精品解析：广东深圳市香港中文大学(深圳)附属明德高级中学2026-2027学年第一学期高一年级(普高)第一次质量检测数学试题

香港中文大学（深圳）附属明德高级中学2026-2027学年第一学期 高一年级（普高）第一次质量检测 数学试题 命题人：李德如 刘占江 审题人：于明波 张韶东 考试时间：120分钟 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上． 2．选择题答案必须用2B铅笔将答题卡对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答案不能答在试卷上． 3．非选择题必须用黑色字迹的签字笔作答．答案必须写在答题卡各题目指定区域相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案，不准使用铅笔和涂改液，不按以上方式作答无效． 4．考试结束后，将答题卡交回． 一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 下列关系正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知a，b是实数，则“”是“且”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 下列各选项中，与表示同一函数的是（ ） A. B. C. D. 4. 已知，那么的一个必要不充分条件是（ ） A. B. C. D. 5. 集合，，那么（ ） A. B. C. D. 6. 命题“，使”的否定是（ ） A. ，使 B. ，使 C. ，使 D. ，使 7. 设，则的大小顺序是（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，正实数，满足，则的最小值为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每个小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分. 9. 设全集为，为的子集，下列结论中正确的是（ ） A. 若集合，，则 B. 空集是A的真子集 C. 若集合，，则 D. 10. 已知，下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 不等式的解集为 C. 若，不等式恒成立，则a的取值范围为 D. 对于给定的实数a，关于实数x的一元二次不等式的解集可能是R 11. 对于任意的，表示不超过的最大整数，例如：，.对于函数，以下说法正确的是（ ） A. B. ， C. 不等式的解集为 D. 满足方程的的取值范围是 三、填空题：（本大题共3小题，每题5分，共计15分，一题两空，前一空2分，后一空3分） 12. 已知函数．则的值为________． 13. 已知关于x的一元二次不等式的解集为，则不等式的解集为________ 14. 如图所示，为宣传2025年世界人工智能大会在上海召开，某公益广告公司拟在一张矩形海报纸上设计大小相等的左右两个矩形宣传栏，宣传栏的面积之和为，为了美观，要求海报上四周空白的宽度为，两个宣传栏之间的空隙的宽度为，设海报纸的长和宽分别为，为节约成本（即使用纸量最少），则长__________m. 四、解答题：共77分.解答时应写出文字说明、解答过程或演算步骤. 15. 已知，，求： （1）函数的定义域； （2）的值； （3）的解析式． 16. 已知集合，． （1）若，求； （2）若真包含于，求实数的取值范围． 17. 已知、均为正实数，. （1）若，求的最小值： （2）若，求的最小值. 18. 设函数. （1）若不等式的解集为，求m的取值范围； （2）若对于，恒成立，求的取值范围． 19. 已知有限集，若，则称为“完全集”． （1）判断集合是否为“完全集”，并说明理由； （2）若为“完全集”，且，用列举法表示集合，并说明理由； （3）若集合为“完全集”，且均大于，证明：中至少有一个大于． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 香港中文大学（深圳）附属明德高级中学2026-2027学年第一学期 高一年级（普高）第一次质量检测 数学试题 命题人：李德如 刘占江 审题人：于明波 张韶东 考试时间：120分钟 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上． 2．选择题答案必须用2B铅笔将答题卡对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答案不能答在试卷上． 3．非选择题必须用黑色字迹的签字笔作答．答案必须写在答题卡各题目指定区域相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案，不准使用铅笔和涂改液，不按以上方式作答无效． 4．考试结束后，将答题卡交回． 一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 下列关系正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】直接根据属于关系、相等关系及包含关系的定义判断可得. 【详解】选项A：空集的定义是不含任何元素的集合，因此，该关系错误； 选项B：是包含元素的非空集合，和不含任何元素的空集不可能相等，该关系错误； 选项C：是以空集作为唯一元素的集合，和元素为数字的集合元素完全不同，不可能相等，该关系错误； 选项D：因为规定：“空集是任意集合的子集”，因此，该关系正确. 2. 已知a，b是实数，则“”是“且”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】利用不等式的性质，结合反例可判断选项 【详解】由不等式的性质若且，则必有，反之不一定成立，如 故“”是“且”的必要不充分条件 故选：B 3. 下列各选项中，与表示同一函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数相等的条件逐项判断即可. 【详解】因为，定义域为,值域为， 函数的值域为，与题中函数不同，故错误； 函数的定义域为，与题中函数不同，故错误； 函数与题中函数定义域、值域、解析式均相同，故正确； 函数的定义域为，与题中函数不同，故错误， 故选： 4. 已知，那么的一个必要不充分条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据充分条件和必要条件的定义即可得解. 【详解】因为， 所以只有A选项是的一个必要不充分条件. 故选：A. 5. 集合，，那么（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】由，则可以取，由， 得，解得，所以. 6. 命题“，使”的否定是（ ） A. ，使 B. ，使 C. ，使 D. ，使 【答案】A 【解析】 【详解】根据存在量词命题的否定是全称量词命题即可判断， 所以命题“，使”的否定是“，使”. 7. 设，则的大小顺序是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】将化简，使分子相同，即可根据分母大小关系进行比较；利用作差比较大小关系即可. 【详解】，， ，， . 又，故. 则. 故选：C. 8. 已知函数，正实数，满足，则的最小值为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】计算，进而推导，结合分析函数单调性得，再用基本不等式求最小值. 【详解】将代入函数解析式中： 因此即为： 对任意 ，可得： ， 即. 对求导得：， 因为，显然有：， 所以在 上恒成立， 故函数在 上单调递增. 由 因为在 上单调递增，且 ，， 所以： 将 代入可得： 因为 ，根据基本不等式可得： 当且仅当 ，即时取等号, 此时，满足 为正实数, 因此， 的最小值为 . 二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每个小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分. 9. 设全集为，为的子集，下列结论中正确的是（ ） A. 若集合，，则 B. 空集是A的真子集 C. 若集合，，则 D. 【答案】AD 【解析】 【详解】对于选项A：因为集合，，所以，故A正确； 对于选项B：若，此时空集不是集合A的真子集，故B错误； 对于选项C：集合不能比较大小，故C错误； 对于选项D：由韦恩图可知：，故D正确. 10. 已知，下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 不等式的解集为 C. 若，不等式恒成立，则a的取值范围为 D. 对于给定的实数a，关于实数x的一元二次不等式的解集可能是R 【答案】AB 【解析】 【详解】若，则，则，故A正确； 即，得，故B正确； 因为，不等式恒成立， 所以，得，故C错误； 若的解集是R，则，无解， 故一元二次不等式的解集不可能是R，故D错误. 11. 对于任意的，表示不超过的最大整数，例如：，.对于函数，以下说法正确的是（ ） A. B. ， C. 不等式的解集为 D. 满足方程的的取值范围是 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据定义可求得A错误；假设B正确，通过讨论可知恒成立，知B错误；分别讨论、、和的情况，由此可得C正确；分别讨论、、和的情况，结合方程有解可知D正确. 【详解】对于A，，A正确； 对于B，假设，使得，则， 若，则，； 若，则，； 不存在，使得，B错误； 对于C，当时，，，即； 当时，，，，即； 当时，，，，； 当时，，，； 综上所述：不等式的解集为，C正确； 对于D，当时，，，不成立； 当时，，，不成立； 当时，，， ，需要，； 当时，，， ，不成立； 综上所述：满足方程的的取值范围为，D正确. 故选：ACD. 三、填空题：（本大题共3小题，每题5分，共计15分，一题两空，前一空2分，后一空3分） 12. 已知函数．则的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】按照由内到外的顺序，根据分段函数各段的定义域范围选择对应解析式逐步计算即可. 【详解】已知函数，则，所以. 13. 已知关于x的一元二次不等式的解集为，则不等式的解集为________ 【答案】 【解析】 【分析】根据一元二次不等式的解集与对应方程的关系，利用韦达定理得出的参数之间的关系，再由分式不等式解法即可求得结果. 【详解】由关于的一元二次不等式的解集为可知： 1和3是方程的两根，且； 由韦达定理可得，即， 则不等式即为， 所以，可得，即， 所以，解得或； 因此不等式的解集为. 14. 如图所示，为宣传2025年世界人工智能大会在上海召开，某公益广告公司拟在一张矩形海报纸上设计大小相等的左右两个矩形宣传栏，宣传栏的面积之和为，为了美观，要求海报上四周空白的宽度为，两个宣传栏之间的空隙的宽度为，设海报纸的长和宽分别为，为节约成本（即使用纸量最少），则长__________m. 【答案】 【解析】 【分析】根据已知有，应用基本不等式可得，由换元法求用纸量最少对应. 【详解】由题设，则， 所以，当且仅当时取等号， 令，则，即， 所以或（舍）， 此时，即用纸量最少时m. 故答案为： 四、解答题：共77分.解答时应写出文字说明、解答过程或演算步骤. 15. 已知，，求： （1）函数的定义域； （2）的值； （3）的解析式． 【答案】（1） （2） （3）， 【解析】 【小问1详解】 由，得且，故的定义域为； 【小问2详解】 ； 【小问3详解】 由得， 则. 16. 已知集合，． （1）若，求； （2）若真包含于，求实数的取值范围． 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】（1）先化简集合，代入求集合及其在实数集的补集，再根据交集运算规则求解； （2）分、两种情况，结合真子集的定义列不等式组求解的取值范围. 【小问1详解】 解不等式，，解得，即. 若时，得， 所以或， 所以或。 【小问2详解】 因为真包含于，，，分两种情况讨论： ①当时，则，解得； ②当时，则，，解得. 检验：联立无解，即不存在使得，上述范围均满足真包含要求. 综上，实数的取值范围是. 17. 已知、均为正实数，. （1）若，求的最小值： （2）若，求的最小值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）当时，由已知等式变形得出，将代数式与相乘，展开后利用基本不等式可求得的最小值； （2）当时，由已知等式变形得出，再利用基本不等式的最小值. 【小问1详解】 当时，，则. 因为、均为正实数， 所以， 当且仅当时，即当，时取等号， 所以的最小值为. 【小问2详解】 当时，，可得，则， 所以，因为，，所以，进而得， 所以，. 所以， 当且仅当时，即当，时取等号， 所以的最小值为. 18. 设函数. （1）若不等式的解集为，求m的取值范围； （2）若对于，恒成立，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】1根据题意转化为不等式的解集为，结合二次函数的性质，分情况讨论即可求出结果； 2根据题意转化为于在上恒成立，进而求出结果． 【小问1详解】 解：由题意，函数， 因为的解集为，即不等式的解集为， 当时，恒成立，则满足条件； 当时，可得，解得， 综上所述得m的取值范围为． 【小问2详解】 解：由条件，可得， 即在上恒成立， 又由， 所以在上恒成立， 因为，所以， 所以的最大值为，所以， 即实数的取值范围是. 19. 已知有限集，若，则称为“完全集”． （1）判断集合是否为“完全集”，并说明理由； （2）若为“完全集”，且，用列举法表示集合，并说明理由； （3）若集合为“完全集”，且均大于，证明：中至少有一个大于． 【答案】（1）是“完全集”，理由如下： 集合，由完全集的定义： ， ， 所以集合为“完全集”. （2）“完全集”为，理由如下： 不妨设，由于， 所以， 当时，即有，若集合含元素，则元素乘积为，故元素和也为，结合且集合元素互异，不存在满足条件的集合， 故均为正整数，所以， 于是，则无解，即不存在满足条件的“完全集”； 当时，，故只能，求得， 于是“完全集”只有一个，为； 当时，由， 即有， 而， 又， 因此，故矛盾， 所以当时不存在“完全集”； 综上所述，“完全集”为. （3）由集合元素的互异性得，若是完全集， 设， 根据根和系数的关系知，相当于的两个根， 由，解得或（舍）， 所以，又因为都是正数，若都不大于，，矛盾， 所以中至少有一个大于. 【解析】 【分析】（1）由“完全集”的定义判断即可； （2）设，得到，分类讨论求解即可； （3）由“完全集”的定义，结合集合的运算，以及一元二次方程的性质进行求解即可 【小问1详解】 略. 【小问2详解】 略. 【小问3详解】 略. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $