精品解析：内蒙古自治区通辽市科尔沁左翼中旗第四中学2025--2026学年九年级数学上学期月考模拟卷

2025-2026年度九年级学业质量检测 （考试时间：90分钟 试卷满分：100分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．测试范围：人教版九年级上册全部，下册反比例函数． 4．难度系数：0.65． 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，满分24分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1. 下列图形中是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列说法正确的是（） A. 汽车行驶到十字路口遇到绿色的信号灯是必然事件 B. “彩票中奖的概率为”表示买100张彩票肯定会中奖 C. “明天降雨的概率是”表示明天有的时间都在降雨 D. 抛一枚正方体骰子，朝上的点数为2的概率为，表示随着抛掷次数的增加，“抛出朝上的点数为2”这一事件发生的概率稳定在附近 3. 如图，正六边形内接于，G是上的一点，连接．则的度数为（ ） A B. C. D. 4. 如图，是⊙O的直径，弦于点，，，则（　　） A. B. C. D. 5. 如图， 一张扇形纸片，，， 将这张扇形纸片折叠，使点A 与点O重合，折痕为，则图中未重叠部分（即阴影部分）的面积为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，，，，，以点C为圆心，为半径的圆交、分别交于点E与点D，则的长为（　　） A. B. C. D. 7. 如图，在中，，将绕顶点逆时针旋转得到，是的中点，是的中点，连接，若，，则线段的最大值是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 8. 二次函数的图像如图所示，则一次函数与反比例函数在同一坐标系内的大致图像是（　　） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，满分12分） 9. 如图是某地一座抛物线形拱桥，桥拱在竖直平面内，与水平桥面相交于两点，拱桥最高点到的距离为米，米，为拱桥底部的两点，且，若点到直线的距离为米，则的长为______米． 10. 某中学组织篮球比赛，初赛单循环形式（每两队之间都赛一场），共进行了28场初赛．设共有支队伍参加初赛，则可列一元二次方程：____（结果化为一般式） 11. 如图，在中，，将绕点A顺时针旋转得到，且点E恰好落在边上，则的度数是__________． 12. 如图，在等边中，是上一点，连接，将绕点逆时针旋转，得，连接，若，，则下列说法：①；②；③是等边三角形；④周长是9，其中正确的有_____________（只填序号） 第Ⅱ卷 三、解答题（本题共6小题，共64分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 13. 近年来，环保教育越来越受到重视．为了提高学生的环保意识和参与度，某中学计划开展一系列环保活动，在活动开始前，为了解学生对于不同环保主题的参与意愿，学校对学生进行了一次环保参与意愿调查，根据收集到的数据绘制了如下两幅不完整的统计图． （1）本次一共调查了 位同学，请补全条形统计图； （2）在扇形统计图中，请求出“垃圾分类”对应的圆心角度数； （3）为了进一步提升学生水资源保护意识，学校从愿意参与“水资源保护”的同学中随机抽取4人（两男两女）参与“水资源保护”知识竞赛，主办方将从4位同学中选出2名水资源保护小达人，请用列表法或画树状图的方法求出水资源保护小达人中恰好是一男一女的概率． 14. 如图，一次函数与反比例函数，图象分别交于，，与轴交于点，连接，． （1）求反比例函数和一次函数的表达式； （2）求的面积． 15. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，． （1）若点是的边上的一点，将先向下平移格，再向右平移格，则平移后点的对应点的坐标为___________． （2）画出以点为旋转中心，顺时针旋转后得到的； （3）画出与关于点成中心对称的图形． 16. 某公司研发了一款成本为元的新型玩具，投放市场进行试销售．按照物价部门规定，销售单价不低于成本且不高于元，调研发现在一段时间内，每天的销售量（个）与销售单价（元）满足一次函数关系如图： （1）求与之间的函数关系式； （2）销售单价为多少元时，每天获得的利润最大，最大利润是多少元？ 17. 如图，是的直径，是弦，D是的中点，与交于点E．F是延长线上的一点，且． （1）求证：为的切线； （2）连接．若，求的长． 18. 如图，已知直线与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线经过A，C两点，且与x轴的另一个交点为B，对称轴为直线． （1）求抛物线的表达式； （2）D是第二象限内抛物线上的动点，设点D的横坐标为m，求四边形面积S的最大值及此时D点的坐标； （3）若点P在抛物线对称轴上，是否存在点P，Q，使以点A，C，P，Q为顶点四边形是以为对角线的菱形？若存在，请求出P，Q两点的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026年度九年级学业质量检测 （考试时间：90分钟 试卷满分：100分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．测试范围：人教版九年级上册全部，下册反比例函数． 4．难度系数：0.65． 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，满分24分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1. 下列图形中是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据中心对称图形和轴对称图形的特征判断即可． 【详解】解：正方形既是中心对称图形又是轴对称图形，不符合题意； 平行四边形是中心对称图形不是轴对称图形，符合题意； 菱形既是中心对称图形又是轴对称图形，不符合题意； 矩形既是中心对称图形又是轴对称图形，不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了中心对称图形和轴对称图形的识别，解题关键是树立空间观念，准确熟练的根据图形的特征进行识别． 2. 下列说法正确的是（） A. 汽车行驶到十字路口遇到绿色的信号灯是必然事件 B. “彩票中奖的概率为”表示买100张彩票肯定会中奖 C. “明天降雨的概率是”表示明天有的时间都在降雨 D. 抛一枚正方体骰子，朝上的点数为2的概率为，表示随着抛掷次数的增加，“抛出朝上的点数为2”这一事件发生的概率稳定在附近 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了概率，事件的分类等知识，根据概率是指某件事发生的可能性为多少，随着试验次数的增加，稳定在某一个固定数附近，可得答案． 【详解】解：A．汽车行驶到十字路口遇到绿色的信号灯是随机事件，原说法错误，不符合题意； B．“彩票中奖的概率为”表示买100张彩票有可能会中奖，原说法错误，不符合题意； C．“明天降雨的概率是” 表示明天下雨的可能性较大，原说法错误，不符合题意； D．抛一枚正方体骰子，朝上的点数为2的概率为，表示随着抛掷次数的增加，“抛出朝上的点数为2”这一事件发生的概率稳定在附近，原说法正确，符合题意， 故选：D． 3. 如图，正六边形内接于，G是上的一点，连接．则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查圆内接正多边形和圆周角定理，解此题的关键是熟练掌握圆内接正多边形中心角计算和圆周角定理角度计算．利用圆内接正多边形中心角及同弧所对的圆周角是圆心角一半定理即可． 【详解】解：如图，连接、， ∵正六边形是的内接正六边形， ， ， 故选：C． 4. 如图，是⊙O的直径，弦于点，，，则（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据是⊙O的直径，弦于点，得到，根据，推出，推出，根据勾股定理得到，求得 ，根据，得到，根据，推出． 【详解】∵是⊙O的直径，弦于点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 故选：A 【点睛】本题主要考查了圆，等腰直角三角形，勾股定理等，解决问题的关键是熟练掌握圆的基本性质，等腰三角形的判定，勾股定理解直角三角形． 5. 如图， 一张扇形纸片，，， 将这张扇形纸片折叠，使点A 与点O重合，折痕为，则图中未重叠部分（即阴影部分）的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了扇形的面积公式、等边三角形的判定与性质、折叠的性质，连接、，由折叠可得，，，证明为等边三角形，得出，，求出，再根据得出，最后根据阴影部分的面积计算即可得解． 【详解】解：如图：连接、， ， 由折叠可得：，，， ∵， ∴， ∴为等边三角形， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴阴影部分的面积， 故选：A． 6. 如图，，，，，以点C为圆心，为半径的圆交、分别交于点E与点D，则的长为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查垂径定理，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题； 在中，由勾股定理可直接求得的长；过C作，交于点M， 由垂径定理可得M为的中点，在中，根据勾股定理得的长，从而得到的长． 【详解】解：在中，，； 根据勾股定理，得． 过C作，交于点M， 由垂径定理可得M为的中点， 且，，， ， 在中，根据勾股定理得：，即， 解得：， ， ∴． 故选：D． 7. 如图，在中，，将绕顶点逆时针旋转得到，是的中点，是的中点，连接，若，，则线段的最大值是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了圆的性质、旋转的性质、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、含30度角的直角三角形的性质，正确找出点的运动轨迹是解题关键．连接，先求出，，再根据旋转的性质可得，根据直角三角形的性质可得，从而可得点的运动轨迹，最后利用圆的性质求解即可得． 【详解】解：如图，连接， ∵在中，，，，是的中点， ∴，， 由旋转的性质得：， ∵是中点， ∴， ∴在绕顶点逆时针旋转的过程中，点的运动轨迹是在以点为圆心、长为半径的圆上， ∴当点共线，且点位于点中间时，线段的值最大，最大值是， 故选：C． 8. 二次函数的图像如图所示，则一次函数与反比例函数在同一坐标系内的大致图像是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据二次函数的图像判断a、b、c的正负，再根据函数性质判断图像即可得到答案； 【详解】解：由二次函数的图像可得， ，，， ∴， 根据，，即可得到一次函数图像过一二四象限， 根据，可得反比例函数图像过二四象限， 故选A． 【点睛】本题考查二次函数图像性质，一次函数图像性质，反比例函数图像性质，解题的关键是熟练掌握图像性质． 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，满分12分） 9. 如图是某地一座抛物线形拱桥，桥拱在竖直平面内，与水平桥面相交于两点，拱桥最高点到的距离为米，米，为拱桥底部的两点，且，若点到直线的距离为米，则的长为______米． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数综合应用，以为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系，设该抛物线的表达式为，代入点的坐标求出解析式，再把点的纵坐标代入解析式，进而求得点的横坐标，即可求解，解题的关键是正确地建立平面直角坐标系． 【详解】解：如图，以点为原点建立平面直角坐标系， 由题意可得，点的坐标为，点的纵坐标为， 设抛物线形的解析式为， 把代入得，， 解得， ∴， 把代入得，， 解得， ∴米， 故答案为：． 10. 某中学组织篮球比赛，初赛单循环形式（每两队之间都赛一场），共进行了28场初赛．设共有支队伍参加初赛，则可列一元二次方程：____（结果化为一般式） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，设共有支队伍参加初赛，利用初赛的总场数参赛球队数量（参赛球队数量），即可得出关于x的一元二次方程，再整理成一般式即可． 【详解】解：依题意得：， 整理得：， 故答案为：． 11. 如图，在中，，将绕点A顺时针旋转得到，且点E恰好落在边上，则的度数是__________． 【答案】##37度 【解析】 【分析】首先根据旋转的性质得到，，然后根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理得到，最后根据三角形内角和定理和旋转的性质即可求出． 【详解】∵将绕点A顺时针旋转得到， ∴，， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】此题考查了旋转的性质，三角形内角和定理，等腰三角形的性质等知识点，解题的关键是熟练掌握以上知识点． 12. 如图，在等边中，是上一点，连接，将绕点逆时针旋转，得，连接，若，，则下列说法：①；②；③是等边三角形；④的周长是9，其中正确的有_____________（只填序号） 【答案】①③④ 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质、等边三角形的判定与性质，由等边三角形的性质得出，，由旋转的性质得出，，推出，即可判断①；由旋转的性质得出，，即可判断③；求出即可判断②；利用，，求出的周长即可判断④，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵为等边三角形， ∴，， ∵将绕点逆时针旋转，得， ∴，， ∴， ∴，故①正确； ∵将绕点逆时针旋转，得， ∴，， ∴是等边三角形，故③正确； ∵在中，， ∴，即， ∴，故②错误； ∵，， ∴的周长，故④正确； 综上所述，正确的有①③④， 故答案为：①③④． 第Ⅱ卷 三、解答题（本题共6小题，共64分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 13. 近年来，环保教育越来越受到重视．为了提高学生的环保意识和参与度，某中学计划开展一系列环保活动，在活动开始前，为了解学生对于不同环保主题的参与意愿，学校对学生进行了一次环保参与意愿调查，根据收集到的数据绘制了如下两幅不完整的统计图． （1）本次一共调查了 位同学，请补全条形统计图； （2）在扇形统计图中，请求出“垃圾分类”对应的圆心角度数； （3）为了进一步提升学生水资源保护意识，学校从愿意参与“水资源保护”的同学中随机抽取4人（两男两女）参与“水资源保护”知识竞赛，主办方将从4位同学中选出2名水资源保护小达人，请用列表法或画树状图的方法求出水资源保护小达人中恰好是一男一女的概率． 【答案】（1）200，图见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查列表法与树状图法、条形统计图、扇形统计图，能够读懂统计图，掌握列表法与树状图法是解答本题的关键． （1）用选择“水资源保护”的人数除以扇形统计图中“水资源保护”的百分比可得本次调查的学生人数；分别求出选择“节能减排”和“植树造林”的人数，补全条形统计图即可． （2）用乘以“垃圾分类”的人数所占的百分比，即可得出答案． （3）列表可得出所有等可能的结果数以及水资源保护小达人中恰好是一男一女的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【小问1详解】 解：本次一共调查了（位）同学， ∴选择“节能减排”人数为（人）， ∴选择“植树造林”的人数为（人）． 补全条形统计图如图所示． 故答案为：200． 【小问2详解】 解：“垃圾分类”对应的圆心角度数为． 【小问3详解】 解：列表如下： 男1 男2 女1 女2 男1 （男1，男2） （男1，女1） （男1，女2） 男2 （男2，男1） （男2，女1） （男2，女2） 女1 （女1，男1） （女1，男2） （女1，女2） 女2 （女2，男1） （女2，男2） （女2，女1） 共有12种等可能的结果，其中水资源保护小达人中恰好是一男一女的结果有8种， ∴水资源保护小达人中恰好是一男一女的概率为． 14. 如图，一次函数与反比例函数，图象分别交于，，与轴交于点，连接，． （1）求反比例函数和一次函数的表达式； （2）求的面积． 【答案】（1），；（2）12． 【解析】 【分析】（1）把点A的坐标代入m的值，得出A的坐标代入，求出一次函数的解析式，进而求得点B的坐标，利用B点的坐标求得的解析式； （2）根据一次函数解析式求得点C的坐标，再将y轴作为分割线，求得△AOB的面积； 【详解】解：（1）∵，在函数的图象上， ∴m=5， ∴A(-2，5)， 把A(-2，5)代入得：， ∴b=4， ∴一次函数的表达式为：， ∵在函数的图象上， ∴n=2， ∴， 把代入得：2=，∴k=8， ∴反比例函数的解析式为：； （2）∵C是直线AB与y轴的交点，直线AB：， ∴当x=0时，y=4， ∴点C（0，4），即OC=4， ∵A(-2，5)，， ∴=×4×2+×4×4=12； 【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，用待定系数法求一次函数与反比例函数的解析式，根据题意求出C点坐标是解题的关键． 15. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，． （1）若点是的边上的一点，将先向下平移格，再向右平移格，则平移后点的对应点的坐标为___________． （2）画出以点为旋转中心，顺时针旋转后得到的； （3）画出与关于点成中心对称的图形． 【答案】（1）； （2）画图见解析； （3）画图见解析． 【解析】 【分析】（）根据平移方式，横坐标加，纵坐标减计算即可求解； （）根据题意画出绕点顺时针旋转后得到； （）根据关于原点对称的两个点横纵坐标互为相反数先写出的三个顶点，再画出即可； 本题考查了直角坐标系中的平移问题，旋转作图，中心对称作图，以及写出直角坐标系中点的坐标等知识，掌握点的平移规律、旋转作图与中心对称作图是解题的关键． 【小问1详解】 根据题意得：点先向下平移格，再向右平移格， ∵ ∴，即， 故答案为：； 【小问2详解】 如图，即为所求； 【小问3详解】 ∵与关于点成中心对称的图形，，， ∴，，， ∴即为所求． 16. 某公司研发了一款成本为元的新型玩具，投放市场进行试销售．按照物价部门规定，销售单价不低于成本且不高于元，调研发现在一段时间内，每天的销售量（个）与销售单价（元）满足一次函数关系如图： （1）求与之间的函数关系式； （2）销售单价为多少元时，每天获得的利润最大，最大利润是多少元？ 【答案】（1） （2）销售单价为元时，每天获得的利润最大，最大利润是元 【解析】 【分析】（1）由待定系数法可得函数的解析式； （2）设每天获得的利润为元，由题意得二次函数，写成顶点式，可求得答案． 【小问1详解】 解：设， 将点代入得： 解得： ∴与的函数关系式为：； 【小问2详解】 设每天获得的利润为元，由题意得 ， ∵按照物价部门规定，销售单价不低于成本且不高于85元， ∴ ∵，抛物线开口向下， ∴当时，随着的增大而增大， ∴有最大值，当时，， ∴销售单价为元时，每天获得的利润最大，最大利润是元． 【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式、二次函数的应用，解题的关键是掌握二次函数的性质． 17. 如图，是的直径，是弦，D是的中点，与交于点E．F是延长线上的一点，且． （1）求证：为的切线； （2）连接．若，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查的是圆的切线的判定、等腰三角形性质、垂径定理的推论及勾股定理的应用，综合运用这些知识点是解题关键． （1）连接，证明，，得出，根据是直径，D是的中点，得出，证明即可得出结论； （2）设，则，根据勾股定理求出，根据勾股定理求出结论． 【小问1详解】 证明：如图，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵是直径，D是的中点， ∴ ∴， ∴， ∴，即， ∵是半径， ∴是的切线． 小问2详解】 设，则， 在中， ∴， 解得， ∴， ∵， ∴， ∴． 18. 如图，已知直线与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线经过A，C两点，且与x轴的另一个交点为B，对称轴为直线． （1）求抛物线的表达式； （2）D是第二象限内抛物线上动点，设点D的横坐标为m，求四边形面积S的最大值及此时D点的坐标； （3）若点P在抛物线对称轴上，是否存在点P，Q，使以点A，C，P，Q为顶点的四边形是以为对角线的菱形？若存在，请求出P，Q两点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）， （3）存在，， 【解析】 【分析】（1）先求得A，C，B三点的坐标，将抛物线设为交点式，进一步求得结果； （2）作于F，交于E，根据点D和点E坐标可表示出的长，进而表示出三角形的面积，进而表示出S的函数关系式，进一步求得结果； （3）根据菱形性质可得，进而求得点P的坐标，根据菱形性质，进一步求得点Q坐标． 【小问1详解】 解：当时，， ∴， 当时，， ∴， ∴， ∵对称轴为直线， ∴， ∴设抛物线的表达式：， ∴， ∴， ∴抛物线的表达式为：； 【小问2详解】 解：如图1， 作于F，交于E， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴当时，， 当时，， ∴； 【小问3详解】 解：设，的中点坐标为 ∵以A，C，P，Q为顶点的四边形是以为对角线的菱形， ∴， 即：， ∴， ∴， ∴， 设，则： ，， 解得：，， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $