空间向量及其运算专题训练-2027届高三数学一轮复习

空间向量及其运算测试 （测试时间120分钟，总分150分） 姓名：___________班级：___________ 一、单选题 1．如图，在三棱锥中，为中点，，，，则等于（    ） A． B． C． D． 2．已知三点不共线，O是平面外任意一点，若由确定的一点P与三点共面，则等于（    ） A． B． C． D． 3．已知，，，为空间中的任意四点，则（    ） A． B． C． D． 4．如图，在三棱锥中，点，分别是，的中点，点满足，若，则（    ） A． B． C． D． 5．已知空间中有5个点、、、、，若满足，且、、、四点共面，则的值为（    ） A． B． C． D． 6．已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为a，AC1与BD1相交于点O，则有(　　) A． B． C． D． 7．在棱长为1的正四面体中，点满足，点满足，当线段、的长度均最短时，（    ） A． B． C． D． 8．已知正四棱台的上、下底面边长分别为1和2，P是上底面的边界上一点．若的最小值为，则该正四棱台的体积为（    ） A． B．3 C． D．1 二、多选题 9．已知平面，其中点，，则下列各点在平面内的是（    ） A． B． C． D． 10．下列四个命题中，说法不正确的是（   ） A．空间任意两个单位向量必相等 B．对于非零向量，由，则 C．是共线的充分不必要条件 D．若向量满足，则 11．如图所示，平行六面体，其中，，，，下列说法中正确的是（    ） A． B． C．向量与的夹角是45° D．与所成角的余弦值为 三、填空题 12．已知，，，则________． 13．如图，已知二面角的大小为，，，，且，，则______.    14．如图，四面体的所有棱长都等于1，、分别是四面体的棱、的中点，、是的三等分点，，，，则______（用表示），的值为______． 四、解答题 15．如图，在四面体中，点在线段上，且，为的中点. （1）若，，，用向量，，表示向量； （2）若四面体的棱长均为1，求. 16．已知平行六面体如图所示，其中，，交于点，点在线段上，且，点，分别是线段，的中点，设，，. (1)用，，表示，； (2)若，，求的值. 17．已知正方体的棱长为1，求： (1)； (2)； (3)； (4)． 18．如图，分别是四面体的棱的中点，是的三等分点． （1）用向量 ，，表示和． （2）若四面体的所有棱长都等于1，求的值． 19．如图所示实验装置，由矩形ABCD和ABEF构成，且，，.活动点M，N分别在对角线BD，AE上移动，且.记，，，且，. (1)用向量，，表示，. (2)为何值时，最小，最小值是多少？ (3)当时，证明：平面ABCD. 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 《空间向量及其运算测试》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A A D B B A A A BCD ABD 题号 11 答案 ABD 1．A 【分析】连接，根据空间向量的线性运算求解即可. 【详解】连接，由题意，为中点， 则. 故选：A 2．A 【分析】根据点P与三点共面，可得，从而可得答案. 【详解】解：因为点P与三点共面，且， 所以，解得. 故选：A. 3．D 【分析】直接利用向量的线性运算求出结果． 【详解】已知，，，为空间中的任意四点，则． 故选：． 4．B 【分析】利用空间向量的线性运算求解即可. 【详解】在三棱锥中，点，分别是，的中点， 点满足，若， 则 ， 故选：B 5．B 【分析】根据空间共面向量定理的推论可求的值. 【详解】由得， 即， 由空间向量共面定理的推论可知，，解得. 故选：B. 6．A 【分析】建立空间直角坐标系．利用向量坐标运算、数量积运算性质即可判断出结论． 【详解】如图所示，以为坐标原点，以、、分别为、、建立空间直角坐标系： 由上图以及已知条件可知，D(0，0，0)，A(a，0，0)，B(a，a，0)，A1(a，0，a)，C1(0，a，a)，C(0，a，0)，O． 因为(0，a，0)，(﹣a，a，0)，a2，故A正确； 因为(﹣a，a，a)，所以•a2，故B错误； 因为，所以，故C错误； 因为(﹣a，0，0)，(a，0，a)，所以•a2，故D错误． 故选：A． 7．A 【分析】根据题意得到平面，直线，从而求得最短时，得到为的中心，为的中点，求得的长，结合向量的运算公式，即可求得的值. 【详解】解：如图所示，因为，， 可得平面，直线， 当最短时，平面，且， 所以为的中心，为的中点，如图所示， 又由正四面体的棱长为1，所以，， 所以， 因为平面，所以， 所以中，， 所以 故选：A 8．A 【分析】根据题意建立空间直角坐标系，写出相应点的坐标，利用空间向量的数量积的坐标公式及二次函数的性质及已知得出正四棱台的高， 再结合棱台的体积公式即可求解. 【详解】由题意可知，以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，如图所示 ，，由对称性，点在是相同的， 故只考虑在上时，设正四棱台的高为，则 ，, 设，， 因为在上，所以，则 ， ， 所以 由二次函数的性质知，当时，取得最小值为， 又因为的最小值为，所以，解得（负舍）， 故正四棱台的体积为 . 故选：A. 9．BCD 【分析】设出点的坐标，根据，求出横纵竖坐标的关系式，代入检验即可. 【详解】设，则 又因为，所以，即 选项BCD都满足题意. 故选：BCD 10．ABD 【分析】根据单位向量、相等向量、共线向量、向量的数量积等逐项进行分析判断即可. 【详解】选项A：单位向量的模长均为1，但方向任意，而相等向量需要模长和方向都相同，因此空间任意两个单位向量不一定相等，A错误. 选项B：因为为非零向量，所以可化为，故，无法推出，B错误. 选项C：若，则，即， 所以，说明反向共线； 当共线时，①同向时，，②反向时，， 所以不一定等于. 因此是共线的充分不必要条件，C正确. 选项D：向量是既有大小又有方向的量，不能直接比较大小，故D错误. 故选：ABD. 11．ABD 【分析】根据题意，利用空间向量的加减运算和数量积运算，对每个答案进行分析和运算即可得到答案. 【详解】对A，，则 ， 所以，A正确； 对B， ，所以，B正确； 对C，因为，若与的夹角是45°，则与的夹角是45°，即，易知，显然不成立，C错误； 对D，，， ， ， ， 所以，， 于是与所成角的余弦值为，D正确. 故选：ABD. 12．22 【分析】先由的平方求出，再求的平方. 【详解】因为， 所以, ， 故． 故答案为:22 13． 【分析】根据题意，得到，利用，结合向量的数量积的运算公式，即可求解. 【详解】因为二面角的大小为，所以与的夹角为， 又因为， 所以，所以. 故答案为：. 14． 【分析】根据平面向量的基本定理，结合题意，即可求得表达式，同理可得表达式，根据数量积公式，化简整理，即可得答案. 【详解】由题意得： . 同理可得， 所以 因为四面体的所有棱长都等于1， 所以， 所以 15．（1）；（2）. 【分析】（1）利用空间向量的线性运算，，即得解. （2）用数量积表示模长，再利用向量数量积的分配律打开运算，即得解 【详解】（1），，，点在上，且，为的中点， （2）因为空间四面体的棱长均为1.所以，. 即. 16．(1)， (2) 【分析】（1）根据空间向量线性运算求解即可. （2）根据题意得到，，再计算即可. 【详解】（1）连接，，如图： . . （2）依题意，，， 故. 17．(1)0 (2)1 (3)1 (4) 【分析】(1) 正方体中可得，从而可得答案. (2) 正方体中可得，从而可得答案. (3) 在正方体中可得，且向量的夹角为，根据向量数量积的定义可得答案. (4) 在正方体中可得,根据向量数量积的运算性质结合数量积的定义可得答案. 【详解】（1）在正方体中， 所以，即 所以 （2）在正方体中， 所以，即，即的夹角为 所以 （3）在正方体中， 又向量的夹角为,且 所以 （4）在正方体中， 18．（1）,（2）. 【分析】（1）利用空间向量基本定理及空间向量线性运算可得. （2）四面体的所有棱长都等于1，各面为等边三角形，再运用空间向量数量积运算化简可得. 【详解】解：（1）， ∴ （2）四面体的所有棱长都等于1，各面为等边三角形, ，， 【点睛】本题考查空间向量基本定理及数量积计算 用已知向量表示某一向量的三个关键点 (1)用已知向量来表示某一向量，一定要结合图形，以图形为指导是解题的关键． (2)要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义，如首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量． (3)在立体几何中三角形法则、平行四边形法则仍然成立． 19．(1)， (2)， (3) 当时，， 则， ， 所以，， 因为AB，平面ABCD，，平面ABCD.， 所以平面ABCD. 【分析】（1）结合图形，利用空间向量线性运算，即可用向量，，表示，.； （2）借助空间向量数量积的运算律结合二次函数的性质计算即得答案； （3）由平面ABCD等价于，，利用向量数量积公式计算即得结论. 【详解】（1）由题意得，，，， 可知， 则 . （2）因，，，， 则 ， 则当时，有最小值，最小值为. （3）略 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $