空间向量基本定理专项训练-2027届高三数学一轮复习

空间向量基本定理测试 （测试时间120分钟，总分150分） 姓名：___________班级：___________ 一、单选题（每题5分，共40分） 1．在四面体中，空间一点满足，若四点共面，则的值为 （    ） A． B． C． D． 2．如图，正三棱柱的各棱长都为，、分别为、的中点，若，，，则下列向量中与相等的向量是（ ） A． B． C． D． 3．设，，不共面，已知，，，若，，三点共线，则（   ） A．6 B．12 C． D． 4．如图，空间四边形中，，，，，，则（     ） A． B． C． D． 5．如图，在平行六面体中，点为的中点，设，则（   ）    A． B． C． D． 6．已知正四面体的棱长为1，点在上，且，点为中点，则用基底表示为（    ） A． B． C． D． 7．某工厂生产的一种零件是由一个圆柱和一个正三棱锥穿插而成的对称组合体，如图所示．棱和平面都与圆柱侧面相切，是棱与圆柱侧面的切点．平面．已知，，圆柱的底面圆半径为，则（     ）    A． B． C． D． 8．在平行六面体中，，且，M为的中点，则的长度为（    ） A． B． C． D． 二、多选题（每题6分，共18分） 9．若是空间的一个基底，则下列各组中不能构成空间一个基底的是（    ） A． B． C． D． 10．关于空间向量，以下说法正确的是（    ） A．非零向量，若，则 B．若对空间中任意一点，有，则P，A，B，C四点共面 C．若空间四个点，则三点共线 D．设是空间中的一组基底，则也是空间的一组基底 11．已知正方体的棱长为分别为棱的点，且，若点为正方体内部（含边界）点，满足：为实数，则下列说法正确的是（    ） A．点的轨迹为菱形及其内部 B．当时，点的轨迹长度为 C．最小值为 D．当时，直线与平面所成角的正弦值的最大值为 三、填空题（每题5分，共15分） 12．已知空间的一组基，，．若向量与共线，则__________，__________． 13．如图，木质正四棱锥模型，底面边长为，高为2．过点A作一个平面分别交于点，若，则的值为_______．    14．如图，在正四棱柱中，，点为棱的中点，若侧面（包含边界）内的动点满足（，），则点的轨迹的长度是________. 四、解答题（共77分） 15．（13分）如图，空间四边形中，，. (1)求证：； (2)若为正四面体，是中点，是中点，求与的夹角余弦值. 16．（15分）如图，在三棱锥中，，，，是的中点，为线段上靠近的三等分点，是的中点.    (1)用向量，，表示向量； (2)求； (3)求. 17．（15分）如图所示，四棱柱中，底面为平行四边形，以顶点为端点的三条棱长都为，且两两夹角为，设，，． (1)用为基底表示向量； (2)求的长． 18．（17分）如图，在空间四边形中，为的中点，点满足，设，，．    (1)试用向量，，表示向量； (2)若，，求的值． 19．（17分）在棱长为的正方体中，空间一点到正方体中心的距离为，求证：点到正方体八个顶点的距离的平方和为定值． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 《空间向量基本定理测试》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D B C D A C B C AD AC 题号 11 答案 ABD 1．D 【分析】根据空间向量基本定理列出方程，解之即得. 【详解】因四点共面，且， 由空间向量基本定理的推论可得，解得. 故选：D. 2．B 【分析】利用空间向量的基本定理求解可得答案. 【详解】、分别为、的中点，若，，， . 3．C 【分析】首先表示出，由，，三点共线，可得，则则存在实数使得，根据空间向量基本定理得到方程组，解得即可. 【详解】因为，，， 所以， 又，，三点共线，所以， 则存在实数使得，即， 又，，不共面， 所以，解得，所以. 故选：C 4．D 【分析】利用空间向量的加法与减法可得出关于、、的表达式. 【详解】由已知， . 5．A 【分析】利用向量三角形法则和平行四边形法则表示出来即可. 【详解】在平行六面体中， 连接，如图所示：    因为点为的中点，， 所以 ， 故选：A. 6．C 【分析】根据空间向量基本定理进行求解即可. 【详解】因为为的中点，则，所以，则， 因为，所以，因此. 故选：C 7．B 【分析】先明确四面体的形状，取为基底，利用空间向量基本定理，表示出，即可求值. 【详解】因为，所以为等腰直角三角形. 所以两两垂直. 设中点，连接. 因为两两垂直，平面，，所以平面. 因为平面，所以. 如下图：    设与平面的交点为，圆柱侧面与相切于，与相切于， 因为，，，所以. 又，所以. 取为基底，则，， 所以. 8．C 【分析】根据空间向量的数量积运算律，以及空间向量的线性运算，用基底表示出向量，进而求出模长即可. 【详解】在平行六面体中，取， 由，且， 则有，， 因为， 所以 ． 故选：C． 9．AD 【分析】根据空间向量的基本定理，由不共面的向量可作为基底，以及空间向量共面定理依次判断即可得出结论. 