精品解析：重庆滨江实验学校2026-2027学年九年级数上学期10月学情自测数学试题

南开重庆湾 2026-2027学年上期九年级第一次定时作业数学 （全卷共三个大题，满分150分，考试时间120分钟） 注意事项：1．试题的答案书写在答题卡上，不得在试题卷上直接作答； 2．作答前认真阅读答题卡上的注意事项； 3．作图（包括辅助线）请一律用黑色2B铅笔完成； 4．考试结束，由监考人员将试题卷和答题卡一并收回． 一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1. 下列四个数中，最小的数是（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2. 下列图形中是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 若两个相似三角形的相似比是，则这两个相似三角形的面积比是（ ） A. B. C. D. 4. 已知关于的一元二次方程，下列说法正确的是（ ） A. 方程有两个相等的实数根 B. 方程有两个不相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法确定 5. 如图，，，，，则的值为（ ） A. B. 4 C. D. 5 6. 如图是一组有规律的图案，图案（1）是由4个组成的，图案（2）是由7个组成的，那么图案（3）是由10个组成的…，按此规律，组成图案（8）的个数为：（ ） A. 23 B. 25 C. 27 D. 29 7. 下列有关特殊四边形的说法正确的是（ ） A. 对角线互相垂直的四边形是菱形 B. 邻边相等的矩形是正方形 C. 取平行四边形四条边的中点，顺次连接构成的四边形是矩形 D. 矩形的每一条对角线平分一组对角 8. 如图，学校课外生物小组的试验园地的形状是长35米、宽20米的矩形．为便于管理，要在中间开辟一横两纵共三条等宽的小道，使种植面积为600平方米，则小道的宽为多少米？若设小道的宽为米，则根据题意，列方程为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在边长为2的正方形中，在对角线上，且，连接并延长，交边于点，过作于，连接．为上一点，且为中点，则的值为（ ） A. B. C. D. 10. 已知整式M：，其中n，为正整数，，，…，均为自然数，且．下列说法： ①当，时，M的最大值为8； ②满足条件的所有二次整式中，当x取任意实数时，其值一定为非负数的整式M共有4个； ③满足条件的所有整式M的和为． 其中正确的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上． 11. 如图，，直线分别与，交于点E，F．若，则的度数为______． 12. 已知，则______． 13. 方程的解是________． 14. 如图，在矩形中，对角线，相交于点，于点，，则的大小是________． 15. 若p，q是一元二次方程的两个根，则的值是________． 16. 我们规定，若一个四位正整数各个数位上的数字互不相同，且满足千位数字与百位数字的2倍的和等于十位数字与个位数字的2倍的和的一半，则称这个四位数为“二倍数”，例如：四位数5164，因为，所以5164是“二倍数”．按照这个规定，最大的“二倍数”是__________．一个“二倍数”，将其千位数字与十位数字调换位置，百位数字与个位数字调换位置，得到一个新的四位数，将的千位数字与个位数字组成的两位数记为，十位数字与百位数字组成的两位数记为，记，，若被除余，且能被整除，则满足条件的“二倍数”为____________． 三、解答题：（本大题9个小题，第17题、第18题各8分，其余每题10分，共86分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 17. 解不等式组：，并写出它的所有整数解． 解：解不等式①，得：__________________； 解不等式②，得：__________________； 将不等式①和②的解集在数轴上表示如下： ∴该不等式组的解集为：__________________， ∴该不等式组的整数解为：__________________． 18. 用适当的方法解下列方程． （1） （2） 19. 先化简，再求值：，其中． 20. 在学习了矩形与菱形的相关知识后，学习小组进行了更深入的研究，他们发现：过菱形的顶点作对角线的垂线，与过对角线的交点作的平行线相交于一点，则点，，，所构成的四边形是矩形．根据他们的想法与思路，完成以下作图和填空： （1）如图，菱形的对角线交于点，射线，用尺规过点作的垂线，交于点，连接．（不写作法，保留作图痕迹） （2）求证：四边形是矩形． 证明：四边形是菱形， ，，． 又， ①________________． ，， ， 四边形是平行四边形， ②________________． 又， ③________________． 又， ④________________． ， ， 四边形是矩形． 21. 重庆市某校组织全校学生参加了“筑牢舌尖防线”的食品安全知识科普竞赛活动．现从该校八、九年级中各随机抽取名学生的竞赛成绩（百分制）进行整理、描述和分析．（成绩均不低于分，用表示，共分为三组：；；），下面给出了部分信息： 八年级名学生的竞赛成绩是： ． 九年级名学生的竞赛成绩在组的数据是： ． 八、九年级所抽取学生的竞赛成绩统计表 年级 八年级 九年级 平均数 中位数 众数 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中____，____，____； （2）根据以上数据，你认为该校八、九年级中哪个年级学生科普知识竞赛的成绩较好？请说明理由（写出一条理由即可）； （3）该校八年级有名学生、九年级有名学生参加了此次科普竞赛活动，请估计该校八、九年级参加此次科普竞赛活动成绩优秀（）的学生人数共是多少？ 22. 如图，中，是边上的高，，，作矩形，使它的一边在上，顶点G，H分别在、上，与的交点为M，且矩形长是宽的3倍． （1）求证：； （2）试求矩形的周长． 23. 公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔4月份到6月份的销量，该品牌头盔4月份销售100个，6月份销售144个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同． （1）求该品牌头盔销售量的月增长率； （2）若此种头盔的进价为30元/个，测算在市场中，当售价为40元/个时，月销售量为200个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少5个，为使月销售利润达到2625元，而且尽可能让顾客得到实惠，求该品牌头盔的实际售价应定为多少元/个？ 24. 文旅局举办“盛春赏景”打卡活动，以鼓励市民多进行室外运动，参加此次活动的斐斐同学将园博园路线绘制如下：打卡点在打卡点的正南方向米处；打卡点在打卡点的北偏西方向；打卡点在打卡点的正东方，同时在的东南方向；打卡点在的正北方米处，且恰好位于的北偏东方向．（参考数据：，，） （1）求打卡点、之间的距离；（结果保留整数） （2）打卡活动中，小郭从打卡点出发，沿线段向匀速奔跑；小周从打卡点出发，沿某方向匀速直线奔跑．两人同时出发，小郭与小周的速度之比为，并在线段上某处相遇．当两人相遇时，小郭跑了多少米？（结果精确到） 25. 如图1，在等腰中，，D是BC的中点，E为边AC上任意一点，连接DE，将线段DE绕点D逆时针旋转90°得到线段DF，连接EF，交AB于点G． （1）若，，求ED的长； （2）如图2，点G恰好是EF的中点，连接BF，求证：； （3）如图3，将沿DF翻折，使得点B落在点P处，连接AP、EP，若，当最小时，直接写出的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 南开重庆湾 2026-2027学年上期九年级第一次定时作业数学 （全卷共三个大题，满分150分，考试时间120分钟） 注意事项：1．试题的答案书写在答题卡上，不得在试题卷上直接作答； 2．作答前认真阅读答题卡上的注意事项； 3．作图（包括辅助线）请一律用黑色2B铅笔完成； 4．考试结束，由监考人员将试题卷和答题卡一并收回． 一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1. 下列四个数中，最小的数是（ ） A. B. 0 C. 1 D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：负数小于0，0小于正数，两个负数比较大小，绝对值大的数反而小， ∵，，且 ∴， ∴ 因此最小的数是. 2. 下列图形中是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，逐项判断即可． 【详解】解：A、该图形不是轴对称图形，故该选项不符合题意； B、该图形不是轴对称图形，故该选项不符合题意； C、该图形不是轴对称图形，故该选项不符合题意； D、该图形是轴对称图形，故该选项符合题意． 3. 若两个相似三角形的相似比是，则这两个相似三角形的面积比是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的性质，即相似三角形的面积比等于相似比的平方，由此即可得解，熟练掌握相似三角形的性质即可得解． 【详解】解：∵相似三角形的面积比等于相似比的平方，且相似比为， ∴面积比为， 故选：A． 4. 已知关于的一元二次方程，下列说法正确的是（ ） A. 方程有两个相等的实数根 B. 方程有两个不相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法确定 【答案】B 【解析】 【分析】计算一元二次方程根的判别式，根据其符号判断根的情况． 【详解】解：∵一元二次方程中，，，， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根． 5. 如图，，，，，则的值为（ ） A. B. 4 C. D. 5 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平行线截线段成比例，掌握其比例的计算方法是关键． 根据平行线截线段成比例得到，由此即可求解． 【详解】解：∵， ∴，即， ∴， 故选：D ． 6. 如图是一组有规律的图案，图案（1）是由4个组成的，图案（2）是由7个组成的，那么图案（3）是由10个组成的…，按此规律，组成图案（8）的个数为：（ ） A. 23 B. 25 C. 27 D. 29 【答案】B 【解析】 【分析】观察不难发现，后一个图案比前一个图案多3个基础图形，然后写出第8个图案的基础图形的个数即可． 【详解】由图可得，第1个图案基础图形的个数为4， 第2个图案基础图形的个数为， 第3个图案基础图形的个数为， …， ∴第8个图案基础图形的个数为， 故选：B． 【点睛】本题考查了规律型：图形的变化类，根据图像发现规律是解题的关键． 7. 下列有关特殊四边形的说法正确的是（ ） A. 对角线互相垂直的四边形是菱形 B. 邻边相等的矩形是正方形 C. 取平行四边形四条边的中点，顺次连接构成的四边形是矩形 D. 矩形的每一条对角线平分一组对角 【答案】B 【解析】 【分析】题目主要考查特殊四边形的判定和性质，熟练掌握特殊四边形的判定和性质是解题关键．逐一分析各选项是否符合特殊四边形的判定或性质． 【详解】解：A． 对角线互相垂直的平行四边形才是菱形，仅四边形对角线垂直不一定是菱形（如对角线垂直的梯形），故A错误． B． 矩形邻边相等时，四条边均相等且四个角为直角，符合正方形定义，故B正确． C． 平行四边形四条边中点连线构成的四边形是平行四边形（中点四边形性质），而非矩形，仅当原四边形对角线垂直时中点四边形为矩形，但平行四边形对角线不一定垂直，故C错误． D． 矩形对角线相等且平分，但仅当矩形为正方形时对角线平分对角，普通矩形对角线不满足此性质，故D错误． 故选：B． 8. 如图，学校课外生物小组的试验园地的形状是长35米、宽20米的矩形．为便于管理，要在中间开辟一横两纵共三条等宽的小道，使种植面积为600平方米，则小道的宽为多少米？若设小道的宽为米，则根据题意，列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】把阴影部分分别移到矩形的上边和左边，可得种植面积为一个矩形，根据种植的面积为600列出方程即可． 【详解】解：如图，设小道的宽为， 则种植部分的长为，宽为 由题意得：． 故选C． 【点睛】考查一元二次方程的应用；利用平移的知识得到种植面积的形状是解决本题的突破点；得到种植面积的长与宽是解决本题的关键． 9. 如图，在边长为2的正方形中，在对角线上，且，连接并延长，交边于点，过作于，连接．为上一点，且为中点，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先利用相似三角形求出的长，进而求出的长；再利用相似三角形求出的长，得到的长；最后通过作辅助线构造直角三角形求出的长，计算比值即可．  【详解】解：四边形是正方形，边长为2， ， ， ， ， 在中，， ， ， ， 又， ， ， ， ， ， 过点作于点， 在中，， 则， ， 在中，， . 10. 已知整式M：，其中n，为正整数，，，…，均为自然数，且．下列说法： ①当，时，M的最大值为8； ②满足条件的所有二次整式中，当x取任意实数时，其值一定为非负数的整式M共有4个； ③满足条件的所有整式M的和为． 其中正确的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】结合整式的概念，根据给定条件分类讨论，逐个验证三个说法的正确性即可． 【详解】解：由题意，为正整数，可得可取，逐个验证： ①当时， ∵， ∴， 其中为正整数，为自然数， ， 时，，  最大为，此时，故①正确； ②当是二次整式时，， ∵， ∴， 为正整数，为自然数， 所有二次整式为：， 判断恒非负性：，，，共4个满足恒非负，剩余两个均存在使值为负，故②正确； ③计算所有整式的和：  时，所有整式和为；  时，所有整式和为；  时，所有整式和为；  时，仅整式； 相加得：，故③正确． 综上，三个说法都正确，正确个数为． 故选：D． 二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上． 11. 如图，，直线分别与，交于点E，F．若，则的度数为______． 【答案】45 【解析】 【分析】根据对顶角相等得到，根据平行线的性质即可求出的度数． 【详解】解：由图可知，， ∵， ∴． 12. 已知，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了比例的性质，分式的求值，由已知可得，再代入分式计算即可求解，掌握比例的性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ， 故答案为 ． 13. 方程的解是________． 【答案】 ， 【解析】 【分析】将原方程移项整理后，用因式分解法求解即可. 【详解】解：移项得， 提取公因式因式分解得， ∴ 或， 解得，. 14. 如图，在矩形中，对角线，相交于点，于点，，则的大小是________． 【答案】 【解析】 【分析】根据矩形的性质得到，利用邻补角定义和等腰三角形的性质求出的度数，再根据直角三角形两锐角互余可得答案． 【详解】解：∵在矩形中，对角线，相交于点， ∴， ∴， ∵，， ∴， 在中，， ∵， ∴， ∴． 15. 若p，q是一元二次方程的两个根，则的值是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解的定义，根与系数的关系，由一元二次方程的解的定义推出，由根与系数的关系可得，再把所求式子变形为，据此利用整体代入法求解即可． 【详解】解：∵p，q是一元二次方程的两个根， ∴， ∴， ∴ ， 故答案为：． 16. 我们规定，若一个四位正整数各个数位上的数字互不相同，且满足千位数字与百位数字的2倍的和等于十位数字与个位数字的2倍的和的一半，则称这个四位数为“二倍数”，例如：四位数5164，因为，所以5164是“二倍数”．按照这个规定，最大的“二倍数”是__________．一个“二倍数”，将其千位数字与十位数字调换位置，百位数字与个位数字调换位置，得到一个新的四位数，将的千位数字与个位数字组成的两位数记为，十位数字与百位数字组成的两位数记为，记，，若被除余，且能被整除，则满足条件的“二倍数”为____________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】求最大的“二倍数”时，优先让高位数字尽可能大，结合“二倍数”定义和数位数字互不相等求解；对于满足条件的，先根据数位表示写出，，化简，结合“二倍数”定义得到整除条件，再利用能被整除的数的性质得到各位数字和的整除条件，枚举验证得到符合条件的即可解答． 【详解】解：根据“二倍数”定义，要使四位数最大，优先让千位取最大值，十位取最大的（为整数，则为偶数）， ，即， ∵各个数位上的数字互不相等， ，， ， 即， ，且为整数， 当时，，此时“二倍数”为； 当时，，此时“二倍数”为； ， 按照这个规定，最大的“二倍数”是； 对于满足条件的，有，， ，， ， ， ， ， 被除余， 能被整除， ， 能被整除， ，，且、均为整数， ，且为整数， 或， ，各个数位上的数字互不相等， 为偶数，即或或或或， 能被整除， ，即能被整除， ， ， 能被整除， 能被整除， （1）当时， ①时，，，，， 当能被整除时，即能被整除， 或或， 或或， 与是整数矛盾，无解； ②时，，，，， 当能被整除时，即能被整除， 或或， 或或， 与是整数矛盾，无解； ③时，，，，， 当能被整除时，即能被整除， 或或， 或或， 与是整数矛盾，无解； （2）当时， ①时，，与矛盾，不符合题意； ②时，，与矛盾，不符合题意； ③时，，，，， 当能被整除时，即能被整除， 或或或， 或或或， 或或或， 或或与矛盾，不符合题意； ，，四个数字，，，互不相同，符合条件，得； ④时，，数字重复，不符合题意； ⑤时，，，，， 当能被整除时，即能被整除， 或或， 或或， 或或， ，，数字重复，不符合题意；或与矛盾，不符合题意； 无解； 综上，满足条件的“二倍数”为． 三、解答题：（本大题9个小题，第17题、第18题各8分，其余每题10分，共86分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 17. 解不等式组：，并写出它的所有整数解． 解：解不等式①，得：__________________； 解不等式②，得：__________________； 将不等式①和②的解集在数轴上表示如下： ∴该不等式组的解集为：__________________， ∴该不等式组的整数解为：__________________． 【答案】解：， 解不等式①，得：； 解不等式②，得：； 将不等式①和②的解集在数轴上表示如下： ∴该不等式组的解集为：， ∴该不等式组的整数解为． 【解析】 【详解】略 18. 用适当的方法解下列方程． （1） （2） 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的解法，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）用配方法解方程即可； （2）用因式分解法解方程即可． 【小问1详解】 解： ， 解得 ，； 【小问2详解】 解： ， ， ，． 19. 先化简，再求值：，其中． 【答案】； 【解析】 【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把 的值代入进行计算即可． 【详解】解：原式 ， ， 当 时， 原式． 20. 在学习了矩形与菱形的相关知识后，学习小组进行了更深入的研究，他们发现：过菱形的顶点作对角线的垂线，与过对角线的交点作的平行线相交于一点，则点，，，所构成的四边形是矩形．根据他们的想法与思路，完成以下作图和填空： （1）如图，菱形的对角线交于点，射线，用尺规过点作的垂线，交于点，连接．（不写作法，保留作图痕迹） （2）求证：四边形是矩形． 证明：四边形是菱形， ，，． 又， ①________________． ，， ， 四边形是平行四边形， ②________________． 又， ③________________． 又， ④________________． ， ， 四边形是矩形． 【答案】（1）见解析； （2）；；；四边形是平行四边形． 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的性质，平行四边形的判定和性质，矩形的判定和性质，尺规作图等知识点，熟练掌握其性质是解决此题的关键． （1）由菱形的对角线互相垂直可知 ，利用作一个角等于已知角的方法即可作出 ； （2）由菱形的性质和平行线的性质先证出四边形是平行四边形和四边形是平行四边形，进而即可证出四边形是矩形． 【小问1详解】 解：如图即为所求， 【小问2详解】 解：证明：四边形是菱形， ，，． 又， ①． ，， ， 四边形是平行四边形， ②． 又， ③． 又， ④四边形是平行四边形， ， ， 四边形是矩形． 故答案为：；；；四边形是平行四边形． 21. 重庆市某校组织全校学生参加了“筑牢舌尖防线”的食品安全知识科普竞赛活动．现从该校八、九年级中各随机抽取名学生的竞赛成绩（百分制）进行整理、描述和分析．（成绩均不低于分，用表示，共分为三组：；；），下面给出了部分信息： 八年级名学生的竞赛成绩是： ． 九年级名学生的竞赛成绩在组的数据是： ． 八、九年级所抽取学生的竞赛成绩统计表 年级 八年级 九年级 平均数 中位数 众数 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中____，____，____； （2）根据以上数据，你认为该校八、九年级中哪个年级学生科普知识竞赛的成绩较好？请说明理由（写出一条理由即可）； （3）该校八年级有名学生、九年级有名学生参加了此次科普竞赛活动，请估计该校八、九年级参加此次科普竞赛活动成绩优秀（）的学生人数共是多少？ 【答案】（1） （2）八年级学生科普知识竞赛的成绩较好，理由见解析（答案不唯一） （3）名 【解析】 【分析】（）根据众数、中位数的定义可求出，用九年级竞赛成绩在组的人数除以总人数可求出的值； （）根据众数或中位数的意义分析比较即可求解； （）用样本估计总体的方法列式计算即可求解． 【小问1详解】 解：∵八年级名学生的竞赛成绩中分出现的次数最多， ∴众数， 由扇形统计图可知，九年级名学生的竞赛成绩在组的人数为人， 又∵九年级名学生的竞赛成绩由低到高排列，中位数为第和第个数的平均数， ∴中位数 ， ∵九年级名学生的竞赛成绩在组的人数为， ∴， ∴， 故答案为：，，； 【小问2详解】 解：八年级学生科普知识竞赛的成绩较好，理由如下：因为八年级学生科普知识竞赛的众数分大于九年级学生科普知识竞赛的众数分，所以八年级更好； 【小问3详解】 解： （名）， 答：估计该校八、九年级参加此次科普竞赛活动成绩优秀的学生人数共名． 22. 如图，中，是边上的高，，，作矩形，使它的一边在上，顶点G，H分别在、上，与的交点为M，且矩形长是宽的3倍． （1）求证：； （2）试求矩形的周长． 【答案】（1） 证明：∵四边形为矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2） 【解析】 【分析】（1）由矩形的性质可得，即得，，进而可得，再根据相似三角形的性质即可求证； （2）设设，，由相似三角形的性质可得，解方程求出x即可求解； 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：设，，则， ∵； ∴， 解得， ∴这个矩形的周长= 23. 公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔4月份到6月份的销量，该品牌头盔4月份销售100个，6月份销售144个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同． （1）求该品牌头盔销售量的月增长率； （2）若此种头盔的进价为30元/个，测算在市场中，当售价为40元/个时，月销售量为200个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少5个，为使月销售利润达到2625元，而且尽可能让顾客得到实惠，求该品牌头盔的实际售价应定为多少元/个？ 【答案】（1） （2）该品牌头盔的实际售价应定为45元 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，解题关键是准确理解题意，找出等量关系且熟练掌握解一元二次方程的方法． （1）设该品牌头盔销售量的月增长率为x，根据“4月份销售100个，6月份销售144个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同”列一元二次方程求解即可； （2）设该品牌头盔的实际售价为m元/个，根据月销售利润每个头盔的利润月销售量，即可得出关于m的一元二次方程，解之即可求出答案． 【小问1详解】 解：设该品牌头盔销售量的月增长率为x， 由题意得，， 解得或（舍去）， ∴该品牌头盔销售量的月增长率为； 【小问2详解】 解：设该品牌头盔的实际售价应定为元， 由题意得， 整理得， 解得或， ∵尽可能让顾客得到实惠， ∴， ∴该品牌头盔的实际售价应定为45元． 24. 文旅局举办“盛春赏景”打卡活动，以鼓励市民多进行室外运动，参加此次活动的斐斐同学将园博园路线绘制如下：打卡点在打卡点的正南方向米处；打卡点在打卡点的北偏西方向；打卡点在打卡点的正东方，同时在的东南方向；打卡点在的正北方米处，且恰好位于的北偏东方向．（参考数据：，，） （1）求打卡点、之间的距离；（结果保留整数） （2）打卡活动中，小郭从打卡点出发，沿线段向匀速奔跑；小周从打卡点出发，沿某方向匀速直线奔跑．两人同时出发，小郭与小周的速度之比为，并在线段上某处相遇．当两人相遇时，小郭跑了多少米？（结果精确到） 【答案】（1）米 （2）米 【解析】 【分析】（1）过点B作，交于点N，交于点J，过点C作，交于点M，过点N作于点L，过点A作于点H，在上取一点G，连接，使得，设，先证明，同理根据等角对等边可证明：，再证明四边形、四边形、四边形也是矩形，利用矩形的性质获得相等的线段，再利用直角三角形的知识在直角三角形中表示出、，进而有，根据，列方程，解方程即可求解； （2）设二者在V点相遇，过点V作于点R，利用表示出、，根据相同时间内行走的距离之比等于速度之比，得，在中，，据此列方程即可求解． 【小问1详解】 解：如图，过点B作，交于点N，交于点J，过点C作，交于点M，过点N作于点L，过点A作于点H，在上取一点G，连接，使得， 设， 根据方向角的描述可知：，，，， ∵，点在打卡点的正东方，， ∴，， ∴根据方向角描述：， ∵， ∴， ∴，即， 同理根据等角对等边可证明：， ∵，，， ∴四边形是矩形， 同理可证明：四边形 、四边形也是矩形， ∴，，，，， ∴， ∴，， ∵在矩形中，， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴ ， ∴ ，， ∴， ∵ ，， ∴ ， 解得，即， ∵，， ∴在中， （米）； 【小问2详解】 根据（1）可得：， ∴在中，， 如图，设二者在V点相遇，过点V作于点R， ∵，， ∴， ∵， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∵小郭与小周的速度之比为， ∴根据相同时间内行走的距离之比等于速度之比，得， 即 ， ∵在中，， ∴， 解得： （米）（ ，不符合题意，舍去）， 答：当两人相遇时，小郭跑了米． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，理清题中各个角度的关系，注意解答时不能先入为主的直接在给出的图形上作辅助线解答． 25. 如图1，在等腰中，，D是BC的中点，E为边AC上任意一点，连接DE，将线段DE绕点D逆时针旋转90°得到线段DF，连接EF，交AB于点G． （1）若，，求ED的长； （2）如图2，点G恰好是EF的中点，连接BF，求证：； （3）如图3，将沿DF翻折，使得点B落在点P处，连接AP、EP，若，当最小时，直接写出的面积． 【答案】（1） （2） 证明：过点E作交AB于点M，过点D作交AC于点N， 为等腰直角三角形， ． ， ． ， ． 在和中，， ≌（SAS）， ，． , ≌（AAS）， ，， ． ， ， ， ， 是等腰直角三角形，， ， ． ，D是BC的中点， ， ． 在等腰中，， ． （3） 【解析】 【分析】（1）作交BC于点H，得到，在等腰中，得出，，再证明是等腰直角三角形，得出，在中，利用勾股定理求解即可； （2）过点E作交AB于点M，过点D作交AC于点N，根据为等腰直角三角形，推出，再证明≌（SAS），≌（AAS），得出，，证明出是等腰直角三角形，，再根据，D是BC的中点，得出，在等腰中即可求解； （3）P点的运动轨迹为圆，当A、P、D三点共线时，的值最小，由折叠的性质知≌，延长交于点，证明，在中进行求解． 【小问1详解】 解：作交BC于点H， ． 在等腰中， ， ，． D是BC的中点， ． ， ． ， 是等腰直角三角形， ， ． 在中，． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图， 点是以为半径，为圆心的圆作为轨迹， 当A、P、D三点共线时，的值最小． 由折叠的性质知， 延长交于点， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 过点作的垂线交于点， 在中，设， 由勾股定理得：， ， ， ， 的面积：． 【点睛】本题考查了图形的旋转，圆、翻折、三角形的全等的判定及性质、锐角三角函数问题、等腰直角三角形、勾股定理、平行线的性质、对顶角，知识点涉及较多，综合性较强，解题的关键是掌握相应的性质定理，做到灵活运用． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $