精品解析：广东江门市第二中学2026-2027学年高二上学期第一次考试数学试题

江门二中2026-2027学年第一学期第一次考试 高二年级数学试题 一、选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个地项中，只有一项是符合题目要求的). 1. 已知直线，则该直线的倾斜角是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】由题设知直线的斜率为，设该直线的倾斜角为，则， 又因为，故. 2. 过两点的直线方程为( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据斜率公式求得直线的斜率，结合点斜式方程，即可求解. 【详解】由两点，可得过两点的直线的斜率为， 又由直线的点斜式方程，可得，即. 故选：B. 3. 如图，在三棱柱中，设，，，是的中点，则可表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】是的中点，则 ． 4. 在四面体中，空间一点满足，若四点共面，则的值为 （ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据空间向量基本定理列出方程，解之即得. 【详解】因四点共面，且， 由空间向量基本定理的推论可得，解得. 故选：D. 5. 若直线与直线垂直，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】由于直线与垂直，故，解得． 6. 经过点，且与直线平行的直线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】直线可化为，斜率为. 所求直线与已知直线平行，故斜率也为. 又所求直线经过点，由点斜式得 ， 整理得，即. 7. 注意力机制是一种让模型在处理信息时，能够“有选择地聚焦”于最关键部分的技术，其核心是用数学中的向量来解决问题，设计三个关键向量：查询向量（表示我在寻找什么？）､键向量（表示我有什么可提供？）和值向量（表示我实际提供的内容是什么）.在计算注意力时，首先用与各个计算相似度，然后求权重，记，则注意力输出向量为现有，则注意力输出向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据空间向量数量积坐标运算公式计算求解． 【详解】由题意可得， ，， ， 则，所以， ， 所以注意力输出向量为. 8. 如图，在平行六面体-中，，则与的夹角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】 设，则， ， ． 设与的夹角为， 由 ， ． 二、多项选择题(本大题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合要求，全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.) 9. 下列四个命题中，说法不正确的是（ ） A. 空间任意两个单位向量必相等 B. 对于非零向量，由，则 C. 是共线的充分不必要条件 D. 若向量满足，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据单位向量、相等向量、共线向量、向量的数量积等逐项进行分析判断即可. 【详解】选项A：单位向量的模长均为1，但方向任意，而相等向量需要模长和方向都相同，因此空间任意两个单位向量不一定相等，A错误. 选项B：因为为非零向量，所以可化为，故，无法推出，B错误. 选项C：若，则，即， 所以，说明反向共线； 当共线时，①同向时，，②反向时，， 所以不一定等于. 因此是共线的充分不必要条件，C正确. 选项D：向量是既有大小又有方向的量，不能直接比较大小，故D错误. 故选：ABD. 10. 在平面直角坐标系中，已知，则（ ） A. 直线的倾斜角是 B. 点在直线上 C. 直线的一个方向向量为 D. 直线与直线垂直 【答案】BD 【解析】 【分析】对于A：根据题意求斜率和倾斜角；对于B：代入点即可判断；对于C：先求向量，进而分析判断；对于D：根据斜率关系分析直线垂直. 【详解】因为， 对于选项A：直线的斜率，所以直线的倾斜角是，故A错误； 对于选项B：因为，所以点在直线上，故B正确； 对于选项C：因为，且， 所以向量为不为直线的一个方向向量，故C错误； 对于选项D：因为直线的斜率，且， 所以直线与直线垂直，故D正确； 故选：BD. 11. 在正三棱柱中，为的中点，，则（ ） A. 直线与所成的角为 B. 直线与所成的角为 C. 直线与平面所成的角为 D. 直线与平面所成的角为 【答案】AC 【解析】 【分析】通过建立空间直角坐标系，利用空间向量求解异面直线所成角、线面角，逐项判断选项正误. 【详解】取中点，连接，，因为为中点， 由题可得平面，且平面， 所以，. 因为是等边三角形，为中点， 所以. 以为轴正方向，为轴正方向，为轴正方向，建立如图所示空间直角坐标系， 则，，，，，，. 对于A，，，则， 所以，故直线与直线所成的角为，A正确； 对于B，设直线与直线所成的角为， ,，，则， ，， 所以，故直线与直线所成的角不为，B错误； 对于C，平面的法向量，， 线面角满足，故，C正确； 对于D，设平面的法向量为， 由题可得，，， 联立， 得 令，则， 线面角满足，故，D错误. 三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分) 12. 已知向量，向量，若，则__________． 【答案】4 【解析】 【详解】，，， ，即， 解得． 13. 若直线与平行，则实数________. 【答案】 【解析】 【分析】根据两直线平行可得出关于实数的等式与不等式，即可解得实数的值. 【详解】因为，则，解得. 故答案为：. 14. 在四棱锥中，底面为正方形，平面，，N为的中点，在棱上（包括端点）存在点M，使，则____. 【答案】1 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，列出各个点的坐标，根据向量垂直的数量积公式计算即可. 【详解】如图，建立空间直角坐标系， ，则， ， 设，则，， ， ，，， . 四、解答题(本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 15. 在平面直角坐标系中，已知，，三个点分别为，，. （1）求直线的方程； （2）求过点且与直线平行的直线的方程； （3）求过点且与直线垂直的直线的方程. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【小问1详解】 由直线方程的两点式得 ，即. 【小问2详解】 设过点且与直线平行 的直线的斜率为，由（1）知直线的斜率为1， 则有，由直线方程的点斜式得， 即过点且与直线平行的直线的方程为. 【小问3详解】 设过点且与直线垂直的直线的斜率为， 由（1）知直线的斜率为1，则有， 由直线方程的点斜式得， 即过点且与直线垂直的直线的方程为. 16. 已知长方体中，是对角线中点，化简下列表达式： （1）； （2）； （3）. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据，结合向量减法法则求解； （2）根据向量加法法则求解即可； （3）根据向量加法法求解即可. 【小问1详解】 解： 【小问2详解】 解： 【小问3详解】 解： 17. 已知空间向量，，． （1）设，，求； （2）若向量与向量，共面，求实数的值． 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】（1）先根据共线设，再用模长公式求，回代得. （2）由共面设，列方程组先解、，再求. 【小问1详解】 解：（1）， 存在实数，使得，即， 又，，解得， 当时，，当时，. 【小问2详解】 （2）向量与向量，共面， 存在有序实数对，使得， ， ，解得 实数的值为 18. 如图，在长方体中，，点在上，且． （1）求证：平面 （2）求直线与平面所成角的正弦值 （3）求点到平面的距离． 【答案】（1）证明：在长方体中，以为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则，， 所以，得，则，而不在直线上， 因此，又平面，平面， 所以平面. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）以为原点建立空间直角坐标系，求出相关点的坐标，再利用空间位置关系的向量证明推理即得. （2）求出平面的法向量，再利用线面角的向量法求解. （3）利用向量法求得点到平面的距离. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）得， 设平面的法向量为， 则，，令，得，. 因为，，所以 因此， 所以直线与平面所成角的正弦值. 【小问3详解】 由（1）得，由（2）平面的法向量， 所以到平面的距离为. 19. 在斜三棱柱中，为等腰直角三角形，，侧面为菱形，且，点为棱的中点，，平面平面. （1）证明：平面平面； （2）求二面角的余弦值. 【答案】（1） 证明：作的中点， 连， 因为，所以四边形是平行四边形， 可得：. 是的中点，， 又平面，且交线为， 平面，即平面， 平面，平面平面； （2） 【解析】 【分析】（1）利用面面垂直的性质定理和判定定理证明； （2）利用空间向量的坐标运算求二面夹角的余弦值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）可得，平面， 则， 以为原点，以为轴建立空间直角坐标系， 设，则， ， ，设平面的一个法向量为， 所以，令，则， 设平面的一个法向量为， 所以，令，则， 设为二面角的平面角， ， 所以二面角余弦值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 江门二中2026-2027学年第一学期第一次考试 高二年级数学试题 一、选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个地项中，只有一项是符合题目要求的). 1. 已知直线，则该直线的倾斜角是（ ） A. B. C. D. 2. 过两点的直线方程为( ) A. B. C. D. 3. 如图，在三棱柱中，设，，，是的中点，则可表示为（ ） A. B. C. D. 4. 在四面体中，空间一点满足，若四点共面，则的值为 （ ） A. B. C. D. 5. 若直线与直线垂直，则（ ） A. B. C. D. 6. 经过点，且与直线平行的直线方程为（ ） A. B. C. D. 7. 注意力机制是一种让模型在处理信息时，能够“有选择地聚焦”于最关键部分的技术，其核心是用数学中的向量来解决问题，设计三个关键向量：查询向量（表示我在寻找什么？）､键向量（表示我有什么可提供？）和值向量（表示我实际提供的内容是什么）.在计算注意力时，首先用与各个计算相似度，然后求权重，记，则注意力输出向量为现有，则注意力输出向量为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在平行六面体-中，，则与的夹角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题(本大题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合要求，全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.) 9. 下列四个命题中，说法不正确的是（ ） A. 空间任意两个单位向量必相等 B. 对于非零向量，由，则 C. 是共线的充分不必要条件 D. 若向量满足，则 10. 在平面直角坐标系中，已知，则（ ） A. 直线的倾斜角是 B. 点在直线上 C. 直线的一个方向向量为 D. 直线与直线垂直 11. 在正三棱柱中，为的中点，，则（ ） A. 直线与所成的角为 B. 直线与所成的角为 C. 直线与平面所成的角为 D. 直线与平面所成的角为 三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分) 12. 已知向量，向量，若，则__________． 13. 若直线与平行，则实数________. 14. 在四棱锥中，底面为正方形，平面，，N为的中点，在棱上（包括端点）存在点M，使，则____. 四、解答题(本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 15. 在平面直角坐标系中，已知，，三个点分别为，，. （1）求直线的方程； （2）求过点且与直线平行的直线的方程； （3）求过点且与直线垂直的直线的方程. 16. 已知长方体中，是对角线中点，化简下列表达式： （1）； （2）； （3）. 17. 已知空间向量，，． （1）设，，求； （2）若向量与向量，共面，求实数的值． 18. 如图，在长方体中，，点在上，且． （1）求证：平面 （2）求直线与平面所成角的正弦值 （3）求点到平面的距离． 19. 在斜三棱柱中，为等腰直角三角形，，侧面为菱形，且，点为棱的中点，，平面平面. （1）证明：平面平面； （2）求二面角的余弦值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $