精品解析：福建龙岩市上杭县第三中学2026-2027学年八年级上学期第一次测试数学试题

上杭三中2026～2027学年第一阶段教学质量检测 八年级数学试题 （考试形式：闭卷考试时间：120分钟满分：150分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．每小题的四个选项中，只有一项符合题目要求．) 1. 下列长度的三条线段，能首尾相接构成三角形的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】B 【解析】 【分析】题主要考查了三角形三边关系定理：三角形任意两边之和大于第三边，掌握三边关系是解题的关键． 【详解】解：A、，不能构成三角形； B、，能构成三角形； C、，不能构成三角形； D、，不能构成三角形． 故选：B． 2. 下列各选项中的两个图形属于全等形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解： A．两个图形能完全重合，是全等图形，符合题意； B．两个图形的形状相同，大小不同，不是全等图形，不符合题意； C．两个图形的形状相同，大小不同，不是全等图形，不符合题意； D．两个图形形状大小都不同，不是全等图形，不符合题意． 3. 匀质三角形薄板的重心是三角形（ ）的交点 A. 三条高 B. 三条中线 C. 三条角平分线 D. 三边垂直平分线 【答案】B 【解析】 【详解】解：匀质三角形薄板的重心与三角形的重心重合，三角形的重心是三条中线的交点． 4. 如图所示在中，边上的高线画法正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：在中，边上的高线画法正确的是 ． 5. 在中，如果，那么的形状是（ ） A. 等腰三角形 B. 锐角三角形 C. 直角三角形 D. 钝角三角形 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了三角形的内角和定理．熟练掌握三角形的内角和是解题的关键． 根据三角形的内角和为，可以得出，计算出即可解答． 【详解】解： 在中，， ， ， ， 是直角三角形． 故选C． 6. 如图，已知，，，增加以下一个条件，仍不能判定与全等的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质的应用，能正确根据全等三角形的判定定理进行推理是解此题的关键． 全等三角形的判定方法有SAS，ASA，AAS，SSS，根据定理逐个判断即可． 【详解】∵，， ∴， 又∵， A、当时，，故本选项不符合题意； B．∵，∴，∴，故本选项不符合题意； C． ，无法确定与的角边关系，无法证得，故本选项符合题意； D．∵，可证得，故本选项不符合题意． 故选：C． 7. 如图1，已知、和线段，试作，使，，．我们用尺规作图得到如图2所示的，又发现我们所作的三角形和其他同学所作的三角形能够完全重合，于是得到判定三角形全等的方法是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据作图痕迹结合全等三角形的判定方法，即可求解． 【详解】解：由作图可知，这个作图的依据是：两角夹边对应相等的两个三角形全等，即． 8. 数学活动课上，小明在正方形网格中一笔画成了一个“字图”，如图所示的图形，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质、三角形外角．根据在和在正方形网格中的位置可以证明，根据全等三角形对应角相等可证，根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和可以得到． 【详解】解：如下图所示， 在和中 ， ， ， 又是的外角， ， ． 故选：B． 9. 如图，在中，是高，是角平分线，是中线．下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据三角形中线角平分线高的定义逐一判断选项，结合三角形面积公式区分对错． 【详解】解：A、是中线，则为中点，故，不符合题意； B、是角平分线，则，不符合题意； C、是高， 为直角三角形，故，不符合题意； D、​与的高相同，但底边 ，故面积不相等，符合题意． 10. 如图，中，，点为各内角平分线的交点，过点作的垂线，垂足为，若，，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】连接、、，过作于，于，根据角平分线的性质得出，根据三角形的面积公式求出的面积，根据图形得出，再代入求出即可． 【详解】解：连接、、，过作于，于， ∵点为各内角平分线的交点，，，， ∴， ∵，，， ∴， ， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查角平分线的性质，勾股定理，三角形的面积，能根据角平分线上的点到角两边的距离相等得出是解题的关键． 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分） 11. 已知三角形的三边的长分别是5、、，则的取值范围是_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据三角形三边关系，计算可得的取值范围． 【详解】解：三角形任意两边之差小于第三边，任意两边之和大于第三边， 已知三角形三边长为，，， ， 化简得 ． 12. 生活中到处都存在着数学知识，只要同学们学会用数学的眼光观察生活，就会有许多意想不到的收获．如图是由一副三角板拼凑得到的，图中______． 【答案】105 【解析】 【分析】先利用角的和差关系求出，再利用三角形外角的性质求解． 【详解】解：如图， 由题意知，， ， ， 故答案为：105． 【点睛】本题考查三角形外角的性质、三角板的度数、角的和差关系等，解题的关键是掌握“三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和”． 13. 如图，在中，，，是的中线，且把的周长分为两部分，若两部分的差为，则的长度为__________． 【答案】 【解析】 【详解】解：∵是的中线， ∴ ， ∵把的周长分为两部分，两部分的差为，， ∴， ∴ ， 解得． 14. 如图，在中，点D、E、F分别为边的中点，已知，则阴影部分的面积为___． 【答案】15 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形中线的性质，理解三角形的一条中线将三角形分为面积相等的两个三角形是解题关键． 根据题意，结合同底等高的三角形面积相等可知，，进而可得，即可解答． 【详解】解：∵为中点，， ∴， ∵点E为边的中点， ∴， ∵点F为边的中点， ∴ ∴阴影部分的面积为． 故答案为：15． 15. 如图，的面积为，平分，过点A作于点P，则的面积为_________． 【答案】 【解析】 【分析】题考查了全等三角形的性质和判定，三角形的面积的应用，注意：等底等高的三角形的面积相等；延长交于E，先证明，根据全等三角形的性质得到，得出，，进而推出，即可得出答案． 【详解】解：延长交于E， 平分， ， ， ， ， ， ， ，， ， 故答案为：． 16. 如图，，，，点P在线段上以的速度由点A向点B运动，点Q在线段上由点B向点D运动，两个动点同时出发，设运动时间为，则当点Q的运动速度为______时，与有可能全等． 【答案】1或 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角的判定．分两种情况讨论：当，时；当，时，即可求解． 【详解】解：当，时，， 、Q运动的路程和时间相同， 和P的运动速度相同是； 当，时，， ， 运动的时间是， ， 运动的速度是， 当点Q的运动速度为1或时，与全等． 故答案为：1或 三、解答题（本大题共9小题，共86分） 17. 如图，在中，，，平分，求的度数． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查三角形内角和定理，角平分线的定义以及三角形外角的性质，由三角形内角和定理得，由平分得，再由三角形外角的性质可得的度数． 【详解】解：∵，且，， ∴， 又平分， ∴， ∴． 18. 如图所示方格纸中，每个小正方形的边长均为1，点A、点B和点C在小正方形的顶点上． （1）作出中边上的高； （2）作出中边上的中线； （3）在（2）的条件下，的面积为___________． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3）9 【解析】 【分析】（1）延长，过A作与H，即可得到答案； （2）结合题意，根据中线的定义可得E点，连接即可得到答案； （3）根据三角形面积公式的求法，求出的面积，根据为的中线得出，即可求出答案． 【小问1详解】 解：如图，即为所求作的中边上的高； 【小问2详解】 解：如图，即为所求作的中边上的中线； 【小问3详解】 解：， ∵为的中线， ∴． 故答案为：9． 【点睛】本题主要考查了三角形高，中线的作法，以及三角形面积求法，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解． 19. 如图，点在线段上，已知，，． （1）求证： （2）若，，求的长． 【答案】（1）证明：∵， ∴， 在和中， ， ∴． （2）8 【解析】 【分析】（1）先得出，再根据定理即可得证； （2）得出，，即可得的长． 【小问1详解】 略． 【小问2详解】 解：由（1）已证：， ∴，， ∵，， ∴，， ∴． 20. 如图，，， （1）如图1，在射线上找一点M，连接，使得，依题意补全图形（保留作图痕迹，不写作法） （2）如图2，若，垂足为，求证：点平分线段． 【答案】（1）如图， （2）证明：∵，， ∴， ∵， ∴， 即， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴点平分线段． 【解析】 【小问1详解】 解：∵，， ∴， ∴尺规作图作平分线与交点即为； 【小问2详解】 证明：略． 21. 如图，数轴上三个点A、B、C对应的数为a、b、c，分别以a、b、c为边长作． （1）若，，求c的取值范围． （2）化简：． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了三角形的三边关系和绝对值的化简，熟练掌握三角形三边关系是解题的关键． （1）根据三角形的三边关系即可判断； （2）根据三角形三边关系判断出，，再去绝对值进行化简合并即可． 【小问1详解】 解：根据三角形三边关系得，， 即． 【小问2详解】 解：∵，a、b、c为的三边， ∴，， ∴ ． 22. 小明同学在物理课上学习了发声物体的振动实验后，对其作了进一步的探究：在一个支架的横杆点处用一根细绳悬挂一个小球，小球可以自由摆动，如图，表示小球静止时的位置．当小明用发声物体靠近小球时，小球从摆到位置，此时过点作于点，当小球摆到位置时，恰好（图中的、、、在同一平面上），过点作于点，测得． （1）求证：； （2）请求出的长． 【答案】（1） 证明：， ， ， 又， ， ． （2） 【解析】 【分析】本题考查了垂直的定义，同角的余角相等，全等三角形的判定与性质，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． （1）由，，根据同角的余角相等即可求解； （2）证明，由全等三角形的性质得，最后由线段和差即可求解 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：在和中： ， ， ， ， ． 23. 学习完《利用三角形全等测距离》后，数学兴趣小组同学就“测量河两岸、两点间距离”这一问题，设计了如下方案． 课题 测量河两岸、两点间距离 测量工具 测量角度的仪器，皮尺等 测量方案示意图 测量步骤 ①在点所在河岸同侧的平地上取点和点，使得点、、在一条直线上，且； ②测得，； ③在的延长线上取点，使得； ④测得的长度为米． 任务 （1）假设与交于点，则 ； （2）请你根据以上方案求出、两点间的距离． 【答案】（1） （2）米 【解析】 【分析】（1）由三角形外角的性质可得，则； （2）容易证明，则，由等量代换可得米． 【小问1详解】 解：∵是的外角， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴米． 24. 在一个三角形中，如果一个角是另一个角的3倍，这样的三角形我们称为“灵动三角形”．如，三个内角分别为，，的三角形是“灵动三角形”．如图，，在射线上找一点，过点作交于点，以A为端点作射线，交线段于点（规定）． （1）的度数为_____°，_____．（填“是”或“不是”灵动三角形）． （2）若，是“灵动三角形”吗？如果是请证明：如果不是请说明理由． （3）当为“灵动三角形”时，直接写出的度数． 【答案】（1）30°，是 （2）是“灵动三角形” （3）或或 【解析】 【分析】本题考查的是三角形内角和定理、“灵动三角形”的概念，用分类讨论的思想解决问题是解本题的关键． （1）根据垂直的定义、三角形内角和定理求出的度数，根据“灵动三角形”的概念判断； （2）根据“灵动三角形”的概念证明即可； （3）根据，点在线段上，根据“灵动三角形”的定义分六种情况进行计算即可． 【小问1详解】 解: ∵， ∴， ∴， ∵， ∴为“灵动三角形”， 故答案为；是； 【小问2详解】 解: 是“灵动三角形” 理由: ∵，， ∴， 又， ∴， ∴， ∴是“灵动三角形”； 【小问3详解】 解: ∵为“灵动三角形”， ∵点在线段上，， ∵， ∴， Ⅰ、当时，， ∴， Ⅱ、当时， ∴ ∴此种情况不存在， Ⅲ、当时， ∴， ∴， ∴， Ⅳ、当时， ∴， ∴， ∴， Ⅴ、当时， ∴， ∴， ∵点与点不重合， ∴此种情况不成立， Ⅵ、当时， ∴°， ∴， ∴此种情况不存在， 综上所述，当为“灵动三角形”时，的度数为或或． 25. 将两个全等的直角三角形和直角三角形按图①方式摆放，其中，，点落在上，所在直线交所在直线于点． （1）求证：． （2）如图②，若将图①中的绕点按顺时针方向旋转角，且，其他条件不变，证明：． （3）若将图①中的绕点按顺时针方向旋转角，且，其他条件不变，如图③．你认为（2）中的结论还成立吗？若成立，写出证明过程；若不成立，请直接写出此时、与之间的关系． 【答案】（1） 证明：如图①，连接， ， ， ， 在和中， ， ， ； （2） 证明：如图②，连接， ， ， ， 在和中， ， ， ， ； （3）不成立，关系式为：． 【解析】 【分析】（1）如图，连接，由，可得，根据直角三角形的“”判定定理，证明，即可得出结论； （2）同（1）得，由，可得，，即； （3）同（1）得，由，可得，． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 不成立，关系式为：．理由如下： 如图③，连接， ， ， ， 和是直角三角形， 在和中， ， ， ， ， ． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，学生应熟练掌握证明三角形全等的几个判定定理及其性质．解题时注意：全等三角形的对应边相等，对应角相等． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 上杭三中2026～2027学年第一阶段教学质量检测 八年级数学试题 （考试形式：闭卷考试时间：120分钟满分：150分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．每小题的四个选项中，只有一项符合题目要求．) 1. 下列长度的三条线段，能首尾相接构成三角形的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 2. 下列各选项中的两个图形属于全等形的是（ ） A. B. C. D. 3. 匀质三角形薄板的重心是三角形（ ）的交点 A. 三条高 B. 三条中线 C. 三条角平分线 D. 三边垂直平分线 4. 如图所示在中，边上的高线画法正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 在中，如果，那么的形状是（ ） A. 等腰三角形 B. 锐角三角形 C. 直角三角形 D. 钝角三角形 6. 如图，已知，，，增加以下一个条件，仍不能判定与全等的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图1，已知、和线段，试作，使，，．我们用尺规作图得到如图2所示的，又发现我们所作的三角形和其他同学所作的三角形能够完全重合，于是得到判定三角形全等的方法是（ ） A. B. C. D. 8. 数学活动课上，小明在正方形网格中一笔画成了一个“字图”，如图所示的图形，则的度数为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在中，是高，是角平分线，是中线．下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，中，，点为各内角平分线的交点，过点作的垂线，垂足为，若，，则的长为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分） 11. 已知三角形的三边的长分别是5、、，则的取值范围是_________． 12. 生活中到处都存在着数学知识，只要同学们学会用数学的眼光观察生活，就会有许多意想不到的收获．如图是由一副三角板拼凑得到的，图中______． 13. 如图，在中，，，是的中线，且把的周长分为两部分，若两部分的差为，则的长度为__________． 14. 如图，在中，点D、E、F分别为边的中点，已知，则阴影部分的面积为___． 15. 如图，的面积为，平分，过点A作于点P，则的面积为_________． 16. 如图，，，，点P在线段上以的速度由点A向点B运动，点Q在线段上由点B向点D运动，两个动点同时出发，设运动时间为，则当点Q的运动速度为______时，与有可能全等． 三、解答题（本大题共9小题，共86分） 17. 如图，在中，，，平分，求的度数． 18. 如图所示方格纸中，每个小正方形的边长均为1，点A、点B和点C在小正方形的顶点上． （1）作出中边上的高； （2）作出中边上的中线； （3）在（2）的条件下，的面积为___________． 19. 如图，点在线段上，已知，，． （1）求证： （2）若，，求的长． 20. 如图，，， （1）如图1，在射线上找一点M，连接，使得，依题意补全图形（保留作图痕迹，不写作法） （2）如图2，若，垂足为，求证：点平分线段． 21. 如图，数轴上三个点A、B、C对应的数为a、b、c，分别以a、b、c为边长作． （1）若，，求c的取值范围． （2）化简：． 22. 小明同学在物理课上学习了发声物体的振动实验后，对其作了进一步的探究：在一个支架的横杆点处用一根细绳悬挂一个小球，小球可以自由摆动，如图，表示小球静止时的位置．当小明用发声物体靠近小球时，小球从摆到位置，此时过点作于点，当小球摆到位置时，恰好（图中的、、、在同一平面上），过点作于点，测得． （1）求证：； （2）请求出的长． 23. 学习完《利用三角形全等测距离》后，数学兴趣小组同学就“测量河两岸、两点间距离”这一问题，设计了如下方案． 课题 测量河两岸、两点间距离 测量工具 测量角度的仪器，皮尺等 测量方案示意图 测量步骤 ①在点所在河岸同侧的平地上取点和点，使得点、、在一条直线上，且； ②测得，； ③在的延长线上取点，使得； ④测得的长度为米． 任务 （1）假设与交于点，则 ； （2）请你根据以上方案求出、两点间的距离． 24. 在一个三角形中，如果一个角是另一个角的3倍，这样的三角形我们称为“灵动三角形”．如，三个内角分别为，，的三角形是“灵动三角形”．如图，，在射线上找一点，过点作交于点，以A为端点作射线，交线段于点（规定）． （1）的度数为_____°，_____．（填“是”或“不是”灵动三角形）． （2）若，是“灵动三角形”吗？如果是请证明：如果不是请说明理由． （3）当为“灵动三角形”时，直接写出的度数． 25. 将两个全等的直角三角形和直角三角形按图①方式摆放，其中，，点落在上，所在直线交所在直线于点． （1）求证：． （2）如图②，若将图①中的绕点按顺时针方向旋转角，且，其他条件不变，证明：． （3）若将图①中的绕点按顺时针方向旋转角，且，其他条件不变，如图③．你认为（2）中的结论还成立吗？若成立，写出证明过程；若不成立，请直接写出此时、与之间的关系． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $