精品解析：上海市浦东新区三林中学2026-2027学年高三上学期10月阶段检测数学试题

三林中学2026学年第一学期阶段一教学质量检测 高三 命题人：宗旺 审题人：顾伟 逻辑思维：倪冉 2026年10月 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1. 设集合，，则______． 【答案】## 【解析】 【分析】根据交集的定义计算可得. 【详解】因为，， 所以. 故答案为： 2. 已知圆锥的底面半径为1，母线长为2，则该圆锥的体积是_______（结果保留π）． 【答案】 【解析】 【分析】做轴截面，根据母线与底面半径求出圆锥的高，计算体积即可. 【详解】如下图做出轴截面： 代入圆锥体积公式：. 故答案为： 3. 曲线在点处的切线方程为______． 【答案】 【解析】 【详解】曲线，，切线的斜率为， 曲线在处的切线方程是：，即. 4. 复数满足（为虚数单位），则__________． 【答案】## 【解析】 【分析】利用复数的除法化简复数，利用共轭复数的定义结合复数的模长公式可求得的值. 【详解】因为，则， 所以，，因此，. 故答案为：. 5. 已知，则________（用含的代数式表示）． 【答案】 【解析】 【分析】利用换底公式、对数的运算法则进行变形. 【详解】. 6. 已知函数为奇函数，则______. 【答案】 【解析】 【分析】首先求出当时的函数值，再根据奇函数的性质得解. 【详解】因为函数为奇函数， 当时， 所以. 故答案为： 7. 若正数，满足，则的最大值为________. 【答案】2 【解析】 【分析】先消元，再利用基本不等式求出的最大值. 【详解】因为正数，满足，故有,， 所以， 当且仅当，即，时，取得最大值2. 8. 从校高一年级学生中抽取若干名学生测量他们的身高，其中最大值为189cm，最小值为152cm，绘制身高频率分布直方图，若组距为5，且第一组下限为151.5，则组数为________. 【答案】8 【解析】 【详解】已知第一组下限为，组距为，最大值为. 计算最大值与第一组下限的差值为 组数需满足 因为组数必须为正整数，所以应向上取整，即. 9. 已知，向量在向量上的投影向量为，则______． 【答案】3 【解析】 【分析】首先利用，得到.利用向量在向量上的投影向量公式得到，最后即可求解的值为3. 【详解】因为，所以. 由向量在向量上的投影向量公式得， 所以，. 10. 为虚数单位，若复数满足，则的最小值为________. 【答案】 【解析】 【分析】利用的几何意义，确定点的轨迹，再通过的几何意义求解的最小值. 【详解】设复数，则， ， 则的几何意义是： 点到点与点的距离之和为2026. 又， 即，因此点的轨迹是线段， 又表示点到原点的距离. 如图： 由图可知，当时，取得最小值， 根据三角形等面积法有，， ， 即的最小值为. 11. 掷实心球时，将轨迹视为抛物线的一部分，设实心球离手位置在起掷点O正上方2米，出手角度即抛物线在该处切线与水平地面所成角，如图所示.已知实心球轨迹最高点距离地面3米，若要成绩不小于10米（实心球落地点到起掷点的距离），则出手角度的最大值为______.（精确到0.1°）. 【答案】 【解析】 【分析】建立平面直角坐标系，设抛物线方程，利用已知点坐标结合已知条件，求出的范围；对抛物线方程求导得到斜率表达式，结合条件得到，进而求出即可. 【详解】 以最高点为坐标原点，以水平向右为轴正方向，以竖直向下为轴正方向，建立平面直角坐标系， 设抛物线方程为. 则，. 由题意得，即，所以，取. 又，则. 易知为锐角，所以， 所以. 故出手角度的最大值为. 12. 已知非零向量与满足，且，点D是的边上的动点，则的最小值为________． 【答案】 【解析】 【分析】先确定，取的中点，连接，以为坐标原点，建立直角坐标系，通过向量数量积的坐标表示即可求解. 【详解】因为分别表示与方向上的单位向量， 所以向量所在直线与的平分线重合， 又，即与垂直， 由三线合一可知，，如图，取的中点，连接，则， 又， 其中， 所以，，故， 以为坐标原点，建立直角坐标系 ，， 设， ， 当时 的最小值为，故的最小值为. 二、选择题（本大题共4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分） 13. 上海市实验学校艺术节举行弹钢琴比赛，现有21位选手报名参赛，初赛成绩各不相同，取前10名参加决赛，小明同学已经知道了自己的成绩，为了判断自己是否能进入决赛，他还需要知道21名同学成绩的（ ） A. 平均数 B. 中位数 C. 众数 D. 方差 【答案】B 【解析】 【分析】根据平均数、中位数、众数、方差的定义，结合本题的题意，可判断出答案. 【详解】根据题意，21位选手成绩的中位数是第11名的成绩，取前10名参加决賽，小明同学已经知道了自己的成绩，为了判断自己是否能进入决赛，他还需要知道21名同学成绩的中位数. 故选：B. 14. 设，则下列不等式中正确的是 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用基本不等式和不等式的传递性即可选出答案. 【详解】∵，由基本不等式得，∴ 故选：B. 15. 已知符号函数sgnxf（x）是定义在R上的减函数，g（x）＝f（x）﹣f（ax）（a＞1），则（ ） A. sgn[g（x）]＝sgn x B. sgn[g（x）]＝﹣sgnx C. sgn[g（x）]＝sgn[f（x）] D. sgn[g（x）]＝﹣sgn[f（x）] 【答案】A 【解析】 【分析】根据符号函数的解析式，结合f（x）的单调性分析即可得解. 【详解】根据题意，g（x）＝f（x）﹣f（ax），而f（x）是R上的减函数， 当x＞0时，x＜ax，则有f（x）＞f（ax），则g（x）＝f（x）﹣f（ax）＞0，此时sgn[g （ x）]＝1， 当x＝0时，x＝ax，则有f（x）＝f（ax），则g（x）＝f（x）﹣f（ax）＝0，此时sgn[g （ x）]＝0， 当x＜0时，x＞ax，则有f（x）＜f（ax），则g（x）＝f（x）﹣f（ax）＜0，此时sgn[g （ x）]＝﹣1， 综合有：sgn[g （ x）]＝sgn（x）； 故选：A． 【点睛】此题考查函数新定义问题，涉及函数单调性辨析，关键在于读懂定义，根据自变量的取值范围分类讨论. 16. 已知棱长均为1的正棱柱有个顶点，从中任取两个顶点作为向量的起点与终点，设底面的一条棱为．若集合，则当中的元素个数最少时，的值为（ ） A. 3 B. 4 C. 6 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】建立如图空间直角坐标系，设，根据正n棱柱的结构特征，求出对应底面各顶点的x坐标，由可得对应的集合，进而得出对应的，即可求解. 【详解】如图，设AB所在的直线为x轴，过点A且与AB垂直的直线为y轴， 过点A且与平面垂直的直线为z轴，建立如图空间直角坐标系， 则，得，设， 则. 因为该几何体为正n棱柱，所以上底面与下底面各顶点的x坐标对应相等. 当时，该几何体为正三棱柱，作出其底面的示意图，如图， 则，所以， 即，共有5个元素； 当时，该几何体为正方体，作出其底面的示意图，如图， 则，所以， 即，共有3个元素； 当时，该几何体为正六棱柱，作出其底面的示意图，如图， 则，所以， 即，共有9个元素； 当时，该几何体为正八棱柱，作出其底面的示意图，如图， 则， 所以， 即，共有9个元素； 综上，当时，中的元素数量最少. 故选：B 三、解答题（本大题共有5题，满分52分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤. 17. 已知，. （1）当时，判断函数的奇偶性； （2）若函数在处的切线方程为，求的值. 【答案】（1）是非奇非偶函数 （2） 【解析】 【分析】（1）根据与的关系，判断函数的奇偶性； （2）导数的几何意义为切点处的导数等于切线的斜率，因此根据切线方程，可求参数m. 【小问1详解】 当时，，， 因为且，所以是非奇非偶函数； 【小问2详解】 ， ，则① ，将代入切线方程可得：②， 联立①②解得：，. 18. 如图，在三棱柱中，平面，，，为的中点且三棱柱的高为1. （1）求证：平面； （2）求二面角的余弦值； 【答案】（1）如图，连接交于点， 由题可得：四边形是矩形，所以为的中点，又因为为中点，所以，且平面，平面，所以平面. （2） 【解析】 【分析】（1）连接交于点，通过中位线得到，结合线面平行的判定定理可求证； （2）建立空间直角坐标系，利用空间向量求解面面夹角的余弦值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 如图所示：以为原点，、、所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，则，，， 可得，， 由题可得：平面，所以为平面的法向量， 设平面的法向量为， ，即， 取，则，，得， 记二面角为， . 19. 请解决下列问题： （1）已知事件与互斥，，且，求； （2）证明：如果两个事件与相互独立，那么与也独立； （3）已知事件与，，，求的取值范围. 【答案】（1） （2）由题可得， ， ， 即，故与也独立 （3） 【解析】 【小问1详解】 由题可得，故， 则. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由题可得， ，即， 解得，综上. 20. 已知双曲线的左、右焦点分别为、，为双曲线右支上一点． （1）求双曲线的离心率； （2）设过点和的直线与双曲线的右支有另一交点为，求的取值范围； （3）过点分别作双曲线两条渐近线的垂线，垂足分别为、两点，是否存在点，使得？若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】（1）2 （2） （3）不存在满足题意的点P，理由：由题意可知双曲线的渐近线方程为， 即，设， 则点P到直线的距离为，点P到直线的距离为， 所以， 又点P位于直线的上方且直线的下方，所以， 则，解得， 又点P在双曲线上，则，与矛盾， 故不存在点P使得. 【解析】 【分析】（1）根据双曲线的方程直接得出a、b，结合公式和计算即可求解； （2）易知直线l的斜率不为0，设，联立双曲线方程，利用韦达定理表示，根据平面向量的坐标表示化简可得，求出的取值范围即可求解； （3）设，由渐近线方程和点线距公式建立方程，解得，与题意中的矛盾，即可下结论. 【小问1详解】 由题意知，，则， 所以，得， 即双曲线的离心率为2； 【小问2详解】 由（1）知，， 若直线l的斜率为0，则直线l与双曲线的两个交点分布在左、右支各一点，不符合题意； 所以直线l的斜率不为0，设， ，消去x，得， ， ， 则， 所以， 又，则，由，得， 所以，有，所以， 即，所以的取值范围为； 【小问3详解】 略 【点睛】关键点睛：本题第二问的关键是利用设线法得到韦达定理式，再代入计算出由向量得出的式子里，从而得出范围，第三问的关键是根据点与直线的位置关系去绝对值得到方程，解出方程即可. 21. 对给定的实数a，b，q，其中，.对于定义域为D的函数，区间，若满足以下两个条件： （i）对任意的，都有；（ii）对任意的，．则称为在区间上的一个“q-压缩函数”．区间上所有“q-压缩函数”构成的集合记作． （1）判断下列函数，是否属于集合？（直接写出结论） ①，②； （2）若满足对任意的，，求的取值范围； （3）若函数是区间上的“q-压缩函数”，且在I上的图像是一段连续曲线，求证：存在唯一的，使得． 【答案】（1）①不属于集合，②属于集合. （2） （3）证明：令，因为在上的图像是一段连续曲线， 所以在上也是连续的，且对任意， 所以由，则， 则，，即； 同理，则，，即. 若，或，则或， 故满足，使得； 若，且，则且，且在上连续， 则由零点存在性定理可知，，使得； 下面证明唯一存在性. 假设存在，，使得，， 则， 由题意函数是区间上的“q-压缩函数”， 但根据条件②，存在，使得， 即， 则，这与矛盾，故假设错误； 所以存在唯一的，使得． 【解析】 【分析】（1）通过对任意的，都有以及对任意的，两个条件，即可判断； （2）由化简可得，，令，，求导再由单调性即可求解； （3）由函数连续以及零点存在定理可证存在性，再由反证法以及“q-压缩函数”的条件可证唯一性，即可求解. 【小问1详解】 ①不属于集合，②属于集合. ①，，则；， ，而，所以不符合题意； ②，，则， ，在上单调递增， ，证明即可，即证， 即证，即证单调递减，令，， 所以得证，即，符合题意. 【小问2详解】 设 ， 所以，， 设，， 则在上为单调递增函数，在上为单调递减函数， ， 恒成立， 因为， 则，， 所以. 【小问3详解】 略 22. 已知. ①存在，使得函数在上严格增； ②对于任意，直线与曲线都相切且有无数个切点，每个切点的横坐标都不是函数的极值点. 对于以上两个结论，下列判断正确的是（ ） A. ①正确，②错误； B. ①错误，②正确； C. ①正确，②正确； D. ①错误，②错误. 【答案】C 【解析】 【分析】利用导数的正负分析单调性，利用导数的几何意义来求切线斜率即可得到判断. 【详解】对求导得：  因为，对，的最小值为， 若取，则，即对任意恒成立， 此时在上严格递增，结论①正确； 设直线与曲线的切点为, 切线斜率等于直线斜率:， 代入导数得， 因为,故，得, 切点同时在曲线和直线上：， 得,同时满足的解为， 对任意，都有无数个这样的切点，因此直线恒与曲线相切且有无数切点， 当时，， 所以每个切点的横坐标都不是函数的极值点，故结论②正确. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 三林中学2026学年第一学期阶段一教学质量检测 高三 命题人：宗旺 审题人：顾伟 逻辑思维：倪冉 2026年10月 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1. 设集合，，则______． 2. 已知圆锥的底面半径为1，母线长为2，则该圆锥的体积是_______（结果保留π）． 3. 曲线在点处的切线方程为______． 4. 复数满足（为虚数单位），则__________． 5. 已知，则________（用含的代数式表示）． 6. 已知函数为奇函数，则______. 7. 若正数，满足，则的最大值为________. 8. 从校高一年级学生中抽取若干名学生测量他们的身高，其中最大值为189cm，最小值为152cm，绘制身高频率分布直方图，若组距为5，且第一组下限为151.5，则组数为________. 9. 已知，向量在向量上的投影向量为，则______． 10. 为虚数单位，若复数满足，则的最小值为________. 11. 掷实心球时，将轨迹视为抛物线的一部分，设实心球离手位置在起掷点O正上方2米，出手角度即抛物线在该处切线与水平地面所成角，如图所示.已知实心球轨迹最高点距离地面3米，若要成绩不小于10米（实心球落地点到起掷点的距离），则出手角度的最大值为______.（精确到0.1°）. 12. 已知非零向量与满足，且，点D是的边上的动点，则的最小值为________． 二、选择题（本大题共4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分） 13. 上海市实验学校艺术节举行弹钢琴比赛，现有21位选手报名参赛，初赛成绩各不相同，取前10名参加决赛，小明同学已经知道了自己的成绩，为了判断自己是否能进入决赛，他还需要知道21名同学成绩的（ ） A. 平均数 B. 中位数 C. 众数 D. 方差 14. 设，则下列不等式中正确的是 A. B. C. D. 15. 已知符号函数sgnxf（x）是定义在R上的减函数，g（x）＝f（x）﹣f（ax）（a＞1），则（ ） A. sgn[g（x）]＝sgn x B. sgn[g（x）]＝﹣sgnx C. sgn[g（x）]＝sgn[f（x）] D. sgn[g（x）]＝﹣sgn[f（x）] 16. 已知棱长均为1的正棱柱有个顶点，从中任取两个顶点作为向量的起点与终点，设底面的一条棱为．若集合，则当中的元素个数最少时，的值为（ ） A. 3 B. 4 C. 6 D. 8 三、解答题（本大题共有5题，满分52分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤. 17. 已知，. （1）当时，判断函数的奇偶性； （2）若函数在处的切线方程为，求的值. 18. 如图，在三棱柱中，平面，，，为的中点且三棱柱的高为1. （1）求证：平面； （2）求二面角的余弦值； 19. 请解决下列问题： （1）已知事件与互斥，，且，求； （2）证明：如果两个事件与相互独立，那么与也独立； （3）已知事件与，，，求的取值范围. 20. 已知双曲线的左、右焦点分别为、，为双曲线右支上一点． （1）求双曲线的离心率； （2）设过点和的直线与双曲线的右支有另一交点为，求的取值范围； （3）过点分别作双曲线两条渐近线的垂线，垂足分别为、两点，是否存在点，使得？若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由． 21. 对给定的实数a，b，q，其中，.对于定义域为D的函数，区间，若满足以下两个条件： （i）对任意的，都有；（ii）对任意的，．则称为在区间上的一个“q-压缩函数”．区间上所有“q-压缩函数”构成的集合记作． （1）判断下列函数，是否属于集合？（直接写出结论） ①，②； （2）若满足对任意的，，求的取值范围； （3）若函数是区间上的“q-压缩函数”，且在I上的图像是一段连续曲线，求证：存在唯一的，使得． 22. 已知. ①存在，使得函数在上严格增； ②对于任意，直线与曲线都相切且有无数个切点，每个切点的横坐标都不是函数的极值点. 对于以上两个结论，下列判断正确的是（ ） A. ①正确，②错误； B. ①错误，②正确； C. ①正确，②正确； D. ①错误，②错误. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $