精品解析：山东省淄博第六中学2025-2026学年高三上学期10月月考数学试卷

淄博六中2025级高三数学 命题人：石蕾 审核人：张云峰 注意事项： 1.本试题分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分.第Ⅰ卷为选择题，共58分；第Ⅱ卷为非选择题，共92分；满分150分，考试时间为120分钟. 2.客观题请将选出的答案标号（A、B、C、D）涂在答题卡上，主观题用0.5mm黑色签字笔答题. 第Ⅰ卷（共58分） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设集合，若，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 2. 设，则“”是“”（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 已知函数y=f(x)的图象是连续不间断的，有如下对应表： x 1 2 3 4 5 6 y 122.5 21.4 -7.4 4.5 -53.1 -125.5 那函数f(x)在区间[1，6]上的零点个数是（ ） A. 只有2个 B. 至多3个 C. 只有3个 D. 至少3个 4. 函数的图象可能为（ ） A. B. C. D. 5. 已知，，，则a，b，c大小关系为（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数的定义域为，且为偶函数，为奇函数．若，则（ ） A. 23 B. 24 C. 25 D. 26 7. 已知函数．若，则实数a取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 设函数，，若存在，，使得，则的最小值为（ ） A. B. 1 C. 2 D. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 下列结论中，所有正确的结论是（　　） A. 若，则 B. 命题的否定是： C. 若且，则 D. 若，则实数的取值范围为 10. 已知定义域为的函数，对任意实数都有，且，则以下结论一定正确的有（ ） A. B. 是奇函数 C. 关于中心对称 D. 11. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 是的极值点 B. 当时，在区间上单调递减 C. 若恒成立，则 D. 若关于的不等式的解集为，则 第Ⅱ卷（共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数，则___________. 13. 已知函数对定义域内的任意实数满足，则_________. 14. 已知函数若关于的函数有8个不同的零点，则实数的取值范围为_____． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知数列中，且． （1）求证：数列为等比数列； （2）求数列的前n项和． 16. 某地举行“庆元旦”抽奖活动，奖池中只有“幸运奖”和“安慰奖”两种奖项，已知每次抽奖抽中“幸运奖”得奖金30元，抽中“安慰奖”得奖金10元，累计奖金不少于50元时，停止抽奖，设甲每次抽中“幸运奖”的概率为，抽中“安慰奖”的概率为，且每次抽奖结果相互独立． （1）记甲抽奖2次所得的累计奖金为X，求X的分布列和数学期望； （2）求甲恰好抽奖3次后停止抽奖的概率． 17 已知函数. （1）试讨论函数的单调性； （2）当时，试求函数的极值； 18. 已知是各项均为正数的数列，为前n项和，且，，成等差数列. （1）求的通项公式； （2）求证：； （3）已知，求数列的前项和. 19. 函数，. （1）若不等式，对于恒成立，求实数取值范围； （2）若直线是曲线的一条切线，求实数的值； （3）若，对，，均有恒成立，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 淄博六中2025级高三数学 命题人：石蕾 审核人：张云峰 注意事项： 1.本试题分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分.第Ⅰ卷为选择题，共58分；第Ⅱ卷为非选择题，共92分；满分150分，考试时间为120分钟. 2.客观题请将选出的答案标号（A、B、C、D）涂在答题卡上，主观题用0.5mm黑色签字笔答题. 第Ⅰ卷（共58分） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设集合，若，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据包含关系直接得解即可. 【详解】因为，， 所以， 故选：A 2. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】将对数不等式进行等价变换，结合，，可判断，取值范围，从而判断与的关系. 【详解】因为，又， 所以，当且仅当时取等号，即， 又， 所以不能推出，所以是的不充分条件； 又，所以是的必要条件， 所以是的必要不充分条件. 故选：B. 3. 已知函数y=f(x)的图象是连续不间断的，有如下对应表： x 1 2 3 4 5 6 y 122.5 21.4 -7.4 4.5 -53.1 -125.5 那函数f(x)在区间[1，6]上的零点个数是（ ） A. 只有2个 B. 至多3个 C. 只有3个 D. 至少3个 【答案】D 【解析】 【分析】结合题意，根据零点存在性定理判断即可. 【详解】 因为函数的图象是连续不间断的,且 所以根据零点存在性定理,函数在区间上至少存在一个零点； 同理，由,得函数在区间上至少存在一个零点； 由,得函数在区间上至少存在一个零点. 但不能判断函数在其它区间上是否有零点. 因此，函数在区间上至少存在3个零点. 故选：D. 4. 函数的图象可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先利用函数的奇偶行排除选项，再利用特殊值即可求解. 【详解】因为函数， 定义域为，且， 所以函数为奇函数，图像关于原点对称，故排除选项； 当时，，，所以，故排除选项. 故选：. 5. 已知，，，则a，b，c的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据对数函数的单调性、对数的运算性质可得、，即可求解. 【详解】， 由，得，则，即； ， 所以. 故选：D 6. 已知函数的定义域为，且为偶函数，为奇函数．若，则（ ） A. 23 B. 24 C. 25 D. 26 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数奇偶性推出函数关于直线对称和关于点 对称，则得到其周期，再计算其一个周期内的和，最后代入计算即可. 【详解】为偶函数，则则关于对称， 为奇函数，则， 即，则关于点对称， 则由其关于对称有，则， 则，作差有， 为周期函数，且周期为4，因为，，则， 因为，，则， ，则， ，， 故选：C. 7. 已知函数．若，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先通过对变量替换，即令，将原函数变为，通过求导判断的单调性，利用其严格递增性将原不等式转化为，最终求解一元二次不等式. 【详解】令，则原函数可改写为：， 定义辅助函数，则， 由，故是奇函数， ，又（当且仅当时取等号），且,, 因此，在上严格递增， 原不等式转化为：，即， 因为为奇函数，即，所以， 又在上严格递增，故，所以，得， 故选：A 8. 设函数，，若存在，，使得，则的最小值为（ ） A. B. 1 C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，由条件可得，即可得到，构造函数，求导得其最值，即可得到结果. 【详解】由题意可得，即， 所以， 又，所以在上单调递增， 即，所以， 且， 令，， 则，其中， 令，则， 当时，，则单调递增， 当时，，则单调递减， 所以当时，有极大值，即最大值， 所以，， 所以. 故选：B 【点睛】关键点睛：本题主要考查了函数同构问题以及导数求最值问题，结合同构函数，然后构造函数求导即可得到结果. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 下列结论中，所有正确的结论是（　　） A. 若，则 B. 命题的否定是： C. 若且，则 D. 若，则实数的取值范围为 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据不等式的性质、特称命题的否定、作差法比较大小以及恒成立问题的求解方法，对每个选项逐一进行分析. 【详解】对于选项A： 因为，所以. 因为，所以，即，所以A正确； 对于选项B： 特称命题的否定是全称命题，对于命题的否定是： ，所以B正确； 对于选项C： ，因为， 所以，所以， 所以，所以C正确； 对于选项D： 因为时，恒成立，即恒成立. 根据基本不等式的性质， 所以要使得不等式恒成立，则，所以D错误 故选：ABC. 10. 已知定义域为的函数，对任意实数都有，且，则以下结论一定正确的有（ ） A. B. 是奇函数 C. 关于中心对称 D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】对A，令得或，令得，结合求得；对B，令，结合利用偶函数定义判断；对C，令得，即可判断；对D，由B、C的解析可得函数的周期为4，从而可判断D. 【详解】对于A，令，可得，解得或， 令，， 又，若，则，显然不成立，故，故A正确； 对于B，令，得，即， 又函数的定义域为，所以为偶函数，故B错误； 对于C，由选项A知，，所以， 令，得，即， 所以函数关于中心对称，故C正确； 对于D，因为为偶函数，所以， 又由C选项得，即，得， 所以，故函数的周期为4， 因为， 所以一个周期的和为， 所以，故D正确. 故选：ACD 11. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 是的极值点 B. 当时，在区间上单调递减 C. 若恒成立，则 D. 若关于的不等式的解集为，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】对A，当时，在定义域上单调递增，由极值点的定义，即可求解；对B，利用导数与函数单调性间的关系，直接求出单调减区间，即可求解；对C，根据题设条件可得，即可求解；对D，构造函数，求出其单调区间，再结合选项条件，即可求解. 【详解】对于A，因为，则， 令，得到或，若，即时，，当且仅当时取等号， 此时在定义域上单调递增，无极值点，所以A错误， 对于B，当时，， 由，得到，所以在区间上单调递减，故B正确， 对于C，因为，则， 又恒成立，当且仅当时取等号，恒成立，当且仅当时取等号， 由恒成立，得到恒成立，即恒成立， 所以，解得，所以， 则 所以，故C正确， 对于D，由，得到，令， 则，令，得到或， 当，即时，时，，时，， 即的增区间为，减区间为， 又时，，，时，， 则存在唯一，使，所以的解集为， 即的解集为，所以满足题意， 当，即时，恒成立，当且仅当时取等号， 所以在定义域上单调递增，又时，，时，， 则存在唯一，使，所以的解集为， 即的解集为，所以满足题意， 当，即时，时，，时，， 即的增区间为，减区间为， 又时，，，时，， 则在上，存在唯一，使， 要使关于的不等式的解集为，则， 整理得到，解得，所以， 综上所述，关于的不等式的解集为时，，所以D正确， 故选：BCD 第Ⅱ卷（共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数，则___________. 【答案】1 【解析】 【分析】根据函数导数的定义，求出指定导数值即可. 【详解】由题意得，， 则，可知； 故答案为：1. 13. 已知函数对定义域内的任意实数满足，则_________. 【答案】 【解析】 【分析】先把x都化为2x，进行化简得到，再把x替换为得到，最后联立方程组求解即可. 【详解】由，得，即①，将换为，得②，由①+2②，得，故. 故答案为：. 14. 已知函数若关于的函数有8个不同的零点，则实数的取值范围为_____． 【答案】 【解析】 【分析】作出函数的图象，则在时直线与的图象有4个交点，令，只需方程有2个不同的解，根据一元二次方程根的分布，列不等式求解即可． 【详解】如图，作出函数的图象，易知， 当时，此时有4个不同的实数根， 当或时，此时有3个不同的实数根， 当时，此时有2个不同的实数根， 当时，此时有1个不同的实数根， 当时，此时没有实数根， 因此只有在时直线与的图象有4个交点， 要满足关于的函数有8个不同的零点， 令，则方程在上有两个不等实根， 则有解得． 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知数列中，且． （1）求证：数列为等比数列； （2）求数列的前n项和． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据等比数列定义可证； （2）先求得数列通项公式，再分组求和可得. 【小问1详解】 因为，，所以， 又因为，所以数列是首项为2，公比为2的等比数列． 【小问2详解】 由（1）得，，所以，， ． 16. 某地举行“庆元旦”抽奖活动，奖池中只有“幸运奖”和“安慰奖”两种奖项，已知每次抽奖抽中“幸运奖”得奖金30元，抽中“安慰奖”得奖金10元，累计奖金不少于50元时，停止抽奖，设甲每次抽中“幸运奖”的概率为，抽中“安慰奖”的概率为，且每次抽奖结果相互独立． （1）记甲抽奖2次所得的累计奖金为X，求X的分布列和数学期望； （2）求甲恰好抽奖3次后停止抽奖的概率． 【答案】（1）分布列见解析， （2）． 【解析】 【分析】（1）求出X的可能取值，并求出对应的概率，写出分布列，利用数学期望的定义计算即可. （2）甲恰好抽奖3次后停止抽奖的情况有两种：①甲抽中“幸运奖”1次，抽中“安慰奖”2次，②甲抽中“幸运奖”2次，抽中“安慰奖”1次，且第3次抽中“幸运奖，利用独立事件概率的乘法公式和互斥事件的加法公式求解即可. 【小问1详解】 的所有可能取值为． 且， 所以X的分布列为 X 20 40 60 P 故. 【小问2详解】 设“甲恰好抽奖3次后停止抽奖”为事件， 甲恰好抽奖3次后停止抽奖，则甲累计奖金为50元或70元. ①若甲累计奖金为50元，则甲抽中“幸运奖”1次，抽中“安慰奖”2次， 其概率为. ②若甲累计奖金为70元，则甲抽中“幸运奖”2次，抽中“安慰奖”1次，且第3次抽中“幸运奖”， 其概率为. 所以. 17. 已知函数. （1）试讨论函数的单调性； （2）当时，试求函数的极值； 【答案】（1）见解析； （2）当或时，无极值；当时，极小值为，无极大值. 【解析】 【分析】（1）根据导数的正负来判断函数的单调区间； （2）在确定单调性的基础上，根据极值点的定义来求解. 【小问1详解】 求导得， 当时，，在上单调递增； 当时，在上为负，在上为正，故在上递减，在 上递增； 【小问2详解】 当时，在上恒成立，函数单调递增，无极值； 当时，在上恒成立，函数单调递减，无极值； 当时，在处，且在上递减，在上递增， 故函数在处有极小值，在内无极大值. 18. 已知是各项均为正数的数列，为前n项和，且，，成等差数列. （1）求的通项公式； （2）求证：； （3）已知，求数列的前项和. 【答案】（1） （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据的关系可证明为等差数列，即可求解， （2）利用放缩法可得，即可由裂项相消法求和得解， （3）对分奇偶，即可利用平方差公式，结合等差数列求和公式即可求解. 【小问1详解】 由，，成等差数列，得，① 当时，， ∴，得（舍去）， 当时，，② ①-②得，， ∴， 又，∴， ∴是首项为2，公差为1的等差数列， ∴，故； 【小问2详解】 ， 故 【小问3详解】 由（1）知， 当是奇数时， ， 当是偶数时， ， 综上. 19. 函数，. （1）若不等式，对于恒成立，求实数的取值范围； （2）若直线是曲线的一条切线，求实数的值； （3）若，对，，均有恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）根据的取值进行讨论，然后结合函数性质，进行解不等式即可； （2）设切点为，对函数进行求导后，根据导数几何意义即可求得切点坐标，再带回切线方程，即可求解； （3）根据题意，构造函数，通过求导可判断的单调性，进而可化简不等式为，移项后，再构造函数，根据的单调性，进行求参数即可. 【小问1详解】 因为函数，不等式对于恒成立， 即对于恒成立， 当时，原不等式为，对于不能恒成立， 当时，原不等式为，对于恒成立， 则有，解不等式组得， 综上所述，实数的取值范围是. 【小问2详解】 已知函数，定义域为， 可得， 因为直线是曲线的一条切线，所以切线的斜率， 设切点为，根据导数的几何意义，可得， 解方程得或， 又因为函数定义域为，所以， 代入函数式得，所以切点坐标， 因为切点在切线上，所以，解得. 所以，实数的值为. 【小问3详解】 若，则，所以， 设函数，则， 易知，当时，恒成立， 所以在上单调递增， 设，，则， 即， 所以恒成立，即恒成立， 即恒成立， 设，即，，恒成立， 所以在上单调递减，所以在内恒成立， 又，则， 又，所以恒成立， 令，则，， 设函数，则， 易知当时，恒成立，所以函数在内单调递减， 所以当时，函数取得最大值，， 所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $