复数专项训练-2027届高三数学一轮复习

复数测试 （测试时间120分钟，总分150分） 姓名：___________班级：___________ 一、单选题（每题5分，共40分） 1．若，其中a，，i为虚数单位，则（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．已知复数，则下列说法正确的是（    ） A． B．的虚部为 C． D．是纯虚数 3．已知复数满足（其中为虚数单位），则（    ） A． B． C． D． 4．的虚部为（    ） A． B． C． D． 5．复数，则z的虚部为（    ） A．3 B． C． D． 6．已知复数满足（其中为虚数单位），则（     ） A． B． C． D． 7．已知复数，则复数所对应的点在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 8．设复数与在复平面内对应的点分别为，，若，则（     ） A． B． C． D． 二、多选题（每题6分，共18分） 9．已知复数在复平面内对应的点分别为和，则（   ） A． B．的虚部为1 C．存在，使得 D．在复平面内对应的点不可能在第四象限 10．已知复数（i为虚数单位），则下列说法正确的是（    ） A． B．复数z的虚部为-4 C．若对应的向量为，i对应的向量为，则向量对应的复数为 D．若复数是关于的方程的一个根，则 11．若复数满足，则（    ） A．可能为实数 B．可能为纯虚数 C．当的实部取得最大值时，为实数 D．当的虚部取得最大值时，不为纯虚数 三、填空题（每题5分，共15分） 12．已知复数z满足，则_______. 13．已知（，，i为虚数单位），则_________. 14．已知且，则的最大值是______________． 四、解答题（共77分） 15．（13分）在复平面内，复数对应的点满足以下条件时，分别求实数的取值范围． (1)在虚轴上； (2)在第二象限； (3)在的图象上 16．（15分）设复数，． (1)若是实数，求； (2)若是纯虚数，求的共轭复数． 17．（15分）已知，，，复数（i为虚数单位，），已知复数为纯虚数. (1)求m的值； (2)求向量在向量方向上的投影向量的坐标. 18．(17分）（1）已知为虚数单位，，求. （2）已知在平面直角坐标系内与，若向量与的夹角为钝角，求实数的取值范围 19．（17分）已知复数. (1)当为纯虚数时，求的值； (2)当时，是关于的方程的一个根，求实数的值. 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 《复数测试》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B D A C D C B B AD ABD 题号 11 答案 ABD 1．B 【详解】因为，所以 ，，所以 . 2．D 【详解】因为，所以，故A错误； 的虚部为，故B错误； ，故C错误； ，故是纯虚数，故D正确. 3．A 【分析】根据虚数的幂次运算性质及复数的乘法和除法运算，结合共轭复数的定义求解即可. 【详解】， 分母实数化得， 所以. 4．C 【详解】，其虚部为. 5．D 【详解】， 所以虚部为． 6．C 【分析】先根据给定的复数等式求解出复数，再利用复数模的计算公式计算的值即可. 【详解】由可知，且. 展开得，化简得. 则， . 7．B 【分析】首先化简复数，再结合复数的几何意义，即可判断. 【详解】， 所以复数所对应的点为，在第二象限. 8．B 【分析】设，根据复数的乘方运算法则及复数的对应点的坐标列得关于的方程，求得的值，从而求得. 【详解】设，则. 所以，所以， 所以， 由②得， 所以或. 当时，由①得，即， 因为，所以该方程无实数解； 当时，，所以， 所以. 综上所述，. 9．AD 【详解】由题设. 对于A，显然，于是，故A正确； 对于，其虚部为，故B错误； 对于C，，故C错误； 对于， 若其在复平面内对应的点在第四象限，则,不等式组无解，故D正确． 10．ABD 【详解】A选项，，所以A正确； B选项，复数（i为虚数单位）虚部为，所以B正确； C选项，由题意，又，则向量， 故向量对应的复数为，所以C不正确； D选项，若复数是关于的方程的一个根， 则，且也为方程的根， 故，所以，即，所以D正确. 11．ABD 【分析】本题设复数，利用复数模的公式化简得到$a，b$满足的二元二次方程，再分别令、，通过判别式判断方程有解，验证A、B选项成立；接着对方程配方得到圆的标准形式，用三角换元表示，据此求出、的最大值并验证取等条件下是否为实数、纯虚数，进而判定C错误、D正确. 【详解】对于A，设，由题设得. 于是. 当时，， 显然方程有实数解，则可能为实数，故A正确； 对于B，当时，， 显然方程有实数解，且解不为0，则可能为纯虚数，故B正确； 对于C，因为 所以即， 可设，所以. 当且仅当时等号成立，此时，不为实数，故C错误； 对于D，由C项分析，知，当且仅当时等号成立， 此时，不为纯虚数，故D正确． 12． 【详解】复数z满足，则有， 所以. 13．0 【详解】依题意， 则，解得，所以. 14． 【分析】利用复数模的几何意义，将问题转化为圆上动点到定点的距离最大值问题，即圆心到定点的距离与半径之和. 【详解】由可知，复数对应的点的轨迹是以为圆心，半径的圆； 表示点到定点的距离； 因为； 所以的最大值为. 15．(1)或 (2) (3) 【详解】（1）由复数对应的点在虚轴上，则，即，则或； （2）由复数对应的点在第二象限，则，即，则； （3）由复数对应的点在的图象上，则，即，则. 16．(1) (2) 【分析】（1）先求出a，再代入计算即可； （2）根据条件求出a，再求共轭复数即可. 【详解】（1），是实数， ，即， . （2）. 是纯虚数， 且，即， ，的共轭复数为 17．(1) (2) 【分析】（1）应用向量数量积的坐标运算求出，再由纯虚数的定义列方程求参数值； （2）由投影向量的定义及向量的坐标运算求投影向量. 【详解】（1）由题意， 若复数为纯虚数，则，解得. （2）当时，， 所以在上的投影向量. 18.【分析】（1）利用复数的运算可得答案； （2）求出向量坐标，结合数量积运算和共线的坐标表示可求答案. 【详解】（1）因为，所以，所以 （2）因为，，所以， 因为向量与的夹角为钝角，所以且不反向， ，解得； 若向量与共线，则，解得，此时向量与反向， 所以实数的取值范围是 19．(1) (2) 【分析】（1）先化简，再根据纯虚数的定义求解即可； （2）当时，，代入方程求解即可. 【详解】（1）由， 因为为纯虚数，所以，解得. （2）当时，， 因为是关于的方程的一个根， 将代入方程，得， 则， 所以，解得 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $