精品解析：上海市民办西南高级中学2026-2027学年高三第一学期10月摸底调查数学试卷

西南高级中学高三数学第一学期10月摸底调查 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，其中1~6题每题4分，7~12题每题5分） 1. 设集合，，则______． 【答案】## 【解析】 【分析】根据交集的定义计算可得. 【详解】因为，， 所以. 故答案为： 2. 不等式的解集为_______． 【答案】 【解析】 【详解】由，得到，等价于，且，解得， 所以不等式的解集为. 3. 若复数满足，其中为虚数单位，则_________． 【答案】 【解析】 【分析】利用复数的定义，设，再利用待定系数法求得的值即可求解. 【详解】设，则且 于是可得. 4. 如果，那么___________ 【答案】## 【解析】 【分析】利用平方关系和商数关系将化为，代入即可求解. 【详解】因为， 所以. 故答案为：. 5. 在中，，，则外接圆的面积为______. 【答案】## 【解析】 【分析】根据正弦定理得到三角形外接圆半径，进而求出面积. 【详解】由正弦定理可得外接圆直径，解得， 故外接圆面积为. 故答案为：. 6. 已知曲线在处的切线与直线平行，则实数的值为___________． 【答案】3 【解析】 【分析】先求出曲线的导数，再利用导数的几何意义求出处切线的斜率，最后利用平行直线斜率相等求出实数． 【详解】，求导得， 曲线在处的切线斜率， 曲线在处的切线与直线即平行， ． 故答案为：3． 7. 已知，向量在向量上的投影向量为，则______． 【答案】3 【解析】 【分析】首先利用，得到.利用向量在向量上的投影向量公式得到，最后即可求解的值为3. 【详解】因为，所以. 由向量在向量上的投影向量公式得， 所以，. 8. 已知函数，若函数的图象关于轴对称，则的最小正值是___________ 【答案】## 【解析】 【详解】由题意得，，其图象关于轴对称， 则，得， 故的最小正值是. 9. 已知，，若，则满足条件的 的取值范围是____________． 【答案】； 【解析】 【分析】由绝对值等式可知，代入函数后解不等式再结合对数的运算和取值范围求出结果即可. 【详解】因为， 所以，即， 解得或， 所以 的取值范围是， 故答案为：. 10. 若函数f(x)=(1－x2)(x2＋ax＋b)的图像关于直线x=－2对称，则f(x)的最大值是______. 【答案】16； 【解析】 【详解】依题意，为偶函数， 展开式中的系数为，故，的系数为，故，令，得，由对称轴为-2可知，将该式分解为，可知其在和处取到最大值，带入，可知最大值为16. 【考点定位】本题考查函数的性质，考查学生的化归与转化能力以及基本运算能力. 11. 已知函数，若在上单调，则的最大值为_________． 【答案】 【解析】 【分析】先利用辅助角公式化简函数的解析式，结合函数在给定区间上的单调性和正弦函数的单调性求的取值范围即可. 【详解】因为，. 因为，所以. 因为在上单调，所以. 且或，. 所以或，. 所以或. 因为且，所以或. 所以，故的最大值为. 12. 已知平面向量满足，若平面向量满足，则的最大值为__________. 【答案】## 【解析】 【分析】设，先求出，以点为原点，为轴的正方向建立平面直角坐标系，根据求出点的轨迹，进而可得出答案. 【详解】如图，设， 因为， 所以，故， 如图，以点为原点，为轴的正方向建立平面直角坐标系， 则，设， 由，得， 所以点的轨迹是以点为圆心，为半径的圆， 表示两点间的距离， 所以的最大值为. 故答案为：. 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，其中13~14题每题4分，15~16题每题5分） 13. 下列函数中，在其定义域上是奇函数又是减函数的是（ ）. A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数的单调性和奇偶性逐一判断即可. 【详解】对于A，函数在上单调递增，故A错误； 对于B，函数是偶函数，故B错误； 对于C，函数的定义域是，不是其定义域上的减函数，故C错误； 对于D，函数定义域为，是奇函数且在上单调递减，故D正确. 故选：D. 14. 已知点到点的距离为，则的最小值是（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】D 【解析】 【分析】分别求出点P和点A的轨迹方程，根据直线与圆的位置关系，分析求解，即可得答案. 【详解】因为，所以点的轨迹方程为， 点的轨迹方程为. 因为圆上的点到直线的最小距离为圆心到直线的距离减去半径， 所以d的最小值是. 15. 已知点在线段上（不含端点），是直线外一点，且，则的最小值是（   ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由点在线段上的位置关系得到系数约束，变形后利用基本不等式求最小值． 【详解】因点在线段上（不含端点），，得， 则， 因此 ， 当且仅当，即，且时，等号成立， 即当时，取得最小值为. 16. 已知以下三个陈述句：：对任意，都有；：对任意，都有；：函数为偶函数.用这三个陈述句组成两个命题：命题p：“若，则”；命题q：“若，则”.关于命题p、q，以下说法正确的是（     ） A. p、q都是真命题 B. p是真命题，q是假命题 C. p是假命题，q是真命题 D. p、q都是假命题 【答案】B 【解析】 【分析】对于命题p：由命题可得，，即可判断命题p为真命题；对于命题q：举反例说明即可. 【详解】命题p：“若，则”： 命题：对任意，都有， 则，可知， 可得，可知函数为偶函数， 所以成立，故命题p为真命题； 命题q：“若，则”： 命题：对任意，都有， 例如，则，符合命题， 但，可知不为偶函数， 所以不成立，故命题q为假命题； 故选：B. 三、解答题（本大题共有5题，满分78分） 17. 在中，内角的对边分别为．已知向量，，且． （1）求角的大小；并当，且的面积为时，求的周长； （2）在（1）的条件下，若点为的中点，求中线的长度． 【答案】（1），周长为 （2） 【解析】 【分析】（1）根据条件，利用向量共线的坐标表示及正弦定理得，即可求出；再结合条件及余弦定理求出，即可求解； （2）根据条件，利用向量的中线公式得，再利用（1）中结果及数量积的运算律，即可求解. 【小问1详解】 因为，，且，则， 所以，又，则，所以， 则，又，所以， 又的面积为，所以，得到， 又，在中，由余弦定理得， 所以，解得，所以的周长为. 【小问2详解】 因为点为的中点，则， 所以， 由（1）知，，所以，故. 18. 如图，在三棱柱中，，且. （1）求证：平面平面； （2）求直线与平面所成的角的正弦值. 【答案】（1）连结，连结CO 在中，， 故是等边三角形，所以为菱形， 所以，且是的中点. 因为， 所以. 因为， 所以平面. 又平面， 所以平面平面. （2） 【解析】 【分析】（1）连结，结合已知证明为菱形，以及.进而即可根据线面垂直以及面面垂直的判定定理得出证明； （2）以为原点，建立空间直角坐标系，进而得出相关点以及向量的坐标，然后求出平面的法向量以及，然后根据向量法求解即可得出答案. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 以为原点，为轴，为轴，OC为轴建立空间直角坐标系， 则， 所以，. 设平面的一个法向量， 则有，即. 令，可得平面的一个法向量为， 所以，直线与平面所成的角的正弦值为 . 19. 已知函数. （1）若是定义在R上的偶函数，求实数a的值； （2）若，当m变化时，讨论方程解的个数. 【答案】（1） （2）当时，无解；当时，一个解；当时，两个解. 【解析】 【分析】（1）根据偶函数的定义，利用指数及对数的运算性质可得； （2）构造函数，将“讨论方程解的个数”转化为“讨论函数的图象与直线的交点个数”，通过分析函数的单调性可得. 【小问1详解】 因为是定义在R上的偶函数，所以. 由 ，得 . 所以，即. 因为 ，所以. 即恒成立，所以. 【小问2详解】 当时，. 由方程，得. 令，则方程解的个数即为的图象与直线的交点的个数. 因为，定义域为. 则，所以是偶函数. 令，则，当且仅当，即时，取得最小值，此时取得最小值. 设， 则. 因为，所以，所以，即. 由，得，即. 所以，即，所以在上单调递增； 所以在上单调递增；所以在上单调递减. 所以，当时，的图象与直线无交点； 当时， 的图象与直线有一个交点； 当时，的图象与直线有两个交点. 因此，当时，方程无解；当时，方程有一个解；当时，方程有两个解. 20. 设椭圆，其中.四个顶点分别为､，左､右焦点分别为. （1）若离心率，求椭圆的标准方程； （2）若直线和圆相切，切点为，且是线段的中点，求的值； （3）若，过作斜率不为零的直线与椭圆交于两点，记直线的斜率分别为，请问是否为定值？请说明理由. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用求得与的值即可求得椭圆的标准方程； （2）左焦点，下顶点，由已知可得，进而可得，计算求解即可； （3）由，求得椭圆的方程，设过斜率不为零的直线的方程为，，与椭圆方程联立方程组，进而得，从而计算可得结论. 【小问1详解】 因为椭圆的离心率，所以，所以， 又因为，所以，所以， 又因为，所以，解得，， 所以椭圆的标准方程为； 【小问2详解】 由，得，所以，所以半焦距， 所以左焦点，又下顶点，所以线段的中点， 又因为直线和圆相切，切点为，所以， 所以，又， 所以，解得，所以； 【小问3详解】 当时，由，可得， 所以椭圆的标准方程为，所以右焦点. 设过斜率不为零的直线的方程为，， 由，所以，整理得， 所以， 又， 所以. 所以是为定值，且定值为. 21. 若存在实数常数k，m，对任意，不等式恒成立，则称直线是函数和函数在上的分界线． （1）请写出函数和函数在上的一条斜率为1的分界线；（不必证明） （2）求证：函数和函数在上过坐标原点的分界线有且只有一条； （3）试探究函数（e为自然对数的底数）和函数在上是否存在分界线．若存在，求出分界线方程；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）；（答案不唯一，满足的均可） （2）由题意，设是函数和函数在上过坐标原点的分界线， 则在上恒成立，即在上恒成立， 因为，所以， 因为，所以， 综上所述， 所以函数和函数在上过坐标原点的分界线有且只有一条； （3）存在， 【解析】 【分析】（1）由题意直线是函数和函数在上的一条分界线，则在上恒成立，利用分离参数法，再构造函数，利用导数求出其最值，即可得解； （2）由题意，设是函数和函数在上过坐标原点的分界线，则在上恒成立，再分离参数，求出函数的最值，进而可求出的值，即可得证； （3）由题意可得恒成立，令，求出，则恒成立，再利用根的判别式求出，再构造函数，利用导数求出其最小值即可得出结论. 【小问1详解】 由题意直线是函数和函数在上的一条分界线， 则在上恒成立， 即在上恒成立， 因为，所以， 令，则， 令，则，令，则， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 所以，所以， 综上所述，， 所以满足题意的直线可以是；（答案不唯一，满足的均可） 【小问2详解】 略 【小问3详解】 若存在，则恒成立， 令，则，所以， 因此，恒成立，即恒成立， 由得，， 现在只要判断是否恒成立， 设，则， 当时，，，， 当时，，， 所以，即恒成立 所以函数和函数在上存在分界线， 其方程为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 西南高级中学高三数学第一学期10月摸底调查 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，其中1~6题每题4分，7~12题每题5分） 1. 设集合，，则______． 2. 不等式的解集为_______． 3. 若复数满足，其中为虚数单位，则_________． 4. 如果，那么___________ 5. 在中，，，则外接圆的面积为______. 6. 已知曲线在处的切线与直线平行，则实数的值为___________． 7. 已知，向量在向量上的投影向量为，则______． 8. 已知函数，若函数的图象关于轴对称，则的最小正值是___________ 9. 已知，，若，则满足条件的 的取值范围是____________． 10. 若函数f(x)=(1－x2)(x2＋ax＋b)的图像关于直线x=－2对称，则f(x)的最大值是______. 11. 已知函数，若在上单调，则的最大值为_________． 12. 已知平面向量满足，若平面向量满足，则的最大值为__________. 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，其中13~14题每题4分，15~16题每题5分） 13. 下列函数中，在其定义域上是奇函数又是减函数的是（ ）. A. B. C. D. 14. 已知点到点的距离为，则的最小值是（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 15. 已知点在线段上（不含端点），是直线外一点，且，则的最小值是（   ） A. B. C. D. 16. 已知以下三个陈述句：：对任意，都有；：对任意，都有；：函数为偶函数.用这三个陈述句组成两个命题：命题p：“若，则”；命题q：“若，则”.关于命题p、q，以下说法正确的是（     ） A. p、q都是真命题 B. p是真命题，q是假命题 C. p是假命题，q是真命题 D. p、q都是假命题 三、解答题（本大题共有5题，满分78分） 17. 在中，内角的对边分别为．已知向量，，且． （1）求角的大小；并当，且的面积为时，求的周长； （2）在（1）的条件下，若点为的中点，求中线的长度． 18. 如图，在三棱柱中，，且. （1）求证：平面平面； （2）求直线与平面所成的角的正弦值. 19. 已知函数. （1）若是定义在R上的偶函数，求实数a的值； （2）若，当m变化时，讨论方程解的个数. 20. 设椭圆，其中.四个顶点分别为､，左､右焦点分别为. （1）若离心率，求椭圆的标准方程； （2）若直线和圆相切，切点为，且是线段的中点，求的值； （3）若，过作斜率不为零的直线与椭圆交于两点，记直线的斜率分别为，请问是否为定值？请说明理由. 21. 若存在实数常数k，m，对任意，不等式恒成立，则称直线是函数和函数在上的分界线． （1）请写出函数和函数在上的一条斜率为1的分界线；（不必证明） （2）求证：函数和函数在上过坐标原点的分界线有且只有一条； （3）试探究函数（e为自然对数的底数）和函数在上是否存在分界线．若存在，求出分界线方程；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $