第二十八章 旋转（2核心+9题型+3难点+复习讲义）数学新教材人教版九年级上册

命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 第二十八章旋转 复习目标 1.理解图形旋转的定义，掌握旋转中心、旋转方向、旋转角三大要素，能准确描述一个 旋转运动。 2.掌握旋转的核心性质：对应点到旋转中心距离相等；对应点与旋转中心连线夹角等于 旋转角；旋转前后图形全等（对应边、对应角相等）。 3.理解中心对称是旋转角为180°的特殊情形，能区分“中心对称（两个图形）”与“中 复习要点 心对称图形（一个图形）”的概念与性质。 4.掌握关于原点对称的点的坐标规律（横纵坐标均互为相反数），能利用该规律解决坐 标问题与作图。 5.掌握简单的旋转作图方法，理解旋转作图的依据是旋转性质，能按要求画出旋转后的 图形。 重点：旋转的定义、三要素与三大核心性质，以及中心对称的概念与关于原点对称的坐 标规律。 复习重难点 难点：准确判定旋转角，理解旋转前后图形的对应关系：区分中心对称与中心对称图 形：灵活运用旋转性质解决几何计算与证明问题。 理脉络 知识体系构建 旋转定义 旋转中心 旋转三要素 旋转方向 旋转角度 对应点与中心连线相等 旋转性质 对应点与中心连线夹角相等 旋转方向混淆 知识梳理 旋转前后图形全等 旋转角度计算错误 易错点 旋 定义 中心对称与轴对称混淆 中心对称 性质 作图时对应点位置偏差 学法指导 中心对称图形 旋转性质证明 找关键点 中心对称图形判断 高频考点 旋转作图 确定旋转后对应点 旋转与坐标综合 连接图形 旋转作图应用 1/31 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 过主千 核心内容整合 知识点 图形的旋转 1.旋转的定义 在平面内，把一个平面图形绕着平面内某一点Q转动一个角度，就叫做图形的旋转，点O叫做旋转中心， 转动的角叫做旋转角。 我们把旋转中心、旋转角度、旋转方向称为旋转的三要素。 2.旋转的性质 旋转的特征：(1)对应点到旋转中心的距离相等；(2)对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转鱼： (3)旋转前后的图形全等。 理解以下几点： (1)图形中的每一个点都绕旋转中心旋转了同样大小的角度。(2)对应点到旋转中心的距离相等，对 应线段相等，对应角相等。(3)图形的大小与形状都没有发生改变，只改变了图形的位置。 3.利用旋转性质作图 旋转有两条重要性质：(1)任意一对对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转鱼；(2)对应点到旋转 中心的距离相等，它就是利用旋转的性质作图的关键。步骤可分为： ①连：即连接图形中每一个关键点与旋转中心；②转：即把直线按要求绕旋转中心转过一定角度（作 旋转角) ③截：即在角的另一边上截取关键点到旋转中心的距离，的到各点的对应点： ④接：即连接到所连接 的各点。 要点速测 1.(25-26八年级下·北京期末)如图，矩形ABCD绕点D逆时针旋转90°得到矩形A'B'CD,连接BB交 CD于点E,F为BB的中点，连接DF交AB于点G,连接EG,B'D.给出下面四个结论：① 2BB：②CE=G:③G=N3F:④GLgD:上述结论中，所有正确结论的序号是 2/31 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.①②③④ B.①②④ C.②③④ D.①③ 2.(26-27九年级上四川达州开学考试)在菱形ABCD中， ∠B=a(90°≤a<180 ,点E是边BC上一点， 连接AE,将线段AE绕点E顺时针旋转α得到线段EF,连接CF 图1 图2 图3 (1)如图1，a=90°，求∠DCF的度数： (2)如图2,90°<Q<180°，求∠DCF的度数（含a的代数式表示）： (3)如图3，a=120°，AB=2,点M是DC边上一动点，连接MF,若MF=AB,N是CM延长线上一点， 且MN=CF,连接FN,请直接写出FN的最大值. 知识点 中心对称 1.中心对称的定义 中心对称：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果它能够与另一个图形重金，那么就说这两个图形关 于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心。 注意以下几点： 中心对称指的就是两个图形的位置关系；只有一个对称中心：绕对称中心旋转180°两个图形能够完全重 合。 2.作一个图形关于某点对称的图形 要作出一个图形关于某一点的成中心对称的图形，关键就是作出该图形上关键点关于对称中心的对称点。 3/31 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 最后将对称点按照原图形的形状连接起来，即可的出成中心对称图形。 3.中心对称的性质 有以下几点： (1)关于中心对称的两个图形上的对应点的连线都经过对称中心，并且都被对称中心平分： (2)关于中心对称的两个图形能够互相重合，就是全等形： (3)关于中心对称的两个图形，对应线段平行（或共线）且相等。 4.中心对称图形的定义 把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重金，那么这个图形叫做中心 对称图形，这个点就就是它的对称中心。 5.关于原点对称的点的坐标 在平面直角坐标系中，如果两个点关于原点对称，它们的坐标符号相反，即点卫(x,y)关于原点对称点为 (-x,y)0 口要点速测 3.(26-27九年级上湖北期中)下列图形中，是中心对称图形的是() D (26-27九年级上广东深圳开学考试)如图，在平面直角坐标系中，每个小方格的边长均为1个单位长 度，△ABC的三个顶点的坐标分别为 A(-3,5),B(-4,1),C(-1,2) 6 3 2 6543-2-10 123456x 2 (I)将△ABC向右平移6个单位长度得到△4BG,请画出△4BG: 4/31 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 4BG关于原点0中心对称的 0 A,B2C2 (2)请画出 (B)若△1BC绕某点旋转得 △A,B2C2 则旋转中心的坐标为一： (4)若存在点D使得以ABCD为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点D的坐标： 研题型 高频题型突破 题型1利用旋转的性质求角的度数 ■例1(26-27九年级上·陕西西安开学考试)如图，△ABC按顺时针方向旋转一个角后成为△ADE,己 知∠B=93°，∠AED=48°，则旋转角等于一°。 B 解题要点 抓旋转用与对应点：转前后图形全等，对应点到转中心距高相等，对应点与转中心连线的夹 等手旋专角。班成旋专中心、应点，所定旋专角 2.用企等与等腰转化：由旋转得应边 立角相等，可构造等腰三角形。利用等边对等角、三 角形内角和及外角性质，将已角逐步转化，求出目标角度。注意旋转方向 I迁移练1-1(25-26八年级下·河南南阳期末)如图，口ABCD绕点A逆时针旋转20°，得到口AB'CD' (点B、C'、D'分别是点B、C、D的对应点)，点B恰好落在BC边上，则∠C的度数为 5/31 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ■迁移练1-2(25-26七年级下·福建泉州期末)如图，将△ABC绕点A顺时针旋转得到△ADE,当点E在 BC边上时，连接BD,若∠ABC=25°，DE平分∠ADB,则∠ADB的度数为一 D I迁移练1-3(25-26七年级下·上海期末)如图，在△ABC中，∠A=65°，∠C=73°，将△ABC绕点A旋 转得到△ADE,点B、C对应点分别为D、E,线段AD交边BC于点F.连接BD、CE,如果△BDF是 等腰三角形，那么∠CED的度数是 C 题型2利用旋转的性质求线段长度 例2(26-27九年级上福建福州开学考试)如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=5,BC=12,点 M是边AC的中点.将△ABC绕着点A逆时针旋转到△ADE的位置，点D恰好在边AC上，点M'是点M 的对应点，则M、M'两点间的距离为_ E M D 6/31 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 解题要点 找对应边相等：旋转前后图形企等，对应边相等、对应角相等。无确定旋转中心与对应点，把所求 线段转化为与官相等的对应线段，或转化到已期三角形中求解。 2构造直角三角形：由定转角可得对应点与旋转中心连线夹角，常产生等腰三角形或直角。利用阿股 全等或相似建立方程求线段长。注意旋转方向与度，必要时分类时论。 ■迁移练2-1(26-27九年级上江苏南京·开学考试)如图，将矩形ABCD绕点C顺时针旋转90°得到矩形 AB'CD',E、F分别是BD、B'D'的中点，若AB=lCm,BC=7cm,则EF的长为 cm」 B 迁移练22(26-27九年级上·四川达州开学考试)如图，等边△ABC中.BC=2V3,点D为BC边中点， 点P为AC边上一点，且AP=l,将AP绕点A在平面内旋转，连接DP,CP,若△PDC为直角三角形， 则CP的值为， B 迁移练2-3(25-26八年级下·云南昭通阶段检测)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=12, BC= ,D为斜边MB的中点，线段BD绕点D逆时针旋转 (0<a<180) 度后，点B的对应点为点P,连 接AP,CP,在旋转过程中，当△ACP为等腰三角形时，CP的长是 7/31 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 题型3求点旋转后的坐标 1例3(26,27人年级上全国期中)如图，将4MBC绕点C0,-2）旋转180°得到△BC,若点4的坐 标为65)，则点4的坐标为 ○ 解题要点 绕原点旋转公式：点P《x,y)绕原点逆时针旋转以角，对应点坐标为（©0se s与0sC)。特殊角(90°、180°、270°)可直接用坐标符号规律：逆时针90为(y,8),1S0为 -X. y),270°为y.-。 2. 绕非原点底转：先平移使旋转中心到原点，按公式变换后，再平移国原位置。注意庭转方向（顺时 角取负)与角年单位，结果需险图形全等性 ■迁移练3-1(25-26八年级下·河南洛阳·期末)如图，正方形OABC的边OA和OC都在坐标轴上，将正 方形OABC绕点O旋转到OAB'C',这时点A的坐标 为23)，则点B的坐标为 8/31 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B B ■迁移练3-2(25-26八年级下山东潍坊阶段检测)如图，直线y=:+V3与x轴，y轴分别交于A、B 两点，∠OAB=60°，把△AOB绕点A顺时针旋转后得到△AOB'(点B在x轴正半轴上)，则点O的坐标 是 B' 迁移练3-3(25-26八年级下·陕西安康期末)如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=2x-1的图象分 别交x轴、y轴于点A,B,将直线AB绕点B按顺时针方向旋转45°，交x轴于点C,则点C的坐标是 题型4利用旋转的性质求面积 I例4(25-26九年级上四川成都期末)如图，在正方形ABCD中，O为对角线AC的中点.正方形 OA'B'C'在绕点O旋转的过程中，边OA'与AB交于点E(不与点A,B重合)，边OC'与BC交于点F.若 AD=5,则四边形BEOF的面积为 9/31 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D B 解题要点 旋转不改变图形面积：症转前后图形全等，面积相等。可将不机则或准求的图形烧某点庞转，拼接 或转化为规则图形（知三角形、矩形、扇形）再求画积。 2分副与割补结合：若旋转后与原图有重叠，用剧补法将明影部分面积传化为规则图形面积的和或 合勾股定理求边长，扇形面积用360。注意旋转角与对应边 迁移练41(25-26九年级上：四川自贡期中)将直角边长为4W3cm的等腰直角△ABC绕点A逆时针旋 转15°后，得到△ABC”,则图中阴影部分的面积是 cm2 ■迁移练42(25-26九年级上·河南信阳·阶段检测)如图，正方形ABCD的边长为2，将其绕顶点C按逆 时针方向旋转一定角度到如图所示的位置，使得点B落在对角线C℉上，则阴影部分的面积是 ■迁移练4-3(25-26九年级下·湖南长沙阶段检测)已知：如图，四边形ABCD是边长为1的正方形，对 10/31 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 角线ACBD相交于点O.过点O作一直角∠MON,直角边OM、ON分别与OAOB重合，然后逆时针 旋转∠MON, 旋转角为 (0°<0<90)，OM、ON分别交AB、BC于R、F两点，连接EF交OB于点G, 则在旋转过程中，当△BEF的面积最大时，AE= D (P) E B 题型5找旋转中心、旋转角、对应点 I例5(25-26九年级上云南昭通期末)如图，点P是正方形ABCD内一点，连接PA,PB,PC,将 △ABP绕点B顺时针旋转到△CBP'.连接PP,若A、P、P'在一条直线上. (1)旋转中心是点 旋转角的度数是 (2)∠BP'C的度数是 (3)若PA=1,PB=2,求PC的长 解题要点 找转中心：旋转中心到对应点距离相等，放在两组对应点连线的垂直平分线交点处。若已知一组 对应点，旋转中心在连线垂直平分线上：两组即可定交点 2我旋传角与对应点：对应点与旋转中心连发的夹角即为旋转角，方同分顺逆时针。对应后通过“旋 转心十旋转角十对应线段相等”确定，注意全等关系与字母顺序，旋转角相等是核心， 迁移练51(25-26七年级下河南南阳期末)如图所示，己知Rt△4BC,∠ABC=90°，△ABC顺时针旋 11/31 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 转后与△DBE重合. B (1)旋转中心是哪一点？-： (2)旋转了多少度？-： (3)线段AC与线段DE有什么位置关系？请说明. ■迁移练5-2(25-26九年级下·河南安阳阶段检测)如图，E是正方形ABCD的边AD上的一点，将 △ABE逆时针旋转至△CBF的位置， C (1)旋转中心是点_，旋转角的度数为_· (2)若正方形的边长为3，AE=1,求EF的长 ■迁移练5-3(25-26九年级上·湖北武汉阶段检测)如图，△ABC是等边三角形，将△ABM旋转一定角 度后得到aCBN,连接MN,CM ()旋转中心是，旋转方向是_（填顺时针或逆时针），旋转角度为_（取最小旋转角度）： (2)若∠AMB=150°，求∠MNC的度数： 12/31 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 题型6识别中心对称图形 ■例6(26-27九年级上·天津期中)下列图案中，是中心对称图形的是() 解题要点 经点旋转180°验正：将图形绕某一点旋转180°，若能与原图形完全重合，则是中心对称图形，该点 为对称中心。常见的有平行四边形、回、线段等。 2找对应点连线过中心：中心对你图形中，对应点连线都经过对你中心旦被其平分。断时找关健点 看是否存在一点使各应点连均被该点平分。注意写对称圆形的区别。 ■迁移练6-1(26-27九年级上·天津·期中)下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是( D ■迁移练62(26-27九年级上·天津·期中)下列四个图形中，是中心对称图形的是( 迁移练63(26-27九年级上全国期中)下列四个图形中，中心对称图形是( B T c. 13/31 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 题型7中心对称的性质求解 I例7(26-27九年级上云南期中)如图，△ABC与△4B'C'关于点0成中心对称，则下列结论不成立 的是() A.点C与点C是对称点 B.O4=04' C.∠ACB=∠C'AB D. BCIB'C" 解题要点 对称点坐标关系：点P(，y)关于原点对称的点为(-。y)关于点(a,b)对称的点为(2 ,2b了)。利用此关系可求对称点坐标或参数值。 2 对应线段与面积：中心对称的两个图形全等，对应边相等且平行（或在同一直线上），对应角相等 面积相等。常结合中点坐标公式、平行四边形性质行线段与角度转化。注意对称中心是连接对应点 迁移练7-1(25-26八年级下·河北唐山期末)如图所示，△ABC与△4B"C'关于点0成中心对称，则下 列结论成立的是() ①点A与点A'关于点O对称；②BO=BO;③ACI‖AC':④∠ABC=∠CAB B' A.②③ B.①②③ C.①③④ D.①②④ 14/31 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 ■迁移练7-2(25-26九年级上·广西钦州期中)如图，△ABC绕点O旋转180°得到△DEF,下列说法错误 的是() A B D A.AB∥DE B.点B和点E关于点O对称 C.CE=BF D.△ABC与△DEF关于点B成中心对称 ■迁移练7-3(25-26八年级上全国单元测试)如图，已知△ABC与△CDA关于点O成中心对称，过点O 任作直线 ,分别交4D.C于.P,下面的结论：0点5和点F,点和D分别关于点0欣 EF 中心对称 直线BD必经过点O,园四边形1BCD是中心对称图形，④四边 0③ ④ DEOC与四边 BFOA的 面积必相等；⑤△AOE与△COF成中心对称.其中正确的个数为() B A.2 B.3 C.4 D.5 题型8关于原点对称点的坐标 】例8(26-27九年级上·福建莆田阶段检测)己知点 (2,3) 那么点P关于原点的对称点的坐标是 15/31 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 解题要点 坐标符号规律：点卫家，)关于原点对称的点坐标为(，了)，即横、纵坐标都变为相反数。 记忆口决：“关于原点，双双变号” 2与轴对称区分：关于区轴对称是（区，少）， 只有关于原点村称是两坐标 醒题计先确定对称兆型，再套用对应规， 参数计程求解， -84) ■迁移练8-1(25-26九年级上陕西西安·期中)已知点 (mm)关于原点的对称点B的坐标是 .则 m-n的值为. Ⅱ迁移练82(25-26八年级下·四川达州阶段检测)已 M(a,-3)知N(4,)关于原点对称，则 和 (a+b)226= ■迁移练8-3(25-26八年级下·浙江宁波期末)若二次函数4=x-4x+5与=(x-m)'+n的图象关于 坐标原点中心对称，则m+n的值为. 题型9平面直角坐标系中的旋转变换 例9(26-27九年级上·江西九江·阶段检测)如图，在平面直角坐标系中，小正方形边长均为1个单位 长度，△ABC和△DEF的顶点均在格点（网格线的交点）上. 4 3 2 5-4-3-2-19 12 45x 2 -4 (I)若△ABC和△DEF关于点P中心对称，则点P的坐标为 (2)作△ABC关于点O的中心对称图形△AB'C'. 16/31 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 8)在（②）的条件下，若M(a)为△4BC边上的一点，N为点M的对称点，直接写出点N的坐标 解题要点 绕原点旋转的坐标规律：逆时针旋转90°为(y,x),180为(x,y),270为(y,X；顺时 件则角度取负。一般角用旋转公式(cosu-ysino,运ic+ycos)。 2绕非原点旋转的处理：先将旋转中心平移到原点，按公武变换后再平移回去。作图时先找关键点 旋转后描点连线。注意旋转方向、角度单位，保持图形企等。含参数时列方程求解。 ■迁移练9-1(25-26八年级下·辽宁·期末)如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点分别为 A-1,4),B(-4,2),C(-3,5)（每个方格的边长均为1个单位长度)· (1)若△ABC和△ABC关于原点O成中心对称，请画出△ABG: (②将△MBC绕点0逆时针旋转90°得到 4，B2 2,请画出 △ABC2 )将448C进行平移得到△4BG,若点4的坐标为4.2刃，则点的坐标为。 (④)若以A,B,C,D为顶点的四边形是平行四边形，请写出满足条件的所有点D的坐标 ■迁移练9-2(25-26八年级下·河南郑州期末)如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方 形，在建立平面直角坐标系后，△ABC的顶点均在格点上，点A的坐标为 1,1) 17/31 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (1)试作出△ABC以C为旋转中心，沿顺时针方向旋转90°后的图形△4BC; (2)以原点O为对称中心，画出△ABC关于原点O对称 △A,B2C2 并写出点的坐标 B. 1 (3)请在x轴上找一点D得到。ACBD,则点D的坐标为 若直线y= 2x+b平分。ACBD的面积， 则b= I迁移练93(25-26八年级下四川成都期末)如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点的坐 A(-3,5),B(-2,1),C(-1,3) 标分别为 记知点S的坐标为40)，面出△M8C经过平移后得到的△44S，与出顶点4的坐标 (2)若△ABC △A,B2C2 6 和 关于原点O成中心对称，不画图直接写出顶点的坐标： 18/31 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 3)画出41BC 90° △A,B,C3 点O按顺时针方向旋转 得到的 破难点方法聚焦透析 难点一求绕某点（非原点）旋转90°点的坐标 难点1：旋转中心的平移化归 非原点旋转需先将旋转中心平移至原点，将原坐标转换为相对坐标，旋转90°后再平移回原坐标系。难点 在于平移量的正负号处理，学生易直接套用原点旋转公式而忽略中心偏移，导致坐标整体错位。 难点2：旋转方向与坐标变换的匹配 顺时针与逆时针旋转90对应不同的坐标交换规则（如逆时针（区，y)→(y,x)。难点在于根据题意判断旋转 方向，并结合点所在象限验证结果合理性，若方向判断反了则坐标符号全错。 口难点精练 1,(25-26九年级上湖北荆门阶段检测)如图，直线y=-2x+2与x轴、y轴分别相交于点A,B，将 △AOB绕点B顺时针方向旋转90°得到△BCD,则点D的坐标为 2.(25-26八年级上江苏南京·期末)如图，在平面直角坐标系中，已知点 (-3,1)B(-2,4)C(1,) D(4,0) 若线段CD绕点P旋转后能与线段AB重合(C对应A,D对应B),则点P的坐标为 19/31 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D 3.(25-26九年级上河南周口期中)如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为1，△ABC的三个顶点 均在格点上，现将△ABC绕点B按逆时针方向旋转90°，则A点旋转后的坐标是 难点二坐标与旋转规律问题 难点1：旋转角度与周期定位 图形绕定点旋转时，每转固定角度对应坐标规律变化。难点在于计算旋转次数与360°的周期关系，用取余 法确定点最终落在哪个象限或坐标轴上，若周期计算偏差则位置全错。 难点2：正反旋转的符号对称 顺时针与逆时针旋转同一角度，坐标变换符号相反。难点在于根据旋转方向正确选择坐标交换与变号规则， 并兼顾旋转中心是否在原点。学生易忽略方向差异，导致纵坐标或横坐标符号写反。 口难点精练 1.(25-26八年级下山东菏泽期末)如图，在平面直角坐标系中，O是原点，点A在x轴正半轴上， △OA 是等腰三角形，O1=B=6,点B到轴的距离为4.将△01B绕点O顺时针旋转0°得到 △OAB △OAB △OAB 再将 绕点0顺时针旋转90°得到△0 0 B2026 2,如此循环下去，则点的坐标为 20/31 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2。(25-26七年级下贵州黔南期末)如图，在平面直角坐标系中，将△1B0 沿x轴向右滚动到 ABC的 (3,0)B(0,4) 位置，再 △4BC的位置…依次进行下去，若己知点 则点”的坐标为 B 3. (2026河南周口·二模)》如图，在平面直角坐标系中，正方形0ABC的顶点A的坐标为 2,0) 将正方 OABC 绕原点0逆时针旋转45°，得到正方 OABC OABC ；再将正方形 45° 形 绕原点O逆时针旋转，得 OAB2C2 到正方形 ；依此类推，连续旋转2026次后得到正方形 046B2m6Cw26,则 B2的的坐标为 B 难点三旋转综合题一几何变换 难点1：旋转全等的动态构造 旋转前后图形全等，对应边角相等。难点在于从复合图形中准确找出旋转中心、对应点及旋转角，并利用 21/31 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 全等建立等量关系。若对应关系错配，则后续推导方向偏离。 难点2：多步变换的叠加与还原 题目常将旋转与平移、翻折、位似叠加。难点在于分清各变换的先后顺序及对坐标或图形的影响，判断最 终状态是否可逆。学生易混淆变换效果，导致坐标或角度叠加计算错误。 一难点精练 1.(25-26八年级下·陕西汉中·期末)【探究发现】 B 图1 图2 (I)如图1，∠EOF的顶点O在正方形ABCD两条对角线AC、BD的交点处，∠EOF=90°，将∠EOF绕点 O旋转，在旋转过程中，∠EOF的两边分别与正方形ABCD的边BC和边CD交于点E和点F(点F与点 C,D不重合)，猜想线段CE,CF,BC之间满足什么数量关系，并说明理由： 【类比应用】 (2)如图2，若将(1)中的“正方形ABCD”改为“∠BCD=120°的菱形ABCD”,∠EOF=60°，其他条 件不变，(1)中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请猜想结论并说明理由 2.(2026九年级上·全国·专题练习)如图，菱形纸片ABCD中，∠B=40°，将菱形沿AC剪开，△ABC不 动，△ACD绕点A逆时针旋转a度(0°<ax<18O°)得到△AC"D',其中点C与点C对应. D (图1) (图2) (图3) (1)如图1，当a<90°时，BC、DC的延长线交于点E. ①用a表示∠CEC'的度数； ②如图2，当a=70°时，求证：四边形ACEC'是菱形： (2)如图3，连接BD'、CC,当a=°时，BD'=CC”. 22/31 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 3.(25-26九年级上·陕西安康期中)综合与实践：在数学兴趣小组活动中，小明进行数学探究活动，将 边长为“的正方形1BCD与边长为6的正方形4BF 按如图1所示的位置放置， AD与AE在同一条直 线上，AB与AG在同一条直线上.连接DG,BE,易得DG=BE且DG⊥BE(不需要说明理由). G 图1 图2 图3 图4 )如图2，小明将正方形M8CD绕点4逆时针旋转，旋转角为(5<a<16S） ①连接DG,BE,判断DG与BE之间的数量关系和位置关系，并说明理由： ②在旋转过程中，如图3，连接BG,GE,ED,DB,求四边形BGED面积的最大值 (2)如图4，分别取BG,GE,ED,DB的中点M,N,P,D,连接MN,NP,P№，M,则四边形 MNPO MNPO 的形状为一，四边形 面积的最大值是 验成果 综合达标检测 基础达标 一、单选题 1.(25-26八年级下四川达州阶段检测)以下是回收、绿色包装、节水、低碳四个标志，其中是中心对 称图形的是() D 23/31 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2.(26-27九年级上云南期中)如图.将△ABC纸片绕点C顺时针旋转40°得到△4B'C,连接AA,若 AC⊥B,则∠CA'B的度数为( B B A.20° B.40° C.50° D.60° 3.(第二十八章旋转高效同步练习282.3关于原点对称的点的坐标)如图，在平面直角坐标系中， △1BC的顶点4在第一象限，点B,C的坐标分别为2，(61），4C=0,AB=AC,直线B交y 轴于点P,若△ABC与△AB'C'关于点P成中心对称，则点A关于原点对称的点的坐标为() A.（4,-5) B.（5,4) c.(4,5) D.(4,3) 4.(25-26七年级下·河北张家口期末)如图，有两个边长为2的正方形，其中正方形EFGH的顶点E与 正方形ABCD的中心重合，在正方形EFGH绕点E旋转的过程中，下列结论正确的个数为() D W E G ①EM=EW ②四边形EMCN的面积不变，始终为1 ③CN+CM=2④四边形EMCN的周长不变，始终为3 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 24/31 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 二、填空题 5.(25-26八年级下·宁夏银川期末)如图在网格中，△AB'C”由△ABC旋转得到，其旋转中心是 B 6.(25-26八年级下·四川成都期末)如图，将△ABC绕点A顺时针旋转至△ADE的位置，点B恰好落在 边DE上.若∠ABC=60°，AB=2,则DB= 7.(25-26七年级下·吉林长春期末)如图，在直角三角形ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，将 △ABC绕点A逆时针旋转得到△ADE,点E落在AB上，延长DE交BC于点F.给出下面四个结论：① △ABC≌△ADE:②DF<BC+EF;③∠DFB=∠DAB;④若BC=2,AB=4,连接BD,则△ADB的面 积是4.上述结论中，正确结论的序号有 B 8. (25-26八年级下·河南郑州期末)如图，在等边三角形ABC中，点D为BC的中点，点P为线段AD 上不与端点重合的一个动点，将线段BP绕点B顺时针旋转60得到线段B0,连接C卫，D0.若AB=12, 则当△CDQ为直角三角形时，AP的长为 25/31 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B D 三、解答题 9.(25-26八年级下·浙江台州期末)如图，在△ABC中，∠C=90°，将△ABC绕点A按顺时针方向旋转 25°得到△ADE,且AD‖BC. D B (1)求∠B的度数： (2)求∠DAE的度数. 10.(25-26八年级下·辽宁沈阳·期末)如图，在边长为1的正方形网格中，△ABC的顶点均在格点上 B (1)画出把△MB 向下平移4个单位长度后得到 △MBGA、B、C的对应点分别为 C) ②通△M0C关于原点O成中心对称的人4，GA,及，C的对应点分别为4、B (3)画出△AB C绕点4逆时针旋转90°后得到的 AB,C (1B、C的对应点分别为4、B、G) 11.(25-26八年级下·山东青岛期末)如图1，将两个完全相同的三角形纸片ABC和DEC重合放置，其 中，∠C=90°，∠B=∠E=30°」 26/31 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B(E) D D A(D E 图1 图2 图3 【操作发现】 如图2，固定△ABC,使△DEC绕点C旋转.当点D恰好落在AB边上时： (I)线段DE与AC的位置关系是 (2)设△BDC S△AEC 的面积为， 的面积为8，则8与8的数量关系是 【拓展探究】 3)已知∠ABC=60°，点D是其角平分线上一点，BD=CD=4,DE∥AB交BC于点E(如图3)，若在 射线BM上存在点F,使 .m=S,c,则BF的长为 12.(25-26八年级下·湖北武汉·期末)在菱形ABCD中，AB=4,∠ABC=Q°，点P是边BC上的一个动 点（不与端点重合），将线段AP绕点P顺时针旋转a°(0<a<180,即∠APE=a°，AP=EP)得到线 段EP D G E B D 图1 图2 (I)当a=90时，如图1，过点E作EF⊥BC交BC延长线于点F. ①求证：△PEF≌△APB； ②连BD,交线段AE于点G,求证：点G是AE的中点. (2)当a=l20时，点O是CD边上的一个动点，F是C9延长线上一点，连接CE、EQ、EF,若E0=AB FO=CE ,直接写出BF的最大值。 27/31 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 能力进阶 一、 单选题 1.(25-26八年级下·重庆荣昌期末)如图，正方形ABCD中，AD=2,点E是CD的中点，连接AE,将 AE绕点E的逆时针旋转9O°得到线段FE,连接BF并延长交DC延长线于点G,连接DF,则DF长为 D G B A.3 B.3.5 C.0 2.(天津市汉阳道中学2025-2026学年八年级下学期7月期末数学试题)如图，在平面直角坐标系中，矩 形ABCD的顶点A在第一象限，点B,D在y轴上，AB交x轴于点E,AF⊥x轴，垂足为F,若 OB=3AF,OF=4 ,则以下结论不正确的是() D B A.AE平分∠OAF B BD=62 Q.点C的坐标为4-刂 ABCD D.矩形 的面积为242 28/31 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 二、填空题 3.(25-26八年级下·山东聊城期末)将△AB0按如图方式放在平面直角坐标系中，其中∠OBA=90°， ∠A=30°，顶点A的坐标为 1,3） 将△AB0绕原点逆时针旋转，每次旋转60°，则第2026次旋转结束时， 点A对应点的坐标为. 4.(25-26八年级下山东菏泽·期末)如图，D为等边三角形ABC内的一点，DA=5,DB=4,DC=3, 将线段AD以点A为旋转中心逆时针旋转6O°得到线段AD'.下列结论：①△ACD'可以由△ABD绕点A逆 时针旋转60°得到：②∠ADC=150°；③点D到CD的距离为3：④直线BD与直线CD'相交所形成的锐角 是60°：回S边=6+、3.其中正确的是 (只填序号). 三、解答题 5.(25-26八年级下·广东梅州期末)如图，在△ABC中，AB=AC,点D是BC边上一点（不与点B,C 重合)，将△ADC绕着点A顺时针旋转至△AEB的位置，连接BE、DE.设∠BAC=a,∠DBE=B B D (I)探究：当点D在BC边上移动时，Q、P之间有怎样的数量关系： 29/31 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)若AC∥EB,求证：△ABC为等边三角形. 6.(25-26八年级下·山东聊城期末)解决下列问题： D 图1 图2 (I)如图1，P是等边三角形ABC内一点，PA=4,PB=3,PC=5,求∠APB的度数. 解：将△BPC绕点B按逆时针方向旋转6O°到△BPA的位置， 连接PP',则△BPP是 一三角形. 所以PP'=PB=3 因为AP=4,AP=CP=5,所以PP2+AP2=AP2, 所以△PAP'为直角三角形，所以∠APB的度数为 (2)如图2，在正方形ABCD内部有一点P,连接PA,PB,PC,若PA=2,PB=4,∠APB=13S°，求 PC的长 7.(25-26八年级下·福建泉州期末)如图1，将矩形ABCD绕点A按逆时针方向旋转得到矩形AEFG, 使得点E落在CD上，连接BE. H B 图1 图2 图3 (I)求证：∠BAE=2∠CBE, (2)如图2，连接BG交AE于点H,如果AB=5,BC=3,求BG的长. (3)如图3，连接BG交AE于点H,取BE的中点I,连接HⅢ，AF,探究HⅢ和AF的数量关系，说明理由： 8.(25-26八年级下浙江衢州期末)如图1，在口ABCD中，连接AC.已知AB=2,AC=BC=3 30/31 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A D 0 B 图1 图2 备用图 (1)求对边AD,BC间的距离CG; (2)如图2，线段AC绕中点O顺时针旋转，得到线段EF,顺次连接A,E,C,F,且CE交边AD于点 H,AF交边BC于点K. ①求证：四边形AECF是矩形： ②当四边形AHCK为菱形时，求菱形的面积. 31/31 第二十八章 旋转 复习要点 1. 理解图形旋转的定义，掌握旋转中心、旋转方向、旋转角三大要素，能准确描述一个旋转运动。 2. 掌握旋转的核心性质：对应点到旋转中心距离相等；对应点与旋转中心连线夹角等于旋转角；旋转前后图形全等（对应边、对应角相等）。 3. 理解中心对称是旋转角为180°的特殊情形，能区分“中心对称（两个图形）”与“中心对称图形（一个图形）”的概念与性质。 4. 掌握关于原点对称的点的坐标规律（横纵坐标均互为相反数），能利用该规律解决坐标问题与作图。 5. 掌握简单的旋转作图方法，理解旋转作图的依据是旋转性质，能按要求画出旋转后的图形。 复习重难点 重点：旋转的定义、三要素与三大核心性质，以及中心对称的概念与关于原点对称的坐标规律。 难点：准确判定旋转角，理解旋转前后图形的对应关系；区分中心对称与中心对称图形；灵活运用旋转性质解决几何计算与证明问题。 知识点 图形的旋转 1.旋转的定义 在平面内，把一个平面图形绕着平面内某一点O转动一个角度，就叫做图形的旋转，点O叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角。 我们把旋转中心、旋转角度、旋转方向称为旋转的三要素。 2.旋转的性质 旋转的特征：（1）对应点到旋转中心的距离相等；（2）对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；（3）旋转前后的图形全等。 理解以下几点： （1） 图形中的每一个点都绕旋转中心旋转了同样大小的角度。（2）对应点到旋转中心的距离相等，对应线段相等，对应角相等。（3）图形的大小与形状都没有发生改变，只改变了图形的位置。 3.利用旋转性质作图 旋转有两条重要性质：（1）任意一对对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；（2）对应点到旋转中心的距离相等，它就是利用旋转的性质作图的关键。步骤可分为： ①连：即连接图形中每一个关键点与旋转中心； ②转：即把直线按要求绕旋转中心转过一定角度（作旋转角） ③截：即在角的另一边上截取关键点到旋转中心的距离，的到各点的对应点； ④接：即连接到所连接的各点。 要点速测 1．（25-26八年级下·北京·期末）如图，矩形绕点逆时针旋转得到矩形，连接交于点，为的中点，连接交于点，连接，．给出下面四个结论：①；②；③；④．上述结论中，所有正确结论的序号是（     ） A．①②③④ B．①②④ C．②③④ D．①③ 【答案】B 【分析】连接，根据旋转性质可以确定，根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半即可得出结论①；根据旋转性质证明从而得出结论②；证明，通过勾股定理从而得出结论③；延长交于点H，通过平行线的判定与性质即可证明结论④． 【详解】解：如图，连接， 矩形绕点D逆时针旋转得到矩形， ， F为的中点， ，故①正确； 矩形绕点D逆时针旋转得到矩形， ， ， ， ， F为的中点， ， ， ， ， 又， ， ，故②正确； ， ， ， 为等腰直角三角形， ，故③错误； 如图，延长交于点H， ， ， ， ，即， ， ， ，故④正确， 综上，正确的是①②④. 2．（26-27九年级上·四川达州·开学考试）在菱形中，，点E是边上一点，连接，将线段绕点E顺时针旋转α得到线段，连接． (1)如图1，，求的度数； (2)如图2，，求的度数（含α的代数式表示）； (3)如图3，，，点M是边上一动点，连接，若，N是延长线上一点，且，连接，请直接写出的最大值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）过点F作，交延长线于点G，先证出，根据全等三角形的性质可得，，从而可得，再根据等腰三角形的性质可得，由此即可得； （2）延长到点G，使，连接FG，先根据菱形的性质、平行线的性质可得，再证出，根据全等三角形的性质可得，，然后根据等腰三角形的性质可得，由此即可得； （3）由（2）知当时，，过点N作于点N，且使，连接PM，构造出，得出，，再得出，取中点H，连接，，得出，，由两点之间线段最短得，即可求解． 【详解】（1）解：如图，过点F作，交延长线于点G， 在菱形中，， 四边形是正方形，， ，， 由旋转的性质得，， ， ， 在和中， ， ，， ， ， 即， ， ， 又， ； （2）解：如图，延长到点G，使，连接， 四边形是菱形，， ，，， ， ， ， 即， ， 由旋转的性质得，， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ； （3）解：由（2）知当时，， 如图，过点N作于点N，且使，连接PM， ， 又，， ， ，， ，， ， ， ， ， ， 取中点H，连接，， ，， ， ， 由两点之间线段最短得，且当N、H、F共线时， 取得最大值为． 知识点 中心对称 1.中心对称的定义 中心对称：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心。 注意以下几点： 中心对称指的就是两个图形的位置关系；只有一个对称中心；绕对称中心旋转180°两个图形能够完全重合。 2.作一个图形关于某点对称的图形 要作出一个图形关于某一点的成中心对称的图形，关键就是作出该图形上关键点关于对称中心的对称点。最后将对称点按照原图形的形状连接起来，即可的出成中心对称图形。 3.中心对称的性质 有以下几点： （1）关于中心对称的两个图形上的对应点的连线都经过对称中心，并且都被对称中心平分； （2）关于中心对称的两个图形能够互相重合，就是全等形； （3）关于中心对称的两个图形，对应线段平行（或共线）且相等。 4.中心对称图形的定义 把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就就是它的对称中心。 5.关于原点对称的点的坐标 在平面直角坐标系中，如果两个点关于原点对称，它们的坐标符号相反，即点p（x,y）关于原点对称点为（-x,-y）。 要点速测 3．（26-27九年级上·湖北·期中）下列图形中，是中心对称图形的是(     ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形．据此逐项判断即可． 【详解】解：A、它是中心对称图形，故本选项符合题意； B、它不是中心对称图形，故本选项不符合题意； C、它不是中心对称图形，故本选项不符合题意； D、它不是中心对称图形，故本选项不符合题意． 4．（26-27九年级上·广东深圳·开学考试）如图，在平面直角坐标系中，每个小方格的边长均为个单位长度，的三个顶点的坐标分别为． (1)将向右平移个单位长度得到，请画出； (2)请画出关于原点中心对称的； (3)若绕某点旋转得到，则旋转中心的坐标为______； (4)若存在点使得以为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点的坐标：______． 【答案】(1) (2) (3) (4)，， 【分析】（1）根据平移的性质作图即可； （2）根据中心对称的性质作图即可； （3）连接，，，相交于点，则点即为旋转中心； （4）结合平行四边形的性质确定点的坐标，以，，作为对角线分别讨论． 【详解】（1）解：将，，分别向右平移个单位，得到，，，连接三点即可画出； （2）解：关于原点中心对称的点，横纵坐标均为相反数，因此的对称点为，的对称点为，的对称点为，连接，，，即可画出； （3）解：如图，连接，，，相交于点，则旋转中心点的坐标为． （4）解：以为顶点的平行四边形有三种情况，分别以，，作为对角线进行讨论．由于平行四边形的对角线互相平分，其中三个点坐标已知，所以可以先求出平行四边形其中一条对角线的中点，再依据中点公式，代入另一条对角线上某点，求出该条对角线上的另一点． 当为对角线时，的中点为，也是的中点，由于点，所以点为； 当为对角线时，的中点为，也是的中点，由于点，所以点为； 当为对角线时，的中点为，也是的中点，由于点，所以点为． 题型1 利用旋转的性质求角的度数 ▌例1 （26-27九年级上·陕西西安·开学考试）如图，按顺时针方向旋转一个角后成为，已知，，则旋转角等于______． 【答案】39 【分析】根据旋转性质得，旋转角为，再根据三角形的内角和定理求解即可． 【详解】解：∵按顺时针方向旋转一个角后成为，， ∴，旋转角为， ∵， ∴， 故旋转角等于． 解题要点 1. 抓旋转角与对应点：旋转前后图形全等，对应点到旋转中心距离相等，对应点与旋转中心连线的夹角等于旋转角。先找准旋转中心、对应点，确定旋转角。 2. 用全等与等腰转化：由旋转得对应边相等、对应角相等，可构造等腰三角形。利用等边对等角、三角形内角和及外角性质，将已知角逐步转化，求出目标角度。注意旋转方向。 ▌迁移练1-1 （25-26八年级下·河南南阳·期末）如图，绕点逆时针旋转，得到（点、、分别是点、、的对应点），点恰好落在边上，则的度数为_________． 【答案】 【分析】根据旋转的性质、等边对等角、平行四边形的性质、平行线的性质，以及三角形内角和定理，进行解答即可． 【详解】解：由旋转得，，，， 又点恰好落在边上， 为等腰三角形， ， ． 四边形为平行四边形， ， ， ． ▌迁移练1-2 （25-26七年级下·福建泉州·期末）如图，将绕点顺时针旋转得到，当点在边上时，连接，若，平分，则的度数为______． 【答案】 【分析】根据三角形旋转可知旋转后图形的大小、形状不变，再利用角平分线定义计算即可． 【详解】解:∵绕点顺时针旋转得到 ∴和大小、形状相等 ∴ ∵平分 ∴ ∴ ∵ ∴ ∴． ▌迁移练1-3 （25-26七年级下·上海·期末）如图，在中，，，将绕点旋转得到，点、对应点分别为、，线段交边于点．连接、，如果是等腰三角形，那么的度数是________． 【答案】 或 【分析】根据旋转性质可得，，，，设旋转角，用表示的三个内角，分类讨论为等腰三角形的情况求出，进而求出，利用求解即可. 【详解】解：在中，，， ， 将绕点旋转得到， ，，，，， 设旋转角，则， ， ， 线段交边于点， ，且点在线段上， ， ， 在中，，， 是等腰三角形， 分三种情况讨论： 当时，， 则，解得， ②当时，， 则，解得； ③当时，， 则，无解， ，， ， ， ，射线在内部 ， ， 当时，， 当时，； 综上所述，的度数是或. 题型2 利用旋转的性质求线段长度 ▌例2 （26-27九年级上·福建福州·开学考试）如图，在中，，，，点是边的中点．将绕着点逆时针旋转到的位置，点恰好在边上，点是点的对应点，则、两点间的距离为________． 【答案】 【分析】连接，根据旋转可知，可求，的长，在中，由勾股定理可求长，再根据中位线定理可求，即、两点间的距离． 【详解】解：连接， 在中，，，， ， 根据旋转可得， ，，， ，， 在中，，，， ， 点是边的中点， 点是边的中点， ， 即、两点间的距离为． 解题要点 1. 找对应边相等：旋转前后图形全等，对应边相等、对应角相等。先确定旋转中心与对应点，把所求线段转化为与它相等的对应线段，或转化到已知三角形中求解。 2. 构造直角三角形：由旋转角可得对应点与旋转中心连线夹角，常产生等腰三角形或直角。利用勾股定理、全等或相似建立方程求线段长。注意旋转方向与角度，必要时分类讨论。 ▌迁移练2-1 （26-27九年级上·江苏南京·开学考试）如图，将矩形绕点C顺时针旋转得到矩形，E、F分别是、的中点，若，，则的长为 _____ ． 【答案】5 【分析】连接，，根据矩形的性质可得，，然后在中，利用勾股定理求出的长，再利用直角三角形斜边上的中线可得，最后根据旋转的性质可得：，，从而利用等腰直角三角形的性质进行计算，即可解答． 【详解】解：连接，， ∵四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， ∵点E是的中点， ∴， 由旋转得：，， ∴． ▌迁移练2-2 （26-27九年级上·四川达州·开学考试）如图，等边中．，点D为边中点，点P为边上一点，且，将绕点A在平面内旋转，连接，，若为直角三角形，则的值为___________． 【答案】或 【分析】连接，首先根据等边三角形的性质得到，，，利用勾股定理求出，然后根据题意分两种情况讨论，分别利用勾股定理求解即可． 【详解】解：如图，连接， ∵是等边三角形，点D为边中点，， ∴，，， ∴， ∵为直角三角形， ∴当点P在线段上时，如图， ∴， ∴； 当点P在延长线上时，如图， ∴， ∴； 综上所述，的值为或． ▌迁移练2-3 （25-26八年级下·云南昭通·阶段检测）如图，在中，，，，D为斜边的中点，线段绕点D逆时针旋转度后，点B的对应点为点P，连接，，在旋转过程中，当为等腰三角形时，的长是________． 【答案】或或12 【分析】根据勾股定理、直角三角形斜边上的中线的性质、线段的垂直平分线的判定与性质、三角形的面积公式，结合分类讨论的思想，即可解答． 【详解】解：①当时，如图所示，连接，记与交点为， ，，，D为斜边的中点， ，． 由旋转得，， ． 又， 点、点在线段的垂直平分线上，即垂直平分， ，． ， ， ； ②当时，如图所示，连接，延长交于点， ，，，D为斜边的中点， ，． 由旋转得，． ，， 点、点在线段的垂直平分线上，即垂直平分， ，， ， ， ， ； ③当时，如图所示， ． 综上所述，的长为或或12． 题型3 求点旋转后的坐标 ▌例3 （26-27八年级上·全国·期中）如图，将绕点旋转得到，若点A的坐标为，则点的坐标为________． 【答案】 【分析】过点和作轴的垂线，垂足分别为和，证明即可求解． 【详解】解：过点和作轴的垂线，垂足分别为和，如图， 由旋转可知，， ∵轴，轴， ， 在和中， ， ， ， ∵点坐标为，点坐标为， ， ， ∴点的坐标为． 解题要点 1. 绕原点旋转公式：点P（x，y）绕原点逆时针旋转α角，对应点坐标为 （xcosα-ysinα，xsinα+ycosα）。特殊角（90°、180°、270°）可直接用坐标符号规律：逆时针90°为（-y，x），180°为（-x，-y），270°为（y，-x）。 2. 绕非原点旋转：先平移使旋转中心到原点，按公式变换后，再平移回原位置。注意旋转方向（顺时针角度取负）与角度单位，结果需检验图形全等性。 ▌迁移练3-1 （25-26八年级下·河南洛阳·期末）如图，正方形的边和都在坐标轴上，将正方形绕点旋转到，这时点的坐标为，则点的坐标为____________． 【答案】 【分析】过点作轴，延长，过点作于点D，证明，得出，，得出点的横坐标为，纵坐标为，从而得出答案． 【详解】解：过点作轴，延长，过点作于点D，如图所示： 则， ∵点的坐标为， ∴，， ∵四边形为正方形， ∴根据旋转可得：四边形为正方形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴点的横坐标为，纵坐标为， 即． ▌迁移练3-2 （25-26八年级下·山东潍坊·阶段检测）如图，直线与轴，轴分别交于、两点，，把绕点顺时针旋转后得到（点在轴正半轴上），则点的坐标是___________ 【答案】 【分析】先求出的长，再根据含度角的直角三角形性质及勾股定理求出的长，由旋转的性质得出的长及的度数，过点作轴的垂线，构造直角三角形求解即可． 【详解】解：令，则， ， ， 在中，，， ， ， 由勾股定理得，即， 解得， ， 由旋转的性质得：，， 点在轴正半轴上， 点在第一象限， 过点作轴于点， 在中，，， ， ， 由勾股定理得， ， 点的坐标是． ▌迁移练3-3 （25-26八年级下·陕西安康·期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别交轴、轴于点，．将直线绕点按顺时针方向旋转，交轴于点，则点的坐标是__________． 【答案】 【分析】根据已知条件得到，，过A作交于F，过F作轴于E，得到，根据全等三角形的性质得到，求得，设直线的函数表达式为：，进一步求解即可． 【详解】解：∵一次函数的图像分别交、轴于点、， 当，则， 当，则，解得：， ∴，， ∴，， 过A作交于F，过F作轴于E， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， 在和中 ， ∴， ∴， ∴， 设直线的函数表达式为：， ∴, 解得， ∴直线的函数表达式为：， 当，解得：， ∴． 题型4 利用旋转的性质求面积 ▌例4 （25-26九年级上·四川成都·期末）如图，在正方形中，O为对角线的中点．正方形在绕点O旋转的过程中，边与交于点E（不与点A，B重合），边与交于点F．若，则四边形的面积为______． 【答案】/6.25/ 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质及等腰三角形三线合一的性质．连接，利用正方形的性质及已知条件得出，，再由得出，从而证明，进而得出，求出面积． 【详解】解：如图，连接， 在正方形中，，， ∴， 又∵O为对角线中点， ∴，， ∴， ∴， 又∵四边形为正方形， ∴， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， 故答案为：． 解题要点 1. 旋转不改变图形面积：旋转前后图形全等，面积相等。可将不规则或难求的图形绕某点旋转，拼接或转化为规则图形（如三角形、矩形、扇形）再求面积。 2. 分割与割补结合：若旋转后与原图有重叠，用割补法将阴影部分面积转化为规则图形面积的和或差。常结合勾股定理求边长，扇形面积用nπr²/360。注意旋转角与对应边。 ▌迁移练4-1 （25-26九年级上·四川自贡·期中）将直角边长为cm的等腰直角绕点逆时针旋转后，得到，则图中阴影部分的面积是__________． 【答案】 【分析】本题考查了旋转的性质，直角三角形的性质，勾股定理，根据旋转的性质得到是解题的关键．设与交于，由等腰直角三角形的性质和旋转的性质可得，，，然后根据30度所对直角边等于斜边的一半和勾股定理建立方程求得，即可解答． 【详解】解：如图，设与交于， ∵将直角边长为cm的等腰直角绕点逆时针旋转后，得到， ∴，，，， ∴， ∵， ∴， 在中，， 即， 解得， ∴阴影部分的面积为． 故答案为：． ▌迁移练4-2 （25-26九年级上·河南信阳·阶段检测）如图，正方形的边长为2，将其绕顶点按逆时针方向旋转一定角度到如图所示的位置，使得点落在对角线上，则阴影部分的面积是__________________． 【答案】 【分析】该题考查了旋转的性质，正方形的性质，勾股定理，根据题意求出，再利用阴影部分的面积求解即可． 【详解】解：正方形的边长为2，将其绕顶点按逆时针方向旋转一定角度到位置，使得点落在对角线上， ， ， ， ， ∴阴影部分的面积； 故答案为：． ▌迁移练4-3 （25-26九年级下·湖南长沙·阶段检测）已知：如图，四边形是边长为1的正方形，对角线相交于点O．过点O作一直角，直角边分别与重合，然后逆时针旋转，旋转角为，分别交于E、F两点，连接交于点G，则在旋转过程中，当的面积最大时，______________ 【答案】/ 【分析】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质．证明，得到，，进而得到，当的面积最大时，则最小，即当时，最小，据此求解即可． 【详解】解：作， ∵四边形是正方形， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， 当的面积最大时，则最小， ∵， ∴由垂线段最短可知，当点与重合时，最小，的面积最大， ∴此时； 故答案为：． 题型5 找旋转中心、旋转角、对应点 ▌例5 （25-26九年级上·云南昭通·期末）如图，点P是正方形内一点，连接，，，将绕点B顺时针旋转到．连接，若A、P、在一条直线上． (1)旋转中心是点______________，旋转角的度数是______________； (2)的度数是______________； (3)若，，求的长． 【答案】(1)B； (2) (3)3 【分析】（1）根据旋转的定义和正方形进行求解即可； （2）根据旋转的性质和等腰三角形的性质，进行求解即可； （3）根据解析（2）得出，，，，先根据勾股定理得出，再根据勾股定理得出答案． 【详解】（1）解：∵将绕点B顺时针旋转到， ∴旋转中心是点B，旋转角为， ∵四边形为正方形， ∴， 即旋转角的度数是； （2）解：∵将绕点B顺时针旋转到， ∴，，， ∴， ∴； （3）解：根据解析（2）可得：，，，， 在中，根据勾股定理得： ， ， 在中，根据勾股定理得： ， 的长为3． 解题要点 1. 找旋转中心：旋转中心到对应点距离相等，故在两组对应点连线的垂直平分线交点处。若已知一组对应点，旋转中心在连线垂直平分线上；两组即可定交点。 2. 找旋转角与对应点：对应点与旋转中心连线的夹角即为旋转角，方向分顺逆时针。对应点通过“旋转中心+旋转角+对应线段相等”确定，注意全等关系与字母顺序，旋转角相等是核心。 ▌迁移练5-1 （25-26七年级下·河南南阳·期末）如图所示，已知，顺时针旋转后与重合． (1)旋转中心是哪一点? ； (2)旋转了多少度? ； (3)线段与线段有什么位置关系?请说明． 【答案】(1)B (2) (3) 说明：延长与交于O点，如下图， 由旋转的性质可知， ∵，， ∴， ∴为直角三角形， ∴． 【分析】（1）结合图形即可获得答案； （2）根据题意和旋转的性质可得，即可获得答案； （3）延长与交于O点，由旋转的性质可知，易得，进而证明为直角三角形，即可证明结论． 【详解】（1）解：根据题意，顺时针旋转后与重合， 由图可知，旋转中心是点； （2）∵顺时针旋转后与重合，且， ∴，即旋转了； （3）略 ▌迁移练5-2 （25-26九年级下·河南安阳·阶段检测）如图，是正方形的边上的一点，将逆时针旋转至的位置． (1)旋转中心是点 ，旋转角的度数为 ． (2)若正方形的边长为3，，求的长． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）根据旋转的定义填写即可； （2）先判定三点共线，再利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：由题意可知，旋转中心是点，旋转角的度数为； （2）解：∵逆时针旋转至的位置，四边形为正方形， ∴， ∴，即三点共线． ∵正方形的边长为3， ∴， ∴． 在中，． ▌迁移练5-3 （25-26九年级上·湖北武汉·阶段检测）如图， 是等边三角形，将 旋转一定角度后得到 连接． (1)旋转中心是 ，旋转方向是 （填顺时针或逆时针），旋转角度为 （取最小旋转角度）； (2)若求 的度数； 【答案】(1)B点；顺时针； (2) 【分析】本题主要考查了旋转的性质，等边三角形的性质和判定， 对于（1），根据旋转的定义可得答案； 对于（2），先根据旋转的性质得，即可说明是等边三角形，进而得出，再结合已知条件根据得出答案． 【详解】（1）解：∵是等边三角形， ∴． 将绕点B顺时针旋转得到． 所以旋转中心是B点，旋转方向是顺时针，旋转角为； 故答案为：B点，顺时针，； （2）解：由旋转的性质可知：， ∴． ∵， ∴是等边三角形， ∴． ∵， ∴． 题型6 识别中心对称图形 ▌例6 （26-27九年级上·天津·期中）下列图案中，是中心对称图形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形．根据中心对称图形的定义进行逐一判断即可． 【详解】解：选项A．不是中心对称图形，故A不符合题意； 选项B．不是中心对称图形，故B不符合题意； 选项C．不是中心对称图形，故C不符合题意； 选项D．是中心对称图形，故D符合题意． 解题要点 1. 绕点旋转180°验证：将图形绕某一点旋转180°，若能与原图形完全重合，则是中心对称图形，该点为对称中心。常见的有平行四边形、圆、线段等。 2. 找对应点连线过中心：中心对称图形中，对应点连线都经过对称中心且被其平分。判断时找关键点，看是否存在一点使各对应点连线均被该点平分。注意与轴对称图形的区别。 ▌迁移练6-1 （26-27九年级上·天津·期中）下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A选项图形不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意； B选项图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； C选项图形不是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； D选项图形既是中心对称图形又是轴对称图形，符合题意． ▌迁移练6-2 （26-27九年级上·天津·期中）下列四个图形中，是中心对称图形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，这个图形就是中心对称图形，据此来分析判断即可得解． 【详解】解：A选项，是中心对称图形，故本选项符合题意； B选项，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； C选项，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； D选项，不是中心对称图形，故本选项不符合题意． ▌迁移练6-3 （26-27九年级上·全国·期中）下列四个图形中，中心对称图形是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据中心对称图形的概念结合各图形的特点求解． 【详解】解：选项：不是中心对称图形，不符合题意； 选项：不是中心对称图形，不符合题意； 选项：不是中心对称图形，不符合题意； 选项：是中心对称图形，符合题意． 题型7 中心对称的性质求解 ▌例7 （26-27九年级上·云南·期中）如图，与关于点成中心对称，则下列结论不成立的是（ ） A．点与点是对称点 B． C． D． 【答案】C 【分析】由中心对称的性质直接求解即可． 【详解】解：与关于点成中心对称， 点与点是对称点，，，， 选项中四个结论中错误． 解题要点 1. 对称点坐标关系：点P（x，y）关于原点对称的点为 （-x，-y）；关于点（a，b）对称的点为 （2a-x，2b-y）。利用此关系可求对称点坐标或参数值。 2. 对应线段与面积：中心对称的两个图形全等，对应边相等且平行（或在同一直线上），对应角相等，面积相等。常结合中点坐标公式、平行四边形性质进行线段与角度转化。注意对称中心是连接对应点线段的中点。 ▌迁移练7-1 （25-26八年级下·河北唐山·期末）如图所示，与关于点成中心对称，则下列结论成立的是（     ） ①点与点关于点对称；②；③；④ A．②③ B．①②③ C．①③④ D．①②④ 【答案】B 【分析】根据中心对称的性质求解即可． 【详解】解：∵与关于点成中心对称， ∴点与点关于点对称，，，，， ∴，， ∴， ∴， ∴符合题意的有①②③． ▌迁移练7-2 （25-26九年级上·广西钦州·期中）如图，绕点O旋转得到，下列说法错误的是（　　） A． B．点B和点E关于点O对称 C． D．与关于点B成中心对称 【答案】D 【分析】本题考查中心对称的性质，掌握相关知识是解决问题的关键．绕点旋转得到，图形旋转后对应点关于对称中心对称，对应线段平行且相等，对应角相等，据此逐项判断即可． 【详解】解：A：∵绕点旋转得到， ∴， ∴，该选项正确； B：∵绕点旋转得到， ∴点和点关于点对称，该选项正确． C：由旋转性质可知，， ∴， 即，该选项正确． D：与是绕点旋转得到的， ∴是关于点成中心对称，而非点，该选项错误． 故选：D． ▌迁移练7-3 （25-26八年级上·全国·单元测试）如图，已知与关于点成中心对称，过点任作直线，分别交，于点，，下面的结论：点和点，点和点分别关于点成中心对称直线必经过点；四边形是中心对称图形；四边形与四边形的面积必相等；与成中心对称．其中正确的个数为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了成中心对称和中心对称图形的性质，关键是知识点的熟练应用； 根据中心对称的性质得出四边形是平行四边形，从而判断结论是否正确． 【详解】解：∵与关于点对称， ∴， ∴四边形是平行四边形，≌，≌ 即：点就是平行四边形的对称中心， ∴ ①点和点；点和点分别关于点成中心对称，正确； ②直线必经过点，正确； ③四边形是中心对称图形，正确； ④四边形与四边形的面积必相等，正确； ⑤与成中心对称，正确． 其中正确的个数为个． 故选：D ． 题型8 关于原点对称点的坐标 ▌例8 （26-27九年级上·福建莆田·阶段检测）已知点，那么点关于原点的对称点的坐标是___． 【答案】 【分析】根据关于原点对称的点的坐标规律，横纵坐标均互为原坐标的相反数，据此求解即可． 【详解】解：∵点的坐标是，关于原点对称的点的横、纵坐标分别是原横、纵坐标的相反数， ∴点关于原点的对称点的坐标是． 解题要点 1. 坐标符号规律：点P（x，y）关于原点对称的点坐标为 （-x，-y），即横、纵坐标都变为相反数。记忆口诀：“关于原点，双双变号”。 2. 与轴对称区分：关于x轴对称是（x，-y），关于y轴对称是（-x，y），只有关于原点对称是两坐标都变号。解题时先确定对称类型，再套用对应规律，含参数时列方程求解，注意符号变化。 ▌迁移练8-1 （25-26九年级上·陕西西安·期中）已知点关于原点的对称点的坐标是，则的值为___________． 【答案】 【分析】根据关于原点对称的点的横、纵坐标都互为相反数，先求出和的值，再代入计算即可． 【详解】解：∵两个点关于原点对称时，它们的横、纵坐标分别互为相反数，点关于原点的对称点的坐标为， ∴，， ∴． ▌迁移练8-2 （25-26八年级下·四川达州·阶段检测）已知和关于原点对称，则___________． 【答案】 【分析】根据关于原点对称的点的坐标特征求出和的值，再代入代数式计算即可. 【详解】解：因为和关于原点对称， 所以，， 所以， 所以. ▌迁移练8-3 （25-26八年级下·浙江宁波·期末）若二次函数与的图象关于坐标原点中心对称，则的值为________． 【答案】 【分析】根据中心对称的性质，关于原点中心对称的两个点，横纵坐标都互为相反数，先求出原二次函数的顶点坐标，得到对称后二次函数的顶点坐标，结合的顶点式即可求出的值，进而计算． 【详解】解：先对配方得， 因此的顶点坐标为. 因为两个函数图象关于原点中心对称， 所以的顶点坐标为， 又因为的顶点坐标为， 因此可得，， 所以． 题型9 平面直角坐标系中的旋转变换 ▌例9 （26-27九年级上·江西九江·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，小正方形边长均为1个单位长度，和的顶点均在格点（网格线的交点）上． (1)若和关于点中心对称，则点的坐标为________． (2)作关于点的中心对称图形． (3)在（2）的条件下，若为边上的一点，为点的对称点，直接写出点的坐标． 【答案】(1) (2)如图，即为所求 (3) 【分析】（1）根据对应点连线的交点即为对称中心坐标可求； （2）分别找到各点的对应点，顺次连接即为所求图形； （3）根据关于原点中心对称的两点横纵坐标互为相反数可求N的坐标． 【详解】（1）解：如图1，分别连接A、D两点和B、E两点相交于点P， 由图可知，点P的坐标为； （2）解：略 （3）解：由（2）知和关于点O中心对称， ∵N为点M的对称点，， ∴． 解题要点 1. 绕原点旋转的坐标规律：逆时针旋转90°为（-y，x），180°为（-x，-y），270°为（y，-x）；顺时针则角度取负。一般角用旋转公式 （xcosα-ysinα，xsinα+ycosα）。 2. 绕非原点旋转的处理：先将旋转中心平移到原点，按公式变换后再平移回去。作图时先找关键点，旋转后描点连线。注意旋转方向、角度单位，保持图形全等。含参数时列方程求解。 ▌迁移练9-1 （25-26八年级下·辽宁·期末）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别为（每个方格的边长均为1个单位长度）． (1)若和关于原点O成中心对称，请画出； (2)将绕点O逆时针旋转得到，请画出； (3)将进行平移得到，若点的坐标为，则点的坐标为________； (4)若以为顶点的四边形是平行四边形，请写出满足条件的所有点D的坐标________． 【答案】(1)如图，即为所求 (2)如图，即为所求 (3) (4)或或 【分析】（1）关于原点对称的点的横纵坐标都互为相反数，则可得点的坐标，据此作图即可； （2）根据旋转的特点作图即可； （3）根据点A和点的坐标可得平移方式，再根据平移方式可得点的坐标； （4）设出点D的坐标，分三种情况：为对角线、为对角线和为对角线，根据平行四边形的两条对角线的中点坐标相同讨论求解即可． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：∵将进行平移得到，，点的坐标为， ∴平移方式为向右平移个单位长度，向下平移个单位长度， ∵， ∴点的坐标为，即； （4）解：设点D的坐标为， 当为对角线时，∵平行四边形的两条对角线的中点坐标相同， ∴， ∴， ∴点D的坐标为； 当为对角线时，∵平行四边形的两条对角线的中点坐标相同， ∴， ∴， ∴点D的坐标为； 当为对角线时，∵平行四边形的两条对角线的中点坐标相同， ∴， ∴， ∴点D的坐标为； 综上所述，点D的坐标为或或． ▌迁移练9-2 （25-26八年级下·河南郑州·期末）如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形，在建立平面直角坐标系后，的顶点均在格点上，点A的坐标为． (1)试作出以C为旋转中心，沿顺时针方向旋转后的图形； (2)以原点O为对称中心，画出关于原点O对称的，并写出点的坐标________； (3)请在x轴上找一点D得到，则点D的坐标为________，若直线平分的面积，则________． 【答案】(1)如图，即为所求； (2)如图，即为所求；点的坐标为 (3)如图，点D即为所求；点D的坐标为， 【分析】（1）分别作出点A、B以点C为中心，顺时针旋转后的对应点、，即可解答； （2）根据中心对称的坐标特征：横纵坐标互为相反数，求得、、的坐标，再依次连接即可； （3）点A先向下平移1个单位，再向右平移2个单位，可得到点，求出平行四边形的中心坐标，根据中心对称图形的性质可得直线经过中心坐标，进而求得b． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：∵点A先向下平移1个单位，再向右平移2个单位，可得到点D， ∴可由平移得到，即，， ∴四边形是平行四边形， ∵，，平行四边形是中心对称图形， ∴平行四边形的中心坐标为， 当直线经过平行四边形的中心时，直线两侧的图形关于中心点对称面积相等， ∴将代入直线， ∴，解得：． ▌迁移练9-3 （25-26八年级下·四川成都·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点的坐标分别为． (1)已知点的坐标为，画出经过平移后得到的，写出顶点的坐标； (2)若和关于原点O 成中心对称，不画图直接写出顶点的坐标； (3)画出绕点O按顺时针方向旋转得到的． 【答案】(1)如图，即为所求； 顶点的坐标为； (2) (3)如图，即为所求． 【分析】（1）由点C的对应点的坐标得出平移的方向和距离，据此可得； （2）根据关于原点对称的点的横纵坐标均互为相反数，据此可得； （3）将三角形三顶点分别绕着点O按顺时针方向旋转90度得到对应点，据此可得． 【详解】（1）略 （2）解：∵和关于原点O 成中心对称， ∴点的坐标为； （3）略 难点一 求绕某点（非原点）旋转90°点的坐标 难点1：旋转中心的平移化归 非原点旋转需先将旋转中心平移至原点，将原坐标转换为相对坐标，旋转90°后再平移回原坐标系。难点在于平移量的正负号处理，学生易直接套用原点旋转公式而忽略中心偏移，导致坐标整体错位。 难点2：旋转方向与坐标变换的匹配 顺时针与逆时针旋转90°对应不同的坐标交换规则（如逆时针(x,y)→(-y,x)）。难点在于根据题意判断旋转方向，并结合点所在象限验证结果合理性，若方向判断反了则坐标符号全错。 难点精练 1．（25-26九年级上·湖北荆门·阶段检测）如图，直线与轴、轴分别相交于点，将绕点顺时针方向旋转得到，则点的坐标为__________． 【答案】 【分析】本题考查一次函数图象与坐标轴的交点，旋转的性质，正方形的判定和性质等．延长交x轴于点E，先求出点A和点B的坐标，再根据旋转的性质证明四边形是正方形，进而求出和的长度即可求解． 【详解】解：如图，延长交x轴于点E， 中，令，则，令，解得， ，， ，， 绕点顺时针方向旋转得到， ，，， 四边形是正方形． ， ， 点的坐标为． 故答案为：． 2．（25-26八年级上·江苏南京·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知点、、、．若线段绕点P旋转后能与线段重合（C对应A，D对应B），则点P的坐标为_____________． 【答案】 【分析】本题考查坐标与图形变化旋转．分别作线段，的垂直平分线，相交于点P，进而可得点P的坐标． 【详解】解：如图，分别作线段，的垂直平分线，相交于点P， 则线段绕点P逆时针旋转后能与线段重合， ∴点P的坐标为． 故答案为：． 3．（25-26九年级上·河南周口·期中）如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为1，的三个顶点均在格点上，现将绕点按逆时针方向旋转，则点旋转后的坐标是___________． 【答案】 【分析】本题考查旋转作图． 根据旋转的性质，进行作图即可求出点旋转后的坐标． 【详解】解：由题意可得绕点按逆时针方向旋转后的图形是，如图所示， 由图象可得点旋转后的坐标是． 故答案为． 难点二 坐标与旋转规律问题 难点1：旋转角度与周期定位 图形绕定点旋转时，每转固定角度对应坐标规律变化。难点在于计算旋转次数与360°的周期关系，用取余法确定点最终落在哪个象限或坐标轴上，若周期计算偏差则位置全错。 难点2：正反旋转的符号对称 顺时针与逆时针旋转同一角度，坐标变换符号相反。难点在于根据旋转方向正确选择坐标交换与变号规则，并兼顾旋转中心是否在原点。学生易忽略方向差异，导致纵坐标或横坐标符号写反。 难点精练 1．（25-26八年级下·山东菏泽·期末）如图，在平面直角坐标系中，是原点，点在轴正半轴上，是等腰三角形，，点到轴的距离为4．将绕点顺时针旋转得到，再将绕点顺时针旋转得到，…如此循环下去，则点的坐标为_________． 【答案】 【分析】由旋转的性质可知与重合，与重合，过点作轴，根据勾股定理求得三角形的直角边，确定点的坐标，即可得到点的坐标． 【详解】解：将绕点顺时针旋转得到，再将绕点顺时针旋转得到，……如此循环下去，在第一象限，在第二象限，在第三象限，在第四象限，依此类推， ∵，与第2次旋转得到的相同， ∴与重合，与重合， 如图所示， 过点作轴， 由旋转的性质可知，，， 在中，， ∴， ∴的坐标为， ∴的坐标为． 2．（25-26七年级下·贵州黔南·期末）如图，在平面直角坐标系中，将沿x轴向右滚动到的位置，再到的位置…依次进行下去，若已知点，，则点的坐标为________． 【答案】 【分析】先求出点的坐标，同理求出点，的坐标，再归纳类推出一般规律即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， 由旋转的性质得：，，，， ∴轴，， ∴， 同理可得：，， 归纳类推得：，其中为正整数， ∵， ∴点的坐标为，即． 3．（2026·河南周口·二模）如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点A的坐标为．将正方形绕原点O逆时针旋转，得到正方形；再将正方形绕原点O逆时针旋转，得到正方形；依此类推，连续旋转2026次后得到正方形，则点的坐标为__________． 【答案】 【分析】根据题意，得到规律：正方形旋转一周需要8次，则，即点与点重合，根据旋转的性质得到的坐标，据此求解即可． 【详解】解：根据题意得：旋转角为， 旋转一周需要的次数为，即与点重合， ， 点与点重合， 由题意可知，点旋转2次得到点，即， 四边形是正方形， 、、， ， ， 四边形是正方形， 、、， 如图，旋转后的正方形中顶点与点重合， 由旋转的性质知，、，， ， ． 难点三 旋转综合题——几何变换 难点1：旋转全等的动态构造 旋转前后图形全等，对应边角相等。难点在于从复合图形中准确找出旋转中心、对应点及旋转角，并利用全等建立等量关系。若对应关系错配，则后续推导方向偏离。 难点2：多步变换的叠加与还原 题目常将旋转与平移、翻折、位似叠加。难点在于分清各变换的先后顺序及对坐标或图形的影响，判断最终状态是否可逆。学生易混淆变换效果，导致坐标或角度叠加计算错误。 难点精练 1．（25-26八年级下·陕西汉中·期末）【探究发现】 (1)如图1，的顶点在正方形两条对角线、的交点处，，将绕点旋转，在旋转过程中，的两边分别与正方形的边和边交于点和点（点与点，不重合）．猜想线段，，之间满足什么数量关系，并说明理由； 【类比应用】 (2)如图2，若将（1）中的“正方形”改为“的菱形”，，其他条件不变，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请猜想结论并说明理由． 【答案】(1)解：，理由： ∵四边形是正方形， ，，，，     ， ， ，     在和中， ，，， ， ，     ，， ． (2)解：（1）中的结论不成立．应为．理由：     如图2，过点作于点，于点，取的中点，连接， 则， ∵四边形是菱形，， ，，     ，，， 是等边三角形，，     ，，即， ，     ， 在和中， ，， ，     ，     ． 【分析】（1）先证明，得出，即可得出结论； （2）过点作于点，于点，取的中点，连接，先证明是等边三角形，再证明得出，证明得出，即可得出结论． 【详解】（1）略 （2）略 2．（2026九年级上·全国·专题练习）如图，菱形纸片中，，将菱形沿剪开，不动，绕点逆时针旋转度（）得到，其中点与点对应． (1)如图1，当时，、的延长线交于点． ①用表示的度数； ②如图2，当时，求证：四边形是菱形； (2)如图3，连接、，当______时，． 【答案】(1)①； ②证明：由①可得，， ∵， ∴， ， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形； (2) 【分析】（1）①根据菱形的性质得出，进而利用四边形的内角和等于解答即可； ②把代入，进而利用菱形的判定进行证明即可； （2）根据旋转的性质得出，，，，进而利用平行四边形的判定与性质解答即可． 【详解】（1）①解：∵四边形是菱形，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵不动，绕点逆时针旋转度（）得到，其中点与点对应， ∴ ， ，， ∴， ∵在四边形中，， ∴ ； ②略； （2）解：∵不动，绕点逆时针旋转度（）得到，其中点与点对应， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵ ， ∴， ∴， ∴． 3．（25-26九年级上·陕西安康·期中）综合与实践：在数学兴趣小组活动中，小明进行数学探究活动，将边长为的正方形与边长为的正方形按如图1所示的位置放置，与在同一条直线上，与在同一条直线上．连接，，易得且（不需要说明理由）． (1)如图2，小明将正方形绕点逆时针旋转，旋转角为． ①连接，判断与之间的数量关系和位置关系，并说明理由； ②在旋转过程中，如图3，连接，，，，求四边形面积的最大值． (2)如图4，分别取，，，的中点，，，，连接，，，，则四边形的形状为_____，四边形面积的最大值是_____． 【答案】(1)①．理由如下：设分别交，于点， ∵四边形与四边形均为正方形， ． ，即， ， ， ． ， ． ② (2)正方形； 【分析】（1）①由“”可证，可得，，可证； ②由“”可证，可得，由面积和差关系可求解； （2）根据正方形的判定可判断四边形是正方形，其面积最大为时，根据三角形的中位线定理可求出其边长，进一步求出其最大面积． 【详解】（1）①略；②如图3，过点作于，过点作直线于， ， ， 又， ， ， ， 当有最大值时，四边形面积有最大值， 即当时，有最大值为， 四边形面积的最大值为； （2）解：如图4，连接，， 点，，，分别是，，，的中点， ，，，，，，，， 由（1）知，， ， 四边形为菱形， 由（1）知， ∵，， ∴，即， 菱形为正方形； 如图5，当，，三点在同一条直线上时，，，三点也在同一条直线上， 此时正方形的面积最大， ， ． 基础达标 一、单选题 1．（25-26八年级下·四川达州·阶段检测）以下是回收、绿色包装、节水、低碳四个标志，其中是中心对称图形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：是中心对称图形的是B． 2．（26-27九年级上·云南·期中）如图．将纸片绕点C顺时针旋转得到，连接，若，则的度数为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设与交于点，由旋转可得，由垂直可得，再利用三角形内角和定理求解． 【详解】解：设与交于点，如图， ∵将纸片绕点C顺时针旋转得到， ∴， ∵， ∴， ∴． 3．（第二十八章 旋转 高效同步练习28.2.3 关于原点对称的点的坐标）如图，在平面直角坐标系中，的顶点A在第一象限，点B，C的坐标分别为，，，，直线交y轴于点P，若与关于点P成中心对称，则点关于原点对称的点的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据已知条件，利用等腰直角三角形的性质求出点A的坐标，再利用待定系数法求出直线的解析式，令，求出点P的坐标，利用中心对称的性质求出点的坐标，从而再求出点关于原点对称的点的坐标． 【详解】解：∵点，的坐标分别为，，，， 是等腰直角三角形，， 如图，过点A作交于点D， ∴， ∴， 设直线解析式为， 则，解得， ∴直线解析式为． 令，则， ， 又点A与点关于点P成中心对称， 点为的中点， ， ∴点关于原点对称的点的坐标为． 4．（25-26七年级下·河北张家口·期末）如图，有两个边长为的正方形，其中正方形的顶点与正方形的中心重合，在正方形绕点旋转的过程中，下列结论正确的个数为（     ）    ①        ②四边形的面积不变，始终为 ③    ④四边形的周长不变，始终为 A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】连接，，利用正方形性质证明，进而判断各结论即可． 【详解】解：连接，，   四边形是正方形，为中心， ，，， 四边形是正方形， ， ， ， 在和中， ， ， ，，，故①正确； ，故②正确； ，故③正确； 由图可得，四边形的周长， 的长度随旋转角度变化而变化， 周长不是定值，故④错误； 综上所述，正确的结论有①②③，共个． 二、填空题 5．（25-26八年级下·宁夏银川·期末）如图在网格中，由旋转得到，其旋转中心是__________． 【答案】P 【分析】图形的旋转中心是对应点连线的垂直平分线的交点． 【详解】解：如图，连接，，分别作和的垂直平分线，交点在P点处，故其旋转中心是P点． 6．（25-26八年级下·四川成都·期末）如图，将 绕点顺时针旋转至 的位置，点恰好落在边上．若，，则_______． 【答案】 【分析】根据旋转后三角形全等，得到对应边相等、对应角相等，再根据等边三角形性质求解即可． 【详解】解：将绕点顺时针旋转至的位置， ∴ ∴，， ∵，， ∴，， ∴是等边三角形， ∴． 7．（25-26七年级下·吉林长春·期末）如图，在直角三角形中，，，将绕点逆时针旋转得到，点落在上，延长交于点．给出下面四个结论：①；②；③；④若，，连接，则的面积是4．上述结论中，正确结论的序号有_______． 【答案】①③④ 【分析】根据旋转的性质可得，可判断①；再由全等三角形的性质可得，，从而得到可判断②；再由余角的性质可得可判断③；根据三角形的面积公式可判断④． 【详解】解：∵将绕点逆时针旋转得到， ∴，故①正确； ∴，， ∴，故②错误； ∵， ∴， ∵， ∴，故③正确； ∵， ∴， ∵， ∴的面积是，故④正确． 综上，所有正确结论的序号是①③④． 8．（25-26八年级下·河南郑州·期末）如图，在等边三角形中，点为的中点，点为线段上不与端点重合的一个动点，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，．若，则当为直角三角形时，的长为______． 【答案】或 【分析】根据等腰三角形三线合一可得，，，由旋转性质可得，，然后证明，所以，，然后分当时，当时两种情况求解即可． 【详解】解：∵在等边三角形中，点为的中点， ∴，，，， ∴，，， 由旋转性质可得，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， 则当时，如图， ∴， ∴， ∴； 当时，如图， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴； 综上可得：的长为或． 三、解答题 9．（25-26八年级下·浙江台州·期末）如图，在中，，将绕点A按顺时针方向旋转得到，且． (1)求的度数； (2)求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据旋转的性质即可求解； （2）旋转图形对应角相等，故由三角形内角和定理求出即可． 【详解】（1）解：∵将绕点A按顺时针方向旋转得到， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∵将旋转得到， ∴． 10．（25-26八年级下·辽宁沈阳·期末）如图，在边长为1的正方形网格中，的顶点均在格点上 (1)画出把向下平移4个单位长度后得到的（A、B、C的对应点分别为、、） (2)画出关于原点O成中心对称的（A、B、C的对应点分别为、、） (3)画出绕点A逆时针旋转后得到的（A、B、C的对应点分别为、、） 【答案】(1)解：如图，即为所求； (2)解：如图，即为所求； (3)如图，即为所求． 【分析】（1）根据平移性质得到对应点的位置，再顺次连接可得图形； （2）根据中心对称性质得到对应点的位置，再顺次连接可得图形； （3）根据旋转性质和网格特点得到对应点的位置，再顺次连接可得图形． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 11．（25-26八年级下·山东青岛·期末）如图1，将两个完全相同的三角形纸片和重合放置，其中，，． 【操作发现】 如图2，固定，使绕点旋转．当点恰好落在边上时： (1)线段与的位置关系是__________； (2)设的面积为，的面积为，则与的数量关系是__________． 【拓展探究】 (3)已知，点是其角平分线上一点，，交于点（如图3），若在射线上存在点，使，则的长为__________． 【答案】(1)； (2)； (3)或． 【分析】（1）利用三角形内角和定理和旋转的性质，推出是等边三角形，则，可得出平行； （2）根据等边三角形的性质，推出和等底等高，即可得解； （3）过点作交于点，连接，连接交于点，则四边形是平行四边形，进而得出，再证明四边形是菱形，利用勾股定理求解即可；过点作交于点，连接，过点作于点，先证明是等边三角形，则，再推出，得到，此时，即可得解． 【详解】（1）解：，， ， 由旋转的性质可知，， 是等边三角形， ， ， ； （2）解：由（1）可知，是等边三角形， ，， ， ， 是等边三角形， 点到的距离等于点到的距离， 和等底等高， ； （3）解：如图，过点作交于点，连接，连接交于点， ，， 四边形是平行四边形， , , 、上的高相等， ， ，点是其角平分线上一点， ， ， ， ， ， 又，， 四边形是菱形， ，， 在中，， ， ； 如图，过点作交于点，连接，过点作于点， ，， ， ，， ， 是等边三角形， ， ， ， ， ， ， 又， ， ，此时， 综上可知，的长为或． 12．（25-26八年级下·湖北武汉·期末）在菱形中，，，点P是边上的一个动点（不与端点重合），将线段绕点P顺时针旋转（，即，）得到线段． (1)当时，如图1，过点E作交延长线于点F． ①求证：； ②连，交线段于点G，求证：点G是的中点． (2)当时，点Q是边上的一个动点，F是延长线上一点，连接、、，若，，直接写出的最大值． 【答案】(1)①证明：当时，， ，， ， ， ， ， ∵， 在与中 ，，， ； ②证明：如下图，过点E作交于I，连接． 由（1）知， ，． ∵， 菱形是正方形， ，，． ， ， ． ． ． ． 又， 四边形是平行四边形． ． ，， ， 连接，， ，， 四边形是平行四边形 ． 点G为的中点． (2) 【分析】（1）①根据旋转的性质，利用证明三角形全等即可；②过点E作交于I，连接，证明四边形是平行四边形，推出，证明，得到四边形是平行四边形，根据平行四边形的性质即可得证． （2）延长至点G，使，连．过点F作，使得，连．取中点M，连，证明，得到，推出，斜边上中线求出的长，勾股定理求出的长，根据，即可得出结果. 【详解】（1）略 （2）解：如图，延长至点G，使，连．过点F作，使得，连接．取中点M，连接． 同（1）法可得：， ，， ∵菱形，， ∴， ∴， ， 又∵，， ，， ∴， ∴， ， 在中，， ∵， . 能力进阶 一、单选题 1．（25-26八年级下·重庆荣昌·期末）如图，正方形中，，点是的中点，连接，将绕点的逆时针旋转得到线段，连接并延长交延长线于点，连接，则长为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】过点作交的延长线于点，证明，得到则，根据勾股定理 即可求出． 【详解】解：过点作交的延长线于点， ∵四边形是正方形，， ∴，， ∵点是的中点， ∴ ∵将绕点的逆时针旋转得到线段， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴． 2．（天津市汉阳道中学2025-2026学年八年级下学期7月期末数学试题）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点在第一象限，点在轴上，交轴于点轴，垂足为．若，则以下结论不正确的是（     ） A．平分 B． C．点的坐标为 D．矩形的面积为 【答案】C 【分析】根据矩形对角线互相平分且相等可得，结合轴可证平分；在中利用勾股定理求出的长，进而求出的长及点的坐标；根据矩形中心对称性求出点坐标；利用三角形面积公式求出矩形面积，逐项判断即可. 【详解】解：∵四边形是矩形，且在轴上， ∴为矩形对角线交点， ∴， ∵轴，轴轴， ∴， ∴， ∴，即平分，故A正确； ∵，； ∴， 在中，， ∴， 解得（负值舍去）， ∴， ∴，故B正确； ∵，，点在第一象限， ∴， ∵点与点关于原点对称， ∴，故C错误， ∵，故D正确. 二、填空题 3．（25-26八年级下·山东聊城·期末）将按如图方式放在平面直角坐标系中，其中，，顶点的坐标为，将绕原点逆时针旋转，每次旋转，则第次旋转结束时，点对应点的坐标为________． 【答案】 【分析】根据题意得到，结合旋转的性质推出△绕原点逆时针旋转，每旋转6次为一个循环，进而得到第2026次旋转结束时，点对应点的坐标与第4次旋转结束时，点对应点的坐标相同，记第4次旋转结束时，点的对应点记为，过点，作轴于点，证明，利用全等三角形性质求解，即可解题． 【详解】解：，， ， 顶点的坐标为， ， 绕原点逆时针旋转，每次旋转，且， 即每旋转6次为一个循环， ， 第2026次旋转结束时，点对应点的坐标与第4次旋转结束时，点对应点的坐标相同， 如图，第4次旋转结束时，点的对应点记为， 过点，作轴于点， ， 由旋转的性质可知，，， ， ， 即第4次旋转结束时，点的对应点的坐标为， 点对应点的坐标为． 4．（25-26八年级下·山东菏泽·期末）如图，为等边三角形内的一点，，，，将线段以点为旋转中心逆时针旋转得到线段．下列结论：①可以由绕点逆时针旋转得到；②；③点到的距离为；④直线与直线相交所形成的锐角是；⑤．其中正确的是________（只填序号）． 【答案】 ①③④⑤ 【分析】根据等边三角形的性质、旋转的性质、全等三角形的性质、勾股定理的逆定理逐项判断即可． 【详解】解：是等边三角形， ，， ， 由旋转可知，， ， ， 在和中，， ， 可以由绕点逆时针旋转得到， 故①正确； 如下图所示，连接， ， ， 由旋转可知，， 是等边三角形， ，， ， ， 是直角三角形，， ， ， 故②错误； 是直角三角形，， 点到的距离为， 故③正确； 如下图所示，延长交于点， ， ， ， ， 故④正确； 是等边三角形，， ， ，，， ， ， 故⑤正确； 综上所述，结论正确的有①③④⑤． 三、解答题 5．（25-26八年级下·广东梅州·期末）如图，在中，，点D是边上一点（不与点B，C重合），将绕着点顺时针旋转至的位置，连接、．设，． (1)探究：当点在边上移动时，、之间有怎样的数量关系：________； (2)若，求证：为等边三角形． 【答案】(1) (2)证明：∵， ∴， 由知，，即， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴为等边三角形． 【分析】由等腰三角形的性质得，由旋转的性质得，进而根据角的和差关系即可求解； 由平行线的性质得，由知，即得，进而得到，即可求证． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵绕着点顺时针旋转至的位置， ∴， ∴， ∴； （2）略 6．（25-26八年级下·山东聊城·期末）解决下列问题： (1)如图1，P是等边三角形内一点，，，，求的度数． 解：将绕点B按逆时针方向旋转到的位置， 连接，则是________三角形． 所以． 因为，，所以， 所以为直角三角形，所以的度数为________； (2)如图2，在正方形内部有一点P，连接，，，若，，，求的长． 【答案】(1)等边； (2)6 【分析】（1）根据旋转的性质，得到是等边三角形，再由勾股定理逆定理，得到为直角三角形，即可； （2）将绕点B按顺时针方向旋转到的位置，连接，则，可得，从而得到是等腰直角三角形， 进而得到，，再由勾股定理解答即可． 【详解】（1）略 （2）解：如图，将绕点B按顺时针方向旋转到的位置，连接，则， ∴， ∴，， ∴是等腰直角三角形， ∴，， ∴，， ∵， ∴． 7．（25-26八年级下·福建泉州·期末）如图1，将矩形绕点按逆时针方向旋转得到矩形，使得点落在上，连接． (1)求证：； (2)如图2，连接交于点，如果，求的长． (3)如图3，连接交于点，取的中点，连接，探究和的数量关系，说明理由； 【答案】(1)证明：∵将矩形绕点按逆时针方向旋转得到矩形， ∴，， ∴，， ∴，即． (2) (3)解：，理由如下， 如图，连接， ∵四边形是矩形， ∴， 由（2）可知，， ∵点是的中点， ∴是的中位线， ∴． 【分析】（1）根据矩形及旋转的性质得出，，根据等腰三角形的性质得出，，即可得出结论； （2）过点作于，根据角的和差关系，结合（1）中结论得出，进而证明，得出，利用勾股定理求出，利用证明，得出，，利用勾股定理求出，即可得出答案； （3）根据矩形的性质得出，根据点是的中点，结合（2）中结论得出是的中位线，根据中位线的性质即可得出． 【详解】（1）证明：略 （2）解：如图，过点作于， ∵将矩形绕点按逆时针方向旋转得到矩形， ∴， ∵，， ∴， 由（1）可知，， ∴， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∴， 在和中，， ∴， ∴，， ∴， ∴ （3）解：略 8．（25-26八年级下·浙江衢州·期末）如图1，在中，连接．已知，． (1)求对边，间的距离； (2)如图2，线段绕中点顺时针旋转，得到线段，顺次连接，，，，且交边于点，交边于点． ①求证：四边形是矩形； ②当四边形为菱形时，求菱形的面积． 【答案】(1) (2)①证明：∵点O是的中点， ∴， 由旋转得，，， ∴，， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴四边形是矩形； ② 【分析】（1）如图，过点C作于点G，首先根据平行四边形的性质得到，，设，则，利用勾股定理求出，然后利用勾股定理求解即可； （2）①由旋转得到，证明四边形是平行四边形，然后结合即可证明四边形是矩形； ②如图，过点C作于点G，设，则，利用勾股定理求出，然后利用菱形的面积公式求解即可． 【详解】（1）解：如图，过点C作于点G， ∵四边形是平行四边形，，， ∴，， 设，则， ∵， ∴， ∴， 解得， ∴， ∴； （2）解：①略 ②如图，过点C作于点G， 由（1）得，，， ∵四边形为菱形， ∴，设，则， ∵， ∴，即， 解得， ∴， ∴菱形的面积为． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $