精品解析：陕西汉中市龙岗学校2026-2027学年高一上学期10月第一次月考数学试题

龙岗2026级高一10月份第一次月考 数学 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 命题的否定是（    ） A. B. C. D. 3. 不等式的解集是（ ） A. 或 B. 或 C. D. 4. 已知则与的大小关系是（ ） A. B. C. D. 不能确定 5. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 已知，，若，则实数的取值构成的集合是（ ） A. B. C. D. 7. 记小明走路去学校的速度为，跑步去学校的速度为，方式一为一半的路程走路，一半的路程跑步，方式二为一半的时间走路，一半的时间跑步，则（ ） A. 方式二比方式一先到学校 B. 方式一比方式二先到学校 C. 两种方式到学校的时间一样 D. 无法确定哪种方式先到学校 8. ，恒成立，则实数的最大值为（ ） A. B. 3 C. D. 6 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列命题是真命题的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 10. 已知关于的不等式的解集为，则（ ） A. B. C. D. 的解集为 11. 已知正实数，满足，则下列结论正确的有（ ）． A. 的最大值为 B. 的最大值为 C. 的最小值为4 D. 的最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 满足 条件的集合A的个数为______． 13. 若p是r的充分非必要条件，p是q的必要条件，则r是q的______条件（填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”） 14. 为了增强公司的凝聚力，某公司举行羽毛球、乒乓球、网球三项比赛，共有80名员工参赛，其中参加羽毛球比赛的有40名，参加乒乓球比赛的有45名，参加网球比赛的有30名，同时参加羽毛球、乒乓球比赛的有20名，同时参加乒乓球、网球比赛的有15名，同时参加羽毛球、网球比赛的有10名，则这三项比赛都参加的员工人数是______. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知集合，． （1）若，求，； （2）若，求实数a的取值范围． 16. （1）已知，，求证：； （2）已知，，求的取值范围． 17. “金山银山不如绿水青山．”实行垃圾分类、保护生态环境人人有责．某企业新建了一座垃圾回收利用工厂，于今年年初用万元购进一台垃圾回收分类生产设备，并立即投入生产使用．该设备使用后，每年的总收入为万元．若该设备使用年，则其所需维修保养费用年来的总和为万元，设该设备产生的盈利总额（纯利润）为万元． （1）写出与之间的函数关系式；并求该设备使用几年后，其盈利总额开始达到万元以上； （2）该设备使用几年后，其年平均盈利额达到最大?最大值是多少?（） 18. 解关于的不等式： （1）； （2）． 19. 对于二次函数，若存在，使成立，则称为该二次函数的不动点. （1）已知函数，求该函数的不动点； （2）若对于任意的，二次函数，恒有两个相异的不动点，求实数的取值范围； （3）若二次函数有两个不相等的不动点，，且，，求的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 龙岗2026级高一10月份第一次月考 数学 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 解不等式化简集合，再进行交集运算，即可得答案； 【详解】或， ， 故选：C. 【点睛】本题考查集合的交运算，考查运算求解能力，属于基础题. 2. 命题的否定是（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用全称量词命题的否定直接判断即可. 【详解】命题是全称量词命题，其否定是存在量词命题， 所以所求否定是. 故选：A. 3. 不等式的解集是（ ） A. 或 B. 或 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据一元二次不等式解的特征即可求解. 【详解】由可得，解得， 故选：D 4. 已知则与的大小关系是（ ） A. B. C. D. 不能确定 【答案】A 【解析】 【分析】作差配方即得结果. 【详解】， ， 由于 ，， 所以：， 因此 . 故选：A 5. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意结合充分、必要条件分析判断即可. 【详解】由，得，解得或， 显然“”可以推出“或”，“或”不可以推出“”， 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 6. 已知，，若，则实数的取值构成的集合是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】运用集合与集合之间的关系构造方程计算参数即可. 【详解】由得. 当时，，满足； 当时，因为， 所以或， 解得或. 故选：C. 7. 记小明走路去学校的速度为，跑步去学校的速度为，方式一为一半的路程走路，一半的路程跑步，方式二为一半的时间走路，一半的时间跑步，则（ ） A. 方式二比方式一先到学校 B. 方式一比方式二先到学校 C. 两种方式到学校的时间一样 D. 无法确定哪种方式先到学校 【答案】A 【解析】 【分析】利用作差法比较大小即可． 【详解】设方式一用时间为，方式二用时间为，小明到学校的距离为， 则，得到， 则，得到， 故方式二比方式一先到学校． 8. ，恒成立，则实数的最大值为（ ） A. B. 3 C. D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】分离参数变为在上恒成立，利用基本不等式求解最值得，即可得解. 【详解】，恒成立， 即在上恒成立， 所以在上恒成立， 又，当且仅当，即时取等号， 所以，则实数的最大值为. 故选：C 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列命题是真命题的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】AC 【解析】 【分析】根据不等式的性质、差比较法等知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】A选项，若，由不等式的性质可知，A选项正确. B选项，若，当时，，所以B选项错误. C选项，若，则，C选项正确. D选项，若，则，D选项错误. 故选：AC 10. 已知关于的不等式的解集为，则（ ） A. B. C. D. 的解集为 【答案】ABD 【解析】 【分析】依题意可得到，利用此关系，判断选项ABC，对于D：代入关系式，不等式可转化为，对的正负分类讨论，解不等式即可. 【详解】已知不等式  的解集为 ， 则方程  的根为  和 ，且， 则， 对于A：由 ，得到，故A正确； 对于B：由 ，得到，故B正确； 对于C： ，因 ，有 ，即 ，故 C错误； 对于D： 代入，不等式化为：， 因，则，即， 当时，解，得， 当 时，解，得， 综上，解集为，故D正确. 故选：ABD 11. 已知正实数，满足，则下列结论正确的有（ ）． A. 的最大值为 B. 的最大值为 C. 的最小值为4 D. 的最小值为 【答案】BCD 【解析】 【分析】结合已知条件，利用基本不等式、代数变形、柯西不等式等方法分别计算各选项的最值，判断正误。 【详解】选项A：由基本不等式，代入得，平方得， 当且仅当时取等号，故最大值为，A错误. 选项B：对平方得， 结合得， 故，当且仅当时取等号，B正确. 选项C：将代入原式化简得， 由基本不等式， 故原式，当且仅当时取等号，C正确. 选项D：由柯西不等式得， 又， 故，当且仅当即时取等号，D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 满足 条件的集合A的个数为______． 【答案】3 【解析】 【分析】根据子集、真子集的知识求得正确答案. 【详解】依题意， ，， 所以，共个. 13. 若p是r的充分非必要条件，p是q的必要条件，则r是q的______条件（填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”） 【答案】必要不充分 【解析】 【分析】根据充分、必要条件的定义，分析即可得答案. 【详解】因为p是r的充分非必要条件， 所以，但， 因为p是q的必要条件， 所以， 所以，但，即，但， 所以r是q的必要不充分条件. 故答案为：必要不充分 14. 为了增强公司的凝聚力，某公司举行羽毛球、乒乓球、网球三项比赛，共有80名员工参赛，其中参加羽毛球比赛的有40名，参加乒乓球比赛的有45名，参加网球比赛的有30名，同时参加羽毛球、乒乓球比赛的有20名，同时参加乒乓球、网球比赛的有15名，同时参加羽毛球、网球比赛的有10名，则这三项比赛都参加的员工人数是______. 【答案】10 【解析】 【分析】根据题意画出韦恩图，利用容斥原理列式即可求解. 【详解】设三项比赛都参加的员工为人，结合已知条件可知，只参加乒乓球、网球比赛的员工为人， 只参加羽毛球、乒乓球比赛的员工为人，只参加羽毛球、网球比赛的员工为人， 只参加乒乓球比赛的员工为人，只参加网球比赛的员工为人，只参加羽毛球比赛的员工为人， 如图所示： 故，解得， 故这三项比赛都参加的员工人数是10. 故答案为：10 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知集合，． （1）若，求，； （2）若，求实数a的取值范围． 【答案】（1），或 （2） 【解析】 【小问1详解】 时，， 又，所以， 或， 故或； 【小问2详解】 ，， ，故需满足，解得， 故实数a的取值范围是 16. （1）已知，，求证：； （2）已知，，求的取值范围． 【答案】（1）因为，，所以，，. . 由，知上式大于，所以； （2）的取值范围为. 【解析】 【分析】（1）作差比较两式大小，判断差式的符号；（2）设，，把表示为的一次式，再由的范围求取值范围. 【详解】（1）略. （2）设，，则，. 由，解得，. 于是. 由，得，当，时取等号. 由，得，当，时取等号. 当在给定区间内连续变化时，一次式取遍最小值与最大值之间的所有值，所以的取值范围是. 17. “金山银山不如绿水青山．”实行垃圾分类、保护生态环境人人有责．某企业新建了一座垃圾回收利用工厂，于今年年初用万元购进一台垃圾回收分类生产设备，并立即投入生产使用．该设备使用后，每年的总收入为万元．若该设备使用年，则其所需维修保养费用年来的总和为万元，设该设备产生的盈利总额（纯利润）为万元． （1）写出与之间的函数关系式；并求该设备使用几年后，其盈利总额开始达到万元以上； （2）该设备使用几年后，其年平均盈利额达到最大?最大值是多少?（） 【答案】（1），使用年后，盈利总额开始达到万元以上 （2）使用年后，其年平均盈利额达到最大，最大值为万元. 【解析】 【分析】（1）先求得与之间的函数关系式，由此列不等式来求得正确答案. （2）先求得平均盈利额的表达式，然后利用基本不等式来求得最大值以及此时对应的的值. 【小问1详解】 依题意，， 由，得， 即，解得， 所以使用年后，盈利总额开始达到万元以上. 【小问2详解】 平均盈利额， 当且仅当时等号成立， 所以使用年后，其年平均盈利额达到最大，最大值为万元. 18. 解关于的不等式： （1）； （2）． 【答案】（1）当时解集为，当时解集为 （2）当时解集为；当时解集为； 当时解集为或；当时解集为； 当时解集为或. 【解析】 【分析】（1）看判别式从而确定的范围，进而求解； （2）根据根的情况以及参数的分类讨论，进而求解。 【小问1详解】 对应方程的判别式， 当时，，不等式解集为； 当时，，方程两根为，， 则不等式解集为 【小问2详解】 原不等式因式分解可得， 当时，不等式为，解得，则解集为； 当时，不等式变形为，解得，则解集为； 当时，不等式变形为， 当时，不等式为，解得，则解集为； 当时，解得或，即解集为或； 当时，解得或，即解集为或.. 综上所述：当时解集为； 当时解集为； 当时解集为或； 当时解集为； 当时解集为或.. 19. 对于二次函数，若存在，使成立，则称为该二次函数的不动点. （1）已知函数，求该函数的不动点； （2）若对于任意的，二次函数，恒有两个相异的不动点，求实数的取值范围； （3）若二次函数有两个不相等的不动点，，且，，求的最小值. 【答案】（1），3； （2）； （3）6. 【解析】 【分析】（1）根据不动点定义得，解该方程即可得解； （2）根据题设结合一元二次方程的判别式即可计算得解； （3）根据题意，转化为有两个不相等的正实数根，结合根与系数的关系，得到，且，化简，结合基本不等式，即可求解. 【小问1详解】 设为不动点，因此， 解得或， 所以，3为函数的不动点. 【小问2详解】 设， 则方程，即，即， 于是由题意可得一元二次方程有两个不等实根， 即判别式，且， 即，则该不等式对恒成立， 则，且，解得， 所以实数的取值范围是. 【小问3详解】 二次函数有两个不相等的不动点，且， 则方程有两个不相等的正实数根， 即方程有两个不相等的正实数根， 所以， 解得，可得， 所以 ， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $