05 第40讲 空间向量及其运算和空间位置关系专项训练-2027届高三数学一轮复习

**基本信息** 聚焦空间向量运算与位置关系，以题载法构建从基础运算到综合应用的逻辑体系，培养空间观念与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础运算|5题（1-4,8）|坐标运算、平行垂直判定、投影向量|从向量坐标表示到线性运算、数量积，形成运算体系| |位置关系判定|4题（5-7,9,13）|共面、异面、线面垂直证明|结合共面向量定理、法向量，实现几何关系向向量关系转化| |综合应用|5题（10-12,14）|法向量应用、轨迹问题、存在性探索|从单一运算到多知识点综合，体现向量工具解决立体几何问题的完整路径|

第40讲　空间向量及其运算和空间位置关系 (时间:45分钟) 1.在空间直角坐标系中,已知点A(1,0,1),B(3,2,2),点D满足=2,则点D的坐标是 (　 )　　　　　 　　　　　　　　　　 A.(5,4,3) B.(3,4,3) C.(4,3,2) D.(1,2,3) 2.已知空间向量a=(m,-1,3),b=,若a∥b,则m+n= (　 ) A.- B.- C. D. 3.已知向量a=(1,2,2),b=(-2,1,1),则a在b上的投影向量为 (　 ) A. B. C. D. 4.已知直线l经过点A(-1,2,5)与点B(1,-1,n),向量a=(-2,m,m)是直线l的一个方向向量,则n= (　 ) A.-3 B.-2 C.2 D.3 5.[2025·四川泸州期末] 在四面体OABC中,=a,=b,=c,且=2,=,则等于 (　 ) A.a-b+c B.-a+b+c C.a+b-c D.a+b-c 6.[2026·江苏南通期末] 已知A,B,C三点不共线,点O在平面ABC外,点P满足=x++,则当点P,A,B,C共面时,实数x= (　 ) A.- B.- C. D. 7.[2026·四川宜宾期末] 如图所示,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,AB=AD=AA1=1,∠A1AB=∠A1AD=∠BAD=60°,则·的值为 (　 ) A.1 B. C. D.-1 8.已知=(2,1,3),=(-2,1,x),且OA⊥OB,则||=　　　　.  9.在正四面体ABCD中,点N是△ABC的中心,若=λ+μ+v(λ,μ,v∈R),则λ+μ+v=　　　　.  10.如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,CA=CB=1,∠BCA=90°,棱AA1=2,M,N分别为A1B1,A1A的中点. (1)求BN; (2)求证:是平面C1MN的一个法向量. 11.如图,在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,M为棱A1A的中点,点Q在底面正方形ABCD内(包含边界)运动,满足·=1,则点Q的轨迹长度为 (　 ) A. B.π C.2π D.3π 12.如图,在三棱锥S-ABC中,点G为底面三角形ABC的重心,点M是线段SG的中点,过点M的平面分别交SA,SB,SC于点D,E,F,若=k,=m,=n,则++= (　 ) A.3 B.6 C.9 D.12 13.(多选题)[2025·山东潍坊二模] 在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为棱A1D1,AB的中点,则 (　 ) A.EF与BC异面 B.EF∥平面CDD1C1 C.EF⊥AC D.BD⊥平面EFC1 14.如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,AB⊥AC,PD=AB=AC=PA,AD=DC,E为PB的中点. (1)求证:平面PAD⊥平面PCD. (2)试问在棱CD上是否存在点Q,使PQ⊥AE?若存在,指出点Q位置,若不存在说明理由. 1.A　[解析] 设D(x,y,z),则=(x-1,y,z-1),=(2,2,1),因为=2,所以解得则D(5,4,3).故选A. 2.D　[解析] 由a∥b可得==,解得m=2,n=,则m+n=. 故选D. 3.A　[解析] 向量a在向量b上的投影向量为b=(-2,1,1)=.故选A. 4.C　[解析] 由点A(-1,2,5),点B(1,-1,n),可得=(2,-3,n-5),因为a=(-2,m,m)是直线l的一个方向向量,所以存在实数λ,使得=λa,则解得故选C. 5.B　[解析] 因为=2,=,所以=,点N为BC的中点,所以=-=(+)-=-a+b+c.故选B. 6.A　[解析] 由=x++,可得-=x++,所以=(x+1)++,当点P,A,B,C共面时,可得x+1++=1,解得x=-.故选A. 7.A　[解析] 因为=++=-++,=+,所以·=(-++)·(+)=--·+·++·+·=-++·+·=-12+12+1×1×cos 60°+1×1×cos 60°=1.故选A. 8.2　[解析] 因为=(2,1,3),=(-2,1,x),且OA⊥OB,所以·=-4+1+3x=0,解得x=1,所以=(-2,1,1),所以=-=(-2,1,1)-(2,1,3)=(-4,0,-2),则||==2. 9.　[解析] 如图,在正四面体ABCD中,连接AN并延长,交BC于点M,连接DM, 则=,=,于是=+=+=+(-) =+(+)=++,所以λ=,μ=,v=,故λ+μ+v=. 10.解:(1)以点C为坐标原点,,,的方向分别为x轴,y轴,z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系, 则B(0,1,0),A1(1,0,2),C(0,0,0),B1(0,1,2),C1(0,0,2),M,N(1,0,1),可得=(1,-1,1),所以||==,即BN=. (2)证明:由(1)可得=(1,-1,1),=,=(1,0,-1),则·=-=0,·=1-1=0,所以BN⊥C1M,BN⊥C1N,因为C1M∩C1N=C1,C1M,C1N⊂平面C1MN,所以BN⊥平面C1MN,所以是平面C1MN的一个法向量. 11.C　[解析] 以D为原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x轴,y轴,z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,则M(2,0,1),C1(0,2,2),设Q(x,y,0),x,y∈[0,2],则=(-x,2-y,2),=(2-x,-y,1),由·=1,得x(x-2)+y(y-2)+2=1,整理得(x-1)2+(y-1)2=1,所以点Q的轨迹是以点(1,1,0)为圆心,1为半径的圆,此圆在正方形ABCD内部,所以点Q的轨迹长度为2π.故选C. 12.B　[解析] 由题意可知,==(+)===++,因为D,E,F,M四点共面,所以存在实数λ,μ,使=λ+μ,所以-=λ(-)+μ(-),所以=(1-λ-μ)+λ+μ=(1-λ-μ)k+λm+μn,所以所以++=6(1-λ-μ)+6λ+6μ=6.故选B. 13.AC　[解析] 以点D为坐标原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x轴,y轴,z轴,建立如图所示的空间直角坐标系, 不妨设正方体的棱长为2,则A(2,0,0),B(2,2,0),C(0,2,0),D(0,0,0),E(1,0,2),F(2,1,0),C1(0,2,2).对于A选项,因为BC⊂平面ABCD,F∈平面ABCD,F∉BC,E∉平面ABCD,所以EF与BC异面,A正确;对于B选项,=(1,1,-2),易知平面CDD1C1的一个法向量为m=(1,0,0),则·m=1≠0,所以EF与平面CDD1C1不平行,B错误;对于C选项,=(-2,2,0),所以·=-2+2=0,故EF⊥AC,C正确;对于D选项,=(2,2,0),所以·=2+2=4≠0,所以EF,BD不垂直,故BD与平面EFC1不垂直,D错误.故选AC. 14.解:(1)证明:因为PA⊥平面ABCD,AB,AC⊂平面ABCD,所以PA⊥AB,PA⊥AC,又AB⊥AC,所以AP,AB,AC两两垂直,以A为原点,AB,AC,AP所在直线分别为x,y,z轴,建立如图所示的空间直角坐标系, 设PA=1,则AD=CD=1,AC=AB=,则A(0,0,0),B(,0,0),C(0,,0),P(0,0,1),D, 所以=,=(0,0,1),=.设平面PAD的法向量为m=(x1,y1,z1),则 即 令x1=1,则y1=1,z1=0,所以m=(1,1,0),可得m∥,所以CD⊥平面PAD,又CD⊂平面PCD,所以平面PAD⊥平面PCD. (2)由(1)知E,假设在棱CD上存在满足题意的点Q,且=λ,λ∈[0,1],则=+λ=+λ=,又=,所以·=(λ-1)-=0,解得λ=2∉[0,1],所以不存在满足题意的点Q. 学科网（北京）股份有限公司 $