精品解析：广东东莞市东华高级中学、东华松山湖高级中学2026-2027学年第一学期学习效率检测（一）高二数学

东莞市东华高级中学、东华松山湖高级中学2026-2027 学年第一学期学习效率检测（一） 高二数学 一、单选题 1. 已知复数，则（ ） A. B. C. D. 2. 经过，两点的直线的方向向量为，则（ ） A. B. C. D. 3. 如图，在三棱锥中，点D是棱的中点，若，则等于（ ） A. B. C. D. 4. 已知空间向量，则向量在向量上的投影向量是（     ） A. B. C. D. 5. 已知有两灯塔、和一海洋观察站，与的距离是5（单位：千米），在北偏东，在南偏东，在的正北方向，则与之间的距离为（ ） A. 5 B. C. D. 10 6. 在正三棱柱中，，点为侧面内的一点，则的最小值为（ ） A. B. 2 C. D. 7. 有四种礼盒，前三种里面分别仅装有中国结、记事本、笔袋，第四个礼盒里面三种礼品都有，现从中任选一个盒子，设事件：所选盒中有中国结，事件：所选盒中有记事本，事件：所选盒中有笔袋，则（ ） A. 事件与事件互斥 B. 事件与事件相互独立 C. 事件与事件互斥 D. 事件与事件相互独立 8. 已知，，是平面内三个不同的单位向量，函数，若，且，则的最大值是（ ） A. 4 B. 3 C. D. 二、多选题 9. 下列关于空间向量的命题中，错误的是（    ） A. 空间中所有的单位向量都相等 B. 长度相等且方向相反的两个向量是相反向量 C. 若，则，，，一定在同一条直线上 D. 两个向量相等，若它们的终点相同，则它们的起点相同 10. 已知三条直线的倾斜角分别为，斜率分别为，且，则α，β，γ的大小关系可能为（ ） A. B. C. D. 11. 如图，在棱长为的正方体中，分别为的中点，为线段上动点（包括端点），点在平面内，则下列说法中正确的是（ ） A. 平面 B. 三棱锥的体积为定值 C. 的最小值为 D. 若，则点的轨迹长度为 三、填空题 12. 若，，且与共线，则_______． 13. 为锐角三角形，分别为角所对的边，若，，则___________. 14. 已知四面体 PABC 的所有顶点都在球 的球面上，，，，，则球的表面积为_____． 四、解答题 15. 已知空间直角坐标系中，平行六面体满足：，，且平行六面体的体对角线的交点为. （1）求侧棱的长； （2）求. 16. 某校为评估高二年级暑期自主学习效果，随机抽取了50名学生，统计其暑期数学每日学习时长（单位：分），将所有数据按，，，，分成5组，整理得到如下频数分布表： 学习时长（分） 频数 4 6 18 14 8 （1）估计这50名学生暑期数学每日学习时长的平均数；（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表） （2）现采用比例分配的分层随机抽样的方法，从学习时长不足40分钟的学生中抽取5人进行学情访谈，再从这5人中随机抽取2人填写学习反馈问卷，求抽取的2人恰好来自同一学习时长区间的概率. 17. 如图，在四棱锥中，侧棱平面，，，，，点是的中点. （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值. 18. 如图，在中，点在边上，且，． （1）若，求； （2）若为的角平分线，求的面积； （3）若为锐角三角形，求的取值范围． 19. 如图，在三棱锥中，，，，位居平面异侧，，平面平面，为中点. （1）求证：； （2）若三棱锥的体积为，二面角的余弦值为，求： （ⅰ）到平面的距离； （ⅱ）直线与平面所成角的正弦值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 东莞市东华高级中学、东华松山湖高级中学2026-2027 学年第一学期学习效率检测（一） 高二数学 一、单选题 1. 已知复数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】由题设，故． 2. 经过，两点的直线的方向向量为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用直线的斜率与方向向量的关系列式计算. 【详解】由题意，经过，两点的直线的斜率为, 又直线的方向向量为，则得. 3. 如图，在三棱锥中，点D是棱的中点，若，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】由题设及图知. 4. 已知空间向量，则向量在向量上的投影向量是（     ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】向量在向量上的投影向量为. 5. 已知有两灯塔、和一海洋观察站，与的距离是5（单位：千米），在北偏东，在南偏东，在的正北方向，则与之间的距离为（ ） A. 5 B. C. D. 10 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意作图，利用正弦定理求解. 【详解】如图，， 又， 由正弦定理，得，即． 6. 在正三棱柱中，，点为侧面内的一点，则的最小值为（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】作出辅助线，利用极化恒等式得到，并求出的最小值，得到答案. 【详解】如图所示，取的中点，连接， 则，，两式平方后相减可得 ，即， 其中，故， 故当取得最小值时，取得最小值， 当位于矩形的中心时，取得最小值，最小值为等边的中线长，即， 故. 故选：B 7. 有四种礼盒，前三种里面分别仅装有中国结、记事本、笔袋，第四个礼盒里面三种礼品都有，现从中任选一个盒子，设事件：所选盒中有中国结，事件：所选盒中有记事本，事件：所选盒中有笔袋，则（ ） A. 事件与事件互斥 B. 事件与事件相互独立 C. 事件与事件互斥 D. 事件与事件相互独立 【答案】B 【解析】 【分析】根据互斥事件和对立事件的定义，逐一判断选项即可． 【详解】选项A，事件和事件可以同时发生，即第四个礼盒中可以既有中国结，又有记事本，事件与事件不互斥，A错误； 选项B，，，， ，B正确； 选项C，事件与事件可以同时发生，即第四个礼盒中可以既有中国结，又有记事本或笔袋，C错误； 选项D，，，， ， 与不独立，故D错误． 故选：B． 8. 已知，，是平面内三个不同的单位向量，函数，若，且，则的最大值是（ ） A. 4 B. 3 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题目条件设出，，，由已知条件并判断范围，再用辅助角公式化简求解即可. 【详解】已知函数，，且， 则和中，一个大于0，另一个小于0， 不妨设，，，， 所以，， 则，异号，即， 所以， 则， 因为， 所以当时，取得最大值1， 即. 二、多选题 9. 下列关于空间向量的命题中，错误的是（    ） A. 空间中所有的单位向量都相等 B. 长度相等且方向相反的两个向量是相反向量 C. 若，则，，，一定在同一条直线上 D. 两个向量相等，若它们的终点相同，则它们的起点相同 【答案】AC 【解析】 【详解】A选项，单位向量只是模长为 1，方向可以不同，向量不相等，所以A选项错误； B选项，长度相等、方向相反的两个向量就是相反向量，所以B选项正确； C选项，，代表向量平行，线段与可以平行，四点不一定共线，所以C选项错误； D选项，向量相等要求模相等、方向相同，当终点位置相同，则起点必须相同，所以D选项正确． 10. 已知三条直线的倾斜角分别为，斜率分别为，且，则α，β，γ的大小关系可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据题意，利用直线斜率与倾斜角的关系和正切函数的性质，分类讨论，即可求解. 【详解】由题意，三条直线的倾斜角分别为，可得， 当时，根据斜率与倾斜角的关系和正切函数的性质，可得； 当时，根据斜率与倾斜角的关系和正切函数的性质，可得； 当时，根据斜率与倾斜角的关系和正切函数的性质，可得； 当时，根据斜率与倾斜角的关系和正切函数的性质，可得, 结合选项，可得选项A、B、C. 故选：ABC. 11. 如图，在棱长为的正方体中，分别为的中点，为线段上动点（包括端点），点在平面内，则下列说法中正确的是（ ） A. 平面 B. 三棱锥的体积为定值 C. 的最小值为 D. 若，则点的轨迹长度为 【答案】ABD 【解析】 【分析】A选项，利用中位线与平行四边形证线线平行，推出线面平行； B选项，由线面平行得到动点到平面的距离不变以及的面积为定值，所以三棱锥的体积为定值； C选项，沿展开平面，余弦定理算出最小值； D选项，先求正四面体顶点到底面距离，利用球截面小圆半径公式，计算点的轨迹圆的周长． 【详解】A选项，连接， 正方体的对角面为矩形，所以， 又分别为的中点，所以， 所以， 又因为平面，平面， 所以平面，所以A选项正确； B选项，正方体的对角面为矩形，所以， 因为平面，平面，所以平面， 所以线段上点到平面的距离为定值， 因为的面积为定值，所以三棱锥的体积为定值，B选项正确； C选项，将与沿直线展开到同一平面内，如图所示： 易得，当且仅当为线段与的交点时，等号成立， 由，，得， 在等边中，， 则， 由余弦定理得 ， 因此的最小值为，所以C选项错误； D选项，四面体是正四面体，棱长， 等边的外接圆半径， 则点到平面的距离， 由，得点的轨迹是以点为球心，为半径的球被平面所截得的圆， 且该圆半径， 所以点的轨迹长度为，所以D选项正确． 三、填空题 12. 若，，且与共线，则_______． 【答案】##0.5 【解析】 【详解】显然不合题意， 则，解得，， 则. 13. 为锐角三角形，分别为角所对的边，若，，则___________. 【答案】 【解析】 【详解】中，，由正弦定理得， 为锐角三角形，，则有，， 由余弦定理， 即. 14. 已知四面体 PABC 的所有顶点都在球 的球面上，，，，，则球的表面积为_____． 【答案】 【解析】 【分析】取中点，连接并延长交的外接圆于，连接，由勾股定理，余弦定理以及球的性质确定球心，并求出球的半径，即可求解球的面积公式. 【详解】取中点，连接并延长交的外接圆于，连接，，如图， 因为，所以，所以为外接圆的直径， 因为，所以， 又因为，平面，平面，所以平面， 故的外接圆圆心，即为球心，在中，， 所以，所以， 在中，， 在中，由余弦定理可得，所以， 在中，，即， 所以球的直径，所以. 四、解答题 15. 已知空间直角坐标系中，平行六面体满足：，，且平行六面体的体对角线的交点为. （1）求侧棱的长； （2）求. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据中点坐标公式得到，再利用空间向量模的坐标公式即可得到答案； （2）根据空间向量的夹角余弦值的坐标表示即可得到答案. 【小问1详解】 由题意知，平行六面体的一条体对角线为， 且中点为，已知，所以， 所以． 【小问2详解】 由题意知，为体对角线的中点， 由空间直角坐标系中的中点坐标公式可得， 所以， 所以． 16. 某校为评估高二年级暑期自主学习效果，随机抽取了50名学生，统计其暑期数学每日学习时长（单位：分），将所有数据按，，，，分成5组，整理得到如下频数分布表： 学习时长（分） 频数 4 6 18 14 8 （1）估计这50名学生暑期数学每日学习时长的平均数；（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表） （2）现采用比例分配的分层随机抽样的方法，从学习时长不足40分钟的学生中抽取5人进行学情访谈，再从这5人中随机抽取2人填写学习反馈问卷，求抽取的2人恰好来自同一学习时长区间的概率. 【答案】（1）48.2分钟. （2）. 【解析】 【小问1详解】 各组区间的中点值依次为， 则样本平均数为（分）， 因此估计这50名学生暑期数学每日学习时长的平均数为48.2分钟. 【小问2详解】 学习时长不足40分钟的学生分布在和两组，频数分别为4和6，总人数为. 按分层随机抽样抽取5人，抽样比为， 因此，从组抽取人，从组抽取人. 记组抽取的2人分别为组抽取的3人分别为. 从5人中随机抽取2人，试验的样本空间为 ，，共10个样本点. “抽取的2人恰好来自同一学习时长区间”的基本事件，共4个样本点. 故所求概率. 17. 如图，在四棱锥中，侧棱平面，，，，，点是的中点. （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】（1）证明：取中点，连接. 分别为中点，，且. ，且，. 四边形为平行四边形，. 平面平面， 平面. （2） 【解析】 【分析】（1）取中点，连接.先证，再利用线面平行的判定定理，即可证得平面； （2）先证得两两垂直，以为原点，所在直线分别为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系，分别求得平面和平面的法向量，结合向量的夹角公式，即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ，，. 又平面，，. 以为原点，所在直线分别为轴、轴、轴， 建立如图所示的空间直角坐标系，则， 依题意，是平面的一个法向量， ， 设平面的一个法向量为，则. 则取，则， 平面的一个法向量为. 设平面与平面的夹角为，则 ， 即平面与平面夹角的余弦值为. 18. 如图，在中，点在边上，且，． （1）若，求； （2）若为的角平分线，求的面积； （3）若为锐角三角形，求的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）在中求出，在中利用余弦定理求出. （2）利用平面向量基本定理和余弦定理求出和边，从而求出的面积. （3）先由互补角余弦定理得到两边的关系，再由锐角三角形得到两边的取值范围，最后用函数单调性求解的取值范围. 【小问1详解】 因为，且，， 所以，则. 在中，由余弦定理得 ，所以. 【小问2详解】 因为，，为的角平分线， 所以，设，则. 而， 将上式两端平方可得， 所以，即. 又由余弦定理得，代入上式解得， 所以，，而，则. 所以. 【小问3详解】 设，，， 由，则得， 整理得，所以． 则. 因为为锐角三角形，所以有，解得， 令，则在上单调递增， 且，，所以． 19. 如图，在三棱锥中，，，，位居平面异侧，，平面平面，为中点. （1）求证：； （2）若三棱锥的体积为，二面角的余弦值为，求： （ⅰ）到平面的距离； （ⅱ）直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1） 取中点为，由于，故. 因为，所以， 又平面平面，平面，故平面. 而平面，故. 因为，故，，所以平面. 又平面，故. （2）（ⅰ）；（ⅱ） 【解析】 【分析】（1）取中点为，运用勾股定理逆定理得到.根据面面垂直得到线面垂直，进而得到线线垂直. （2）（ⅰ）建立空间直角坐标系，运用向量法可解；（ⅱ）运用等体积法求出Q到平面距离为，和，进而得到直线与平面所成角的正弦值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 （ⅰ）由于为正三角形，故，所以以R为原点，为轴，垂直于平面的为轴建立空间直角坐标系. 由于，，， ，由勾股定理逆定理知道， 则都为直角三角形，且全等.过作于，连接. 则，则为二面角的平面角. 在底面上的投影假设为，则一定在延长线上.连接.则 运用等面积法，，则可求得. 为二面角的平面角的补角.则，求得. 则，可设. 且，，代入计算得到. 同理，解得.得：， ，，， ，，， 设平面且，则可作为平面的一个法向量， 令：，，，取. 所以到平面的距离为：. （ⅱ），，，， 根据勾股定理逆定理，是直角三角形， 故.，，， 运用余弦定理，得到， 则， 故，， 于是：，. 设Q到平面距离为，运用等体积法得到， 故， 而， 所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $