. 综上所述，直线的方程为或. 【小问3详解】 由题意，， 设直线的方程为，其中，、， 则直线的方程为 ，、， 联立可得， 由韦达定理可得，， 所以，，，所以， 同理可得，， 所以，点，即的中点为， 所以， 当且仅当时，即当时取等号，所以的面积最大值为. 【点睛】方法点睛：圆锥曲线中的最值问题解决方法一般分两种： 一是几何法，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来求最值； 二是代数法，常将圆锥曲线的最值问题转化为二次函数或三角函数的最值问题，然后利用基本不等式、函数的单调性或三角函数的有界性等求最值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $