重庆市綦江中学2026-2027学年上学期九年级第一学月数学测试题

綦江中学初2024级2026-2027学年（上期）第一学月测试 数学试题 （全卷共三个大题，满分150分，考试时间120分钟） 注意事项： 1．试题的答案书写在答题卡上，不得在试题卷上直接作答； 2．作答前认真阅读答题卡上的注意事项； 3．作图（包括作辅助线）请一律用黑色2B铅笔完成； 4．考试结束，由监考人员将试题卷和答题卡一并收回． 参考公式：抛物线的顶点坐标为，对称轴为直线． 一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1、下列气象生活指数图标中，文字上方的图案是中心对称图形的是（ B ） A、 B、 C、 D、 2、一元二次方程的根为（ D ） A、 B、 C、 D、无实数根 3、如图，已知，，结合圆的知识易知，的度数为（ C ） A、 B、 C、 D、 4、二次函数的图象如图所示，下列结论中正确的是（ D ） A、 B、 C、 D、 5、若是关于的一元二次方程，则的值为（ A ） A、 B、 C、 D、 6、中国古代数学著作《九章算术》中记载：“今有大器五小器一容三斛，大器一小器五容二斛．问大小器各容几何．”意思是：有大小两种容器，已知5个大容器和1个小容器的总容量为3斛（斛是过去的一种量器），1个大容器和5个小容器的总容量为2斛．大小容器的容量分别是多少斛？设1个大容器的容量为斛，1个小容器的容量为斛，则可列方程组为（ A ） A、 B、 C、 D、 7、醇类是由碳、氢、氧元素组成的一类有机化合物质，下图是这类物质的分子结构式，其中，，分别代表碳原子、氢原子、氧原子．第①个图中有4个氢原子，第②个图中有6个氢原子，第③个图中有8个氢原子，第④个图中有10个氢原子…按照此规律，第⑧个图中氢原子的个数是（ C ） A、 14 B、16 C、18 D、20 8、若一元三次方程有三个实数根，，，则可以化为 ，由此你能发现与系数，，，之间的关系为（ D ） A、 B、 C、 D、 9、如图，正方形ABCD的边长为6，点E是BC边的中点，连接AE，点B关于直线AE的对称点为点N，连接EN并延长交CD于点F，连接CN并延长交AD于点G，连接AF交CG于点M，则MF长为（ B ） A、 B、 C、 D、 10、已知整式：，其中，为正整数，，，，，为整数，，且．下列说法： ①当时，满足条件的所有整式的和为； ②当时，若函数的图象关于轴对称，则满足条件的整式有且仅有1个； ③满足条件的所有二次二项式中，若方程的根都是整数，则满足条件的整式共有2个． 其中正确的个数是（ C ） A、 0 B、 1 C、 2 D、 3 二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上． 11、抛物线的顶点坐标是 （-1 , 2） . 12、写出一个两根分别为，的一元二次方程 （等） ． 13、抛物线与轴有____两（或2）____个公共点． 14、若实数x，y同时满足，，则的值是____1_______． 15、已知正整数m，n满足，若m≠n，则m + n的最小值为 7 ，若此时为整数，则满足条件的所有整数k的和为 16 . 16. 如图，四边形是平行四边形，点，在上，AD =12，经过圆心，且，垂足为，AD =8，连接交于点，连接并延长交于点，，则的长度为 ，的长度为 ． 三、解答题：（本大题9个小题，第17题、第18题各8分，其余每题10分，共86分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 17、解不等式组 ② ① 解：解不等式①得 解不等式②得 将①和②的解集在数轴上表示为： ∴不等式组的解集为 18、 先化简，再求值：，其中. 解：∵ 原式 19、 已知，是方程的两根，且. （1）求的值. （2）求的值. 解：（1）∵，是方程的两根 ∴ ∴ ∴， ∴ ∴ （2） 由（1）知 ， ∴ 20、 综合与实践 在数学世界里黄金分割宛如璀璨明珠，符合黄金分割比例的事物更具有比例性、艺术性与和谐性. 素材：若一个点将一条线段分成两段，较短一段与较长一段的比等于较长一段与整条线段的比，则这个点叫做这条线段的黄金分割点. 【动手操作】 如图，M是线段AB的中点．过B作l⊥AB，用尺规完成基本作图：在AB上方的直线l上截取BN=BM，连接AN，以N为圆心BN为半径作弧交AN于点P，再以A为圆心AP为半径作弧交AB于点C. 【问题提出】 猜想：C为线段AB的黄金分割点． 【问题解决】 任务：（1）请你按照要求完成作图（保留作图痕迹，不写作法）； （2）请完成以上猜想的证明． 解析：（2）设AB=2，则BN=1，∴ ∴， ∴ ∴点C是线段AB的黄金分割点 21、公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔8月份到10月份的销量，该品牌头盔8月份销售250个，10月份销售360个，8月份到10月份销售量的月平均增长率相同． （1）求该品牌头盔销售量的月平均增长率； （2）若此种头盔的进价为每个40元，当售价为每个60元时，月销售量为300个，经商家调查统计发现，若调整单价（单价为整数）：每降价1元，则月销售量将增加20个，如何定价才能使利润最大？最大利润的多少？ （1）解：设该品牌头盔销售量的月平均增长率为x， 依题意，得， 解得，（不合题意，舍去）， 答：该品牌头盔销售量的月增长率为． （2）解：设该品牌头盔每个降价x元，总利润为y元， 依题意，得， 整理，得， 当时，y取得最大值 但x为整数，∴当x=2或x=3时，y取得最大值为6120 答：该品牌头盔每个售价应定为57元或58元时获最大利润为6120元． 22、请阅读下列材料，并按要求完成相应的任务： 人类对一元二次方程的研究经历了漫长的岁月．一元二次方程及其解法最早出现在公元前两千年左右的古巴比伦人的《泥板文书》中．到了中世纪，阿拉伯数学家花拉子米在他的代表作《代数学》中给出了一元二次方程的一般解法，并用几何法进行了证明．我国古代三国时期的数学家赵爽也给出了类似的几何解法．赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载了解方程即的方法．他构造了如图1所示的图形，图中大正方形面积是，其中四个全等的小矩形面积分别为，中间的小正方形面积为，所以大正方形的面积又可表示为，据此易得． （1）参照上述解法，下面①，②，③构图中，能够说明求解方程的正确构图是 ② ． ③ ② ① （2）请你通过上述问题的学习，在图2的网格中设计正确的构图，用几何法求解方程 （写出必要的思考过程）． 解：（1）应构造面积是的大正方形，其中四个全等的小矩形面积分别为，中间的小正方形的面积为，所以大正方形的面积又可表示为，进一步可知大正方形的边长为8，所以，得．故正确构图的是②． 故答案为：②； （2）首先构造了如图2所示的图形． 图中的大正方形面积是，其中四个全等的小矩形面积分别为，中间的小正方形面积为，所以大正方形的面积又可表示为，进一步可知大正方形的边长为8，所以，得． 23、在平面直角坐标系中，抛物线经过原点O和点． （1）求c的值，并用含a的式子表示b； （2）过点作x轴的垂线，交抛物线于点M，交直线于点N． ①若，，求MN的长； ②已知在点P从点O运动到点的过程中，MN的长随OP的长的增大而增大， 请直接写出a的取值范围． 解：（1）将点代入，抛物线， 可得， ∴该抛物线解析式为， 将点代入，抛物线， 可得，解得； （2）①若，则该抛物线及直线解析分别为，， 当时，可有点， 如图，∵轴， ∴， 将代入，可得，即， 将代入，可得，即， ∴； ②当点P从点O运动到点的过程中， ∵轴，， ∴， 将代入，可得，即， 将代入，可得，即， ∴， 令，即，解得或， 若，可有，即点在轴右侧，如图， 当时，可有，其图像开口向下，对称轴为， 若的长随的长的增大而增大，即的长随的增大而增大， 则，解得， 当时，可有，其图像开口向上，对称轴为，不符合题意； 若，可有，即点在轴左侧，如下图， 当时，可有，其图像开口向上，对称轴为， 若的长随的长的增大而增大，即的长随的减小而增大， 则，解得，∴． 综上所述，a的取值范围为且． 24、如图，在平面直角坐标系中，抛物线过点，与y轴交于点 C , 作直线BC，点E是线段OC中点，过点E的直线DE//BC且与x轴交于点D. （1）求抛物线解析式： （2）如图1，直线BC下方抛物线上有一点P，连接PD、PE，PD与BC交于点F，连接EF，将线段CE沿y轴平移，在平移过程中记CE为C'E'，当最大时，求周长的最小值： （3）如图2，在（2）的条件下，连接BP，将抛物线沿射线BC方向平移得到新抛物线，新抛物线 经过点C ，点G在DE延长线上，横坐标为 -3 ，点Q是新抛物线上一动点，若∠QGD = ∠PBC， 请直接写出所有符合条件的点Q的坐标，并写出其中一种情况的求解过程 . 图2 图1 解：（1）∵抛物线过点， ∴ ∴ ∴抛物线的解析式为 （2）过点P作PH//y轴交DE于点H 在中，令∴ 点E是线段OC中点，∴ ∵DE//BC，∴ ∴直线DE的解析式为中， 设 ∴ ∵开口向下，，∴当时，的面积最大，此时 将向上平移一个单位长度得，作关于轴的对称点 连接交轴于点，∴作周长的最小值为 （3） 由题意得： 当时， 联立 解得： 25、在△ABC中，AC = BC，AC⊥BC，D为AC边上一点，若点E为BA的延长线上一点，满足AE = CD，连接DE，将线段DE绕点D逆时针旋转90°得到线段DF，连接BF，EF. （1）如图1，若AB = 6 +，CD = 1，求点A到DE的距离. （2）如图1，试猜想线段CD，BF之间的数量关系，证明你的结论. （3）如图2，若D在直线AC上运动，连接BD，将△BCD沿BD所在直线翻折至△ABC所在平面内得到△BC'D，连接AC'，P，Q分别为AC'，BC中点，连接CP，AQ，当取最小值时，请直接写出此时的值. 解：（1）过D作DH⊥AB，垂足为H，过A作AG⊥DE，垂足为G ∵AB = 6 +，CD = 1 ∴AD = ， ∴DH =， 又 ∴AG = ∴A到DE的距离为 （2）过D作DT//BC交AB于T，连接FT 易证，△ADE≌△TDF ∴FT=AE=CD，BT=CD，且FT⊥AB ∴BF=CD， （3） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 綦江中学初2024级2026-2027学年（上期）第一学月测试 数学试题 （全卷共三个大题，满分150分，考试时间120分钟） 注意事项： 1．试题的答案书写在答题卡上，不得在试题卷上直接作答； 2．作答前认真阅读答题卡上的注意事项； 3．作图（包括作辅助线）请一律用黑色2B铅笔完成； 4．考试结束，由监考人员将试题卷和答题卡一并收回． 参考公式：抛物线的顶点坐标为，对称轴为直线． 一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1、下列气象生活指数图标中，文字上方的图案是中心对称图形的是（ ） A、 B、 C、 D、 2、一元二次方程的根为（ ） A、 B、 C、 D、无实数根 3、如图，已知，，结合圆的知识易知，的度数为（ ） A、 B、 C、 D、 4、二次函数的图象如图所示，下列结论中正确的是（ ） A、 B、 C、 D、 5、若是关于的一元二次方程，则的值为（ ） A、 B、 C、 D、 6、中国古代数学著作《九章算术》中记载：“今有大器五小器一容三斛，大器一小器五容二斛．问大小器各容几何．”意思是：有大小两种容器，已知5个大容器和1个小容器的总容量为3斛（斛是过去的一种量器），1个大容器和5个小容器的总容量为2斛．大小容器的容量分别是多少斛？设1个大容器的容量为斛，1个小容器的容量为斛，则可列方程组为（ ） A、 B、 C、 D、 7、醇类是由碳、氢、氧元素组成的一类有机化合物质，下图是这类物质的分子结构式，其中，，分别代表碳原子、氢原子、氧原子．第①个图中有4个氢原子，第②个图中有6个氢原子，第③个图中有8个氢原子，第④个图中有10个氢原子…按照此规律，第⑧个图中氢原子的个数是（ ） A、 14 B、16 C、18 D、20 8、若一元三次方程有三个实数根，，，则可以化为 ，由此可发现与系数，，，之间的关系为（ ） A、 B、 C、 D、 9、如图，正方形ABCD的边长为6，点E是BC边的中点，连接AE，点B关于直线AE的对称点为点N，连接EN并延长交CD于点F，连接CN并延长交AD于点G，连接AF交CG于点M，则MF长为（ ） A、 B、 C、 D、 10、已知整式：，其中，为正整数，，，，，为整数，，且．下列说法： ①当时，满足条件的所有整式的和为； ②当时，若函数的图象关于轴对称，则满足条件的整式有且仅有1个； ③满足条件的所有二次二项式中，若方程的根都是整数，则满足条件的整式共有2个． 其中正确的个数是（ ） A、 0 B、 1 C、 2 D、 3 二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上． 11、抛物线的顶点坐标是 . 12、写出一个两根分别为，的一元二次方程 ． 13、抛物线与轴有________个公共点． 14、若实数x，y同时满足，，则的值是___________． 15、已知正整数m，n满足，若m≠n，则m + n的最小值为 ，若此时为整数，则满足条件的所有整数k的和为 . 16、如图，四边形ABCD是平行四边形，点A，D在⊙O上，AD =12，BE经过圆心O，且BE⊥AD，垂足为E，OE =8．连接OC交⊙O于点F，连接FB并延长交⊙O于点G，BE=OC，则OB的长度为 ，BG的长度为 ． 三、解答题：（本大题9个小题，第17题、第18题各8分，其余每题10分，共86分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 17、解不等式组 ② ① 18、先化简，再求值：，其中. 19、 已知，是方程的两根，且. （1）求的值. （2）求的值. 20、 综合与实践 在数学世界里黄金分割宛如璀璨明珠，符合黄金分割比例的事物更具有比例性、艺术性与和谐性. 素材：若一个点将一条线段分成两段，较短一段与较长一段的比等于较长一段与整条线段的比，则这个点叫做这条线段的黄金分割点. 【动手操作】 如图，M是线段AB的中点．过B作l⊥AB，用尺规完成基本作图：在AB上方的直线l上截取BN=BM，连接AN，以N为圆心BN为半径作弧交AN于点P，再以A为圆心AP为半径作弧交AB于点C. 【问题提出】 猜想：点C为线段AB的黄金分割点． 【问题解决】 任务：（1）请你按照要求完成作图（保留作图痕迹，不写作法）； （2）请完成以上猜想的证明． 21、公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔8月份到10月份的销量，该品牌头盔8月份销售250个，10月份销售360个，8月份到10月份销售量的月平均增长率相同． （1）求该品牌头盔销售量的月平均增长率； （2）若此种头盔的进价为每个40元，当售价为每个60元时，月销售量为300个，经商家调查统计发现，若调整单价（单价为整数）：每降价1元，则月销售量将增加20个，如何定价才能使利润最大？最大利润的多少？ 22、请阅读下列材料，并按要求完成相应的任务： 人类对一元二次方程的研究经历了漫长的岁月．一元二次方程及其解法最早出现在公元前两千年左右的古巴比伦人的《泥板文书》中．到了中世纪，阿拉伯数学家花拉子米在他的代表作《代数学》中给出了一元二次方程的一般解法，并用几何法进行了证明．我国古代三国时期的数学家赵爽也给出了类似的几何解法．赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载了解方程即的方法．他构造了如图1所示的图形，图中大正方形面积是，其中四个全等的小矩形面积分别为，中间的小正方形面积为，所以大正方形的面积又可表示为，据此易得． 　 　　　　 （1）参照上述解法，下面①，②，③构图中，能够说明求解方程的正确构图是 ． ② ③ ① （2）请你通过上述问题的学习，在图2的网格中设计正确的构图，用几何法求解方程 （写出必要的思考过程）． 23、在平面直角坐标系中，抛物线经过原点O和点． （1）求c的值，并用含a的式子表示b； （2）过点作x轴的垂线，交抛物线于点M，交直线于点N． ①、若，，求MN的长； ②、已知在点P从原点O运动到点的过程中，MN的长随OP的长的增大而增大， 请直接写出a的取值范围． 24、如图，在平面直角坐标系中，抛物线过点，与y轴交于点 C , 作直线BC，点E是线段OC中点，过点E的直线DE//BC且与x轴交于点D. （1）求抛物线解析式： （2）如图1，直线BC下方抛物线上有一点P，连接PD、PE，PD与BC交于点F，连接EF，将线段CE沿y轴平移，在平移过程中记CE为C'E'，当最大时，求周长的最小值： （3）如图2，在（2）的条件下，连接BP，将抛物线沿射线BC方向平移得到新抛物线，新抛物线 经过点C ，点G在DE延长线上，横坐标为 -3 ，点Q是新抛物线上一动点，若∠QGD = ∠PBC， 请直接写出所有符合条件的点Q的坐标，并写出其中一种情况的求解过程 . 图1 图2 25、在△ABC中，AC = BC，AC⊥BC，D为AC边上一点，若点E为BA的延长线上一点，满足AE = CD，连接DE，将线段DE绕点D逆时针旋转90°得到线段DF，连接BF，EF. （1）如图1，若AB = 6 +，CD = 1，求点A到DE的距离. （2）如图1，试猜想线段CD，BF之间的数量关系，证明你的结论. （3）如图2，若D在直线AC上运动，连接BD，将△BCD沿BD所在直线翻折至△ABC所在平面内得到△BC'D，连接AC'，P，Q分别为AC'，BC中点，连接CP，AQ，当取最小值时，请直接写出此时的值. 图2 图1 学科网（北京）股份有限公司 $