【详解】解:对于A选项， ∵， ∴三向量共面,不能构成空间一个基底； 对于B选项，设 ， ∴，此时无解, 则三向量不共面,能构成空间一个基底； 对于C选项， 设， ∴,,,此时无解， ∴三向量不共面,能构成空间一个基底； 对于D选项， ∴三向量共面,不能构成空间一个基底, 故选：AD. 10．AC 【分析】根据空间向量的性质，以及共面向量定理，即可判断选项. 【详解】A. 非零向量，若，则，故A正确； B. ，，所以四点不共面，故B错误； C.若，，所以三点共线，故C正确； D.若，则， 所以，，是共面向量，所以不能作为基底，故D错误. 故选：AC 11．ABD 【分析】由空间向量基本定理，共线定理和线面角的定义对选项一一判断即可得出答案. 【详解】对于A，因为，由空间向量基本定理可知， 所以在菱形内，A正确； 对于B，取上一点，使得，连接，， 易证四边形和四边形是平行四边形，所以， 所以四边形是平行四边形，所以， 当时，, 所以，即， 在线段上，的轨迹长度为线段的长，即为，B正确； 对于C，由知，在菱形内， 所以的最小值即为点到平面的距离， 以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 可得 设平面的法向量为，则， 取，可得，所以， 所以到平面的距离为：，故C错误； 对于D，当时，, 分别取的中点，连接，在线段上， ，所以，可得， 平面的法向量为，， 设与面所成角为， 所以， 设，因为，则， 则代入化简可得， 当时，直线与平面所成角的正弦值的最大值为，D正确． 故选：ABD． 【点睛】方法点睛：对于立体几何的综合问题的解答方法： （1）立体几何中的动态问题主要包括：空间动点轨迹的判断，求解轨迹的长度及动态角的范围等问题，解决方法一般根据线面平行，线面垂直的判定定理和性质定理，结合圆或圆锥曲线的定义推断出动点的轨迹，有时也可以利用空间向量的坐标运算求出动点的轨迹方程； （2）对于线面位置关系的存在性问题，首先假设存在，然后在该假设条件下，利用线面位置关系的相关定理、性质进行推理论证，寻找假设满足的条件，若满足则肯定假设，若得出矛盾的结论，则否定假设； （3）对于探索性问题用向量法比较容易入手，一般先假设存在，设出空间点的坐标，转化为代数方程是否有解的问题，若有解且满足题意则存在，若有解但不满足题意或无解则不存在. 12． 2 【分析】根据向量共线得出线性关系，再应用平面向量基本定理得出参数即可. 【详解】因为与共线，所以存在实数，使， 即． 所以解得 故答案为：2；. 13．/0.75 【分析】设，则，结合四点共面，从而得到，即可求得答案． 【详解】因为，所以， 设， 则 ， 因为四点共面，可设， 故， 即， 故， 则，解得， 故答案为：． 14． 【分析】取的中点，连接，证明，得到四点共面，结合题设条件和平面平面，可得点的轨迹为线段，求其长度即可. 【详解】如图，分别取的中点，连接. 易得，则四边形为平行四边形，. 又，可得，则，故， 即四点共面. 又平面平面， 侧面（包含边界）内的动点满足（，）， 由共面向量基本定理可知点既在平面内，又在平面内， 故点的轨迹即线段，其长度为. 故答案为：. 15．(1) 过点作⊥平面于点，连接， 因为平面，所以⊥，⊥， 因为，平面， 所以⊥平面， 因为平面，所以⊥， 同理可证⊥， 故为的垂心，故⊥， 因为⊥平面，平面， 所以⊥， 因为，平面， 所以⊥平面， 因为平面， 所以； (2) 【分析】（1）作辅助线，由线面垂直得到线线垂直，故为的垂心，故⊥，结合⊥，得到⊥平面，因为平面，所以； （2）表达出，，设，计算出，又，利用夹角余弦公式求出答案. 【详解】（1）略 （2）为正四面体，故， 设， 则，， 故 ， ，， 设与的夹角为， 则. 16．(1)； (2)； (3). 【分析】（1）利用中线向量公式，结合向量的线性运算即可求解； （2）利用基底表示向量，先求基底的数量积，问题即可求解； （3）利用基底的数量积运算即可求向量的模. 【详解】（1）因为是的中点，所以， 又因为为线段上靠近的三等分点，所以， 又因为是的中点，所以， 则； （2）因为，，， 所以， ， 所以 （3） 17．(1) (2) 【分析】（1）根据向量的加减法运算法则以为基底表示向量即可. （2）根据，对等式两边平方，结合已知条件运算即可求解. 【详解】（1）根据已知条件有：. （2）根据已知条件有：，，， 则，， ， ， 即的长为； 18．(1) (2) 【分析】（1）由题意得到，再由即可求解； （2）由，结合空间向量数量积的运算性质即可求解. 【详解】（1）因为点为的中点， 所以， 因为，所以， 所以 （2）由题意得， 故 ． 19．证明： 因为正方体边长为，故对角线长为， 为正方体中心的中心，故： ， 由空间一点到正方体中心的距离为，可知. 由， 得， 同理： ， ， ， ， ， 故 因为与长度相同，方向相反， 所以，同理， 所以. 所以 即点到正方体八个顶点的距离的平方和为定值． 【分析】已知，由正方体边长为可知对角线长为，得出.由，推出，同理可得，所以，由于与长度相同，方向相反，所以，同理推出其他对角线上向量之和为0，所以，故即点到正方体八个顶点的距离的平方和为定值. 【详解】略. 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $