精品解析：内蒙古自治区科尔沁左翼中旗第四中学2026-2027学年九年级上学期第一次学业水平质量监测数学试题

2026-2027年度上学期九年级第一次学业水平质量监测数学试题 注意事项： 1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第I卷（选择题） 一、单选题（共24分） 1. 下列方程中，①；②；③；④；⑤．是一元二次方程的有（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 2. 抛物线 的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 3. 已知二次函数的图象与轴有交点，则的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 4. 已知反比例函数，下列说法正确的是（ ） A. 当时，随的增大而增大 B. 当时，随的增大而增大 C. 该函数的图象位于第二、四象限 D. 点在该函数的图象上 5. 在反比例函数（k为常数）有三点，，，若，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 6. 二次函数的图象如图所示，则一次函数和反比例函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ） A. B. C. D. 7. 已知关于的方程有实数根，则实数满足的条件是（ ） A. B. 且 C. 且 D. 8. 如图，在长，宽的长方形花园中，欲修宽度相等的观赏路（如阴影部分所示），要使观赏路面积占总面积的，若设路宽为，则x应满足的方程是（ ） A. B. C. D. 第II卷（非选择题） 二、填空题（共12分） 9. 在实数范围内定义一种运算“※”，其规则为，根据这个规则，若，则x的值为___________． 10. 将二次函数的图象先向左平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到的二次函数解析式为___________（写顶点式）． 11. 如图，A，B是反比例函数在第一象限内的图象上的两点，且A，B两点的横坐标分别是2和3，则的面积是_______． 12. 二次函数的图象如图所示，则下列结论： ①，②，③，④，⑤（）（）中正确的是__________． 三、解答题（共64分） 13. 用适当方法解下列一元二次方程 （1）； （2）； （3）． 14. 已知与成正比例，与成反比例，当时，；当时，． （1）求y与x的函数关系式； （2）当时，求y的值． 15. 若关于x的一元二次方程有两个实数根，． （1）求m的取值范围； （2）若，恰好是对角线长为6的矩形的相邻两边的边长，求m的值， 16. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于两点，直线与轴交于点，其中点的坐标为，点的坐标为． （1）求反比例函数和一次函数的表达式； （2）点P在轴上，连接，若，求点P的坐标； （3）根据图象，直接写出满足的的取值范围． 17. 项目化学习 项目主题：济源黄花的最优销售单价 项目背景：黄花，学名萱草，俗称金针菜．济源黄花因其营养价值极高，在全国独树一帜，可称“国内一绝”．某校学习小组以探究“济源黄花的最优销售单价”为主题展开项目学习． 驱动任务：探究济源黄花销售总利润与销售单价的关系． 研究步骤： （1）学习小组到某农副特产专卖店了解到济源特级黄花干货的成本为80元/千克； （2）该店在试营业期间，不断调整销售单价，并对黄花的销售量进行统计（不考虑其他因素）； （3）数据分析，得出结论． 收集数据： 黄花销售单价（元/千克） … 92 96 100 104 108 … 每月销售数量（千克） … 880 840 800 760 720 … 问题解决：请根据此项目实施的相关信息完成下列任务： （1）据表中信息可知：该黄花每月的销售数量（千克）是黄花的销售单价（元/千克）的___________函数（选填“一次”或“二次”），与的函数关系式为___________． （2）现计划在月销售成本不超过40000元的情况下，使得月销售利润达到24000元，销售单价应定为多少？ （3）若要使每月销售黄花的利润w（元）最大，请通过计算说明黄花的最优销售单价，并求出最大利润 18. 如图，已知抛物线经过，两点，与y轴的交点为C，顶点为D． （1）求该抛物线的表达式及D点的坐标； （2）点P为该抛物线上一动点（与点B、C不重合），设点P的横坐标为m． ①当点P在直线的下方运动时，求的面积的最大值； ②点P在抛物线上，点Q在y轴上，是否存在以B、D、P、Q为顶点的四边形为平行四边形？若存在，直接写出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027年度上学期九年级第一次学业水平质量监测数学试题 注意事项： 1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第I卷（选择题） 一、单选题（共24分） 1. 下列方程中，①；②；③；④；⑤．是一元二次方程的有（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是．根据一元二次方程的定义解答即可． 【详解】解：一元二次方程有：①③⑤共个， ②是分式方程，不是一元二次方程； ④是二元一次方程，不是一元二次方程； 故选：C． 2. 抛物线 的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：∵ 抛物线为顶点式的形式，其中，， ∴ 顶点坐标为. 3. 已知二次函数的图象与轴有交点，则的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 【答案】C 【解析】 【分析】根据抛物线与x轴的交点与的符号有关，可得答案． 【详解】解：∵二次函数的图象和轴有交点， ∴，且， ∴且， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了抛物线与x轴的交点，明确的符号决定了抛物线与x轴的交点个数是解题的关键． 4. 已知反比例函数，下列说法正确的是（ ） A. 当时，随的增大而增大 B. 当时，随的增大而增大 C. 该函数的图象位于第二、四象限 D. 点在该函数的图象上 【答案】D 【解析】 【分析】根据反比例函数的性质和图象上点的坐标特征，对各选项逐一判断即可． 【详解】解：已知反比例函数，其中， ∵ ， ∴ 反比例函数图象位于第一、三象限，且在每个象限内，随的增大而减小，因此选项C错误； 当时，随的增大而减小，故选项A错误； 当时，随的增大而减小，故选项B错误； 对选项D，将代入，得，与点的纵坐标相等， ∴ 点在该函数图象上，选项D正确． 5. 在反比例函数（k为常数）有三点，，，若，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据偶次方的非负性，得，再根据反比例函数的图象的特点解决此题． 【详解】解：， ． 反比例函数（k为常数）的函数图象在第一、第三象限；在第一象限内，随着的增大而减小；在第三象限内，随着的增大而减小． ， ，，即． 故选：C． 【点睛】本题主要考查反比例函数图象的特点，熟练掌握反比例函数的图象的特点是解决本题的关键． 6. 二次函数的图象如图所示，则一次函数和反比例函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据抛物线开口朝上确定的符号；抛物线与y轴的正半轴有一个交点可确定的符号；再根据抛物线的对称轴处在y轴的右侧，结合的符号，可以确定的符号，问题随之得解． 【详解】解：∵抛物线开口朝上， ∴， ∵抛物线与y轴的正半轴有一个交点， ∴， 根据抛物线的图象可知，抛物线的对称轴处在y轴的右侧， ∴对称轴， ∵， ∴， ∵，，， ∴一次函数的图象经过第一、三、四象限，反比例函数的图象在第一、三象限，即D选项符合题意． 7. 已知关于的方程有实数根，则实数满足的条件是（ ） A. B. 且 C. 且 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查一元一次方程及一元二次方程的定义、一元二次方程根的情况与判别式关系：当一元二次方程有两个不相等的实数根；当一元二次方程有两个相等的实数根；当一元二次方程无实数根；熟记一元二次方程根的情况与判别式关系，得出不等式求解是解决问题的关键． 根据一元一次方程及一元二次方程的定义，分两种情况：当或，对于，由一元一次方程解的情况判断；当，根据一元二次方程根的情况与判别式的关系可知，得，解不等式即可确定答案． 【详解】解：∵ 方程有实数根， ①当时，方程为，解得，满足题意； ②当时，方程为一元二次方程， 则判别式， 解得， 故且； 综上所述，实数满足． 8. 如图，在长，宽的长方形花园中，欲修宽度相等的观赏路（如阴影部分所示），要使观赏路面积占总面积的，若设路宽为，则x应满足的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设路宽为x，所剩下的观赏面积的宽为，长为，根据要使观赏路面积占总面积，可列方程求解． 本题考查理解题意的能力，关键是表示出剩下的长和宽，根据面积列方程． 【详解】解：设路宽为，由题意得， ， 即． 故选：B． 第II卷（非选择题） 二、填空题（共12分） 9. 在实数范围内定义一种运算“※”，其规则为，根据这个规则，若，则x的值为___________． 【答案】2或8 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程的应用，解此题的关键是能把一元二次方程转化成一元一次方程．先根据新定义得出方程，再分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ∴， ∴或， 解得，， 故答案为：2或8． 10. 将二次函数的图象先向左平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到的二次函数解析式为___________（写顶点式）． 【答案】 【解析】 【分析】利用二次函数图象平移规律“左加右减自变量，上加下减常数项”计算得到新解析式． 【详解】解：原二次函数解析式为， 将图象向左平移3个单位长度，根据平移规律对自变量左加，得到， 即再将图象向上平移2个单位长度，根据平移规律对常数项上加，得到， 整理得新二次函数解析式为． 11. 如图，A，B是反比例函数在第一象限内的图象上的两点，且A，B两点的横坐标分别是2和3，则的面积是_______． 【答案】##2.5 【解析】 【分析】先根据反比例函数图象上点的坐标特征及A，B两点的横坐标，求出A（2，3），B（3，2）．再过A，B两点分别作AC⊥x轴于C，BD⊥x轴于D，根据反比例函数系数k的几何意义得出S△AOC＝S△BOD＝×6＝3．根据S四边形AODB＝S△AOB+S△BOD＝S△AOC+S梯形ABDC，得出S△AOB＝S梯形ABDC，利用梯形面积公式求出S梯形ABDC，从而求得S△AOB． 【详解】解：∵A，B是反比例函数y＝在第一象限内的图象上的两点，且A，B两点的横坐标分别是2和3， ∴当x＝2时，y＝3，即A（2，3）， 当x＝3时，y＝2，即B（3，2）． 如图，过A，B两点分别作AC⊥x轴于C，BD⊥x轴于D，则S△AOC＝S△BOD＝×6＝3． ∵S四边形AODB＝S△AOB+S△BOD＝S△AOC+S梯形ABDC， ∴S△AOB＝S梯形ABDC， ∵S梯形ABDC＝（BD+AC）•CD＝×（3+2）×1＝2.5， ∴S△AOB＝2.5． 故答案为2.5． 【点睛】考查了反比例函数y＝中k的几何意义，即图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S的关系即S＝|k|．也考查了反比例函数图象上点的坐标特征，梯形的面积． 12. 二次函数的图象如图所示，则下列结论： ①，②，③，④，⑤（）（）中正确的是__________． 【答案】①②③④ 【解析】 【分析】根据抛物线的开口方向、对称轴位置、与坐标轴的交点位置判断的符号及关系，利用，时的函数值及对称轴公式进行推导验证各结论． 【详解】解：①抛物线开口向下， ， 对称轴在轴右侧， ，即异号， ． 抛物线与轴交点在轴上方， ， ，故①正确； ②当时，图象在轴下方， ， ，故②正确； ③对称轴为直线， ，即，由②知， ， ， ，故③正确； ④对称轴为直线， 与关于对称轴对称， 当时，， 当时，，故④正确； ⑤抛物线开口向下，对称轴为直线， 当时，取最大值， ， ， ，故⑤错误． 综上所述，正确的结论是①②③④． 三、解答题（共64分） 13. 用适当方法解下列一元二次方程 （1）； （2）； （3）． 【答案】（1） （2） （3）原方程没有实数根 【解析】 【分析】此题考查解一元二次方程，掌握解方程的方法：直接开平方法、公式法、配方法、因式分解法，根据每个方程的特点选用恰当的解法是解题的关键． （1）利用因式分解法解方程； （2）利用因式分解法解方程； （3）利用配方法解方程． 【小问1详解】 解： 因式分解得： 所以或 解得： 【小问2详解】 解： 整理得： 分解因式得： 即 所以或 解得： 【小问3详解】 解： 方程整理得： 配方得： 即 ∴原方程没有实数根． 14. 已知与成正比例，与成反比例，当时，；当时，． （1）求y与x的函数关系式； （2）当时，求y的值． 【答案】（1） （2）5 【解析】 【分析】本题主要考查对解二元一次方程组，用待定系数法求函数的解析式，求代数式的值等 （1）设，，得到，把，代入得到方程组，求出方程组的解即可； （2）把代入解析式求出即可． 【小问1详解】 解：与成正比例，与成反比例， 设，， ， ， 把，代入得：， 解得：， ， 答：与的函数关系式是． 【小问2详解】 解：当时，， 答：当时，的值是5． 15. 若关于x的一元二次方程有两个实数根，． （1）求m的取值范围； （2）若，恰好是对角线长为6的矩形的相邻两边的边长，求m的值， 【答案】（1） （2）3 【解析】 【分析】本题主要考查了根据一元二次方程根的情况求参数，根与系数的关系，矩形的性质等知识． （1）由方程有两个实数根结合根的判别式即可求解； （2）根据根与系数的关系和矩形的性质可得出关于的一元二次方程，求解即可， 本题考查了根与系数的关系，根的判别式，矩形的性质等知识，掌握相关知识是解题的关键． 【小问1详解】 解：根据题意，得， 解得：； 【小问2详解】 解：由根与系数的关系可知，， ∵，恰好是对角线长为6的矩形的相邻两边的边长， ∴， 整理，得， ∴， 又∵，且， ∴ 16. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于两点，直线与轴交于点，其中点的坐标为，点的坐标为． （1）求反比例函数和一次函数的表达式； （2）点P在轴上，连接，若，求点P的坐标； （3）根据图象，直接写出满足的的取值范围． 【答案】（1）反比例函数的表达式为，一次函数的表达式为 （2）或 （3）或 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数综合，掌握待定系数法，能用图象解不等式是解题的关键． （1）将代入反比例函数求出，再求出的坐标，将将、代入即可求解； （2）由得，即可求解； （3）由在上方的图象对应的函数值较大进行判断，即可求解． 【小问1详解】 解：将代入得， ， 解得：， 反比例函数的表达式为， ， 解得：， ， 将、代入得， ， 解得， 一次函数的表达式为； 【小问2详解】 解：如图， ， ， ， 解得：， 对于一次函数中，当时， ， 解得：， ， ， ， 解得：或， 的坐标为或； 【小问3详解】 解：由图象得 或． 17. 项目化学习 项目主题：济源黄花的最优销售单价 项目背景：黄花，学名萱草，俗称金针菜．济源黄花因其营养价值极高，在全国独树一帜，可称“国内一绝”．某校学习小组以探究“济源黄花的最优销售单价”为主题展开项目学习． 驱动任务：探究济源黄花销售总利润与销售单价的关系． 研究步骤： （1）学习小组到某农副特产专卖店了解到济源特级黄花干货的成本为80元/千克； （2）该店在试营业期间，不断调整销售单价，并对黄花的销售量进行统计（不考虑其他因素）； （3）数据分析，得出结论． 收集数据： 黄花销售单价（元/千克） … 92 96 100 104 108 … 每月销售数量（千克） … 880 840 800 760 720 … 问题解决：请根据此项目实施的相关信息完成下列任务： （1）据表中信息可知：该黄花每月的销售数量（千克）是黄花的销售单价（元/千克）的___________函数（选填“一次”或“二次”），与的函数关系式为___________． （2）现计划在月销售成本不超过40000元的情况下，使得月销售利润达到24000元，销售单价应定为多少？ （3）若要使每月销售黄花的利润w（元）最大，请通过计算说明黄花的最优销售单价，并求出最大利润 【答案】（1）一次， （2）销售单价应定为140元/千克 （3）黄花的最优销售单价为130元/千克，最大利润为25000元 【解析】 【分析】本题是二次函数的应用，求一次函数解析式，一元二次方程的应用，一次函数的特点，正确求出对应的函数关系式是解题的关键． （1）根据数据变化特点可知是一次函数，再通过待定系数法将数值代入求出关系式即可； （2）根据总利润等于每千克的利润乘以销售量建立方程，解一元二次方程，结合月销售成本排除不合理的单价即可得到答案； （3）利用（2）中利润的二次函数关系式，配方得到顶点式，再利用二次函数的性质讨论得出最值． 【小问1详解】 解：观察表格可知黄花的销售单价每上涨4元，则每月的销售量就降低40千克， ∴黄花每月的销售数量（千克）是黄花的销售单价（元/千克）的一次函数， 设， 将点代入，得， 解得， ． 故答案为：一次，； 【小问2详解】 解：由题意得，， 整理得， 解得， 当时，销售成本为，不符合题意舍去； 当时，销售成本为，符合题意； 答：销售单价应定为140元/千克； 【小问3详解】 解：根据题意知， ， ， ∵， ∴当时，， 答：当黄花的单价为130元/千克，最大利润为25000元． 18. 如图，已知抛物线经过，两点，与y轴的交点为C，顶点为D． （1）求该抛物线的表达式及D点的坐标； （2）点P为该抛物线上一动点（与点B、C不重合），设点P的横坐标为m． ①当点P在直线的下方运动时，求的面积的最大值； ②点P在抛物线上，点Q在y轴上，是否存在以B、D、P、Q为顶点的四边形为平行四边形？若存在，直接写出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）抛物线的表达式为：，点的坐标为 （2）①②点P的坐标为或或 【解析】 【分析】（1）将A点和B点坐标代入表达式，解二元一次方程组即可得到抛物线的表达式，将表达式化为顶点式，就可以得到D点的坐标； （2）①先求出点C和点P的坐标，再求出所在直线的表达式，过点P向x轴作垂线交于点E，数形结合，写出面积的表达式即可得到结果； ②利用平行四边形的性质求解，进行分类讨论，为对角线时，点B和点D的中点坐标也是点P和点Q的中点坐标；为边时，且，设和所在直线的表达式为、，则，再分别求出和，联立求解即可 ． 【小问1详解】 解：，两点在抛物线的图象上， 将，两点代入得：， 解得：， 抛物线的表达式为：； ∵， 点的坐标为； 【小问2详解】 解：①过点P向x轴作垂线，交于点E，如下图所示： 在中，当时，， 抛物线与y轴交于点C， 点的坐标为， 设所在直线的表达式为：， 将和代入得：， 解得：， 所在直线的表达式为， P点在抛物线的图象上，P点的横坐标为m， 点的坐标， ∵在中，当时，， ∴， ， ， 的最大面积是； ②设，， 点B、D、P、Q构成的四边形是平行四边形， 分为以下两种情况进行讨论： 第一种：以为对角线，根据平行四边形对角线互相平分的性质进行求解：中点的坐标为，则的中点坐标也为， ，， 解得：，， 的坐标为； 第二种：以为边，根据平行四边形对边平行且相等的性质进行求解，即，， 设所在直线的表达式为， 将，代入得：， 解得：， ∴所在直线的表达式为． 设所在直线的表达式为， 将，代入得：， 解得：， ∴所在直线的表达式为． ， ， 即， 得：， ∵，， 又， ， 解得：， 当时，点P的坐标为； 当时，点P的坐标为； 综上所述，点P的坐标为或或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $