精品解析：山东省淄博第五中学2026-2027学年高三上学期10月阶段性检测数学试题

高三数学阶段性检测 2026.10 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分． 1. 已知集合，，，则（ ） A. B. C. D. 2. 曲线在点处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 3. 如图，圆的半径为1，劣弧的长为，则阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 4. 函数的图像恒过定点，点在幂函数的图像上，则（ ） A. 2 B. 3 C. 8 D. 9 5. 若，，且都为锐角，则（ ） A. B. C. D. 1 6. 若，则（ ） A. B. C. D. 7. 努力公式是一个用来描述努力与结果之间关系的数学公式，它通常表示为：，．我们可以把看作每天的进步率都是，而把看作每天的落后率都是，大约经过（ ）天后进步的是落后的200倍 A. 264 B. 266 C. 268 D. 270 8. 已知函数，若对于一切的实数，不等式恒成立，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：每小题6分，共18分.全部选对得6分，部分选对得部分分，选错不得分． 9. 下列说法正确的是（ ） A. 不等式的解集为 B. 函数的定义域为 C. 若，则函数的最小值为2 D. “函数的定义域为”是“”的充分不必要条件 10. 已知是定义在上的偶函数，且是奇函数，当时，，则（ ） A. 的值域为 B. 的最小正周期为4 C. 在上有3个零点 D. 11. 在平面直角坐标系中，将函数的图象绕坐标原点逆时针旋转后，所得曲线仍然是某个函数的图象，则称为“旋转函数”.那么（ ） A. 存在旋转函数 B. 旋转函数一定是旋转函数 C. 若为旋转函数，则 D. 若为旋转函数，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知等差数列的前项和为，且，，则_________． 13. 已知函数在区间上单调递增，则实数m的取值范围为______________． 14. 已知函数图象的相邻两对称轴间的距离为，且为奇函数.，记函数在上的零点从小到大依次为，则的值为__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分． 15. 已知函数是定义在上的奇函数. （1）求的解析式； （2）求当时，函数的值域. 16. 已知函数为数列的前项和． （1）求的通项公式； （2）记数列的前项和为，证明：． 17. 已知函数（）． （1）若，求及的单调递增区间； （2）已知在区间上单调递增，再从条件①，条件②，条件③这三个条件中选择一个作为已知，使函数存在且唯一确定，求的最小正周期. 条件①：； 条件②：点在的图象上； 条件③：． 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 18. 已知函数（，，）的图象如图所示. （1）求函数的解析式； （2）将函数图象上每个点的纵坐标变为原来的（横坐标不变），再将得到的图象向右平移个单位长度，所得的函数为，求函数的解析式； （3）若对于，，使得，求实数的取值范围. 19. 已知函数，，． （1）当时，求函数的单调区间； （2）当时，证明：； （3）证明：，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高三数学阶段性检测 2026.10 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分． 1. 已知集合，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出集合后根据交集和补集的定义可求. 【详解】， 而，故， 故， 故选：D. 2. 曲线在点处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先对函数求导，代入得到切线斜率，再结合切点坐标由点斜式即可写出方程. 【详解】因为， 将代入导函数，可得， 已知切点为，由点斜式可得切线方程为，即. 3. 如图，圆的半径为1，劣弧的长为，则阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由扇形面积减去三角形面积即可求解. 【详解】因为圆的半径为1，劣弧的长为，所以， 则， 所以阴影部分的面积为. 故选：B. 4. 函数的图像恒过定点，点在幂函数的图像上，则（ ） A. 2 B. 3 C. 8 D. 9 【答案】D 【解析】 【分析】 先求出定点，代入幂函数可得，即可求出. 【详解】由可得当时，，， 设，则，解得， 于是，∴. 故选：D. 5. 若，，且都为锐角，则（ ） A. B. C. D. 1 【答案】D 【解析】 【分析】先利用同角的正余弦的平方关系可求得，，再根据，利用两角差的正弦公式求值即可. 【详解】因为都为锐角，所以，所以，， 所以， 因为。，所以， 因为，， 所以， 所以 . 故选：D. 6. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用半角公式，倍角公式，弦化切等进行化简求值. 【详解】 因为 所以分子分母同除以，可得：原式= 故选：C 7. 努力公式是一个用来描述努力与结果之间关系的数学公式，它通常表示为：，．我们可以把看作每天的进步率都是，而把看作每天的落后率都是，大约经过（ ）天后进步的是落后的200倍 A. 264 B. 266 C. 268 D. 270 【答案】A 【解析】 【分析】设天后进步的是落后的200倍，则，利用指对数运算求解即可. 【详解】设天后进步的是落后的200倍，则，， 即， 所以有（天）. 故选：A. 8. 已知函数，若对于一切的实数，不等式恒成立，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先确定函数的定义域，然后求导，可确定函数是上的单调递增函数，再把原函数不等式，转化为带有参数的不等式，分类讨论即可得出结果. 【详解】易知函数的定义域为， 则， 因为，， 所以， 又因为，所以，即恒成立， 故函数是上的单调递增函数， 因为，所以，即， 当时，左边成立，故符合题意； 当时，有，解得：， 综上所述：的取值范围为：. 故选：D. 二、多选题：每小题6分，共18分.全部选对得6分，部分选对得部分分，选错不得分． 9. 下列说法正确的是（ ） A. 不等式的解集为 B. 函数的定义域为 C. 若，则函数的最小值为2 D. “函数的定义域为”是“”的充分不必要条件 【答案】BD 【解析】 【分析】由一元二次不等式的解法可得A错误；由具体函数的定义域可得B正确；由基本不等式可得C错误；由根式以及二次函数的性质，结合充分不必要条件可得D正确. 【详解】对于A选项，不等式等价于， 解得或，即不等式解集为，故A错误； 对于B选项，由题意可得，，解得且， 函数的定义域为，故B正确； 对于C选项，函数， 当且仅当时取等号，但在内无解，故C错误； 对于D选项，因为函数的定义域为，则恒成立， 对于一元二次方程，则，解得， 因为是的真子集， 故“函数的定义域为”是“”的充分不必要条件. 10. 已知是定义在上的偶函数，且是奇函数，当时，，则（ ） A. 的值域为 B. 的最小正周期为4 C. 在上有3个零点 D. 【答案】BC 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性、以及时，，可作出函数图象，并确定函数的周期，即可求解. 【详解】对于A，因为是奇函数， 所以的图象关于对称， 且， 因为为偶函数，图象关于轴对称， 且当时，， 作出的图象，如下图所示： 由图可知，的值域为，故A错误； 对于B，因为是奇函数， 所以，即， 因为为偶函数， 所以，即， 所以，即， 所以函数的最小正周期为4，故B正确； 对于C，由图象可得在上，的图象与轴有3个交点， 所以函数在上有3个零点，故C正确； 对于D，由题意得，， 所以，故D错误. 故选:BC. 11. 在平面直角坐标系中，将函数的图象绕坐标原点逆时针旋转后，所得曲线仍然是某个函数的图象，则称为“旋转函数”.那么（ ） A. 存在旋转函数 B. 旋转函数一定是旋转函数 C. 若为旋转函数，则 D. 若为旋转函数，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】对A，举例说明即可；对B，举反例判断即可；根据函数的性质，结合“旋转函数”的定义逐个判断即可；对CD，将旋转函数转化为函数与任意斜率为1的函数最多一个交点，再联立函数与直线的方程，分析零点个数判断即可. 【详解】对A，如满足条件，故A正确； 对B，如倾斜角为的直线是旋转函数，不是旋转函数，故B错误； 对C，若为旋转函数，则根据函数的性质可得，逆时针旋转后，不存在与轴垂直的直线，使得直线与函数有1个以上的交点.故不存在倾斜角为的直线与的函数图象有两个交点.即与至多1个交点.联立可得. 当时，最多1个解，满足题意； 当时，的判别式，对任意的，都存在使得判别式大于0，不满足题意，故.故C正确； 对D，同C，与的交点个数小于等于1，即对任意的，至多1个解，故为单调函数，即为非正或非负函数. 又，故，即恒成立. 即图象在上方，故，即. 当与相切时，可设切点，对求导有，故，解得，此时，故.故D正确. 故选：ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知等差数列的前项和为，且，，则_________． 【答案】3 【解析】 【分析】利用等差数列片断和性质求解. 【详解】是等差数列，则成等差数列， 所以，所以. 13. 已知函数在区间上单调递增，则实数m的取值范围为______________． 【答案】 【解析】 【分析】利用复合函数同增异减， 则二次函数在上单调递减且；再结合二次函数图象的对称轴列不等式，同时保证区间内恒大于 0，联立求出的取值范围. 【详解】令，则， 由在区间上单调递增，且单调递减， 得在区间上单调递减， 因为二次函数图象开口向上，对称轴为直线，所以，所以， 因为，所以，由在区间上单调递减， 所以当，取得最小值为，则，故， 综上，实数的取值范围为. 14. 已知函数图象的相邻两对称轴间的距离为，且为奇函数.，记函数在上的零点从小到大依次为，则的值为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据题目条件,先求出,得到,从而的根为，设，转化为直线与函数在上的图象交点问题，根据对称性得，代入即得. 【详解】由题知的最小正周期为，所以， 所以,又为奇函数, 故，得，又，所以， 所以，故 由，得到, 因为， 令,则， 设，如下图所示： 由图可知，直线与函数在上的图象有四个交点， 点关于直线对称， 点关于直线对称， 所以，而， 代入得：. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分． 15. 已知函数是定义在上的奇函数. （1）求的解析式； （2）求当时，函数的值域. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用奇函数定义及性质，列式计算求出，作答. （2）由（1）的结论，求出函数的解析式，利用换元法转化为二次函数求出值域即可. 【小问1详解】 由函数是上的奇函数，则有，解得， 所以， ，， 即，，解得， 经验证得，时，是奇函数， 所以. 【小问2详解】 由（1）知，， 令，，则， 于是函数变为， 对称轴为，所以在单调递减，在单调递增， 因此当时，，当时，， 所以函数的值域为. 16. 已知函数为数列的前项和． （1）求的通项公式； （2）记数列的前项和为，证明：． 【答案】（1）； （2） ∵，∴， ∴， ∴， ∵， 故． 【解析】 【分析】（1）根据和的关系即可求解； （2）利用裂项相消求和即可证明. 【小问1详解】 由题意知，的前项和， 当时，， 当时，， 经检验，满足， ∴的通项公式为. 【小问2详解】 略 17. 已知函数（）． （1）若，求及的单调递增区间； （2）已知在区间上单调递增，再从条件①，条件②，条件③这三个条件中选择一个作为已知，使函数存在且唯一确定，求的最小正周期. 条件①：； 条件②：点在的图象上； 条件③：． 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 【答案】（1），单调递增区间，； （2）选①，最小正周期； 选③，最小正周期． 【解析】 【分析】（1）利用二倍角公式与辅助角公式，先对函数解析式进行化简，根据所给条件，利用整体代换的思想求解函数的单调递增区间； （2）通过题干所给条件先求出参数的取值范围，再根据所选择的条件计算出参数的具体取值，再利用周期公式计算最小正周期． 【小问1详解】 ； 因为，则； ； 令，解得； 故的单调递增区间为，； 【小问2详解】 由（1）知，， 令，； 解得；当时，； 已知在区间上单调递增，故，解得； 选① 因为，即， 解得，因为，则， 故，解得； ，的最小正周期； 选② 因为点在的图象上， 则，即，，解得， 综上，，；，； 此时不唯一，故不符合题意； 选③ 因为，则对称轴为， 则，解得， 因为，故，； ，的最小正周期． 18. 已知函数（，，）的图象如图所示. （1）求函数的解析式； （2）将函数图象上每个点的纵坐标变为原来的（横坐标不变），再将得到的图象向右平移个单位长度，所得的函数为，求函数的解析式； （3）若对于，，使得，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据周期，最值求，根据求即可； （2）利用变换求出解析式； （3）将问题转化为，求出，结合正弦函数的性质即可求出. 【小问1详解】 由题意可知，，，得， 因为，所以，即， 因为，所以， 故函数的解析式为； 【小问2详解】 将函数图象上每个点的纵坐标变为原来的（横坐标不变）得到函数的图象， 将得到的图象向右平移个单位长度，所得的函数为. 【小问3详解】 由题意得. 因为，所以，则， 故. 所以只需，即， 即 因为，所以， 所以，得， 则实数的取值范围为. 19. 已知函数，，． （1）当时，求函数的单调区间； （2）当时，证明：； （3）证明：，． 【答案】（1）单调递减区间为，单调递增区间为． （2）证明：因为，， 所以，即． 当时，． 设，， 则． 令，则在上恒成立， 所以即在上单调递增，所以， 所以在上单调递增， 所以当时，，即， 所以，即原不等式成立． （3）证明：令，， 则． 由（2）知，当时，， 所以． 所以 ． 所以在上单调递增． 因为当时，，所以当时，， 即，． 【解析】 【分析】（1）利用导数判断函数单调性，结合函数单调性求解即可. （2）构建函数，，利用导数分析的单调性，利用单调性证明即可. （3）构造函数，，利用导数分析的单调性即可证明. 【小问1详解】 当时，，则． 令，得． 因为，所以，解得． 当时，，则，即， 所以在上单调递减； 当时，，则，即， 所以在上单调递增． 所以函数的单调递减区间为，单调递增区间为． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $