精品解析：上海市中国中学2026-2027学年高三上学期第一次阶段测试数学试卷

2026学年第一学期高三第一次阶段测试（数学） （满分150分，时间120分钟） 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1. 已知集合，，则__________________ 【答案】 【解析】 【分析】根据交集的定义求解即可. 【详解】因为，， 所以. 故答案为：. 2. 若复数z满足（其中i表示虚数单位），则复数z的虚部为________. 【答案】## 【解析】 【详解】， 因此复数z的虚部为. 3. 已知函数，则____________． 【答案】1 【解析】 【分析】根据给定条件，把代入，利用指数、对数运算计算作答. 【详解】函数，所以. 故答案为：1 4. 已知、为实数，且函数，是偶函数，则_____. 【答案】 【解析】 【分析】根据定义域关于原点对称及求出参数的值. 【详解】因为函数，是偶函数， 所以，解得，又，即， 所以，所以，解得， 所以. 故答案为： 5. 若正数满足，则的最小值为______. 【答案】## 【解析】 【分析】根据基本不等式求解． 【详解】由已知，当且仅当，即时等号成立，故所求最小值是． 故答案为：． 6. 在的展开式中，的系数为_________． 【答案】 【解析】 【分析】由二项式展开式的通项公式写出其通项公式，令确定的值，然后计算项的系数即可. 【详解】展开式的通项公式， 令可得，， 则项的系数为. 故答案为：60. 7. 已知为等比数列，，，则______. 【答案】 【解析】 【分析】根据等比数列公式对化简得，联立求出，最后得. 【详解】设的公比为，则，显然， 则，即，则，因为，则， 则，则，则， 故答案为：. 8. 从0、1、2、3、4、5、6、7、8、9这10个数中任取5个不同的数，则这5个不同的数的中位数为5的概率是________． 【答案】 【解析】 【分析】先求得基本事件的总数，以及这5个不同的数的中位数为5的基本事件的个数，再利用古典摡型的概率计算公式，即可求解. 【详解】根据题意，从10个数中任取5个数，则基本事件的总数为， 又由这5个数的中位数是5的基本事件为， 所以这5个不同的数的中位数为5的概率为. 故答案为：. 9. 已知是边长为2的等边三角形,为平面内一点，则的最小值是______． 【答案】 【解析】 【分析】建立直角坐标系,求出三角形各顶点的坐标,设出的坐标,运用向量坐标表示的加法和数量积运算的公式,化简,配方最后求出最小值. 【详解】建立如下图所示的直角坐标系, ， ,则有, 当,取得最小值. 故答案为： 【点睛】本题考查了数量积的最小值问题,应用平面向量坐标运算、配方法是解题的关键. 10. 已知椭圆的焦点为，，过的直线交于，，若，，则的方程为________． 【答案】 【解析】 【分析】设椭圆方程为，根据题目中线段长度的比例关系，以及椭圆的第一定义，可以得到点的坐标的表达式，代入椭圆方程即可求解参数的值 【详解】 如上图所示，设，则根据题意可得：，所以，，所以，且，所以，即，可得：点A为椭圆的上顶点；过点B作轴，所以，，所以B点坐标为 设椭圆方程为，将点代入椭圆方程得：，解得：，又因为，所以，所以椭圆方程为： 故答案为： 11. 已知，若，使得，若的最大值为，最小值为，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】作出函数的图像，计算函数的对称轴，设，数形结合判断得时，取最小值，时，取最大值，再代入解析式从而求解出另外两个值，从而得和，即可求解. 【详解】作出函数的图像如图所示，令，则函数的对称轴为，由图可知函数关于，，对称，设，则当时，取最小值，此时，可得，故；当时，取最大值，此时，可得，故，所以. 故答案为： 【点睛】解答该题的关键是利用数形结合，利用三角函数的对称性与周期性判断何时取得最大值与最小值，再代入计算. 12. 已知函数，.给出下列四个结论： ①在区间上单调递减；②当时，存在最大值； ③设，，则； ④设，．若存在最小值，则的取值范围是． 其中所有正确结论的序号是________． 【答案】②③ 【解析】 【分析】先分析的图像，再逐一分析各结论；对于①，取，结合图像即可判断；对于②，分段讨论的取值范围，从而得以判断；对于③，结合图像可知的范围；对于④，取，可知此时存在最小值，从而得以判断. 【详解】函数， 对于①：取，则的图像如下： 显然，当时，即，在上调递增，①错误； 对于②：当时，； 当时，，最大值为； 当时，， 因此的最大值为，函数存在最大值，②正确； 对于③：已知当时，在，且接近于处，的距离最小， 当时，，当且接近于处，， 此时，， 当时，且接近于处，的距离最小， 此时，③正确； 对于④：取，则的图像如下： 因为，， 结合图像可知，要使取得最小值，则点在上，点在， 同时的最小值为点到的距离减去半圆的半径， 此时，因为的斜率为，则，故直线的方程为， 联立，解得，则， 显然在上，满足取得最小值， 即也满足存在最小值，故的取值范围不仅仅是，④错误. 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分） 13. 对于任意实数a、b、c、d，下列命题是真命题的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，，则 D. 若，，则 【答案】D 【解析】 【详解】A：当时，显然，但是不成立， 因此本选项命题不是真命题； B：若，显然不成立，因此本选项命题不是真命题； C：若，显然，成立，但是不成立，因此本选项命题不是真命题； D：由不等式可知：，能推出，因此本选项命题是真命题. 14. 函数的图象如图所示，为函数的导函数，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先判断的符号，由此求得不等式的解集. 【详解】由图象可知，在区间上， 在区间上， 所以不等式的解集为. 故选：C 15. 已知，，若曲线上存在点满足：，则的取值范围是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据双曲线的定义及直线与双曲线相交求解的取值范围. 【详解】由，知，. 因为点满足：，即 ，且， 所以点在以为焦点的双曲线的左支上，设其方程为， 则其焦距，实轴长，所以，，所以， 所以点在双曲线的左支上，其渐近线方程为. 由曲线方程得. 因为曲线上存在点满足：， 所以直线与双曲线的左支有交点，所以. 故选：A. 16. 函数的定义域、值域均为，定义集合.给出如下两个结论：①存在函数，使得对任意实数均有；②对任意函数，都存在实数，使得对任意实数均有.下面判断正确的是（ ） A. ①正确，②正确 B. ①正确，②错误 C. ①错误，②正确 D. ①错误，②错误 【答案】B 【解析】 【分析】对于①，根据定义找到满足条件的一个函数进行说明即可；对于②，假设，分讨论即可说明②不成立. 【详解】假设，在上单调递增函数， 对于任意实数，， ，，，，故①正确； 设，当时，，， 此时取，则，不满足； 当时，，取，则， 因为，所以，所以， 此时，不满足； 当时，， 取，则，不满足. 综上，不存在实数，使得对任意均有.故②错误. 故选：B. 三、解答题（本大题共有5题，满分78分） 17. 在直三棱柱中，，，，连接，、分别为和的中点． （1）证明：直线平面； （2）求二面角的大小． 【答案】（1）证明： 如图所示： 连接，因为、分别为和的中点， 所以，又平面，平面， 所以直线平面； （2） 【解析】 【分析】（1）连接，易得，再利用线面平行的判定定理证明； （2）建立空间直角坐标系，求得平面的一个法向量，易知平面ABC的一个法向量，设二面角的大小为，由 求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 建立如图所示空间直角坐标系， 则， 所以， 设平面的一个法向量为， 则 ，即 ， 令 ，得 ，则 ， 易知平面ABC的一个法向量为： ， 设二面角的大小为， 则 ， 二面角的大小为. 18. 一家水果店的店长为了解本店苹果的日销售情况，记录了过去20天苹果的日销售量（单位：kg），按从小到大的排序结果如下：62，74，75，84，84，85，85，85，86，87，89，92，93，94，97，99，101，104，107，117． （1）求该水果店过去20天苹果日销售量的平均数； （2）若以过去20天苹果的日销售量的第80百分位数作为下个月每日苹果的平均进货量，试确定下个月每日苹果的平均进货量； （3）若从过去20天中随机抽取3天，分别求“3天中每天的苹果销售量均超过90kg”与“3天中恰有2天的苹果销售量超过90kg”的概率． 【答案】（1） （2） （3）， 【解析】 【分析】（1）根据平均数的定义即可求解； （2）根据百分位数的定义即可求解； （3）根据古典概率公式即可求解. 【小问1详解】 该水果店过去20天苹果日销售量的平均数. 【小问2详解】 因为，所以第百分位数为，所以下个月每日苹果的平均进货量为. 【小问3详解】 20天中苹果销售量超过的有9天. 设“3天中每天的苹果销售量均超过”为事件，“3天中恰有2天的苹果销售量超过”为事件， 则，. 19. 某地实行垃圾分类后，政府决定为三个小区建造一座垃圾处理站M，集中处理三个小区的湿垃圾.已知在的正西方向，在的北偏东方向，在的北偏西方向，且在的北偏西方向，小区与相距与相距. （1）求垃圾处理站与小区之间的距离； （2）假设有大、小两种运输车，车在往返各小区、处理站之间都是直线行驶，一辆大车的行车费用为每公里元，一辆小车的行车费用为每公里元(其中为满足是内的正整数) .现有两种运输湿垃圾的方案： 方案1:只用一辆大车运输，从出发，依次经再由返回到； 方案2:先用两辆小车分别从运送到，然后并各自返回到，一辆大车从直接到再返回到.试比较哪种方案更合算?请说明理由. 结果精确到小数点后两位 【答案】（1）公里；（2）当时，方案二合算；当时，方案一合算. 【解析】 【分析】 （1）算出的所有内角后，利用正弦定理即可得解； （2）计算出路线长度后分别写出两种方案的成本，比较大小即可得解. 【详解】（1）在中，，，，. 由正弦定理得：，. 所以垃圾处理站与小区间的距离为公里. （2）在中，由得： 在中，，， ，. 方案一费用:， 方案二费用: 当时，方案二合算，此时； 当时，方案一合算， 此时； 综上，当时， 方案二合算；当时，方案一合算. 【点睛】本题考查了解三角形的应用和函数的应用，属于基础题. 20. 已知椭圆的左、右焦点分别为和，点是的长轴上的动点，点为上的动点，且异于点． （1）当点位于椭圆的左焦点，且、、能构成三角形时，求的周长； （2）当点位于椭圆的左顶点时，直线与轴交于点，，求实数的值； （3）当点与椭圆的左、右顶点均不重合时，记直线与椭圆的另一个交点为，过点作直线与椭圆交于、两点，设和分别为弦和弦的中点，若、、、为四个相异的点，，且直线恒过定点，求点的坐标． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据焦点三角形的周长计算公式求解出结果； （2）联立直线与椭圆方程，求得点坐标，然后根据纵坐标求得的值； （3）先判断出的位置关系，然后通过联立直线与椭圆方程求得中点的坐标，由此可表示出直线的方程，根据直线过定点可求解出结果. 【小问1详解】 由椭圆方程可知，， 所以的周长为； 【小问2详解】 因为，所以，则，即， 联立，可得，解得或，所以， 因为，所以， 所以； 【小问3详解】 因为，所以， 所以， 所以 ，所以，所以； 当中有一条直线斜率不存在时，此时一定有一条弦的中点和点重合，故不符合条件； 当为坐标原点时，此时均与点重合，故不符合条件； 由上可知，的斜率都存在， 设，， 联立，可得， 所以，所以，所以，所以， 同理可得，即， 所以，所以， 令，解得， 因为直线恒过定点，所以，所以， 所以. 21. 已知函数，其中 . （1）求函数的单调区间； （2）设函数，问:函数的图像上是否存在三点，使得它们的横坐标成等差数列，且直线 的斜率等于 在点 处的切线的斜率? 若存在，求出所有满足条件的点的坐标; 若不存在，说明理由; （3）证明: 函数 图像上任意一点都不落在函数 图像的下方 【答案】（1）单调递减区间为，单调递增区间为 （2） ，假设存在三点满足条件， 设三点的横坐标分别为 则，， 即，即，令，则， 当且仅当时等号成立，所以严格增，只有一个零点，矛盾， 所以不存在满足条件的三点. （3） 令，只需证明当时，恒成立. 由， 当时，显然严格增， 当是，分两段， ①当时，，所以； ②当时，， 令，则，再令， 则，当时，，所以单调递增， 所以，即，所以单调递增， 所以，所以，， 综上可知，， 所以 图像上任意一点都不落在函数 图像的下方. 【解析】 【分析】（1）求出函数导数，利用导数求解函数的单调区间； （2）利用反证法，先假设存在，化简后得出矛盾即可证明； （3）构造新函数，原题转化为求证新函数的最小值不小0即可. 【小问1详解】 定义域为，， 显然在上严格增，且. 所以当时，；当时，. 的单调递减区间为，单调递增区间为. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 【点睛】关键点点睛：第三问中，图象位置关系转化为函数之差的最小值不小于0即可，再构造函数，利用导数求出函数的最小值即可得证. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026学年第一学期高三第一次阶段测试（数学） （满分150分，时间120分钟） 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1. 已知集合，，则__________________ 2. 若复数z满足（其中i表示虚数单位），则复数z的虚部为________. 3. 已知函数，则____________． 4. 已知、为实数，且函数，是偶函数，则_____. 5. 若正数满足，则的最小值为______. 6. 在的展开式中，的系数为_________． 7. 已知为等比数列，，，则______. 8. 从0、1、2、3、4、5、6、7、8、9这10个数中任取5个不同的数，则这5个不同的数的中位数为5的概率是________． 9. 已知是边长为2的等边三角形,为平面内一点，则的最小值是______． 10. 已知椭圆的焦点为，，过的直线交于，，若，，则的方程为________． 11. 已知，若，使得，若的最大值为，最小值为，则__________． 12. 已知函数，.给出下列四个结论： ①在区间上单调递减；②当时，存在最大值； ③设，，则； ④设，．若存在最小值，则的取值范围是． 其中所有正确结论的序号是________． 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分） 13. 对于任意实数a、b、c、d，下列命题是真命题的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，，则 D. 若，，则 14. 函数的图象如图所示，为函数的导函数，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 15. 已知，，若曲线上存在点满足：，则的取值范围是（　　） A. B. C. D. 16. 函数的定义域、值域均为，定义集合.给出如下两个结论：①存在函数，使得对任意实数均有；②对任意函数，都存在实数，使得对任意实数均有.下面判断正确的是（ ） A. ①正确，②正确 B. ①正确，②错误 C. ①错误，②正确 D. ①错误，②错误 三、解答题（本大题共有5题，满分78分） 17. 在直三棱柱中，，，，连接，、分别为和的中点． （1）证明：直线平面； （2）求二面角的大小． 18. 一家水果店的店长为了解本店苹果的日销售情况，记录了过去20天苹果的日销售量（单位：kg），按从小到大的排序结果如下：62，74，75，84，84，85，85，85，86，87，89，92，93，94，97，99，101，104，107，117． （1）求该水果店过去20天苹果日销售量的平均数； （2）若以过去20天苹果的日销售量的第80百分位数作为下个月每日苹果的平均进货量，试确定下个月每日苹果的平均进货量； （3）若从过去20天中随机抽取3天，分别求“3天中每天的苹果销售量均超过90kg”与“3天中恰有2天的苹果销售量超过90kg”的概率． 19. 某地实行垃圾分类后，政府决定为三个小区建造一座垃圾处理站M，集中处理三个小区的湿垃圾.已知在的正西方向，在的北偏东方向，在的北偏西方向，且在的北偏西方向，小区与相距与相距. （1）求垃圾处理站与小区之间的距离； （2）假设有大、小两种运输车，车在往返各小区、处理站之间都是直线行驶，一辆大车的行车费用为每公里元，一辆小车的行车费用为每公里元(其中为满足是内的正整数) .现有两种运输湿垃圾的方案： 方案1:只用一辆大车运输，从出发，依次经再由返回到； 方案2:先用两辆小车分别从运送到，然后并各自返回到，一辆大车从直接到再返回到.试比较哪种方案更合算?请说明理由. 结果精确到小数点后两位 20. 已知椭圆的左、右焦点分别为和，点是的长轴上的动点，点为上的动点，且异于点． （1）当点位于椭圆的左焦点，且、、能构成三角形时，求的周长； （2）当点位于椭圆的左顶点时，直线与轴交于点，，求实数的值； （3）当点与椭圆的左、右顶点均不重合时，记直线与椭圆的另一个交点为，过点作直线与椭圆交于、两点，设和分别为弦和弦的中点，若、、、为四个相异的点，，且直线恒过定点，求点的坐标． 21. 已知函数，其中 . （1）求函数的单调区间； （2）设函数，问:函数的图像上是否存在三点，使得它们的横坐标成等差数列，且直线 的斜率等于 在点 处的切线的斜率? 若存在，求出所有满足条件的点的坐标; 若不存在，说明理由; （3）证明: 函数 图像上任意一点都不落在函数 图像的下方 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $