课时规范练46　空间向量及其运算-2027届高三数学一轮复习

**基本信息** 聚焦空间向量核心运算与定理应用，通过基础到综合的梯度训练，构建概念-运算-应用的逻辑链条，培养运算能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |空间向量的运算|2题|坐标与几何线性运算|从向量坐标运算到几何表示，衔接代数与几何| |有关定理的应用|2题|共线、共面证明与计算|以共线向量定理为基础，延伸共面向量判定| |数量积及其应用|3题|数量积计算、夹角与投影|从数量积定义到应用于夹角、垂直问题| |素能综合练|5题|综合判断、存在性问题|整合前三模块，强化知识迁移与综合应用|

课时规范练46　空间向量及其运算 典例对点练 考点一　空间向量的运算 1.已知a=(2,-3,1),b=(2,0,3),c=(0,1,-2),则a+4b-3c=(　　) A.(4,-4,6) B.(-6,-6,-5) C.(10,0,7) D.(10,-6,19) 2.如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,O为AC的中点. (1)化简:=　　　　　;  (2)用表示,则=　　　　　　　　.  考点二　空间向量有关定理的应用 3.已知向量a=(1,1,0),b=(1,0,2),且ka-b与2a+b互相平行,则k=(　　) A.1 B.-2 C.-1 D.2 4.已知O,A,B,C,D,E,F,G,H为空间9个点(如图),并且=k=k=k+m+m.求证: (1)A,B,C,D四点共面; (2); (3)=k. 考点三　空间向量的数量积及其应用 5.若a+b=(-2,-1,2),a-b=(4,-3,-2),则a·b=(　　) A.-5 B.-1 C.5 D.7 6.如图,在斜三棱柱ABC-A1B1C1中,AC=BC=CC1=4,∠BCC1=∠ACC1=,∠ACB=,则·()=(　　) A.48 B.32 C.32+8 D.32-8 7.已知空间三点A(0,2,3),B(-2,1,6),C(1,-1,5). (1)求∠BAC及以AB,AC为邻边的平行四边形的面积; (2)若向量a分别与垂直,且|a|=3,求向量a的坐标. 素能综合练 8.已知空间向量a=(2,-1,2),b=(1,-2,1),则向量b在向量a上的投影向量是(　　) A.(,-) B.(2,-1,2) C.(,-) D.(1,-2,1) 9.设x,y∈R,a=(1,1,1),b=(1,y,z),c=(x,-4,2),且a⊥c,b∥c,则|2a+b|=(　　) A.2 B.0 C.3 D.3 10.已知空间向量a=(2,-1,1),b=(m,3,-3),若a与b的夹角是钝角,则m的取值范围是(　　) A.(-∞,-6)∪(-6,3) B.(-∞,3) C.(3,6)∪(6,+∞) D.(3,+∞) 11.(多选题)已知空间向量a=(1,-1,4),则下列说法正确的是(　　) A.|a|=3 B.向量a与向量b=(-2,2,-8)共线 C.向量a关于x轴对称的向量为(1,1,-4) D.向量a关于yOz平面对称的向量为(-1,1,-4) 12.(多选题)下列条件中,使M与A,B,C一定共面的是(　　) A.=3 B. C.=0 D.=0 13.已知向量b=(-2,1,1),A(-3,-1,4),B(-2,-2,2),若在直线AB上存在一点E,使得⊥b(O为原点),则点E的坐标为　　　　　　.  参考答案 课时规范练46　空间向量及其运算 1.D　解析 a+4b-3c=(2,-3,1)+(8,0,12)-(0,3,-6)=(10,-6,19). 2.(1)　(2)　解析 (1))=. (2)因为), 所以)+. 3.B　解析 由题意得ka-b=(k-1,k,-2),2a+b=(3,2,2). ∵ka-b与2a+b互相平行, ∴,解得k=-2.故选B. 4.证明 (1)因为+m,所以是共面向量.又因为有公共点A,所以A,B,C,D四点共面. (2)因为=k=k=k,所以+m+m()=k()+km()=k+km=k(+m)=k,所以. (3)由(1)及=k,可得=k=k,所以=k-k=k()=k,即=k. 5.A　解析 ∵a+b=(-2,-1,2),a-b=(4,-3,-2),则2a=(2,-4,0), ∴a=(1,-2,0),b=(-3,1,2), ∴a·b=-3-2+0=-5.故选A. 6.C　解析 ·()=()·()==4×4×cos+4×4×cos+4×4×cos+42=8+8+8+16=32+8.故选C. 7.解 (1)由题知=(-2,-1,3),=(1,-3,2),所以||=||==-2+3+6=7, 所以cos∠BAC=. 因为0°≤∠BAC≤180°,所以∠BAC=60°,所以AB,AC为邻边的平行四边形的面积为||||sin∠BAC=sin 60°=14×=7. (2)设a=(x,y,z),因为向量a分别与垂直,所以令y=m,则z=m,x=m. 因为|a|=3,所以x2+y2+z2=9,得3m2=9,则m=±,解得x=y=z=或x=y=z=-,所以a=()或a=(-,-,-). 8.A　解析 b在向量a上的投影向量为a=a=a=(,-).故选A. 9.D　解析 由a⊥c,得a·c=x-4+2=0,所以x=2,则c=(2,-4,2).由b∥c,得,所以y=-2,z=1,所以b=(1,-2,1),故2a+b=(3,0,3),则|2a+b|==3.故选D. 10.A　解析 由题意可得a·b<0,且a,b不能反向共线,即解得m<-6或-6<m<3.故选A. 11.ABC　解析 对于A,|a|==3,故A正确;对于B,∵b=-2a,∴a与b共线,故B正确;对于C,设a=(1,-1,4)的起点为坐标原点,则该向量的终点为(1,-1,4). ∵点(1,-1,4)关于x轴对称的点的坐标为(1,1,-4),∴向量a关于x轴对称的向量为(1,1,-4),故C正确;对于D,设a=(1,-1,4)的起点为坐标原点,∴该向量的终点为(1,-1,4), ∵(1,-1,4)关于平面Oyz对称的点的坐标为(-1,-1,4),∴向量a关于平面Oyz对称的向量为(-1,-1,4),故D错误.故选ABC. 12.AC　解析 空间向量共面定理,=x+y+z,若A,B,C不共线,且A,B,C,M共面,则其充要条件是x+y+z=1. 对于A,因为3-1-1=1,所以A,B,C,M四点共面,故A正确;对于B,因为≠1,所以不能得出A,B,C,M四点共面,故B错误;对于C,=-,则为共面向量,所以M与A,B,C一定共面,故C正确;对于D,因为=0,所以=-,因为-1-1-1=-3≠1,所以不能得出A,B,C,M四点共面,故D错误.故选AC. 13.(-,-)　解析 由题知,=(-2,-2,2)-(-3,-1,4)=(1,-1,-2). ∵E在直线AB上,设=t,则=(t,-t,-2t),=(-3,-1,4)+(t,-t,-2t)=(-3+t,-1-t,4-2t). 因为⊥b,则·b=0,所以-2(-3+t)+(-1-t)+(4-2t)=0,解得t=,因此存在点E,使得⊥b,此时点E的坐标为(-,-). 1 学科网（北京）股份有限公司 $