精品解析：广东揭阳市普宁市第二中学2026-2027学年高一上学期第一次月考数学试题

普宁二中2026-2027学年度第一学期高一级第一次月考 数学试卷 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】首先化简集合，再根据集合与集合的关系，元素与集合的关系判断即可. 【详解】因为， 所以，，，故正确的只有A. 故选：A 2. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据集合与集合的描述求得集合，由此求得. 【详解】因为， 所以对于集合，的可能取值为， 故， 所以. 故选：B. 3. 下面四个条件中，使成立的必要不充分条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】按照充分条件、必要条件的概念结合不等式的性质逐一判断即可. 【详解】无法推出，故A错误； “”能推出“”，故选项B是“”的必要条件， 但“”不能推出“”，不是充分条件，满足题意，故B正确； “”不能推出“”即，故选项C不是“”的必要条件，故C错误； 无法推出，如时，故D错误； 故选：B. 4. 甲、乙、丙、丁四位同学在玩一个猜数字游戏，甲、乙、丙共同写出三个集合：，，，然后他们三人各用一句话来正确描述“”表示的数字，并让丁同学猜出该数字，以下是甲、乙、丙三位同学的描述，甲：此数为小于5的正整数；乙：是的必要不充分条件；丙：是的充分不必要条件.则“”表示的数字是（ ） A. 3或4 B. 2或3 C. 1或2 D. 1或3 【答案】C 【解析】 【分析】根据此数为小于5的正整数得到，再推出是的真子集，是的真子集，从而得到不等式，求出，得到答案. 【详解】因为此数为小于5的正整数，所以， .因为是的必要不充分条件，是的充分不必要条件， 所以是的真子集，是的真子集， 所以且，解得，所以“”表示的数字是1或2，故正确. 故选：C. 5. 学校举办运动会，高一（7）班共有30名同学参加游泳、田径和球类比赛，其中有13人参加游泳比赛，有12人参加田径比赛，有16人参加球类比赛，同时参加游泳比赛和田径比赛的有3人，同时参加游泳比赛和球类比赛的有5人，同时参加田径比赛和球类比赛的有4人，则同时参加这三项比赛的人数为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】设高一（7）班参加游泳、田径、球类比赛的学生分别构成集合、、，设同时参加游泳和球类比赛的学生人数为人，作出韦恩图，根据题意可得出关于的方程，解出的值即可. 【详解】设高一（7）班参加游泳、田径、球类比赛的学生分别构成集合、、， 设同时参加这三项比赛的人数为人，由题意作出如下韦恩图， 由题意可得，解得. 因此，同时参加这三项比赛的人数为1人. 故选：B 6. 已知，且，则的最小值为（ ） A. 9 B. 10 C. 11 D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用“乘1法”将问题转化为求的最小值，然后展开利用基本不等式求解． 【详解】，，又，且， ， 当且仅当，解得，时等号成立， 故的最小值为9． 故选：A． 【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正”就是各项必须为正数； （2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值； （3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方. 7. 关于x的不等式恰有2个整数解，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由已知及一元二次不等式的性质可得，讨论a结合原不等式整数解的个数求的范围， 【详解】由恰有2个整数解，即恰有2个整数解， 所以，解得或， ①当时，不等式解集为，因为，故2个整数解为1和2， 则，即，解得； ②当时，不等式解集为，因为，故2个整数解为，， 则，即，解得， 综上所述，实数的取值范围为或. 故选：B. 8. ，恒成立，则实数的最大值为（ ） A. B. 3 C. D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】分离参数变为在上恒成立，利用基本不等式求解最值得，即可得解. 【详解】，恒成立， 即在上恒成立， 所以在上恒成立， 又，当且仅当，即时取等号， 所以，则实数的最大值为. 故选：C 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的部分分，有选错的得0分． 9. 下列命题为真命题的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若且，则 D. 若且，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】取可判断A选项；利用不等式的基本性质可判断BC选项；利用作差法可判断D选项. 【详解】对于A选项，当时，，A错； 对于B选项，若，由不等式的性质可得，，则，B对； 对于C选项，若，则，则， 又因为，由不等式的性质可得，C对； 对于D选项，若且，则，所以，，D对. 故选：BCD. 10. 下列命题中正确的有（ ） A. 集合的真子集是 B. 是菱形是平行四边形 C. 设，若，则 D. 【答案】BC 【解析】 【分析】根据空集是任何非空集合的真子集可知A不正确；根据菱形一定是平行四边形，可知B正确；根据集合相等的概念求出，可知C正确；根据可知D不正确. 【详解】对于A，集合的真子集是，，故A不正确； 对于B，因为菱形一定是平行四边形，所以是菱形是平行四边形，故B正确； 对于C，因为，，所以，，故C正确； 对于D，因为是实数，所以无解，所以，故D不正确. 故选：BC 11. 已知正数x，y满足，则下列说法错误的是（ ） A. 的最大值为1 B. 的最大值为2 C. 的最小值为2 D. 的最大值为1 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用基本不等式解决最大最小值问题. 【详解】因为，，，所以，故，当且仅当时，取得等号，所以的最大值为1，故A正确； 当，时，，故B错误； 因为，所以，当且仅当时，取得等号，即有最大值为2，故C错误； 当时，故D错误. 故选：BCD． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知集合，，若，则实数__________. 【答案】或 【解析】 【分析】根据集合元素互异性可得，由可得，然后分类讨论即可求得参数. 【详解】由题知，， 因为，所以， 则当时，，而； 当时，(舍)或， 所以或. 故答案为：或 13. 已知命题“，使得”为真命题，则实数的取值范围为____. 【答案】 【解析】 【详解】因为命题“，使得”为真命题，所以， 解得或，即实数的取值范围为. 14. 已知正数x，y，z满足，当取最大值时，的最小值为______. 【答案】## 【解析】 【分析】由条件化简，结合基本不等式求其最大值，确定取最大值的条件，再结合二次函数性质求的最小值. 【详解】因为， 所以， 因为，所以，当且仅当，时等号成立， 所以当，时，取最大值， 所以当取最大值时，，，， 所以， 所以当时，取最小值. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知全集，集合，集合． （1）求集合； （2）若集合，满足，求实数的取值范围． 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）先分别求解集合和集合，再根据并集、补集和交集的定义求解和； （2）先根据集合间的包含关系，分和两种情况讨论，列出关于的不等式组，再求解不等式组得到的取值范围. 【小问1详解】 因为， ， 所以或， 所以， . 【小问2详解】 由（1）知， 当时，则有，即， 当时 则有 即，即， 综上所述，实数的取值范围为. 16. （1）求不等式的解集． （2）求下列各式的最值：当时，求的最小值； （3）求下列各式的最值：已知，求的最大值． 【答案】（1）；（2）5；（3）． 【解析】 【分析】（1）由可得，，整理后即可求解． （2）由，结合基本不等式求解即可； （3）由，结合基本不等式求解即可． 【详解】（1）由可得，， 整理可得，， 解可得，， 故不等式的解集为：． （2）由题知， 则， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为5； （3）由题知， 则， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最大值为． 17. （1）已知关于的不等式的解集为或，求实数a，b的值； （2）解关于的不等式：. 【答案】（1）； （2） 当时，，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为R； 当时，解集为或； 当时，解集为或. 【解析】 【分析】（1）根据一元二次不等式的解集，可知对应一元二次方程的根，代入解方程组即可； （2）因式分解，然后分一次二次、开口方向、两根大小进行讨论即可. 【详解】（1）由题意且1，2为的两根， 则，解得. （2） 当时，，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为R； 当时，解集为或； 当时，解集为或. 18. 某公司为了节约资源，研发了一个从生活垃圾中提炼煤油的项目.该项目的月处理成本（元）与月处理量（吨）之间的函数关系可以近似地表示为:，每处理一吨生活垃圾，可得到的煤油的价值为 200 元，若该项目不能获利，政府将给予补贴. （1）当时，判断该项目能否获利.如果获利，求出最大利润; 如果不能获利，则政府每月最多需要补贴多少元，才能使该项目不亏损? （2）该项目每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低? 【答案】（1）故该项目不会获利，政府每月最多需要补贴20000元，才能使该项目不亏损 （2）该项目每月处理量为400吨时，才能使每吨的平均处理成本最低 【解析】 【分析】（1）根据题意结合二次函数的性质分析运算；（2）分类讨论和，结合二次函数的性质和基本不等式分析运算. 【小问1详解】 当时，该项目的利润， ∵，则，故该项目不能获利， 当时，取到最小值， 故该项目不会获利，政府每月最多需要补贴20000元，才能使该项目不亏损. 【小问2详解】 当时，平均处理成本， 当时，平均处理成本取到最小值250； 当时，平均处理成本， 当，即时，平均处理成本取到最小值200； ∵，故该项目每月处理量为400吨时，才能使每吨的平均处理成本最低. 19. 对集合及其每一个非空子集，定义一个唯一确定的“交替和”如下：将中的元素按照递减的次序排列，然后将第一个元素交替地减或加后继的元素所得的结果，例如，子集的“交替和”是，子集的“交替和”是，子集的交替和是2；定义一个唯一确定的“交替积”如下：将中的元素按照递减的次序排列，然后将第一个元素交替地除以或乘以后继的数所得的结果，例如，子集的“交替积”是，的“交替积”是，的“交替积”是2． （1）分别求与的交替和，并求所有子集的“交替和”的总和． （2）对于，求其所有子集的“交替和”的总和． （3）对于，求其所有子集的“交替积”的总和． 【答案】（1）集合的交替和为； 集合的交替和为； 所有子集的“交替和”的总和为80； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）将集合的子集分为有5的子集，和去掉5之后的子集，再根据“交替和”的定义，即可求解； （2）将集合的子集分为有的子集，和去掉之后的子集，再根据“交替和”的定义，即可求解； （3）首先求出集合的元素，再对集合分组，有的子集和去掉的子集为一组，求每一组“交替积”的和，即可求解. 【小问1详解】 集合的交替和为； 集合的交替和为； 集合的子集中，除去外还有个非空子集， 把这个非空子集两两组合后分别计算每一组中“交替和”之和， 组合原则是设，， 集合的元素为集合中去掉5的所有元素，把和结合为一组， 显然，每组的“交替和”的和为5，共有组， 所以，所有“交替和”之和应该为； 【小问2详解】 集合的子集中，除去外还有个非空子集， 把这个非空子集两两组合后分别计算每一组中“交替和”之和， 组合原则是设，，集合的元素为集合中去掉的所有元素，把和结合为一组，显然，每组的“交替和”的和为，共有组，所以，所有“交替和”之和应该为； 【小问3详解】 集合， 其中除去外还有个非空子集， 把这个非空子集两两组合后分别计算每一组中“交替积”之和， 组合原则是设， ，集合的元素为集合中去掉的所有元素， 把和结合为一组，显然，每组的“交替积”的和为，共有组， 所以，所有“交替积”之和应该为. 【点睛】本题的关键是理解题意，前2问是将集合分为有最大元素的集合，和去掉最大元素的集合，这样找到规律，最后一问，是将集合分为有元素的集合和去掉元素的集合为一组，即可求解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 普宁二中2026-2027学年度第一学期高一级第一次月考 数学试卷 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 3. 下面四个条件中，使成立的必要不充分条件是（ ） A. B. C. D. 4. 甲、乙、丙、丁四位同学在玩一个猜数字游戏，甲、乙、丙共同写出三个集合：，，，然后他们三人各用一句话来正确描述“”表示的数字，并让丁同学猜出该数字，以下是甲、乙、丙三位同学的描述，甲：此数为小于5的正整数；乙：是的必要不充分条件；丙：是的充分不必要条件.则“”表示的数字是（ ） A. 3或4 B. 2或3 C. 1或2 D. 1或3 5. 学校举办运动会，高一（7）班共有30名同学参加游泳、田径和球类比赛，其中有13人参加游泳比赛，有12人参加田径比赛，有16人参加球类比赛，同时参加游泳比赛和田径比赛的有3人，同时参加游泳比赛和球类比赛的有5人，同时参加田径比赛和球类比赛的有4人，则同时参加这三项比赛的人数为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 6. 已知，且，则的最小值为（ ） A. 9 B. 10 C. 11 D. 7. 关于x的不等式恰有2个整数解，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. ，恒成立，则实数的最大值为（ ） A. B. 3 C. D. 6 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的部分分，有选错的得0分． 9. 下列命题为真命题的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若且，则 D. 若且，则 10. 下列命题中正确的有（ ） A. 集合的真子集是 B. 是菱形是平行四边形 C. 设，若，则 D. 11. 已知正数x，y满足，则下列说法错误的是（ ） A. 的最大值为1 B. 的最大值为2 C. 的最小值为2 D. 的最大值为1 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知集合，，若，则实数__________. 13. 已知命题“，使得”为真命题，则实数的取值范围为____. 14. 已知正数x，y，z满足，当取最大值时，的最小值为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知全集，集合，集合． （1）求集合； （2）若集合，满足，求实数的取值范围． 16. （1）求不等式的解集． （2）求下列各式的最值：当时，求的最小值； （3）求下列各式的最值：已知，求的最大值． 17. （1）已知关于的不等式的解集为或，求实数a，b的值； （2）解关于的不等式：. 18. 某公司为了节约资源，研发了一个从生活垃圾中提炼煤油的项目.该项目的月处理成本（元）与月处理量（吨）之间的函数关系可以近似地表示为:，每处理一吨生活垃圾，可得到的煤油的价值为 200 元，若该项目不能获利，政府将给予补贴. （1）当时，判断该项目能否获利.如果获利，求出最大利润; 如果不能获利，则政府每月最多需要补贴多少元，才能使该项目不亏损? （2）该项目每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低? 19. 对集合及其每一个非空子集，定义一个唯一确定的“交替和”如下：将中的元素按照递减的次序排列，然后将第一个元素交替地减或加后继的元素所得的结果，例如，子集的“交替和”是，子集的“交替和”是，子集的交替和是2；定义一个唯一确定的“交替积”如下：将中的元素按照递减的次序排列，然后将第一个元素交替地除以或乘以后继的数所得的结果，例如，子集的“交替积”是，的“交替积”是，的“交替积”是2． （1）分别求与的交替和，并求所有子集的“交替和”的总和． （2）对于，求其所有子集的“交替和”的总和． （3）对于，求其所有子集的“交替积”的总和． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $