四川省成都市第七中学2027届高三上学期第七周周测数学试题

2027届高三上期第七周周测试卷 数学 注意事项： 1.本试卷考试时间为110分钟，试卷满分150分，考试形式为闭卷. 2.本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置，否则不给分. 3.答题前，务必将自己的姓名、班级和准考证号用0.5毫米黑色墨迹签字笔填写在答题卡规定的位置上. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.集合A={xx2-4x-5=0},B={-1,1},则AUB=（) A.{-1} B.{1 C.{-5,1} D.{5,-1,1 2.已知a,ben则ra>b是"右< 1”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 3.角a的终边经过点M(-3,-2),则3sina-2cosa=() A.13 B.5W13 13 13 C. D.0 4.函数f(x)=(e”-e)logx的图象大致是() -10 2 5.已知△ABC的外接圆圆心为O,且2AO=AB+AC,OA=AB,则向量BA在向量BC上的投影向量 为() A.B B.3BC 4 C.BC D.-5C 4 6.若圆柱和圆台的高和体积都各自相等，设圆柱的底面圆半径为r,圆台的上、下底面圆半径分别为1,2， 则() A.2r=r1+r3 B.2r>r1+r3 C.r2=rir2 D.r2<r2 7.高尔顿板是英国生物统计学家高尔顿（进化论奠基者达尔文的表弟）设计的用来研究随机现象的模型. 某游乐场根据“高尔顿钉板”模型，仿制了一款如图所示的游戏机：玩家投入1枚游戏 币后，机器从上方放下一颗半径适当的小球，小球等可能地从第1层由2个钉子（图中 圆点)隔出的3个空隙中落下，碰撞到下一层的钉子后等可能地从碰撞到的钉子左边 或右边落下，如此继续下去，最后落入编号为①②…⑧的槽内，然后根据落下的结果 发放奖品。®号槽对应的奖品正是小珠同学存欢的公仔，小来准名投入0校游戏币，QS识lS。 则他获得该公仔个数的期望为() ①②③④⑤⑥⑦⑧ A.2 B.3 C.4 D.5 S.。已知数列o,}满足：a-号an1=a2-a+2n∈N门，i记<>表示不小于的最小整数〔例如： 2>=2,<3>3设6。+数列b}的前n项和为，则<>=(】 A.2025 B.2026 C.2027 D.2028 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部 选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.设复数z=1+2i,则() A.元的虚部是-2i B.z+1>z+i C.z2=-3+4i D.+是纯虚数 z-3i 10.已知圆C:x+(g-3=1,椭圆C:至+寸-1，直线：y=kc+m,则( ) A.若l与C相交于乃，乃，对于k∈R,m∈R,PP不可能是定值 B.若l与C1,C都相切，则这样的直线l有四条 C.若l与椭圆C相切且与圆C1有两个交点B,P,则△CPP面积的最大值为0.5 D.若l与圆C1相切且与椭圆C有两个交点，则m<4-√5或m>4+√5 11.已知函数f(x)及其导函数f'(x)的定义域为R,若f(c)为奇函数，f(2)=一f(1)≠0，且对任意x,y∈R, f(x+y)=f(x)f'(y)+f'(x)f(y),则下列正确的有() 2027 2027 Af)=号 B.f(9)=0 C.>fk)=1 D.f'(k)=-1 k=1 k=1 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 2。已知（一2厂的展开式关有7项，侧展开式中的常数项为 13.在等差数列{a,}中，a>0,公差d<0,a1<-1,则使Sn>0成立的最大的正整数n取值为一· a1013 14.人教A版(2019)数学必修第二册第六章《平面向量及其应用》习题第16题中，可设向量元=（a,b),元= (c,d),由数量积的性质元·元≤，即%≥（元·），证得柯西不等式(a2+b)(c2+d)≥(ac+bd)2. 假如角a、B均为锐角，那么sina+sinB+cos(a+β)的取值范围是 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分)已知a,b,c分别为△ABC三个内角A,B,C的对边，且acosC+√5 asinC=b. (1)求A: (2)若a=2,C=圣求b. 16.(15分)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是菱形，PA⊥平面ABCD,PA=AC=2,点E是线 段PC上的一个动点. (1)若E为线段PC中点，求证：PA∥平面BDE: (2)若P而=PC,求平面EBD与平面BDC夹角的正弦值. 17.(15分)2026年9月29日，四川大学举行百卅校庆活动，在活动期间统计前后连续5天进入学校参加活动 的校友数（单位：千人）如下： 日期 9月27日 9月28日 9月29日 9月30日 10月1日 第c天 1 2 3 参观人数y 2.2 2.6 3.1 5.2 6.9 (1)由上表数据看出，可用线性回归模型拟合y与x的关系，请用相关系数r加以说明（保留小数点后两位，若 r>0.75,则认为y与x的线性相关性很强)，并求出y关于x的线性回归方程： (2)校庆期间学校仅开放北大门和西大门，暂不开放东大门和南大门.校友从中随机等可能选择一个进入，且 出学校与进学校选择相同大门的概率为号.假设校友从北大门和西大门出入学校互不影响，现有甲，乙，丙、 丁4名校友于10月1日回母校参加活动，设X为4人中从西大门出学校的人数，求X的分布列与方差， 附：参考数据：立d=2,2=5,可=4，公=95.36，v536≈12.59. 参考公式：回归直线方程=6c十a,其中6三=合一m远可 -,a=可-b元 相关系数r= i三1 Evi-n 18.（(17分)已知函数f(o)=e2-2-an2-1 (1)当a=0时，求曲线y=f(x)在原点处的切线方程； (2)若f回在(-受)上单调递增，求a的取值范围： (3)当0≤a≤1时，证明：当c>0时，f(x)>0. 19.(17分)己知抛物线E:x2=4y的焦点为F,P(m,n)(m≠0)是E上的动点，过P点作E的切线l,直线l 椭圆C:二+是三1O>b>0交于A,B两个不同的点，记AB的中点为D.设直线OD0为原点)直 线y=25交于Q. a (①)若椭圆C经过抛物线E的焦点，且椭圆的离心率为5，求椭圆C的方程； (2)在(1)的条件下，判断并证明直线y=一2公与直线PQ的位置关系； a (3)若l与FQ交于G,且a=2b,证明：1<S△Pe<2. SAPGQ 2027届高三上期第七周数学周测 参考答案和评分标准 一、选择题（每小题5分，共40分） 1-4:DBDA;5-8:CBDD. 二、选择题（每小题6分，共18分） 9.CD;10.BCD;11.ABD. 三、填空题（每小题5分，共15分） 12.240:3.2025:14.(13] 部分选填题参考解析 8.【解析1由an1=片-a+2得。 2 =。1-,则上=1 a1-2a2an=a-2贝 an-2 an+1-2 1 1 a1 a2 a2026 1a22a_2++（a2026-2a2。 a2w2=2-1 1 1 a2027-2y .b=a+1=1+1.B6=2026×1+(2-am2-2层2028户6x2: 1 an an 又a41-a=a-2+2=号(a,-2P>0,数列{a}为递增数列， 由a=号得：a=得，0*22，a316则当n≥4时，a>3,有a>3,0<a2<1 .2027<T3026<2028,.<T26>=2028.故选D 11.【解析】由f(x+y)=f(x)f'(y)+f'(x)f(g),令x=y=1,则f(2)=2f(1)f'(1), 因为f(2)=f1)≠0，所以f)=-号，故A正确： 令y=1,则有f(x+1)=f(x)f'(1)十f'(x)f(1)…①， 所以f(1-x)=f(-x)f'(1)+f'(-x)f(1), 因为f(x)为奇函数，所以f'(x)为偶函数，f(0)=0, 所以f(1-x)=-f(x)f'(1)+f'(x)f(1)…②， 由①-②整理有f(x+1)=2f(c)f'(1)+f(1-x)=-f(x)-f(x-1),即f(x+2)=-f(x+1)-f(r), 所以f(x+3)=-f(x+2)-f(x+1)=f(x+1)+f(x)-f(x+1)=f(x), 所以f(x)是周期为3的周期函数，所以f(9)=f(0)=0,故B正确： 因为f3)=f(0)=0,故f(1)+f(2)+f(3)=0, 所以三f=[f①+f2+/3]×65+[f+f2]=0+0=0,故C错误： 由f(x+3)=f(x)得f(x+3)=f'(x),故f(x)亦是周期为3的周期函数， 在①中，令x=0,得f1)=f(0)f'(1)+f'(0)f(1)→f'(0)=1,所以f'(3)=f'(0)=1, 在①中，令x=2,得f3)=f〔2f①)+f2f1)→f'2)=f(①)=-号，故f')+f2)+f3)=0 2027 故f()=[f(1)+f(2)+f'(3)]×675+[F'(1)+f(2)]=0+(-1)=-1,故D正确.故选：ABD. 注：本题亦可通过所给恒等式，精测函数为正弦型递数，进一步求符f@)一是m亭，即得本题正确选项。 l4.【解析】因为角a、B均为锐角，所以sin&,cosa,sinB,cosB的范围均为(0,1)， 所以sin(a+B)=sinacos3+cosasinB<sina+sinB, sina+sinB+cos(a+B)>sin(@+B)+cos(a+B)=2sin++ 因为0<u<号0<B<受，圣<u+B+晋<经，所以v2sma+6+}）>V2×号=1， sina+sing+cos(a+B)=sina+sinB +cosacosp-sinasinB =[(1-sinB)sina+cospcosa]+sin[(1-sinB)+cos'B](sin'a+cos'a)+sinB =v(1-sinB)2+cos'B +sinB=v(1-2sinB+sin'B)+cos'B sinB=v2(1-sinB)+sinB, 当且仅当(1-sinB)cosa=sinacosB时取等，令√1-sinB=t,t∈(0,1)，则sinB=l-t, 所以sina+sin6+os(e+)≤2l-m+n8-v2E+1--（t-9f+号≤号 则sine+simB+cos(e+B)的范围是（1.多]，故答案为：(1，多] 四、解答题（共77分） 15.【解】(1)由于acosC+√3 asinC=b, 故由正弦定理得sinAcosC+√3 sinAsinC=sinB, …(2分) 又sinB=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC,代入上式可得√3 sinAsinC=cosAsinC, 因为0<C<π，故sinC>0,则√5sinA=cosA, 放anA=9义0<A<,因此A=看 …(6分) (2)由于simB=sinA+C)=sim(看+】 n+on=×+9x2中 …(9分)》 4 V2.②1+V3 故由正弦定理，a。 b。变式可得b=asin5 4。 sinAsin =1+√5. …(13分) sinA 之 16.【解】(1)设菱形ABCD的对角线AC交BD于点O, 因为菱形的对角线互相平分，所以O是AC的中点，又因为E是PC的中点， 在△PAC中，OE是中位线，因此OE∥PA. 又因为OEC平面BDE,PA寸平面BDE,且OE∥PA, E 根据线面平行的判定定理，可得PA∥平面BDE: …(6分) (2)设PC的中点为F,因为O,F分别为AC,PC中点，所以OF∥AP, 又因为PA⊥平面ABCD,所以OF⊥平面ABCD., 因为OB,OCC平面ABCD,所以OF⊥OB,OF⊥OC 又因为底面ABCD是菱形，所以OB⊥OC. 以O为原点，分别以OB,OC,OF所在直线为x,y,z轴建立坐标系， …(8分) 因为PA=AC=2,则OA=OC=1. 因此各点坐标为：A(0,-1,0),C(0,1,0),P(0,-1,2),F(0,0,1),设B(b,0,0)· PC=0.2.-2,P啦=P元=(02)，B驴=(-6，-1,2， 丽=丽+Pm=(-b,-1,2)+(0,2》=（b,-2) 因为平面BDC在坐标平面z=0上，取其法向量为71=(0,0,1).…(10分) 平面BD的法向量为元=(c,2),BD=2B0=(-2b0.0,B西=（-6，-，多)》 则2BD=0.∫-26x+0+0=0 x=0 品B丽=0'-bm-2y+3=0'y=32 令z=1,则x=0,y=3,72=(0,3,1) …(12分) 设两个平面的夹角为(0≤0≤5)，应=(0.0,1，=(03,1)， 则cos0=cos<n1,n2>= 1_10×0+0×3+1×1=1=D 7 1×W0+3+1P 10-10 因为0≤0≤号所以im0=1-cs0=V-六-3 10 因此平面EBD与平面BDC夹角的正弦值为3Y0 10 …(15分) 17.【解】(1)由所给数据，r= -5可 72-5×3×4 公 W55-5×3×W95.86-5×4 12 12 12 Vi0xb6V5362g05, 因为0.95>0.75，所以认为y与x的线性相关性很强， …(3分) -5可72-5x3x4=1.2,6=可-6远=4-12X3=0.4 又6=点 财时-5 55-5×3 故求出y关于x的线性回归方程为9=1.2x+0.4: …(6分) (2)记“甲从西大门出学校”为事件A,“甲从西大门进学校”为事件B,“甲从北大门进学校”为事件C, 由题意得P(B)=P(C=P(AB)=子，P(AC)=吉 由全概率公式可得P(y=P(B)P(AB)+P(C)P(AC)=×号+号×号= 同理，乙、丙、丁从西大门出学校的概率也为故X~B(4), …(10分) 所以P(X=0)=C2)广=6PX=1)=C(2'2)°=1 P(X=2)=C(22°=8，PX=3)=C(2P2)= PX=4=C(2)-i6 …(12分) 所以分布列如下： X 0 2 6 4 P 1 1 1 16 4 16 由二项分布的方差公式，方差D(X)=m(1-p)=4×号×(1-2)=1. …(15分) 18.【解】(1)当a=0时，f)=e-号x-1,f四)=e-, f(0)=0,f'(0)=1,所以曲线y=f(x)在原点处的切线方程为y=x. …(3分) (2)法一：易得f'(x)=e-x-acosz, 若f()在（受）上单调递增，则f(四≥0在(-号)上恒成立. ①当a≤0时，-ac0sx≥0在（受）上恒成立.令y=e-8,则y=e-1. 当x∈(-0,0)时，y'=e-1<0,y=e-x单调递减： 当x∈(0，+∞)时，y=e-1>0,y=e-x单调递增： 当x=0时，函数y=e”-x取得最小值，最小值为1，所以y=e”-c≥1， f'(c)=e”-x-acosx≥1>0，符合题意： ②当a>0时，令F(x)=f'(x)=e”-x-acosx,则F(x)=e-1+asing. 因为F(✉)在（受号）上单调递增，P'(0)=0,所以当xe(受0)时，P(✉)<0， 当x∈(0，)时，F()>0,F()=f()在(-受，0)上单调递减，在(0，)上单调递增。 要使得f四)≥0在(-受)上恒成立，则f'o)m=f0)=1-a≥0，解得a≤1，又a>0,得0<a≤1. 综上，a的取值范围为(-o,1]. …(10分) 法二：f(m=e--ac0s.若fm)在（受）上单调递增，则f(四)≥0在(-受号)上恒成立. 由f@)≥0，得a<8o令ga)=oue(受5） cosx 则ge-e-1co-dee-55}令a()=e-,则u=c心-1L cos'x 当x<0时，w'(x)=e-1<0,当x>0时，w'(c)=e-1>0, 所以u(c)在(-∞，0)上单调递减，在(0，+∞)上单调递增，u(x)≥(0)=1，即e°-c≥1. 当x∈（-，0）时，e-1<0,cosa>0sinx<0, 所以(e-1)cosx+sinc(e-x)<0,即g(c)<0: 当m∈(0，)时，e-1>0,cosx>0,sinx>0,所以(e-1)cosx+sinr(e-)>0,即g(r)>0. g(如)在（←受0）上单调递减，在(0，)上单调递增，所以g(四)≥g(0)=1,所以a≤1， 即a的取值范围为(-o,1]. …(10分) 3)证明：令h()=e-x2-ar-1,则h=e2--a 令w(x)=h'(x)=e”-x-a,则w'(x)=e”-l. 当x<0时，w'(x)=e"-1<0,当x>0时，w(x)=e”-1>0, 所以w(x)=h'(x)在(-∞，0)上单调递减，在(0，+o∞)上单调递增. h'(x)≥h'(0)=1-a≥0，所以h(x)是增函数. 因为h(0)=0,所以h(x)>0在(0，+∞)上恒成立， 当0≤a≤1时，e--am-1>0在(（0.+∞)上恒成立. 令t(x)=x-sinc,则t'(x)=1-cosc≥0，所以t(x)是增函数. 因为t(0)=0,所以当x>0时，t(x)>0,即x>sinc. 因为0≤a≤1，所以当x>0时，-am<-asin,所以e2-}-asin-1≥e2-号-aw-1>0, 所以当x>0时，f(c)>0. …(17分) 19.【解】(1)由题意可知抛物线E的焦点为(0,1)，故b=1,则a2-c2=b=1, 因为椭圆C的离心率为e=c= a 2,a>b>0, 所以联市方程组时解得：但3故随圆的方起为聋十女-1： …(3分) ②结论：直线)=一若重直于首线PQ。 …(4分) 下而给出证明：由(1)可知a=2,b=1,则y=2空-号 a 设A(rh),B(c,.由于P(m,n)(m≠0)在抛物线上，所以n=m 4 由g=军，求导数得，y=号所以在点P(m)切线的斜率为：太=受，其方程为g=受一T 联立方程 4+y=1 士，消y得，(m2+1x2-mx+(-4到=0①， 此时△1=m5-(m2+1)(m-16)>0即0<m2<8+4W5, 由于直线与椭题C:君+茶=1a>6>0交于A动，5s两个不同的点， 所以1,2为方程①的两根，则c1十x2= mi (m+1) h+功=罗(+）-受=罗xm m m2 2 (m2+1) 2 2(m2+1)' 所以D点坐标为 m3 m2） 2(m2+1)’-4(m2+1)/1 因此，直线OD的方程为y= 2m 1 y=- 再联立方程 2m ,得Q的横坐标2=m,所以直线g=-2》与PQ垂直. …(10分) y=- 2 肖a=%时，直线y=一2冷即y=支，介于：销与我物线准线之间。 延长PQ交抛物线的准线y=-1于H点， 再联立方程 g=受- 4 +=1 ,消y得，(m+12-mz+(-4b)=0①， 此时A,=-m+166m+16>0,即0<m2<6(8+4V4+是 显然1，购为方程①的两根，则四1+=(m+1 mi 2十=受1+2)-2三2大 m (m+1) 2 2(m2+1) 所以D点坐标为 m 2m3 1 2(m2+1)’ 4m+1),故直线OD的方程为y=- 2n, y=- 再联立方程 2n0 ,得Q的横坐标c=m,所以PQ与x轴垂直.则H点的坐标为(m,-1), y=- 2 F点的丝标为0，则km=品又直线的斜率为=受因为km-品×罗=1，所以1 m 由抛物线的定义，△PFH为等腰三角形，且得直线l平分∠FPH. 而PF=PH=Y+1,PQ=P明-号-四+ 所以出布分战性酸可知那一瓷瓷知背1计是 m2+2 因为0<m<s+41+2),故0< 2 2 68+4V4++2m年1 所以1<Saoe SAFPG <2. …(17分)