精品解析：上海市上海中学2026届高三上学期春考考前模拟限时练习数学试题

高三上学期春考考前模拟限时练习 数学 试卷 （考试时间120分钟 满分150分 考号：____________） 考生注意： 1．本试卷的选择题均为单选题 2．解答题需要写出必要的计算说明过程 3．试卷共5页 4．请自备科学计算器（卡西欧）并准确填写考号 一、填空题（12题，共54分，1~6题每题4分，7~12题每题5分） 1. 函数的最小正周期为，则的值为__________. 2. 不等式的解集为__________. 3. 已知，若，则的值为__________. 4. 若幂函数为严格增函数，则m的值为__________. 5. 直线l的倾斜角为，且，若l过点，则直线l的方程为__________． 6. 已知，，若，则实数x的取值范围为__________. 7. 周长为a的三角形的面积的最大值为__________. 8. 从集合中随机抽取2个不同元素作为；使得 有意义的概率为__________. 9. 某科研机构研究发现，某品种中医药的药物成分甲的含量(单位：克)与药物功效 (单位：药物单位)之间具有关系．检测这种药品一个批次的6个样本，得到成分甲的平均值为4克，标准差为克，则估计这批中医药的药物功效的平均值为__________. 10. 已知函数，则有：，，，，则数列前2026项的和为__________. 11. 我们定义：如果焦点在坐标轴上的椭圆A过圆B某一直径的两个端点，且面积比圆大，则称椭圆A是圆B的“超椭”，设圆B的半径为r，椭圆A的长半轴长为a、短半轴长为b（），设为“超椭”的特征值，则“超椭”的特征值的取值范围为__________.（用椭圆A的离心率表示） 12. 已知非空集合A，B满足，，可知使得函数为偶函数的非空集合对的数量为__________. 二、选择题（4题，共18分，13~14每题4分，15~16每题5分） 13. “某点是抛物线的顶点”是“从该点分别作两条坐标轴的平行线，一条是抛物线的对称轴，一条是抛物线的切线”的（ ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 14. 已知复数z满足，则（ ）． A. B. C. D. 2 15. 已知函数的定义域均为，给出下列两个命题： 命题甲：若均为奇函数，则均为奇函数； 命题乙：若均为上的严格增函数，则至少有一个是上的严格增函数． 下列说法正确的是（ ） A. 甲是真命题，乙是真命题 B. 甲是真命题，乙是假命题 C. 甲是假命题，乙是真命题 D. 甲是假命题，乙是假命题 16. 如图所示，直角三角形所在平面垂直于平面，一条直角边在平面内，另一条直角边长为且，若平面上存在点，使得的面积为，则下列命题正确的有（ ） ①：点P在平面上的轨迹为椭圆 ②：线段长度的最小值为1 ③：线段长度的最大值为3 A ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③ 三、解答题（5题，共78分，17~19每题14分，20~21每题18分） 17. 2025年11月9日至11月21日，第15届全运会在广东，香港，澳门成功举办，某运动场馆内共有志愿者36名，其中男生12名，女生24名，这些志愿者中会说日语和会说韩语的人数统计如下： 男生志愿者 女生志愿者 会说日语 8 12 会说韩语 其中均为正整数，． （1）从这36名志愿者中随机抽取两名作为某活动主持人，求：抽取的两名志愿者中至少有一名会说日语的概率； （2）从这些志愿者中随机抽取一名去接待外宾，用表示事件“抽到的志愿者是男生”，用表示事件“抽到的志愿者会说韩语”；试给出所有符合条件的的值，使得事件与相互独立，并说明理由． 18. 在中，角所对边分别为，且 （1）若成等比数列，求角的大小； （2）若，且，求的面积． 19. 如图，已知梯形；E线段上一动点，过点E作交线段于点F，连接，将沿翻折． （1）当平面平面时，若，求：到平面的距离； （2）若三棱锥体积和 同时达到最大值，求：与平面所成角的大小． 20. 已知双曲线离心率为，点在双曲线上． （1）求双曲线标准方程； （2）设点是双曲线上的动点，是圆上的动点，且直线与圆相切，求的最小值； （3）如图，是双曲线上两点，直线与轴分别交于点，点在直线上．若关于原点对称，且，证明：存在点，使得为定值． 21. 定义：对于，，若，则称为和的“一一值”；若，则称为和的“零二值”． （1）求与自身所有“零二值”的取值集合的子集； （2）求和的“一一值”的个数； （3）判断：对于定义域为的函数和，大于1的正数a满足：“任意x均为和的‘一一值’和‘零二值’”是命题“”的什么条件并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高三上学期春考考前模拟限时练习 数学 试卷 （考试时间120分钟 满分150分 考号：____________） 考生注意： 1．本试卷的选择题均为单选题 2．解答题需要写出必要的计算说明过程 3．试卷共5页 4．请自备科学计算器（卡西欧）并准确填写考号 一、填空题（12题，共54分，1~6题每题4分，7~12题每题5分） 1. 函数的最小正周期为，则的值为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据正弦函数周期求解. 【详解】函数的最小正周期为， 即，则. 故答案为： 2. 不等式的解集为__________. 【答案】 【解析】 【分析】将分数不等式转化为整式不等式，即可得解. 【详解】由可得， 又因为恒成立，故可解得或， 故答案为：. 3. 已知，若，则的值为__________. 【答案】6 【解析】 【分析】根据二项式定理展开得，，进而根据已知解方程即可得答案. 【详解】根据二项式定理展开式得：， ， ， 因为， 所以，即， 因为， 所以，即，解得， 所以的值为 故答案为： 4. 若幂函数为严格增函数，则m的值为__________. 【答案】 【解析】 【分析】由幂函数的单调性求参数值，注意验证. 【详解】由题意，幂函数为严格增函数，则，可得，此时满足题意. 故答案为： 5. 直线l的倾斜角为，且，若l过点，则直线l的方程为__________． 【答案】或. 【解析】 【分析】根据给定条件，求出直线l斜率，再利用直线的点斜式方程求解即得. 【详解】由于直线l的倾斜角为，且，得，则， 因此直线l的斜率，又l过点，直线方程为或， 即或. 故答案为：或. 6. 已知，，若，则实数x的取值范围为__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用向量的夹角公式可得答案. 【详解】因为，，所以， 因，所以，即， 解得，所以实数x的取值范围为. 故答案为： 7. 周长为a三角形的面积的最大值为__________. 【答案】## 【解析】 【分析】若三角形的三个顶点为，对应边为，利用三角形面积公式、余弦定理得到，应用基本不等式求其最大值即可. 【详解】若三角形的三个顶点为，对应边为， 所以，且，则， 由，且， 所以 ， 其中均大于0，且， 而， 即，当且仅当，即时取等号， 所以. 故答案为： 8. 从集合中随机抽取2个不同元素作为；使得 有意义的概率为__________. 【答案】 【解析】 【分析】列举法列出所有取法，再根据对数的意义判断，最后由古典概率求值. 【详解】根据题意，从集合中随机抽取2个不同元素作为， 有共6种， 其中只有，即有意义， 所以使得 有意义的概率为. 故答案为： 9. 某科研机构研究发现，某品种中医药的药物成分甲的含量(单位：克)与药物功效 (单位：药物单位)之间具有关系．检测这种药品一个批次的6个样本，得到成分甲的平均值为4克，标准差为克，则估计这批中医药的药物功效的平均值为__________. 【答案】18 【解析】 【分析】设6个样本分别为，则，，进而得，再计算即可. 【详解】设该药品一个批次的6个样本分别为， 因为这种药品一个批次的6个样本，得到成分甲的平均值为4克，标准差为克， 所以，方差， 所以，即 所以 则这批中医药的药物功效的平均值 故答案为： 10. 已知函数，则有：，，，，则数列前2026项的和为__________. 【答案】 【解析】 【分析】通过求导得到，数列是首项为，公差为的等差数列，利用等差数列的前项和公式即可求解. 【详解】因为，所以，所以， ，所以， ，所以， 以此类推，， 所以数列是首项为，公差为的等差数列， 记数列前项的和为， 则. 故答案为：. 11. 我们定义：如果焦点在坐标轴上的椭圆A过圆B某一直径的两个端点，且面积比圆大，则称椭圆A是圆B的“超椭”，设圆B的半径为r，椭圆A的长半轴长为a、短半轴长为b（），设为“超椭”的特征值，则“超椭”的特征值的取值范围为__________.（用椭圆A的离心率表示） 【答案】 【解析】 【分析】通过椭圆过圆直径两端点建立参数方程，代入标准方程得到关于半径、半长轴和角度参数的关系式，再利用椭圆面积大于圆的条件化为不等式，联立两个约束，结合离心率公式消去角度参数，最终推导出特征值关于离心率的范围. 【详解】设圆的圆心在原点，半径为，方程为：， 椭圆的焦点在坐标轴上，中心在原点，其标准方程为：， 离心率为，则. 椭圆经过圆的某一条直径的两个端点， 设该直径的一个端点对应的圆心角为， 则两端点为， 将代入椭圆方程，得：① 整理得， 记为特征值，② 代入到①式，有， 两边同乘以得， 令，则，于是 解得，. 由②知，当从到变化时，从减小至， 即直径条件给出. 又椭圆面积大于圆面积，即 代入及，得： 联立与，得, 其中，， 因此，特征值的取值范围为. 故答案为：. 12. 已知非空集合A，B满足，，可知使得函数为偶函数的非空集合对的数量为__________. 【答案】7 【解析】 【分析】根据函数和的图象，结合偶函数的图象特征，即可列举求解. 【详解】令，解得或， 在同一坐标系下画出函数和的图象， ，或， 或或 或或 或都是偶函数. 所以满足条件的数对有7对. 故答案为：7 二、选择题（4题，共18分，13~14每题4分，15~16每题5分） 13. “某点是抛物线的顶点”是“从该点分别作两条坐标轴的平行线，一条是抛物线的对称轴，一条是抛物线的切线”的（ ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】从抛物线的性质得到必要性成立，举出反例得到充分性不成立，从而得到答案. 【详解】从抛物线的某个点分别作两条坐标轴的平行线，一条是抛物线的对称轴，一条是抛物线的切线， 则该点为抛物线的顶点，故必要性成立， 但如果该抛物线经过旋转，如顺时针旋转后得到的抛物线，则从该抛物线的顶点分别作两条坐标轴的平行线， 则不能满足一条是抛物线的对称轴，一条是抛物线的切线，充分性不成立， 故“某点是抛物线的顶点”是“从该点分别作两条坐标轴的平行线，一条是抛物线的对称轴，一条是抛物线的切线”的必要非充分条件. 故选：B 14. 已知复数z满足，则（ ）． A. B. C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】根据复数的除法运算化简，即可由模的公式求解. 【详解】由可得， 故， 故选：C 15. 已知函数的定义域均为，给出下列两个命题： 命题甲：若均为奇函数，则均为奇函数； 命题乙：若均为上的严格增函数，则至少有一个是上的严格增函数． 下列说法正确的是（ ） A. 甲是真命题，乙是真命题 B. 甲是真命题，乙是假命题 C. 甲是假命题，乙是真命题 D. 甲是假命题，乙是假命题 【答案】B 【解析】 【分析】由函数的奇偶性的定义可判断命题甲；利用赋值法可判断命题乙. 【详解】因为均为奇函数， 所以，① ，② ；③ ①+②+③得, 所以，④ ④-①得，④-②得，④-③， 所以. 所以均为奇函数，故命题甲为真命题； 取， 所以， 则均为上的严格增函数， 但在上均不为严格增函数，故命题乙是假命题. 故选：B. 16. 如图所示，直角三角形所在平面垂直于平面，一条直角边在平面内，另一条直角边长为且，若平面上存在点，使得的面积为，则下列命题正确的有（ ） ①：点P在平面上的轨迹为椭圆 ②：线段长度的最小值为1 ③：线段长度的最大值为3 A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③ 【答案】B 【解析】 【分析】利用面面垂直证明平面，再建立空间直角坐标系，通过点到直线的距离计算，结合面积得到动点的轨迹方程，可确定轨迹为椭圆，再利用距离的坐标运算，结合椭圆的有界性，即可求得最值. 【详解】因为平面平面，平面平面，平面，， 所以平面. 如图建立空间直角坐标系， 在直角三角形中，由，，可得， 所以，设， 则， 所以点到的距离为： 所以的面积为， 平方化简上式得：， 由上可得：点P在平面上的轨迹为椭圆，故①正确； 由，则，把代入可得： 因为，所以， 即当时，，故②错误； 当时，，故③正确； 综上正确的是：①③， 故选：B. 三、解答题（5题，共78分，17~19每题14分，20~21每题18分） 17. 2025年11月9日至11月21日，第15届全运会在广东，香港，澳门成功举办，某运动场馆内共有志愿者36名，其中男生12名，女生24名，这些志愿者中会说日语和会说韩语的人数统计如下： 男生志愿者 女生志愿者 会说日语 8 12 会说韩语 其中均为正整数，． （1）从这36名志愿者中随机抽取两名作为某活动主持人，求：抽取的两名志愿者中至少有一名会说日语的概率； （2）从这些志愿者中随机抽取一名去接待外宾，用表示事件“抽到的志愿者是男生”，用表示事件“抽到的志愿者会说韩语”；试给出所有符合条件的的值，使得事件与相互独立，并说明理由． 【答案】（1） （2），或，或，，理由见解析 【解析】 【分析】（1）利用古典概型以及对立事件的概率公式可得答案； （2）利用独立事件的判定公式可得答案. 【小问1详解】 设事件“抽取的两名志愿者中至少有一名会说日语”为 ，则其对立事件为“两名志愿者都不会说日语”， 由题意，志愿者总人数为 36，其中会说日语的人数为 ，故不会说日语的人数为 ， 于是 所以，抽取的两名志愿者中至少有一名会说日语的概率为 . 【小问2详解】 由题意， 事件  与  相互独立的充要条件是 即， 化简得 又  均为正整数，且 ，同时需满足 ， 当  时，； 当  时，； 当  时，. 因此，符合条件的  的值为： 18. 在中，角所对的边分别为，且 （1）若成等比数列，求角的大小； （2）若，且，求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意，利用数量积的定义化简得到，再由余弦定理得到，结合，求得，即可求解； （2）由（1）知，根据题意，利用正弦定理可得，联立方程组求得的值，结合余弦定理求得，得到，利用面积公式，即可求解. 【小问1详解】 因， 根据向量的数量积的定义，可得， 由余弦定理可得，整理得， 因为成等比数列， 所以，解得 所以为等边三角形，所以. 小问2详解】 解：由（1）知， 又由，根据正弦定理可得， 联立方程组，解得， 因为，所以，， 由余弦定理可得，所以， 所以的面积为. 19. 如图，已知梯形；E为线段上一动点，过点E作交线段于点F，连接，将沿翻折． （1）当平面平面时，若，求：到平面的距离； （2）若三棱锥体积和 同时达到最大值，求：与平面所成角的大小． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）过点作，过点作，根据平面知识求出梯形各边长，再利用面面垂直可证明出平面，即可证明平面平面，从而可得平面，再利用比例关系即可求解到平面的距离； （2）利用三棱锥的体积在平面平面时取得，再利用面积计算公式，结合平行线分线段成比例来求面积比值的最大值，即可得为三角形的中位线，从而可证明平面，即可得线面角的大小. 【小问1详解】 过点作，垂足为，由，可知为中点. 因为，所以可设， 因为为中点，所以，即， 又因为所以，即， 所以，即， 所以. 又因为平面平面，平面平面，，平面， 所以平面，又因为平面，所以平面平面， 又因为平面平面，在平面内，过点作， 所以平面. 在直角三角形中，， 即点到平面的距离为 又因为，所以， 则点到平面的距离等于点到平面的距离的倍，即， 因为，所以到平面的距离为. 【小问2详解】 要使得三棱锥体积达到最大值，则满足平面平面， 由平面平面，，平面， 所以平面. 由， 因为，所以可设， 则， 即当时，取到最大值，此时与重合，为三角形的中位线， 此时平面， 故与平面所成角的大小为. 20. 已知双曲线的离心率为，点在双曲线上． （1）求双曲线的标准方程； （2）设点是双曲线上的动点，是圆上的动点，且直线与圆相切，求的最小值； （3）如图，是双曲线上两点，直线与轴分别交于点，点在直线上．若关于原点对称，且，证明：存在点，使得为定值． 【答案】（1） （2） （3）当为的中点时，，证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据题意，列出方程组，求得，即可求得双曲线的方程； （2）根据直线与圆相切得，设，则，从而，进而求得 （3）设直线的方程为，联立方程组，设，得到，得出直线的方程求得和，结合为的中点，列出方程求得，求得为定值，利用直角的性质，即可求解. 【小问1详解】 因为双曲线的离心率为，且在双曲线上， 可得，解得， 所以双曲线的方程为. 【小问2详解】 圆的圆心，半径为， ∵是圆上的动点，直线与圆相切， ∴，. 设，因为点是双曲线上的动点，，， 当时，取得最小值，且 【小问3详解】 由题意知，直线的斜率存在，设直线的方程为， 联立方程组，整理得， 则且， 设，则， 直线的方程为， 令，可得，即, 同理可得， 因为为的中点，所以， 即， 则， 可得， 整理得， 所以或， 若，即，则直线方程为，即， 此时直线过点，不合题意； 若时，则直线方程为，恒过定点， 所以为定值， 又由为直角三角形，且为斜边， 所以当为的中点时，. 21. 定义：对于，，若，则称为和的“一一值”；若，则称为和的“零二值”． （1）求与自身所有“零二值”的取值集合的子集； （2）求和的“一一值”的个数； （3）判断：对于定义域为的函数和，大于1的正数a满足：“任意x均为和的‘一一值’和‘零二值’”是命题“”的什么条件并说明理由． 【答案】（1）； （2）2； （3）充要条件，理由见解析 【解析】 【分析】（1）根据“零二值”的定义求出所有“零二值”的取值，再由子集定义即可求解； （2）分和两种情况求解方程即可得解； （3）分别求证充分性和必要性即可得解. 【小问1详解】 由题， 令即，解得或， 所以与自身所有“零二值”的取值共有3个，构成的集合为， 所以与自身所有“零二值”的取值集合的子集为. 【小问2详解】 由题和，令， 则当时，，即，解得（舍去）或； 当时，即即，解得（舍去）或. 所以和的“一一值”的个数为2个. 【小问3详解】 对于定义域为的函数，大于1的正数a满足：“任意x均为和的‘一一值’和‘零二值’”是命题“”的充要条件， 理由如下：任意x均为和的‘一一值’和‘零二值’， 则任意x均满足且，又， 则（c为常数）， 所以，所以，充分性成立； 当时，对任意x均有且， 所以任意x均为和的‘一一值’和‘零二值’必要性成立. 所以对于定义域为的函数和，大于1的正数a满足：“任意x均为和的‘一一值’和‘零二值’”是命题“”的充要条件. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $