第2章·特殊三角形·期中复习·满分压轴讲义（知识梳理+典例+练习）·2026-2027学年浙教版八年级数学上册

第2章·特殊三角形·期中复习·满分压轴讲义 （知识梳理+典例+练习）·2026-2027学年浙教版八年级数学上册 参考答案与试题解析 📌 思维导图 🎯 课程目标 · 熟练运用等腰三角形「等边对等角」「三线合一」进行边角计算与证明 · 掌握等边三角形、直角三角形的性质，会用斜边中线等于斜边一半及HL判定 · 灵活运用勾股定理及其逆定理，解决折叠、网格、坐标与实际测量问题 · 掌握最短路径问题的轴对称转化，能在折叠问题中抓住等量关系列方程 · 综合全等三角形辅助线与角平分线性质，处理新定义、探究类压轴题 📚 知识梳理 ☆ 1.等腰三角形 · 性质：等边对等角；等腰三角形顶角平分线、底边上的中线、高互相重合（三线合一） · 判定：等角对等边；有两条边相等的三角形是等腰三角形 · 等腰三角形常作底边高/中线，构造直角三角形用勾股定理 · 一个三角形被一条线段分成两个等腰三角形时，按角度关系设元求解 概念辨析例题：等腰三角形一内角为80°，则顶角为____ 答案：80°或20° 解析：若80°为顶角则底角50°；若80°为底角则顶角为180°−2×80°=20°，故顶角为80°或20°。 ☆ 2.等边三角形 · 等边三角形三边相等，三个内角都等于60° · 判定：三边相等；三个角都相等；有一个角是60°的等腰三角形 · 等边三角形的高、中线、角平分线三线合一，高h=√3/2a · 面积法常用于证明线段相等（如利用面积相等求高） 概念辨析例题：等边△ABC边长为4，则高AD=____，面积=____ 答案：2√3；4√3 解析：由三线合一BD=2，AD=√(AB2−BD2)=√(16−4)=2√3，面积=1/2×4×2√3=4√3。 ☆ 3.直角三角形 · 直角三角形两锐角互余；有两个角互余的三角形是直角三角形 · 斜边中线等于斜边的一半；30°角所对直角边等于斜边一半 · HL判定：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等 · 见斜边中点常连斜边中线，构造等腰三角形 概念辨析例题：Rt△ABC中∠C=90°，D为AB中点，CD=5，则AB=____ 答案：10 解析：直角三角形斜边中线等于斜边一半，CD=1/2AB，故AB=2CD=10。 ☆ 4.勾股定理及其逆定理 · 勾股定理：直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方，a2+b2=c2 · 逆定理：若三角形三边a、b、c满足a2+b2=c2，则这个三角形是直角三角形 · 勾股数：3,4,5；5,12,13；8,15,17 等常见整数组 · 求边长时先判断是否直角三角形，再选定理或逆定理 概念辨析例题：三角形三边长为6,8,10，则它是____三角形，最长边上的高为____ 答案：直角；4.8 解析：62+82=36+64=100=102，由逆定理为直角三角形；面积=1/2×6×8=24，最长边上的高h=2×24÷10=4.8。 ☆ 5.勾股定理的应用 · 折叠问题：折叠前后对应边、对应角相等，设未知数后在直角三角形中列方程 · 最短路径：作对称点把同侧两点化为异侧，连线与直线交点即所求 · 网格问题：把斜线段放在直角三角形中用勾股定理求长度 · 实际问题（航海、梯子、修路）抽象为直角三角形建模求解 概念辨析例题：长方形纸片ABCD中AB=8,BC=6，沿AE折叠使B落在CD上，则BE=____ 答案：需按勾股定理列方程求解 解析：折叠后AB=AB′=8，在Rt△ADB′中求DB′，再在小直角三角形中设BE=x列勾股方程。 📋 知识总结表 核心概念 性质/判定 注意事项 等腰三角形 等边对等角；三线合一 分类讨论顶角/底角 等边三角形 三边相等，三角60° 高=√3/2边长 直角三角形 两锐角互余；斜边中线=斜边一半 HL只用于直角三角形 勾股定理 a2+b2=c2 仅直角三角形适用 逆定理 a2+b2=c2→直角三角形 先找最长边 折叠问题 对应边/角相等 设元列勾股方程 最短路径 轴对称化同侧为异侧 连线与直线交点 格点问题 斜线段放入直角三角形 数格子定直角边 ⚠️ 核心考点 【考点1】等腰三角形的性质与判定（第1-8题） · 等边对等角求角，注意分顶角、底角两种情况 · 三线合一：作底边高同时得到中线和角平分线 · 等角对等边判定等腰，常用于证明边相等 · 见等腰常作底边高构造直角三角形用勾股定理 1．（2025·浙江·模拟预测）如图，在中，，于点D．若的周长为20，，则的长为_____ ． 【答案】8 【知识点】等腰三角形的性质和判定 【分析】本题考查了等腰三角形的性质与判定等知识，根据题意添加辅助线，构造等腰三角形是解题关键．在上取点E，使，分别证明，，即可求出，则﹒ 【详解】解：如图，在上取点E，使， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵的周长为20， ∴﹒ 故答案为：8 2．（23-24八年级上·北京海淀·期中）如果1条线段将一个三角形分成2个等腰三角形，那么这1条线段称为这个三角形的“分割线”；如果2条线段将一个三角形分成3个等腰三角形，那么这2条线段称为这个三角形的“黄金分割线”． (1)填空：等边三角形_________（填“存在"或“不存在”）“分割线”；顶角为钝角的等腰三角形________（填“存在”或“不存在”）“黄金分割线”． (2)在中，，为钝角，若这个三角形存在“分割线”，直接写出的所有可能______． 【答案】(1)不存在；存在 (2)或或 【知识点】代入消元法、三角形的外角的定义及性质、等边对等角、等边三角形的性质 【分析】（1）画出图形，证明在中，三个内角满足：，即不可能是等腰三角形，以及在中，三个内角满足：，即不可能是等腰三角形，从而得到等边三角形不存在“分割线”；画出图形，设，，列出二元一次方程组，解方程求出相应的角度，即可证明顶角为钝角的等腰三角形存在“黄金分割线”； （2）根据为钝角，可知三角形的“分割线”必经过B点，分三种情况讨论：当，时，当，时，当，时，分别画出图形，求出相应的角的度数即可求解． 【详解】（1）解：等边三角形不存在“分割线”，理由如下： 如图，等边被直线所截，且点D在线段（不含端点B、C）上    在等边中，有， 由图可知：， 同理有：， 由图可知：， 同理有：， 即在中，三个内角满足：， 即不可能是等腰三角形； 即在中，三个内角满足：， 即不可能是等腰三角形； 即等边三角形不存在“分割线”； 顶角为钝角的等腰三角形存在“黄金分割线”，理由如下： 如图，等腰的“黄金分割线”为，，为钝角， 设，，相应的角标注如图，    根据平角为180°和三角形内角和为180°可得：， 解得：， 即，则：， ∴根据方程有解，可得顶角为钝角的等腰三角形存在“黄金分割线”； （2）解：第一种情况：当，时，如图所示： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 第二种情况：当，时，如图所示： ∴，， ∵， ∴， ∴； 第三种情况：当，时，如图所示： ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 综上：的可能值为：或或． 【点睛】本题主要是考查了等腰三角形的性质，等边三角形的性质，二元一次方程组的应用等知识，充分理解题目所给出的新定义是解答本题的关键． 3．（24-25八年级上·浙江金华·期中）在中，，． (1)如图，为边上一定点不与点，重合，将沿翻折至，连接，求与的数量关系． (2)如图，当点在边上运动时，仍将沿翻折至，连接． ①当时，求的度数． ②当为等腰三角形时，求的度数． 【答案】(1) (2)①55度或35度；②或或或 【知识点】三角形的外角的定义及性质、三角形内角和定理的应用、等边对等角、折叠问题 【分析】（1）由等腰三角形的性质可得，由折叠的性质可得，由等腰三角形的性质可求解； （2）①由等腰三角形的性质可得，可得，由余角的性质可求解； ②分别求出的三个内角，由等腰三角形的性质列出等式，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ， ∵D为边上一定点不与点，重合，将沿翻折至， ， ， ， ； （2）解：①如图，当点在下方时， ， ， ， 由（1）知， ， ； 当点在上方时，如图， ， ， 当点在边上运动时，仍将沿翻折至， ∴， ； ②当点在下方时， 设，则， ， ， ， ； 若时，如图，则， ， ， 若时，如图，则， ， ； 当时，则， ，则方程无解； 当点在上方时， 设， 当点在边上运动时，仍将沿翻折至， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ， ， ， 若时，如图，则， ， ； 若时，如图，则， ， ； 当时，如图，则， ，则方程无解， 同理可得：的度数为或． 综上所述：的度数为或或或． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，三角形外角的性质，折叠的性质等知识点，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键． 4．（24-25八年级下·安徽宿州·阶段检测）在中，，，作等腰，使． (1)如图，若与互余，则 ______用含有的式子表示； (2)如图，若与互补，过点作于点，求证：； (3)若与的面积相等，则的度数为多少？ 【答案】(1) (2) 证明：过点作于点，如图所示： 在中，， ， ， 在中，， 在中，于点， ， 与互补， ， ， 即， ， 于点于点， ， 在和中， ， ， ， 又， ； (3)若与的面积相等，则的度数为或 【知识点】三角形内角和定理的应用、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、全等的性质和HL综合（HL）、等腰三角形的性质和判定 【分析】（1）先根据等腰三角形性质及三角形内角和定理求出，根据与互余得，再根据即可得出答案； （2）过点作于点，根据等腰三角形性质，先证明，进而依据“”判定和全等得，由此即可得出结论； （3）依题意有以下两种情况：当与都是锐角三角形时，过点作于点，过点作于点，先由与的面积相等得，进而依据“”判定和全等得，即当是锐角三角形，是钝角三角形时，过点作于点，过点作，交的延长线于点，先由与的面积相等得，进而依据“”判定和全等得，再根据得，综上所述即可得出答案． 【详解】（1）解：在中，， ， 与互余， ， ， 故答案为：； （2）略． （3）若与的面积相等，则的度数为或，理由如下： 依题意有以下两种情况： 当与都是锐角三角形时， 过点作于点，过点作于点，如图所示： ， ， 与的面积相等， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， 即； 当是锐角三角形，是钝角三角形时， 过点作于点，过点作，交的延长线于点，如图所示： ， ， 与的面积相等， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， 即 ， ， 综上所述：若与的面积相等，则的度数为或． 【点睛】此题主要考查了等腰三角形的性质，列代数式，余角和补角，全等三角形的判定和性质，理解等腰三角形的性质，余角和补角定义，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解决问题的关键，正确地添加辅助线构造全等三角形，分类讨论是解决问题的难点． 5．（25-26八年级下·全国·课后作业）作图题 (1)如图（1），已知和线段a，请用尺规作一个等腰三角形，使它的一个内角等于，腰长等于a． (2)在（1）中，如果把变成图（2）中的，其他条件不变呢？ 【答案】(1)和都是所求三角形 (2)是所求三角形 【知识点】作等腰三角形(尺规作图) 【分析】（1）这样的等腰三角形有两种情况：①锐角为等腰三角形底角时：作法：作，截取．以为圆心，为半径画弧交于点，连接，则即为以为底角，为腰的等腰三角形．②锐角为等腰三角形顶角时：作法：作，在角的两边上分别截取．连接，即为以为顶角，为腰的等腰三角形． （2）这样的等腰三角形只有一个，此时是等腰三角形的顶角．作法：作，分别截取．连接，即为以为顶角，为腰的等腰三角形． 【详解】（1）略 （2）略 6．（23-24八年级上·河南新乡·期中）如图，在正方形网格中，A，B两点都在小方格的顶点上，如果点C也是图中小方格的顶点，且是等腰三角形，那么点C的个数有______个． 【答案】3 【知识点】格点图中画等腰三角形 【分析】本题考查根据线段构造等腰三角形，可分别以①为底，②为腰，A为顶角顶点，③为腰，B为顶角顶点，这三种情况构造等腰三角形，即可找出点C． 【详解】解：①以为底，作的垂直平分线，可找出格点C一个，如图所示： ②为腰，以A为圆心，为半径画弧，可找出格点C一个，如图所示： ③为腰，以B为圆心，为半径画弧，可找出格点C一个，如图所示： 综上所述，点C的个数有3个， 故答案为：3． 7．（24-25八年级上·广西贺州·期末）已知：如图，，并且，则的度数为______． 【答案】/度 【知识点】三角形的外角的定义及性质、等边对等角 【分析】本题考查等腰三角形的性质和三角形外角的性质，分别根据等腰三角形的性质和三角形外角的性质可得结论． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ ∵ ∴， ∴， 故答案为：． 8．（23-24八年级下·内蒙古呼和浩特·阶段检测）如图，是等边的边上的高，以点D为圆心，长为半径作弧交的延长于点E，则______． 【答案】/30度 【知识点】等边对等角、等边三角形的性质 【分析】本题主要考查等边三角形的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握性质定理是解题的关键．根据等边三角形得到，根据三线合一得到的度数即可得到答案． 【详解】解：在等边中，， 是等边的边上的高， 平分， ， ， ， 故答案为：． 【考点2】直角三角形性质与勾股定理（第9-14题） · 两锐角互余；斜边中线等于斜边一半 · HL判定直角三角形全等 · 在直角三角形中已知两边求第三边用勾股定理 · 判断直角三角形用逆定理，先找最长边 9．（23-24八年级上·湖北武汉·期末）如图，中，，，点D，E分别在边，上，，，若，，则四边形的面积是________． 【答案】48 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、全等的性质和HL综合（HL）、用勾股定理解三角形 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理，准确分析证明是解题的关键．过点D作，证明得出，，证明，得出，根据勾股定理求出，设，则，根据勾股定理得出，求出，得出答案即可． 【详解】解：过点D作，如图所示： ∴， ∵， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：，负值舍去， 设，则， 在中，， 即， 解得：， ∴． 故答案为：48． 10．（24-25八年级上·浙江温州·期中）如图，在中，和的平分线交于点，过点作的平行线交于点，交于点，则的周长为_____． 【答案】17 【知识点】两直线平行内错角相等、根据等角对等边求边长、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查勾股定理、角平分线的性质和平行线的性质，解题的关键是利用角平分线和平行线的性质得到等腰三角形，进而将的周长转化为的长度． 利用勾股定理求出，根据角平分线的定义和平行线的性质可得和是等腰三角形，从而可得，进而可得的周长，然后进行计算即可解答． 【详解】解：∵中，， ， ∵平分平分， ， ， ， ， ， ， 的周长 ． 故答案为：17． 11．（24-25八年级上·浙江杭州·期中）如图，在中，，点，分别在，上，且，将沿折叠，点恰好落在边上的点处，与交于点．下列结论：其中正确的结论有______．（填序号） ； 若，则； 若，，则； 若，，则． 【答案】 【知识点】等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形、斜边的中线等于斜边的一半、折叠问题 【分析】 是的中线，即可求解； ，则则 ，即可求解；勾股定理求得，，即可求解；勾股定理求得 ，进而根据是的中线，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，故正确； ∵， ∴，， ∴， 则，故正确； ， ∴， ∵，， ∴， 设，则， ∴ ∴， 解得：， ∴，故不正确； ，， 则由勾股定理得， ∴，故正确， 综上可知：正确， 故答案为：． 【点睛】本题考查了翻折变换，直角三角形中线定理，勾股定理，等腰三角形的性质与判定，熟练掌握以上知识是解题的关键． 12．（24-25八年级上·浙江杭州·阶段检测）如图，在中，高交于点，若的面积为，则的长为______． 【答案】 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、锐角互余的三角形是直角三角形 【分析】本题考查全等三角形证判定及性质，直角三角形的判定，三角形面积公式等，熟练掌握全等三角形证判定及性质是解题的关键．以为边，点为顶点作，延长与交于点，先通过角度等量代换证明，再依据全等三角形证明，进而利用三角形面积公式即可求解． 【详解】解：如图，以为边，点为顶点作，延长与交于点， 则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵是的高， ∴， ∴ ∵，， ∴（）， ∴． ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 13．（22-23八年级上·江苏宿迁·阶段检测）如图，为线段上一动点，分别过点、作，，连接、，已知，，，设． (1)用含的代数式表示的长； (2)请问点满足什么条件时，的值最小？ (3)根据（2）中的规律和结论，请构图求出代数式的最小值． 【答案】(1) (2)当A，C，E三点共线时 (3)13 【知识点】算术平方根的实际应用、三角形三边关系的应用、用勾股定理解三角形 【分析】（1）根据题意，，，，设．得到，利用勾股定理解得即可． （2）连接，根据当，当三点共线时，的值最小． （3）根据，构造．如图所示，当A，C，E三点共线时，最小，计算即可． 本题考查了勾股定理，两点之间线段最短等知识，也考查了数形结合的思想，求形如的式子的最小值，可通过构造直角三角形，利用勾股定理求解，掌握上述知识是解题的关键． 【详解】（1）解：根据题意，，，，，设．得到， 利用勾股定理，得， ． ∴． （2）解：根据题意，连接，根据当，当三点共线时，的值最小． 故条件为三点共线． （3）解：根据， 构造．如图所示， 当A，C，E三点共线时，最小， 延长到点F，过点A作于点F， 则四边形是长方形， 故． 故． 14．（25-26八年级上·福建福州·期中）如图，在中，，、分别在、上，连接，若，则是________三角形． 【答案】直角 【知识点】三角形内角和定理的应用、锐角互余的三角形是直角三角形 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理和直角三角形的判定，掌握这些是解题的关键． 根据三角形内角和定理得到，进而等量代换得到，进一步推出，由此可得结论． 【详解】解：在中，， ， ， ， ， 是直角三角形． 故答案为：直角． 【考点3】勾股定理综合应用（第15-21题） · 网格问题把斜线段放在格点直角三角形中求长 · 坐标问题用横纵坐标差作为直角边 · 函数图象与坐标轴交点问题，交点到原点距离用勾股 · 弦图背景用完全平方公式与勾股结合 15．（2025·浙江宁波·模拟预测）在某海防观测站的正东方向12海里处有A，B两艘船相会之后，A船以每小时12海里的速度往南航行，B船以每小时3海里的速度向北漂流，则经过______________h后，观测站及A，B两船恰成一个直角三角形． 【答案】2 【知识点】解决航海问题(勾股定理的应用) 【分析】此题考查了勾股定理的应用，如图所示，O为观测站，海里．设经过后，观测站及A，B两船恰成一个直角三角形，则，利用勾股定理得到，解方程即可求出答案． 【详解】解：如图所示，O为观测站，海里． 设经过后，观测站及A，B两船恰成一个直角三角形，则， ∴在中，， 在中，， 在中， ， 解得或（舍去）． ∴经过后，观测站及A，B两船恰成一个直角三角形．、 故答案为： 16．（21-22九年级·浙江·自主招生）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点是正比例函数图象上一动点，点是轴上一动点，则周长的最小值为_____． 【答案】 【知识点】正比例函数的性质、用勾股定理解三角形、根据成轴对称图形的特征进行求解 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，坐标与图形性质，勾股定理，轴对称确定最短路线问题．作点关于直线的对称点，关于轴的对称点连接交直线于，交轴于，此时的周长最小，据此求解即可． 【详解】解：作点关于直线的对称点，关于轴的对称点，连接交直线于，交轴于，如图： ，， ， 、、、四点共线， 最小，即周长最小，最小值为的长度， 由知，， ， 周长最小为， 故答案为：． 17．（24-25八年级上·浙江金华·期中）如图，在长方形中，，，，点P从点A出发，沿A→B→C→D路线运动，到点D停止，点P出发时的速度为每秒，a秒时点P的速度变为每秒，图②是点P出发x秒后，的面积与x（秒）的函数图象． (1)根据题目中提供的信息，请直接写出a，b，c，d的值； (2)设点P运动的路程为，请写出点P出发后，y与x的函数表达式； (3)当点P出发几秒后，以点C，D，P为顶点的三角形是等腰三角形． 【答案】(1)，，，； (2)； (3)当出发4秒，9秒，12秒时，是等腰三角形． 【知识点】几何问题(一元一次方程的应用)、动点问题的函数图象、用勾股定理解三角形 【分析】（1）根据三角形的面积公式可求，根据路程、速度、时间的关系可求的值； （2）确定与的等量关系后列出关系式即可； （3）先计算的面积，然后将计算出来的数值代入所求函数的不同分段，解出对应的的值，若解出的值在对应的分段区间内，则的值即为所求的解，反之则不是,分类讨论即可． 【详解】（1）解：∵出发时速度为，由图②得当为48时，对应的时间为秒， ∴图①中，， 即， ∴， ∵在上运动时， 面积不变，因此图②中水平线段表示在上运动时对应的与之间关系， ∴表示运动到了点，由至14即由8秒到14秒共6秒钟，面积由增加至，增加了，即， ∴， 在上速度为， ， ∴， 当运动到时停止，此时，即对应图②中秒， 在上速度为， ， ∴， 即，，，； （2）解：前8秒速度为， ，8秒后速度为， ∴， 因此； （3）解：如图③当时， 中， ∴， ∴， 同理当时， 中，， ∴， ， 当时， 在的垂直平分线上， 即为的中点， ， ∴， ， 即当出发4秒或9秒或12秒时，是等腰三角形． 【点睛】本题考查了矩形的性质，三角形的面积，路程、速度、时间的关系，用函数关系式表示变量间的关系及分类讨论的数学思想．此题为一动点运动分析问题，解题时从动点的运动形式上找出规律，分析不同分段区间时的运动性质，找出等式关系列出方程组解出方程解析式． 18．（24-25八年级上·浙江杭州·阶段检测）如图，在中，，，．建立以点为坐标原点，所在直线为轴的平面直角坐标系， (1)求，两点的坐标． (2)在轴上找一点，使面积为，求点的坐标． (3)找一点（不与重合），使与全等，求点的坐标． 【答案】(1)， (2) (3)或或 【知识点】写出直角坐标系中点的坐标、全等三角形综合问题、用勾股定理解三角形、坐标与图形变化——轴对称 【分析】（1）过点作于点，根据，，，得出，从而得出点的坐标为，根据等积法求出，根据勾股定理得出，即可得出点的坐标； （2）设点，根据三角形的面积公式即可得出结论； （3）分两种情况：或时，结合轴对称的性质，求出结果即可． 【详解】（1）解：过点作于点，如图所示： 则， 在中，，，， ， ， ， ， 在中，由勾股定理得： ， ； （2）解：设点，则， 面积为， ， 解得：， 点的坐标为； （3）解：当点在第一象限，时，过点作轴于点，如图所示： 则， ， ，，， ， ， ， 点； 作关于轴的对称图形， 则，， ， ， 此时点符合题意； 作关于轴的对称图形， 则，的坐标为， 此时点符合题意； 综上可知，点的坐标为或或． 【点睛】本题主要考查了勾股定理，坐标与图形，三角形面积的计算，轴对称的性质，解题的关键是熟练掌握坐标平面内点的坐标特点． 19．（23-24八年级上·山西运城·期末）【观察发现】 如图，将含有的三角板的直角顶点放在直线l上，过两个锐角顶点分别向直线l作雨线，这样就得到了两个全等的直角三角形．这种三个直角的顶点都在同一条直线上的基础图形在数学解题中被广泛使用． 【探究迁移】 （1）如图1，在平面直角坐标系中，直线与x轴，y轴分别交于A，B两点． ①则　 ； ②C，D是正比例函数图象上的两个动点，连接，若，则的最小值是 　 ； （2）如图2，一次函数的图象与y轴，x轴分别交于A，B两点．将直线绕点A逆时针旋转得到直线l，求直线l对应的函数表达式； 【拓展应用】 （3）如图3，点A在x轴负半轴上，，过点A作轴交直线于点B，P是直线上的动点，Q是y轴上的动点，若是以动点Q为直角顶点的等腰直角三角形，请直接写出所有符合条件的点Q的坐标． 【答案】（1）①；②；（2）；（3）点Q的坐标为或 【知识点】求一次函数解析式、由一元一次方程的解判断直线与x轴的交点、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、用勾股定理解三角形 【详解】（1）①求出，可得是等腰直角三角形，故；②当时，取得最小值，求出的值，证明，即得，即的最小值是； （2）过B作直线l于H，过H作轴交x轴于N，过A作于M，求出，设，可证，则，求出，即可得直线l的函数表达式； （3）设，分两种情况求解：当P在x轴的上方时和当P在x轴的下方时． 【解答】解：（1）①在中，令得，令得； ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴； 故答案为：； ②由垂线段最短知，当时，取得最小值，如图： ∵， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴，即的最小值是， 故答案为：； （2）过B作直线l于H，过H作轴交x轴于N，过A作于M，如图： 在中，令得，令得， ∴， 设， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， 解得， ∴， 设直线l的函数表达式为，把，代入得： ， 解得， ∴； （3）设， 当P在x轴的上方时，过P作轴于M，如图： 由，同（2）可证， ∴； ∴， 解得， ∴； 当P在x轴的下方时，过Q作轴交于N，过P作于M，如图： 则， 同（2）可证， ∴； 即， 解得， ∴， 综上，点Q的坐标为或． 【点睛】本题考查了一次函数的综合应用，涉及等腰直角三角形的性质、垂线段最短、全等三角形的判定与性质等知识点，解题的关键是作辅助线，构造全等三角形解决问题． 20．（25-26八年级上·江苏泰州·阶段检测）如图，函数 的图象分别与x轴，y轴交于点 A，B，的平分线与轴交于点，则点 的坐标为______． 【答案】 【知识点】一次函数图象与坐标轴的交点问题、角平分线的有关计算、用勾股定理解三角形 【分析】本题主要考查了一次函数的性质，角平分线的性质，列一元一次方程解决几何问题，解题的关键是熟练掌握一次函数的性质． 过点作，交于点，求出直线和坐标轴的坐标，利用角平分线的性质得出，设，则，利用等面积列出方程进行求解即可． 【详解】解：如图，过点作，交于点， 当时，，即，， 当时，，解得，即，， 由勾股定理得，， ∵平分， ∴， 设，则， ∴， 即， 解得， 即， 故答案为：． 21．（25-26八年级上·江西九江·期中）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，点在轴上，且点从点出发，向右运动，当为等腰三角形时，的长为_______． 【答案】或或 【知识点】一次函数图象与坐标轴的交点问题、用勾股定理解三角形、等腰三角形的定义 【分析】确定，，得，，然后分三种情况：①当时；②当时；③当时，分别求解即可． 【详解】解：∵一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点， 当时，；当时，， ∴，， ∴，， 当为等腰三角形时，分三种情况： ①当时，如图， ∴， 在中，， ∴， ∴； ②当时，如图， 在中，，， ∴， ∴； ③当时，如图， ∵轴与轴互相垂直，即， ∴， ∴， 综上所述，的长为或或． 【点睛】本题考查一次函数与坐标轴的交点，坐标与图形，勾股定理，等腰三角形的性质，利用分类讨论的思想解决问题是解题的关键． 【考点4】折叠问题（第22-29题） · 折叠前后对应边相等、对应角相等 · 设未知数，把已知边放进直角三角形列勾股方程 · 角度折叠抓住折叠角相等，结合平行线、内角和 · 多次折叠逐层分析对应关系 22．（23-24八年级上·陕西榆林·期末）如图，在长方形中，，，点为边上的一个动点，把沿折叠，若点的对应点刚好落在边上，则的长为_______． 【答案】 【知识点】用勾股定理解三角形、折叠问题 【分析】本题考查了勾股定理、折叠的性质，由折叠的性质可得：，，计算出，，设，则，由勾股定理可得，，求出的值即可，熟练掌握勾股定理以及折叠的性质是解此题的关键． 【详解】解：在长方形中，，， ，，， 由折叠的性质可得：，， ， ， 设，则， 由勾股定理可得， ， 解得：， ， 故答案为：． 23．（25-26八年级上·浙江杭州·期末）已知在纸片中，，，，对纸片进行折叠，使点与上的点重合，折痕分别交，，于点E，F，G． (1)如图1，若为上的高线，求的长． (2)如图2，若为的角平分线，求的长． (3)如图3，若为上的中线，求的长． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】根据三角形中线求面积、角平分线的性质定理、等腰三角形的性质和判定、勾股定理与折叠问题 【分析】（1）由勾股定理可得，利用等面积法计算得出，再由折叠的性质即可得出结果； （2）作交于点，交于点，由角平分线的性质定理可得，，证明为等腰直角三角形，得出，由，计算得出，由折叠的性质可得，设，则，再由勾股定理计算即可得出结果； （3）由勾股定理可得，由中线的性质可得，，，作，交于点，由三角形面积公式计算得出，则，由折叠的性质可得，设，则，，再由勾股定理计算即可得出结果． 【详解】（1）解：∵在纸片中，，，， ∴， ∵为上的高线， ∴， ∴， ∵对纸片进行折叠，使点与上的点重合， ∴； （2）解：如图：作交于点，交于点， ， ∵为的角平分线， ∴，， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 由折叠的性质可得：， 设，则， 由勾股定理可得：， ∴， 解得：， ∴； （3）解：∵在纸片中，，，， ∴， ∵为上的中线， ∴，， 如图，作，交于点， ， ∵， ∴， ∴， 由折叠的性质可得：， 设，则，， 由勾股定理可得：， ∴， 解得：， ∴． 【点睛】本题考查了折叠的性质、等腰三角形的判定与性质、角平分线的性质定理、勾股定理、三角形中线的性质、三角形面积公式等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． 24．（23-24七年级上·浙江宁波·阶段检测）数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起对应关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础．小锦在草稿纸上画了一条数轴进行操作探究： 操作一： （1）折叠纸面，若使1表示的点与表示的点重合，则表示的点与 　　表示的点重合； 操作二： （2）折叠纸面，若使2表示的点与表示的点重合，回答以下问题： ①3表示的点与______表示的点重合； ②若数轴上A、B两点之间距离为16（A在B的左侧），且A、B两点经折叠后重合，则A、B两点表示的数分别是______； 操作三： （3）在数轴上剪下9个单位长度（从到6）的一条线段，并把这条线段沿某点折叠，然后在重叠部分某处剪一刀得到三条线段（例如下图）．若这三条线段的长度之比为，则折痕处对应的点所表示的数可能是______．    【答案】（1）3；（2）①，②和6；（3）或或 【知识点】用数轴上的点表示有理数、数轴上两点之间的距离、折叠问题 【分析】本题考查了实数和数轴的关系，及数轴上的折叠变换问题，明确①数轴上折叠后重合的点到折痕的距离相等，②数轴上任意两点的距离为两点所表示的数的差的绝对值； （1）根据对称性找到折痕的点为原点，即可求解； （2）根据对称性找到折痕的点为， ①设3表示的点与数表示的点重合，根据对称性列式求出的值； ②因为，所以到折痕的点距离为8，因为折痕对应的点为，由此得出、两点表示的数； （3）分三种情况进行讨论：如图1，当时，所以设，，，得，，得出、、的值，计算折痕处对应的点所表示的数的值，同理可得出如图2、3折痕处对应的点所表示的数的值． 熟练掌握分类讨论的思想是解题的关键． 【详解】解：操作一， （1）表示的点1与表示的点重合， 折痕为原点， 则表示的点与3表示的点重合， 故答案为：3； 操作二： （2）折叠纸面，若使2表示的点与表示的点重合， 则折痕表示的点为， ①设3表示的点与数表示的点重合， 则， ； 故答案为：； ②数轴上、两点之间距离为16， 数轴上、两点到折痕的距离为8， 在的左侧， 则、两点表示的数分别是和； 故答案为：①，②和6； 操作三： （3）如图1，当时，    设，，， ， ， ，，， 折痕处对应的点所表示的数是：， 如图2，当时，    设，，， ， ， ，，， 折痕处对应的点所表示的数是：， 如图3，当时，    设，，， ， ， ，， 折痕处对应的点所表示的数是：， 综上所述：则折痕处对应的点所表示的数可能是或或． 故答案为：或或． 25．（25-26八年级上·浙江绍兴·阶段检测）如图，是一张放在平面直角坐标系中的长方形纸片，为原点，点在轴的正半轴上，点在轴的正半轴上，，在边上取一点，将纸片沿翻折，使点落在边上的点处，则点的坐标是___________，点的坐标是___________． 【答案】 【知识点】写出直角坐标系中点的坐标、勾股定理与折叠问题 【分析】本题考查了勾股定理与折叠，点的坐标．先由长方形的性质得到，，再根据折叠的性质得，，在中，利用勾股定理可计算出，则，设，则，，在中，根据勾股定理有，解方程求出，即可确定点坐标． 【详解】解：四边形为长方形， ，， 纸片沿翻折，使点落在边上的点处， ，， 在中，，， ， ， ∴则点的坐标是； 设，则，， 在中，， ， ， 点坐标为． 故答案为：，． 26．（25-26八年级上·浙江金华·阶段检测）如图，一张四边形纸片，，且，，．现在把纸片按折痕（如图1）折叠成一个正方形（如图2）．若该正方形之间无缝隙，翻折图形无重叠，则折叠成的正方形面积为__________，的长为__________． 【答案】 ； ． 【知识点】勾股定理与折叠问题、折叠问题 【分析】本题考查了折叠的性质、勾股定理、梯形的面积．解决本题的关键是作辅助线构造直角三角形． （1）根据折叠的性质可知正方形的边长为，根据正方形的面积公式求出正方形的面积即可； （2）过点D作，利用勾股定理求出，设，根据梯形的面积公式可知四边形的面积是，由折叠的性质可知梯形的面积是，得到关于的方程，解方程求出的值，即为的长． 【详解】解：由折叠可知，，， ， ， ， 正方形的面积是， 故答案为：； 解：如下图所示，过点D作， 则， ，， ， 四边形是矩形， ，， 在中，， 设， 则， 四边形的面积是， 由可知正方形的面积是， 由折叠可知：四边形的面积是， ， 解得：， 的长为． 故答案为：． 27．（24-25七年级下·浙江台州·期中）如图，将长方形沿翻折，再沿翻折，若，则___________度． 【答案】 【知识点】几何问题(一元一次方程的应用)、根据平行线的性质求角的度数、折叠问题 【分析】本题考查了折叠的性质，平行线的性质，找准相等的角是解决本题的关键． 首先根据平行线的性质，可设，再根据折叠的性质可得，，，再根据平行线的性质，可得，即可求得x的值，据此即可求得． 【详解】解：四边形是长方形， ， ， 设， ，， ， 由沿折叠可知：， ， 由沿折叠可知：， ， ， 即， 解得， ， ， 故答案为：． 28．（23-24八年级上·浙江金华·期末）定义：如果有三个角，满足，则称是和的“减余角”． (1)已知，，若是和的“减余角”，则 ． (2)现有一张正方形纸片，如图所示，点为线段上一点（不与重合）．连结，将纸片沿着对折，使点落在正方形纸片的内部且对应点为． ①若是和的“减余角”，求的度数． ②再将此正方形纸片沿着所在直线对折，使点落在正方形纸片的内部且对应点为，如图所示．是否存在，，中的一个角是其它两个角的“减余角”？若存在，请求出的度数；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2) ；存在．当时，为和的“减余角”； 当时，为和的“减余角”． 【知识点】几何图形中角度计算问题、折叠问题 【分析】（）根据“减余角”的定义即可求解； （）根据“减余角”的定义即可求解； 存在．分三种情况根据“减余角”的定义解答即可求解； 本题考查了新定义角度的运算，折叠的性质，理解“减余角”的定义是解题的关键． 【详解】（1）解：由题意可得，， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：由折叠可得，， 设，则， ∵是和的“减余角”， ∴， 解得， ∴的度数为； 存在． 由折叠可得，，， 设，，则， 当为和的“减余角”时， 由题意可得，， 解得， ∴， ∴当时，为和的“减余角”； 当为和的“减余角”时， 由题意可得，， 解得， ∴， ∴， ∴， ∴当时，为和的“减余角”； 当为和的“减余角”时， 由题意可得，， 故此种情况不存在； 综上，当时，为和的“减余角”； 当时，为和的“减余角”． 29．（24-25八年级上·江苏苏州·阶段检测）如图，在长方形中，在轴上，在轴上，且，，把沿着对折得到，交轴于点，则点的坐标为_________． 【答案】 【知识点】勾股定理与折叠问题、坐标系中的对称 【分析】本题考查了长方形的性质、折叠的性质、三角形全等的判定与性质、勾股定理．由长方形和折叠的性质可得：，，，证明，得出，再由勾股定理列式计算即可求解． 【详解】解：由折叠可得：，， ，，四边形是长方形， ，， 在和中，， ， ， ， ， ， 解得：， 点的坐标为， 故答案为：． 【考点5】最短路径与轴对称（第30-32题） · 作对称点把同侧两点化为异侧 · 连线与直线交点即为最短路径所求点 · 求最短距离转化为求直角三角形斜边长 30．（24-25八年级上·河南驻马店·阶段检测）为贯彻国家城乡建设一体化和要致富先修路的理念，某市决定修建道路和一座桥，方便张庄和李庄的群众出行到河岸．张庄和李庄位于一条河流的同一侧，河的两岸是平行的直线，经测量，张庄和李庄到河岸的距离分别为，，且，如图所示．现要求：建造的桥长要最短，然后考虑两村庄到河流另一侧桥头的路程之和最短，则这座桥应建造在，之间距离______m处．（河岸边上的点到河对岸的距离都相等） 【答案】 【知识点】最短路径问题、根据成轴对称图形的特征进行求解 【分析】此题主要考查了最短路线问题，作点关于直线的对称点，连接交于点，此时点到与的距离和最短，正确作出辅助线，构造出最短路线为斜边的直角三角形是解决本题的解题关键． 【详解】解：作点关于直线的对称点，连接交直线于点， ， ，此时点到与的距离和最小， 过作，延长与交于点， ， ，，且， ， ， ， 点与点的距离是， 故答案为：． 31．（23-24八年级下·河南安阳·阶段检测）如图，在公路l的一侧有A，B两个工厂，A，B到公路的垂直距离分别为和，A，B之间的水平距离为．现要在公路l上建一个运输点，使A，B两厂到运输点的总路线最短，则最短总路线为__________km． 【答案】 【知识点】求最短路径(勾股定理的应用)、线段问题(轴对称综合题) 【分析】本题考查轴对称的性质，作A点关于直线的对称点C，连接交直线于点P，则此时最小，然后利用勾股定理解题即可． 【详解】解：作A点关于直线的对称点C，连接交直线于点P，则此时最小， 过点作交的延长线于点D， ∵，，， ∴，， 则， ∴， ∴在中，， 即的最小值为， 故答案为：． 32．（24-25八年级上·四川绵阳·期末）如图，在中，，点，，分别是各边上的动点，若，，，则的最小值是________． 【答案】 【知识点】最短路径问题、线段问题(轴对称综合题) 【分析】本题考查了线段最短问题，轴对称，解题的关键是正确作出辅助线． 作，交于点E，作点E关于的对称点，关于的对称点． 将转化为求线段的长度；再利用三角形面积公式求出边上的高，进而得到的最小值． 【详解】解：作，交于点E， ∴为到的垂线段，即高，是的最小值， 作点E关于的对称点，关于的对称点． ∴，，则． 当M，N与C重合时，， ，， 路径 ∴当、N、M、共线时，和最小，即的长度． ， ∴，即、C、共线， 故． 面积， 又，即， 解得．   ∴，即的最小值为． 故答案为：． 【考点6】全等辅助线与角平分线综合（第33-43题） · 角平分线上的点到两边距离相等 · 遇垂线模型作双垂线构造全等直角三角形 · 角平分线+垂直可用ASA或HL证明全等 · 新定义题提取等量关系后迁移全等与角度方法 33．（23-24八年级上·浙江宁波·阶段检测）从一个角的顶点出发的两条射线， 如果把这个角分成三个相等的角， 则这两条射线就叫这个角的三等分线．如图， 在中， 点是与三等分线的交点， 若，则的度数是______________． 【答案】50 【知识点】角平分线的有关计算、与角平分线有关的三角形内角和问题、三角形内角和定理的应用、角平分线的判定定理 【分析】本题考查了角的等分线计算，正确理解定义是解题的关键．设，，根据三等分线的性质，角的平分线的判定，三角形内角和定理计算即可． 【详解】设，， ∵点是与三等分线的交点， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， 如图，过点N作于G，于E， 于F， ∵点是与三等分线的交点， ∴平分，平分， ∴， ∴， ∴平分， ∴， 故答案为：50． 34．（24-25七年级下·河南郑州·期中）【材料阅读】小芳在学习完全等三角形后，她尝试用三种不同方式摆放一副三角板．如图：在中，，；在中，，，并提出了相应的问题． 【发现】如图1，将两个三角板互不重叠地摆放在一起，当顶点摆放在线段上时，过点作，垂足为，过点作，垂足为． (1)图1中，，，求的长．请补充小芳的过程． ， ， ∵，， ，， ， ， …… （补充小芳的过程） (2)【类比】如图2，将两个三角板叠放在一起，当顶点在线段上且顶点在线段上时，过点作，垂足为，猜想，，之间的数量关系，并说明理由． (3)【拓展】如图3，将两个三角板叠放在一起，当顶点在线段上且顶点在线段上时，若，，连接，请直接写出的面积． 【答案】(1) ∵，，， ∴； ， ∵，， ∴； (2) ．理由如下： ， ， ， ， ， ， ， ∵， ， ， ， ； (3)21 【知识点】垂线模型(全等三角形的辅助线问题) 【分析】本题综合考查了全等三角形的判定与性质，熟记相关定理内容进行几何推理是解题关键． （1）根据两个三角形全等的判定定理得到，利用两个三角形全等的性质，得到，，即可得到； （2）根据两个三角形全等的判定定理，得到，利用两个三角形全等的性质，得到，，由图中，即可得到三者的数量关系； （3）延长，过点作于，如图所示，由两个三角形全等的判定定理得到，从而，，则可求得，延长，过点作于，如图所示，由平行线间的平行线段相等可得，代入面积公式得，即可得到答案． 【详解】（1）解：， ， ∵，， ，， ， ， （2）略 （3）解：延长，过点作于，如图所示： ，， ， ，， ∴， ，， ， 延长，过点作于，如图所示： ， ， ， ， 由平行线间的平行线段相等可得， ． 故答案为：21． 35．（24-25八年级上·重庆綦江·期末）通过对如图数学模型的研究学习，解决下列问题： (1)如图1，，，过点作于点，过点作于点．由，得．又，可以推理得到．进而得到_____，_____，_____．我们把这个数学模型称为“字”模型或“一线三等角”模型； (2)如图2，，，，连接，，且于点，与直线交于点．求证：点是的中点；我们把这个数学模型称为“婆罗摩笈多”模型． (3)如图2，，，，连接，，的面积为，的面积为，，求的值． 【答案】(1)，， (2) 证明：如图2，过作于，过作于， 由“字”模型得：， ， 同理：， ， ，， ， 在与中， ， ， ， 点是的中点； (3)1012 【知识点】直角三角形的两个锐角互余、全等三角形综合问题、垂线模型(全等三角形的辅助线问题) 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，理解“一线三等角”的全等模型以及该模型的构成条件、证明过程及结论是解题关键． （1）证明，根据全等三角形的判定与性质逐步分析即可解答； （2）过作于，过作于，利用“K字模型”的结论可得故可推出，同理可得，再证即可证明结论； （3）过作于，交于，过作于，过作于，利用“K字模型”的结论可得，，进一步可证，再求解即可． 【详解】（1）解：，， ， ， ， 在和中， ， ，， ， 故答案为：，； （2）略 （3）解：如图3，过作于，交于，过作于，过作于， ，，， 由“字”模型得：，， ，， 由（2）知：点是的中点， 得， ， ， 即， ， 的值为1012． 36．（24-25八年级上·北京海淀·期末）在中，，，点D在上（与点A，B不重合）．连接．E是的中点，P是平面上一点，满足，连接、． (1)如图1，．点P在的延长线上． ①依题意补全图形； ②用等式表示和的数量关系，并证明； (2)如图2，，若（1）中和的数量关系仍成立，直接写出的大小（用含的式子表示）． 【答案】(1)①如图所示； ②， 证明：如下图所示，延长至点，使得，连接， 是的中点， ， 在和中， 由， ， ， ， ， ， ， 是等边三角形， ， ， ， 在和中， 由， ， ， 又， ． (2)或． 【知识点】根据平行线判定与性质求角度、根据平行线判定与性质证明、用SSS证明三角形全等（SSS）、全等的性质和SAS综合（SAS）、等腰三角形的性质和判定、等边三角形的判定和性质 【分析】本题解题关键在于作出正确的辅助线，构造全等三角形： （1）①根据题意补全图形即可；②延长至点，使得，连接，通过等边三角形的性质及全等三角形的判定证明出，从而得到； （2）辅助线作法与（1）相同，①点在直线左下方，根据和的数量关系仍成立，可证明，故，再根据等腰三角形的性质和周角是求出； ②点在直线右下方，仍可证明，故，故． 【详解】（1）略 （2）解：①点在直线左下方， 如图所示，延长至点，使得，连接， 与（1）相同，可证明，， ， ， ，， ， 和的数量关系仍成立， ， 在和中， 由， ， ， ． ②点在直线右下方， 如图所示，延长至点，使得，连接， 与①相同，可证明， ， 且， ， 综上所述，或． 37．（23-24八年级上·浙江绍兴·阶段检测）数学中常常利用面积相等来证明其他的线段相等，这种方法被称为“面积法”．已知等边，点是平面上任意一点，设点到边、边的距离分别为、，的边上的高为．回答以下问题：    (1)如图（1），若点在三角形的边上，、、存在怎样的数量关系？请给出证明过程． (2)如图（2），当点在内，已知，求的值． (3)如图（3），当点在外，请直接写出与、、的数量关系，不用证明． 【答案】(1) 解：，证明如下： 连结，如图（1）所示：    设， 是等边三角形， ， 于点，于点，于点， ，，， ， ， ； (2)10 (3) 【知识点】与三角形的高有关的计算问题、等边三角形的性质 【分析】（1）连结，设，则，则，，，由得到，即可证明； （2）连结、、，则，，，，由得到，则； （3）连结、、，则，，，，由得到，则． 【详解】（1）略 （2）解：连结、、，如图（2）所示：    设， 是等边三角形， ， 于点，于点，于点，于点， ，，，， ， ， ， ， ， 的值为； （3）解：， 理由如下：连结、、，如图（3）所示：    设， 是等边三角形， ， 于点，于点，于点，于点， ，，，， ， ， ． 【点睛】本题考查等边三角形的性质、三角形的面积公式、根据面积等式证明其他线段之间的相等关系、数形结合与分类讨论数学思想的运用等知识与方法，正确地作出所需要的辅助线并且列出相应的面积等式是解题的关键． 38．（24-25八年级上·浙江嘉兴·阶段检测）如图，在中，，，点是斜边上的动点，点在直线上，满足，于点，设．    (1)当时，求的度数（用含有的代数式表示）． (2)当时，请用一个等式表示线段与之间的数量关系，并说明理由． (3)当时，请用一个等式直接写出线段，，之间的数量关系． 【答案】(1) (2) (3)当时，；当时， 【知识点】三角形的外角的定义及性质、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、等边对等角、利用勾股定理证明线段平方关系 【分析】（1）根据等边对等角可得，，进而根据三角形的外角的性质得出； （2）过点作交的延长线于点，交于点，根据平行线的性质以及余角的定义得出，则，等量代换得出，证明得出，进而根据是等腰直角三角形，得出，即可得证； （3）当时，由（2）可得是等腰直角三角形，，根据等腰直角三角形的性质，勾股定理可得，，在中，勾股定理得出关系式；当时，先证明，同理可得，，之间的数量关系． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵在中，，， ∴， ∵是的一个外角， ∴； （2）解：如图所示，过点作交的延长线于点，交于点，    ∵，即， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， 在中， ∴， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）解：当时， 如图所示，    设，， 由（2）可得是等腰直角三角形，， ∴，， 在中，， ∴ 当时，如图所示，过点作于点，    ∵，， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∴, 又∵，， ∴， ∴， ∴， ∴，即， 设，， ∴，， 在中，， ∴， 当时，，等式仍然成立， ∴当时，， 综上所述，当时，；当时，． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理与三角形的外角的性质，勾股定理，熟练掌握以上知识是解题的关键． 39．（24-25八年级上·河北邯郸·期中）【问题提出】工人师傅常用角尺平分一个任意角.做法：如图1，是一个任意角，在边，上分别取，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点，重合，即．过角尺顶点的射线便是的平分线，已知角尺的夹角． 【初步思考】试说明工人师傅这样做能得到角平分线的道理； 【变式判断】张明同学认为当时，工人师傅就不需要先在边，上分别取，直接移动角尺，使角尺的两边分别与，相交于点，，且满足，如图2所示，便可以得到平分，你觉得张明的观点对吗？并说明理由； 【拓展探究】如图3，，平分，是射线上的一点，点在射线上运动，过点作，与直线交于点，过点作于点.若，，请直接写出的长． 【答案】[初步思考] 解：在和中 ， ， 即平分； [变式判断] 解：张明的观点正确，理由如下， 过点作于点，作于点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵ ∴， ∴, ∵，， ∴平分， ∴张明的观点正确； [拓展探究]5或7 【知识点】全等三角形综合问题、角平分线的性质定理、角平分线的判定定理 【分析】本题考查了角平分线的性质与判定定理，全等三角形的判定与性质，正确添加辅助线，掌握全等三角形判定与性质以及角平分线的性质定理是解题的关键． [初步思考]根据证明即可； [变式判断] 过点作于点，作于点，证明，则，再根据角平分线的判定即可说理； [拓展探究] 当点D在点O右侧时，过点P作于点F， 证明，则，再证明，则，那么；当点D在点O左侧时，过点P作于点F， 同理可求，，故． 【详解】[初步思考]略 [变式判断]略 [拓展探究]解：当点D在点O右侧时，过点P作于点F，如图 ∵，平分， ∴，， 同上可得，， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 当点D在点O左侧时，过点P作于点F，如图 ∵，平分， ∴，， 同上可得，， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 综上：长为5或7． 40．（25-26八年级上·浙江杭州·阶段检测）是的角平分线，，垂足为F，，和的面积分别为60和42，则的面积为__________． 【答案】 【知识点】全等的性质和HL综合（HL）、角平分线的性质定理 【分析】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，全等三角形的判定与性质．过点D作于H，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得，再利用“”证明，，然后根据全等三角形的面积相等列方程求解即可． 【详解】解：如图，过点D作于H， ∵是的角平分线，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵和的面积分别为60和42， ∴， ∴． 故答案为：9． 41．（23-24八年级上·浙江台州·期中）如图，在中，，是的平分线，于点，点在上，，若，，则的长为________． 【答案】 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、全等的性质和HL综合（HL） 【分析】此题考查了全等三角形的判定与性质，以及角平分线性质；由为角平分线，利用角平分线定理得到，再由，利用得到三角形与三角形全等，利用全等三角形对应边相等得出，利用得到三角形与三角形全等，利用全等三角形对应边相等得到，由，即可求解． 【详解】解：是的平分线，，， ， 在和中， ， ， ， ； 在和中， ， ， ， ， 故答案：. 42．（22-23八年级上·浙江台州·期末）如图，在锐角三角形中，，是角平分线，分别是，的高，点E在上，且，动点F在边上（不包括两端点），连接． 【问题感知】 (1)填空：______（填“”，“”或“”）； 【探究发现】 (2)若，小杰经过探究，得到结论：．请你帮小杰证明此结论； 【类比探究】 (3)若，请判断上述结论是否成立．若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由； 【拓展提升】 (4)已知，，，若点E关于DF的对称点落在边AC上，连接，请直接写出的面积． 【答案】(1) (2) 证明：如图1，作于点， 在和中 ， ∴ （）， ∴． 又由（1）知， ∴， 在和中 ， ∴ （）， ∴． (3) 成立， 证明：如图2，∵， ∴， 延长交的延长线于点， ∴， ∴， 在和中 ， ∴ （） ∴，． ∵， ∴， 又∵，， ∴平分， ∴． (4)或 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、用HL证全等（HL）、角平分线的性质定理、角平分线的判定定理 【分析】（1）由角平分线的性质定理可得； （2）作于点可证明 ，再证明 得到； （3）延长交的延长线于点，证明 ，得，从而得，再由角平分线的判定可得． （4）分两种情况讨论：和时，分别画出图形，求出和，得的面积． 【详解】（1）∵平分，，分别是，的高 ∴． 故答案为：． （2）略 （3）略 （4）当时，如图3，在线段上取点，使得． ∵， ∴点是点关于的对称点， ∴ ， ∴， 可得 ， ∴，， ∴， ∴． 当时，如图4， 在线段上取点，使得， 同理可得，， ∴． 故答案为：或． 【点睛】本题主要考查了角平分线的性质和判定以及三角形全等的判定，关键是解决拓展提升时，要分和两种情况讨论． 43．（23-24八年级下·山东枣庄·开学考试）如图，已知于点，于点，且，，，则____． 【答案】 【知识点】角平分线的有关计算、三角形的外角的定义及性质、角平分线的判定定理 【分析】本题考查角平分线定理的判定，三角形外角的性质，熟练掌握相关知识是关键． 由题意可得，是的平分线，则，根据三角形外角的性质进行计算即可． 【详解】解：∵，， 又∵， ∴是的平分线， ∴， ∵是的外角， ∴． 故答案为：． 💯 课后巩固 复习建议 · 等腰三角形抓住等边对等角与三线合一，注意分类讨论 · 直角三角形牢记斜边中线性质与HL判定 · 勾股定理求边，逆定理判直角，先找最长边 · 折叠问题设元列勾股方程，最短路径用轴对称 · 综合题善作辅助线构造全等，角平分线转移距离 【作业1】．（24-25八年级下·浙江台州·期中）如图，在中，，，以为斜边作，连接，恰好有，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】三线合一、用勾股定理解三角形、斜边的中线等于斜边的一半 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，勾股定理，直角三角形斜边上中线的性质等知识，根据三线合一的性质得出，根据勾股定理求出，根据直角三角形斜边上中线的性质求出，根据平行线的性质得出，然后根据勾股定理求解即可． 【详解】解：过A作于E，连接， ∵，， ∴， ∴， ∵以为斜边，， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故选：C． 【作业2】．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图所示的是一个围棋棋盘的局部．若棋盘是由边长均为1的小正方形组成的，则黑、白两棋子的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】勾股定理与网格问题 【分析】本题考查了勾股定理在网格中的应用，解题关键是确定两棋子的横向、纵向间隔长度，再利用勾股定理计算两点间距离． 利用勾股定理计算黑白两棋子的距离，先确定两棋子在网格中的横向、纵向间隔数，再代入勾股定理公式计算． 【详解】解：观察网格，设黑棋子的位置为一个端点，白棋子为另一个端点，两棋子在网格中横向间隔个小正方形边长，纵向间隔个小正方形边长． 根据勾股定理，两棋子的距离为：． 故选：D． 【作业3】．（25-26八年级上·云南昆明·阶段检测）数学实践课上，老师给每位同学准备了四块全等的直角三角形纸板，小朋同学拿到纸板后随手做拼图游戏，结果拼出如图所示的图形，小友同学喜欢思考，借助这个图形设计了一道数学题：由四个全等的直角三角形拼成的图形中，、、在同一直线上，设，，则正方形的面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】运用完全平方公式进行运算、全等三角形的性质、以弦图为背景的计算题 【分析】本题考查了勾股定理的应用，全等三角形的性质，熟练应用勾股定理是解题的关键．设，则，根据全等的性质可得，利用线段之间的数量关系可表示出的长，进而列式用、表示出，从而表示出，，在中，利用勾股定理表示出 ，从而得解． 【详解】解：设，则， 四个直角三角形全等， ， ， ， ，， 在中， ， 正方形的面积为 ． 故选：B． 【作业4】．（24-25九年级上·黑龙江双鸭山·期末）如图，中，，，，点与数轴上表示的点重合，将沿数轴正方向旋转一次使得点落在数轴上，第二次旋转使得点落在数轴上，依此类推，第2024次旋转后，落在数轴上的三角形的顶点中，右边的点表示的数是_____． 【答案】 【知识点】实数与数轴、勾股定理与无理数 【分析】本题考查了实数与数轴的对应关系，勾股定理，解决本题的关键是熟练掌握实数与数轴的关系．根据题意的三个顶点按的顺序依次落在数轴上，每三次一个循环，一个循环中在数轴上第一个点到第三个的长为的周长，很容易求出它的周长为．因为，所以2024次旋转共经历674个循环还余2，第2024次旋转后，落在数轴上的三角形的顶点中，右边的是点C，再求解即可． 【详解】解：中，，，， ． 的周长为． 有三个顶点， 次旋转中每三次一个循环． ， 次旋转共经历674个循环还余2． 第2024次旋转后，落在数轴上的三角形的顶点中，右边的是点C， 次旋转后点C共向右移动的总长为． 第一次的起点为， 右边的点表示的数是． 故答案为：． 【作业5】．（25-26八年级上·浙江金华·期末）如图，在边长为1的正方形网格中，点A、B、C均在正方形格点上，则点A与线段上的点之间的最小值为_________． 【答案】/ 【知识点】垂线段最短、勾股定理与网格问题 【分析】本题主要考查了勾股定理，利用网格求三角形的面积，垂线段最短等知识点，解题的关键是掌握以上性质定理． 作，作于点，于点，根据勾股定理得出，最后根据等面积和垂线段最短即可求解． 【详解】解：如图，作，作于点，于点， 根据勾股定理得， 根据等面积可得， ∴， 根据垂线段最短可得，点A与线段上的点之间的最小值为， 故答案为：． 【作业6】．（25-26八年级上·浙江温州·开学考试）如图，在三角形中，过点作交于点，若，求线段的长度． 【答案】3 【知识点】直角三角形的两个锐角互余、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、等腰三角形的性质和判定 【分析】证明即可解答．本题考查等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质． 【详解】解： 是等腰直角三角形， ， ， ， 在与中， ， ， ， ． 【作业7】．（23-24八年级下·云南德宏·期末）如图，在中，，于点，，是斜边的中点，则___________． 【答案】45 【知识点】三角形的外角的定义及性质、等边对等角、斜边的中线等于斜边的一半 【分析】本题考查了直角三角形斜边中线的性质，等边对等角，三角形外角的性质等知识，先求出，根据直角三角形斜边中线的性质得出，根据等边对等角得出，最后根据三角形外角的性质求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，是斜边的中点， ∴， ∴， ∴， 故答案为：45． 【作业8】．（24-25八年级上·浙江温州·期中）如图，一架米长的梯子斜靠在竖直的墙上，这时B到墙底端C的距离为米．当梯子的顶端沿墙面下滑______米后，梯子处于位置，恰与原位置关于墙角的角平分线所在的直线轴对称． 【答案】1.7 【知识点】求梯子滑落高度(勾股定理的应用)、根据成轴对称图形的特征进行求解 【分析】本题考查轴对称的性质以及勾股定理的应用，正确求出的长是关键． 根据勾股定理可得的长，再根据轴对称的性质可得，再用减去可得答案． 【详解】解：由题意得：(米)， 梯子处于位置，恰与原位置关于墙角的角平分线所在的直线轴对称， 米， (米)， 即当梯子的顶端沿墙面下滑米后，梯子处于位置，恰与原位置关于墙角的角平分线所在的直线轴对称． 故答案为：． 【作业9】．（25-26八年级上·四川成都·期中）如图，点D在的边上，已知，则的面积为________． 【答案】24 【知识点】根据三角形中线求面积、三线合一、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，勾股定理及三角形中线的性质等知识，掌握这些知识是关键． 过点C作于点E，由勾股定理及等腰三角形的性质求得，进而求得的面积，再由三角形中线平分三角形面积即可求得的面积． 【详解】解：如图，过点C作于点E， ∵，， ∴， 由勾股定理得：， ∴， ∵， ∴； 故答案为：24． 【作业10】．（25-26八年级上·江苏扬州·期中）如图，在中，，，，于点D，E是的中点，则的长为_____． 【答案】3.5 【知识点】用勾股定理解三角形、判断三边能否构成直角三角形 【分析】此题主要考查了勾股定理的逆定理，勾股定理，熟练掌握直角三角形的性质，灵活运用勾股定理和三角形的面积公式进行计算是解决问题的关键． 先由勾股定理的逆定理得到，求出，然后由三角形的面积公式求出，进而由勾股定理即可求出的长，进而求解即可． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴ ∴， ∵E是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：3.5． 【作业11】．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，在中，．在的延长线上取两点，作，使得． (1)若，求的度数． (2)如果把（1）中的条件“”去掉，再将“”改为“”，其余条件不变，求的度数． 【答案】(1) (2) 【知识点】三角形的外角的定义及性质、等边对等角 【分析】（1）根据等腰三角形的性质和三角形的外角的性质即可得到结论； （2）设，则．根据三角形的内角和定理和等腰三角形的性质即可得到结论． 【详解】（1）解：∵， ∴． ∵， ∴． 又∵， ∴． ∵，∴， ∴， ∴． （2）解：设，则． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，正确的识别图形是解题的关键． 【作业12】．（25-26八年级上·全国·课后作业）已知：如图，E为的边延长线上的一点，，．求证：是等边三角形． 【答案】 证明：∵， ， ， ，， ， 是等边三角形． 【知识点】两直线平行同位角相等、两直线平行内错角相等、等边三角形的判定 【分析】本题考查了等边三角形的判定，平行线的性质，根据平行线的性质证明角相等是解题的关键．根据平行线的性质证明结合已知条件证明三角形的三个内角都相等即可． 【详解】略 【作业13】．（25-26八年级上·浙江杭州·期末）在中，，为上的中线，，连接． (1)求证：是等腰三角形． (2)若，，求的长度． 【答案】(1) 证明：∵为上的中线， ∴点为的中点， 又∵，即， ∴为的斜边上的中线， ∴， ∴是等腰三角形． (2)的长度为． 【知识点】三线合一、用勾股定理解三角形、斜边的中线等于斜边的一半 【分析】本题考查了直角三角形的性质，三角形中线的定义，勾股定理，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据为上的中线，，可知为的斜边上的中线，进而推出，即可证得结论； （2）根据（1）的结论和，设，则，，然后利用勾股定理可推出，代入数值解方程即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵，，，， ∴， 设，则， ∵在中，， 在中，， ∴，即， ∴， ∴的长度为． 【作业14】．（24-25八年级上·辽宁大连·期中）如图，在中，平分，于D，于C，且，． (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1) 证明：平分， ， ， ， ， ， ； (2) 解：由知，，且， ， ， ， ， ． 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、全等的性质和HL综合（HL）、三角形角平分线的定义 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，通过证明是解题的关键． （1）只需证即可； （2）先证，再根据证即可． 【详解】（1）略 （2）略 【作业15】．（24-25八年级下·河北唐山·期中）如图是某工厂的平面图经测量． （1）则___________度； （2）已知是在边上药厂的进出口，为了能观察到进出口周围环境情况，工作人员计划在点处安装一个摄像头，且摄像头能监控的最远距离为，若，则直线上被摄像头监控的公路长度为___________米． 【答案】 160 【知识点】等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形、勾股定理逆定理的实际应用 【分析】本题考查勾股定理及其逆定理的实际应用，等腰三角形的性质与判定，熟知勾股定理及其逆定理是解题的关键． （1）连接，可得，利用勾股定理可得，则可证明，再根据勾股定理的逆定理可得，即可求解； （2）过点E作，交直线于点G．点M，N在直线上，且，即的长为直线上被摄像头监控到的公路长度．可证明，得到．求出，由勾股定理得，则，由勾股定理得，同理可得，则，据此可得答案． 【详解】解：（1）如图，连接． ∵，， ∴． 在中，由勾股定理得， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故答案为；； （2）如图，过点E作，交直线于点G．点M，N在直线上，且，即的长为直线上被摄像头监控到的公路长度． ∵， ∴， ∴， ∴． ∵，， ∴ 在中，由勾股定理得， ∴， 在中，由勾股定理得， 同理可得， ∴， 即直线上被摄像头监控到的公路长度为， 故答案为：160． 1 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第2章·特殊三角形·期中复习·满分压轴讲义 （知识梳理+典例+练习）·2026-2027学年浙教版八年级数学上册 📌 思维导图 🎯 课程目标 · 熟练运用等腰三角形「等边对等角」「三线合一」进行边角计算与证明 · 掌握等边三角形、直角三角形的性质，会用斜边中线等于斜边一半及HL判定 · 灵活运用勾股定理及其逆定理，解决折叠、网格、坐标与实际测量问题 · 掌握最短路径问题的轴对称转化，能在折叠问题中抓住等量关系列方程 · 综合全等三角形辅助线与角平分线性质，处理新定义、探究类压轴题 📚 知识梳理 ☆ 1.等腰三角形 · 性质：等边对等角；等腰三角形顶角平分线、底边上的中线、高互相重合（三线合一） · 判定：等角对等边；有两条边相等的三角形是等腰三角形 · 等腰三角形常作底边高/中线，构造直角三角形用勾股定理 · 一个三角形被一条线段分成两个等腰三角形时，按角度关系设元求解 概念辨析例题：等腰三角形一内角为80°，则顶角为____ 答案：80°或20° 解析：若80°为顶角则底角50°；若80°为底角则顶角为180°−2×80°=20°，故顶角为80°或20°。 ☆ 2.等边三角形 · 等边三角形三边相等，三个内角都等于60° · 判定：三边相等；三个角都相等；有一个角是60°的等腰三角形 · 等边三角形的高、中线、角平分线三线合一，高h=√3/2a · 面积法常用于证明线段相等（如利用面积相等求高） 概念辨析例题：等边△ABC边长为4，则高AD=____，面积=____ 答案：2√3；4√3 解析：由三线合一BD=2，AD=√(AB2−BD2)=√(16−4)=2√3，面积=1/2×4×2√3=4√3。 ☆ 3.直角三角形 · 直角三角形两锐角互余；有两个角互余的三角形是直角三角形 · 斜边中线等于斜边的一半；30°角所对直角边等于斜边一半 · HL判定：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等 · 见斜边中点常连斜边中线，构造等腰三角形 概念辨析例题：Rt△ABC中∠C=90°，D为AB中点，CD=5，则AB=____ 答案：10 解析：直角三角形斜边中线等于斜边一半，CD=1/2AB，故AB=2CD=10。 ☆ 4.勾股定理及其逆定理 · 勾股定理：直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方，a2+b2=c2 · 逆定理：若三角形三边a、b、c满足a2+b2=c2，则这个三角形是直角三角形 · 勾股数：3,4,5；5,12,13；8,15,17 等常见整数组 · 求边长时先判断是否直角三角形，再选定理或逆定理 概念辨析例题：三角形三边长为6,8,10，则它是____三角形，最长边上的高为____ 答案：直角；4.8 解析：62+82=36+64=100=102，由逆定理为直角三角形；面积=1/2×6×8=24，最长边上的高h=2×24÷10=4.8。 ☆ 5.勾股定理的应用 · 折叠问题：折叠前后对应边、对应角相等，设未知数后在直角三角形中列方程 · 最短路径：作对称点把同侧两点化为异侧，连线与直线交点即所求 · 网格问题：把斜线段放在直角三角形中用勾股定理求长度 · 实际问题（航海、梯子、修路）抽象为直角三角形建模求解 概念辨析例题：长方形纸片ABCD中AB=8,BC=6，沿AE折叠使B落在CD上，则BE=____ 答案：需按勾股定理列方程求解 解析：折叠后AB=AB′=8，在Rt△ADB′中求DB′，再在小直角三角形中设BE=x列勾股方程。 📋 知识总结表 核心概念 性质/判定 注意事项 等腰三角形 等边对等角；三线合一 分类讨论顶角/底角 等边三角形 三边相等，三角60° 高=√3/2边长 直角三角形 两锐角互余；斜边中线=斜边一半 HL只用于直角三角形 勾股定理 a2+b2=c2 仅直角三角形适用 逆定理 a2+b2=c2→直角三角形 先找最长边 折叠问题 对应边/角相等 设元列勾股方程 最短路径 轴对称化同侧为异侧 连线与直线交点 格点问题 斜线段放入直角三角形 数格子定直角边 ⚠️ 核心考点 【考点1】等腰三角形的性质与判定（第1-8题） · 等边对等角求角，注意分顶角、底角两种情况 · 三线合一：作底边高同时得到中线和角平分线 · 等角对等边判定等腰，常用于证明边相等 · 见等腰常作底边高构造直角三角形用勾股定理 1．（2025·浙江·模拟预测）如图，在中，，于点D．若的周长为20，，则的长为_____ ． 2．（23-24八年级上·北京海淀·期中）如果1条线段将一个三角形分成2个等腰三角形，那么这1条线段称为这个三角形的“分割线”；如果2条线段将一个三角形分成3个等腰三角形，那么这2条线段称为这个三角形的“黄金分割线”． (1)填空：等边三角形_________（填“存在"或“不存在”）“分割线”；顶角为钝角的等腰三角形________（填“存在”或“不存在”）“黄金分割线”． (2)在中，，为钝角，若这个三角形存在“分割线”，直接写出的所有可能______． 3．（24-25八年级上·浙江金华·期中）在中，，． (1)如图，为边上一定点不与点，重合，将沿翻折至，连接，求与的数量关系． (2)如图，当点在边上运动时，仍将沿翻折至，连接． ①当时，求的度数． ②当为等腰三角形时，求的度数． 4．（24-25八年级下·安徽宿州·阶段检测）在中，，，作等腰，使． (1)如图，若与互余，则 ______用含有的式子表示； (2)如图，若与互补，过点作于点，求证：； (3)若与的面积相等，则的度数为多少？ 5．（25-26八年级下·全国·课后作业）作图题 (1)如图（1），已知和线段a，请用尺规作一个等腰三角形，使它的一个内角等于，腰长等于a． (2)在（1）中，如果把变成图（2）中的，其他条件不变呢？ 6．（23-24八年级上·河南新乡·期中）如图，在正方形网格中，A，B两点都在小方格的顶点上，如果点C也是图中小方格的顶点，且是等腰三角形，那么点C的个数有______个． 7．（24-25八年级上·广西贺州·期末）已知：如图，，并且，则的度数为______． 8．（23-24八年级下·内蒙古呼和浩特·阶段检测）如图，是等边的边上的高，以点D为圆心，长为半径作弧交的延长于点E，则______． 【考点2】直角三角形性质与勾股定理（第9-14题） · 两锐角互余；斜边中线等于斜边一半 · HL判定直角三角形全等 · 在直角三角形中已知两边求第三边用勾股定理 · 判断直角三角形用逆定理，先找最长边 9．（23-24八年级上·湖北武汉·期末）如图，中，，，点D，E分别在边，上，，，若，，则四边形的面积是________． 10．（24-25八年级上·浙江温州·期中）如图，在中，和的平分线交于点，过点作的平行线交于点，交于点，则的周长为_____． 11．（24-25八年级上·浙江杭州·期中）如图，在中，，点，分别在，上，且，将沿折叠，点恰好落在边上的点处，与交于点．下列结论：其中正确的结论有______．（填序号） ； 若，则； 若，，则； 若，，则． 12．（24-25八年级上·浙江杭州·阶段检测）如图，在中，高交于点，若的面积为，则的长为______． 13．（22-23八年级上·江苏宿迁·阶段检测）如图，为线段上一动点，分别过点、作，，连接、，已知，，，设． (1)用含的代数式表示的长； (2)请问点满足什么条件时，的值最小？ (3)根据（2）中的规律和结论，请构图求出代数式的最小值． 14．（25-26八年级上·福建福州·期中）如图，在中，，、分别在、上，连接，若，则是________三角形． 【考点3】勾股定理综合应用（第15-21题） · 网格问题把斜线段放在格点直角三角形中求长 · 坐标问题用横纵坐标差作为直角边 · 函数图象与坐标轴交点问题，交点到原点距离用勾股 · 弦图背景用完全平方公式与勾股结合 15．（2025·浙江宁波·模拟预测）在某海防观测站的正东方向12海里处有A，B两艘船相会之后，A船以每小时12海里的速度往南航行，B船以每小时3海里的速度向北漂流，则经过______________h后，观测站及A，B两船恰成一个直角三角形． 16．（21-22九年级·浙江·自主招生）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点是正比例函数图象上一动点，点是轴上一动点，则周长的最小值为_____． 17．（24-25八年级上·浙江金华·期中）如图，在长方形中，，，，点P从点A出发，沿A→B→C→D路线运动，到点D停止，点P出发时的速度为每秒，a秒时点P的速度变为每秒，图②是点P出发x秒后，的面积与x（秒）的函数图象． (1)根据题目中提供的信息，请直接写出a，b，c，d的值； (2)设点P运动的路程为，请写出点P出发后，y与x的函数表达式； (3)当点P出发几秒后，以点C，D，P为顶点的三角形是等腰三角形． 18．（24-25八年级上·浙江杭州·阶段检测）如图，在中，，，．建立以点为坐标原点，所在直线为轴的平面直角坐标系， (1)求，两点的坐标． (2)在轴上找一点，使面积为，求点的坐标． (3)找一点（不与重合），使与全等，求点的坐标． 19．（23-24八年级上·山西运城·期末）【观察发现】 如图，将含有的三角板的直角顶点放在直线l上，过两个锐角顶点分别向直线l作雨线，这样就得到了两个全等的直角三角形．这种三个直角的顶点都在同一条直线上的基础图形在数学解题中被广泛使用． 【探究迁移】 （1）如图1，在平面直角坐标系中，直线与x轴，y轴分别交于A，B两点． ①则　 ； ②C，D是正比例函数图象上的两个动点，连接，若，则的最小值是 　 ； （2）如图2，一次函数的图象与y轴，x轴分别交于A，B两点．将直线绕点A逆时针旋转得到直线l，求直线l对应的函数表达式； 【拓展应用】 （3）如图3，点A在x轴负半轴上，，过点A作轴交直线于点B，P是直线上的动点，Q是y轴上的动点，若是以动点Q为直角顶点的等腰直角三角形，请直接写出所有符合条件的点Q的坐标． 20．（25-26八年级上·江苏泰州·阶段检测）如图，函数 的图象分别与x轴，y轴交于点 A，B，的平分线与轴交于点，则点 的坐标为______． 21．（25-26八年级上·江西九江·期中）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，点在轴上，且点从点出发，向右运动，当为等腰三角形时，的长为_______． 【考点4】折叠问题（第22-29题） · 折叠前后对应边相等、对应角相等 · 设未知数，把已知边放进直角三角形列勾股方程 · 角度折叠抓住折叠角相等，结合平行线、内角和 · 多次折叠逐层分析对应关系 22．（23-24八年级上·陕西榆林·期末）如图，在长方形中，，，点为边上的一个动点，把沿折叠，若点的对应点刚好落在边上，则的长为_______． 23．（25-26八年级上·浙江杭州·期末）已知在纸片中，，，，对纸片进行折叠，使点与上的点重合，折痕分别交，，于点E，F，G． (1)如图1，若为上的高线，求的长． (2)如图2，若为的角平分线，求的长． (3)如图3，若为上的中线，求的长． 24．（23-24七年级上·浙江宁波·阶段检测）数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起对应关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础．小锦在草稿纸上画了一条数轴进行操作探究： 操作一： （1）折叠纸面，若使1表示的点与表示的点重合，则表示的点与 　　表示的点重合； 操作二： （2）折叠纸面，若使2表示的点与表示的点重合，回答以下问题： ①3表示的点与______表示的点重合； ②若数轴上A、B两点之间距离为16（A在B的左侧），且A、B两点经折叠后重合，则A、B两点表示的数分别是______； 操作三： （3）在数轴上剪下9个单位长度（从到6）的一条线段，并把这条线段沿某点折叠，然后在重叠部分某处剪一刀得到三条线段（例如下图）．若这三条线段的长度之比为，则折痕处对应的点所表示的数可能是______．    25．（25-26八年级上·浙江绍兴·阶段检测）如图，是一张放在平面直角坐标系中的长方形纸片，为原点，点在轴的正半轴上，点在轴的正半轴上，，在边上取一点，将纸片沿翻折，使点落在边上的点处，则点的坐标是___________，点的坐标是___________． 26．（25-26八年级上·浙江金华·阶段检测）如图，一张四边形纸片，，且，，．现在把纸片按折痕（如图1）折叠成一个正方形（如图2）．若该正方形之间无缝隙，翻折图形无重叠，则折叠成的正方形面积为__________，的长为__________． 27．（24-25七年级下·浙江台州·期中）如图，将长方形沿翻折，再沿翻折，若，则___________度． 28．（23-24八年级上·浙江金华·期末）定义：如果有三个角，满足，则称是和的“减余角”． (1)已知，，若是和的“减余角”，则 ． (2)现有一张正方形纸片，如图所示，点为线段上一点（不与重合）．连结，将纸片沿着对折，使点落在正方形纸片的内部且对应点为． ①若是和的“减余角”，求的度数． ②再将此正方形纸片沿着所在直线对折，使点落在正方形纸片的内部且对应点为，如图所示．是否存在，，中的一个角是其它两个角的“减余角”？若存在，请求出的度数；若不存在，请说明理由． 29．（24-25八年级上·江苏苏州·阶段检测）如图，在长方形中，在轴上，在轴上，且，，把沿着对折得到，交轴于点，则点的坐标为_________． 【考点5】最短路径与轴对称（第30-32题） · 作对称点把同侧两点化为异侧 · 连线与直线交点即为最短路径所求点 · 求最短距离转化为求直角三角形斜边长 30．（24-25八年级上·河南驻马店·阶段检测）为贯彻国家城乡建设一体化和要致富先修路的理念，某市决定修建道路和一座桥，方便张庄和李庄的群众出行到河岸．张庄和李庄位于一条河流的同一侧，河的两岸是平行的直线，经测量，张庄和李庄到河岸的距离分别为，，且，如图所示．现要求：建造的桥长要最短，然后考虑两村庄到河流另一侧桥头的路程之和最短，则这座桥应建造在，之间距离______m处．（河岸边上的点到河对岸的距离都相等） 31．（23-24八年级下·河南安阳·阶段检测）如图，在公路l的一侧有A，B两个工厂，A，B到公路的垂直距离分别为和，A，B之间的水平距离为．现要在公路l上建一个运输点，使A，B两厂到运输点的总路线最短，则最短总路线为__________km． 32．（24-25八年级上·四川绵阳·期末）如图，在中，，点，，分别是各边上的动点，若，，，则的最小值是________． 【考点6】全等辅助线与角平分线综合（第33-43题） · 角平分线上的点到两边距离相等 · 遇垂线模型作双垂线构造全等直角三角形 · 角平分线+垂直可用ASA或HL证明全等 · 新定义题提取等量关系后迁移全等与角度方法 33．（23-24八年级上·浙江宁波·阶段检测）从一个角的顶点出发的两条射线， 如果把这个角分成三个相等的角， 则这两条射线就叫这个角的三等分线．如图， 在中， 点是与三等分线的交点， 若，则的度数是______________． 34．（24-25七年级下·河南郑州·期中）【材料阅读】小芳在学习完全等三角形后，她尝试用三种不同方式摆放一副三角板．如图：在中，，；在中，，，并提出了相应的问题． 【发现】如图1，将两个三角板互不重叠地摆放在一起，当顶点摆放在线段上时，过点作，垂足为，过点作，垂足为． (1)图1中，，，求的长．请补充小芳的过程． ， ， ∵，， ，， ， ， …… （补充小芳的过程） (2)【类比】如图2，将两个三角板叠放在一起，当顶点在线段上且顶点在线段上时，过点作，垂足为，猜想，，之间的数量关系，并说明理由． (3)【拓展】如图3，将两个三角板叠放在一起，当顶点在线段上且顶点在线段上时，若，，连接，请直接写出的面积． 35．（24-25八年级上·重庆綦江·期末）通过对如图数学模型的研究学习，解决下列问题： (1)如图1，，，过点作于点，过点作于点．由，得．又，可以推理得到．进而得到_____，_____，_____．我们把这个数学模型称为“字”模型或“一线三等角”模型； (2)如图2，，，，连接，，且于点，与直线交于点．求证：点是的中点；我们把这个数学模型称为“婆罗摩笈多”模型． (3)如图2，，，，连接，，的面积为，的面积为，，求的值． 36．（24-25八年级上·北京海淀·期末）在中，，，点D在上（与点A，B不重合）．连接．E是的中点，P是平面上一点，满足，连接、． (1)如图1，．点P在的延长线上． ①依题意补全图形； ②用等式表示和的数量关系，并证明； (2)如图2，，若（1）中和的数量关系仍成立，直接写出的大小（用含的式子表示）． 37．（23-24八年级上·浙江绍兴·阶段检测）数学中常常利用面积相等来证明其他的线段相等，这种方法被称为“面积法”．已知等边，点是平面上任意一点，设点到边、边的距离分别为、，的边上的高为．回答以下问题：    (1)如图（1），若点在三角形的边上，、、存在怎样的数量关系？请给出证明过程． (2)如图（2），当点在内，已知，求的值． (3)如图（3），当点在外，请直接写出与、、的数量关系，不用证明． 38．（24-25八年级上·浙江嘉兴·阶段检测）如图，在中，，，点是斜边上的动点，点在直线上，满足，于点，设．    (1)当时，求的度数（用含有的代数式表示）． (2)当时，请用一个等式表示线段与之间的数量关系，并说明理由． (3)当时，请用一个等式直接写出线段，，之间的数量关系． 39．（24-25八年级上·河北邯郸·期中）【问题提出】工人师傅常用角尺平分一个任意角.做法：如图1，是一个任意角，在边，上分别取，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点，重合，即．过角尺顶点的射线便是的平分线，已知角尺的夹角． 【初步思考】试说明工人师傅这样做能得到角平分线的道理； 【变式判断】张明同学认为当时，工人师傅就不需要先在边，上分别取，直接移动角尺，使角尺的两边分别与，相交于点，，且满足，如图2所示，便可以得到平分，你觉得张明的观点对吗？并说明理由； 【拓展探究】如图3，，平分，是射线上的一点，点在射线上运动，过点作，与直线交于点，过点作于点.若，，请直接写出的长． 40．（25-26八年级上·浙江杭州·阶段检测）是的角平分线，，垂足为F，，和的面积分别为60和42，则的面积为__________． 41．（23-24八年级上·浙江台州·期中）如图，在中，，是的平分线，于点，点在上，，若，，则的长为________． 42．（22-23八年级上·浙江台州·期末）如图，在锐角三角形中，，是角平分线，分别是，的高，点E在上，且，动点F在边上（不包括两端点），连接． 【问题感知】 (1)填空：______（填“”，“”或“”）； 【探究发现】 (2)若，小杰经过探究，得到结论：．请你帮小杰证明此结论； 【类比探究】 (3)若，请判断上述结论是否成立．若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由； 【拓展提升】 (4)已知，，，若点E关于DF的对称点落在边AC上，连接，请直接写出的面积． 43．（23-24八年级下·山东枣庄·开学考试）如图，已知于点，于点，且，，，则____． 💯 课后巩固 复习建议 · 等腰三角形抓住等边对等角与三线合一，注意分类讨论 · 直角三角形牢记斜边中线性质与HL判定 · 勾股定理求边，逆定理判直角，先找最长边 · 折叠问题设元列勾股方程，最短路径用轴对称 · 综合题善作辅助线构造全等，角平分线转移距离 【作业1】．（24-25八年级下·浙江台州·期中）如图，在中，，，以为斜边作，连接，恰好有，则的长为（   ） A． B． C． D． 【作业2】．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图所示的是一个围棋棋盘的局部．若棋盘是由边长均为1的小正方形组成的，则黑、白两棋子的距离为（   ） A． B． C． D． 【作业3】．（25-26八年级上·云南昆明·阶段检测）数学实践课上，老师给每位同学准备了四块全等的直角三角形纸板，小朋同学拿到纸板后随手做拼图游戏，结果拼出如图所示的图形，小友同学喜欢思考，借助这个图形设计了一道数学题：由四个全等的直角三角形拼成的图形中，、、在同一直线上，设，，则正方形的面积是（   ） A． B． C． D． 【作业4】．（24-25九年级上·黑龙江双鸭山·期末）如图，中，，，，点与数轴上表示的点重合，将沿数轴正方向旋转一次使得点落在数轴上，第二次旋转使得点落在数轴上，依此类推，第2024次旋转后，落在数轴上的三角形的顶点中，右边的点表示的数是_____． 【作业5】．（25-26八年级上·浙江金华·期末）如图，在边长为1的正方形网格中，点A、B、C均在正方形格点上，则点A与线段上的点之间的最小值为_________． 【作业6】．（25-26八年级上·浙江温州·开学考试）如图，在三角形中，过点作交于点，若，求线段的长度． 【作业7】．（23-24八年级下·云南德宏·期末）如图，在中，，于点，，是斜边的中点，则___________． 【作业8】．（24-25八年级上·浙江温州·期中）如图，一架米长的梯子斜靠在竖直的墙上，这时B到墙底端C的距离为米．当梯子的顶端沿墙面下滑______米后，梯子处于位置，恰与原位置关于墙角的角平分线所在的直线轴对称． 【作业9】．（25-26八年级上·四川成都·期中）如图，点D在的边上，已知，则的面积为________． 【作业10】．（25-26八年级上·江苏扬州·期中）如图，在中，，，，于点D，E是的中点，则的长为_____． 【作业11】．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，在中，．在的延长线上取两点，作，使得． (1)若，求的度数． (2)如果把（1）中的条件“”去掉，再将“”改为“”，其余条件不变，求的度数． 【作业12】．（25-26八年级上·全国·课后作业）已知：如图，E为的边延长线上的一点，，．求证：是等边三角形． 【作业13】．（25-26八年级上·浙江杭州·期末）在中，，为上的中线，，连接． (1)求证：是等腰三角形． (2)若，，求的长度． 【作业14】．（24-25八年级上·辽宁大连·期中）如图，在中，平分，于D，于C，且，． (1)求证：； (2)求证：． 【作业15】．（24-25八年级下·河北唐山·期中）如图是某工厂的平面图经测量． （1）则___________度； （2）已知是在边上药厂的进出口，为了能观察到进出口周围环境情况，工作人员计划在点处安装一个摄像头，且摄像头能监控的最远距离为，若，则直线上被摄像头监控的公路长度为___________米． 1 2 1 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