上海市南洋模范中学2026-2027学年高二上学期10月月考数学试卷

高二年级数学 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，其中1～6题每题4分，7～12题每题5分） 1．直线l上存在两点在平面上，用集合语言表示l与的关系_____________． 2．在正六棱柱的所有棱中，与直线异面的棱共有____________条． 3．如图所示，，均与平面平行，E，F，G，H分别在，，，上，且．则四边形的形状为________________． 4．在长方体中，，，，则直线与平面所成角的大小为__________． 5．已知l，m为直线，为平面，给出下列三个论断：①②③．以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题：______________________________________． 6．是正方形，P为平面外一点，且平面，则平面、平面、平面、平面、平面这五个平面中，互相垂直的平面有_________对． 7．如图，在直三棱柱中，所有棱长均为4，D是的中点，则异面直线与所成角的正弦值为_______________． 8．如图，在棱长为4的正方体中．点P是棱的中点，动点Q在面内，包括边界，若平面，则线段长度的取值范围是__________． 9．如图所示，将绘有函数部分图像的纸片沿x轴折成钝二面角，夹角为，此时A，B之间的距离为，则_______________． 10．在代表我国古代数学成就的经典著作《九章算术》中，称如下图中的多面体为“刍(chu)甍(meng)”．若底面是边长为4的正方形，，且，和是等腰直角三角形，，则与底面所成角的正弦值为_____________． 11．如图，正方体的棱长为1，点P是棱的中点，点Q是棱上的动点（含端点）．过点A，P，Q的平面截正方体所得截面记为S，给出下面四个结论： ①存在Q，使得S为菱形，S的面积为： ②当Q是的中点时，S为等腰梯形，S的面积是； ③过直线，有且只有一个平面与任意S垂直； ④存在，使得直线与S所成的角为 其中所有正确结论的序号是________________________ 12．在棱长为2的正方体中，从点发出的光线经侧面内部（不含边界）一点反射后投射到侧面内部（不含边界），则满足条件的点所组成区域的面积是_________________． 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，其中13～14题每题4分，15～16题每题5分） 13．以下说法正确的是（ ） A．空间异面直线的夹角取值范围是 B．直线与平面的夹角的取值范围是 C．二面角的取值范围是 D．向量与向量夹角的取值范围是 14．如图，已知四棱锥的底面是平行四边形，为的中点，在上，平面，则（ ） A． B． C． D． 15．如图，在正方体中，是的中点．若点满足：平面与平面交于直线，且平面，则点可以位于（ ） A． B． C． D． 16．如图，正方体的棱长为1，点是上底面内的一个动点．设平面与平面的夹角为，平面与平面的夹角为，若，则下图中阴影部分表示点轨迹的是（ ） A． B． C． D． 三、解答题（本大题共有5题，满分78分） 17．如图，长方体中，，，，点为的中点，． （1）求证：直线平面； （2）求异面直线与所成角的大小． 18．在直四棱柱中，底面是菱形，边长为1，，，为的中点． （1）证明：； （2）求与面所成角的余弦值． 19．某山坡所在平面与水平面相交于坡脚，山坡的倾斜度（山坡面与水平面所成二面角的度数）是，斜坡上有一直道，其中位于坡脚上，直道与坡脚所成的角为． （1）若有人沿直行道向上行走了200米，求此时其竖直高度升高了多少米？ （2）为解决山腰处居民的饮水问题，现有甲、乙两种方案． 方案甲：一次性投资12万元打深水井，取用水面与坡脚等高的暗河中的水； 方案乙：沿铺设自来水管道，每100米为一个计费段，最后不足100米的部分按一个计费段计算．第一个计费段费用为1万元，此后每个计费段的费用均为前一个计费段的2倍． 设点高出坡脚所在水平面的高度为米，．若仅从一次性建设费用考虑，经测算方案甲比方案乙更经济，求的取值范围． 20．已知四棱锥中，四边形是边长为2的正方形，． （1）证明：平面平面； （2）若，， （ⅰ）求的长； （ⅱ）求平面与平面所成的锐二面角的余弦值． 21．离散曲率是刻画空间弯曲性的重要指标．设为多面体的一个顶点，定义多面体在点处的离散曲率为，其中为多面体的所有与点相邻的顶点，且平面，平面，…，平面和平面为多面体的所有以为公共点的面．如图，在三棱锥中． （1）求三棱锥在各个顶点处的离散曲率的和； （2）若平面，，，三棱锥在顶点处的离散曲率为，求点到平面的距离； （3）在（2）的前提下，又知点在射线上，直线与平面所成角的余弦值为，求的长度． 学科网（北京）股份有限公司 $