专题一·期中综合复习·基础巩固讲义（第1～3章）（知识梳理+典例+练习）·2026-2027学年浙教版八年级数学上册

专题一·期中综合复习·基础巩固讲义 （第1~3章）（知识梳理+典例+练习）·2026-2027学年浙教版八年级数学上册 📌 思维导图 🎯 课程目标 · 理解三角形的边、角、重要线段等概念，掌握三角形三边关系与内角和定理 · 掌握等腰三角形、等边三角形与直角三角形的性质和判定，会用斜边中线性质 · 理解全等三角形的性质，熟练运用SSS、SAS、ASA、AAS、HL判定三角形全等 · 掌握角平分线与线段垂直平分线的性质定理，理解轴对称与轴对称图形 · 掌握勾股定理及其逆定理，会用勾股定理解决实际问题；会解一元一次不等式（组） 📚 知识梳理 ☆ 1.三角形的线段、角与三边关系 三角形三边关系：三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边；判断三条线段能否构成三角形，只需看较短两边之和是否大于最长边 三角形的高、中线、角平分线都是线段；中线把三角形分成两个面积相等的小三角形 三角形内角和等于180°；三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和，且大于任何一个与它不相邻的内角 三角形按边分有不等边三角形和等腰三角形，按角分有锐角、直角、钝角三角形 概念辨析例题：已知三角形的两边长分别为3和7，则第三边长x的取值范围是____ 答案：4<x<10 解析：根据三角形三边关系，两边之差小于第三边、两边之和大于第三边，即7-3<x<7+3，所以4<x<10。 ☆ 2.等腰三角形与直角三角形 等腰三角形：等边对等角，等腰三角形顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（三线合一） 等边三角形：三个角都等于60°；三个角都相等的三角形或有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形 直角三角形：两个锐角互余；直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 含30°角的直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半 概念辨析例题：等腰三角形的一个内角为80°，则它的顶角的度数是____ 答案：80°或20° 解析：分两种情况：若80°为顶角，则顶角为80°；若80°为底角，则顶角为180°-2×80°=20°。故顶角为80°或20°。 ☆ 3.全等三角形与轴对称 全等三角形的对应边相等、对应角相等；判定方法有SSS、SAS、ASA、AAS，直角三角形还有HL 角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等；反之，到角两边距离相等的点在角平分线上 线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等；反之，到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上 轴对称图形沿对称轴折叠后直线两旁的部分能完全重合；对应点所连线段被对称轴垂直平分 概念辨析例题：如图，已知AB=AD，BC=DC，∠B=80°，则∠D=____ 答案：80° 解析：由AB=AD、BC=DC、AC=AC，根据SSS可得△ABC≌△ADC，全等三角形对应角相等，所以∠D=∠B=80°。 ☆ 4.勾股定理及其应用 勾股定理：直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方，即a2+b2=c2 勾股定理的逆定理：若三角形三边a、b、c满足a2+b2=c2，则这个三角形是直角三角形 常见勾股数：3、4、5；5、12、13；8、15、17及其正整数倍 勾股定理常用于求边长、面积、最短路径（如航海、折叠、网格问题），无理数可借助数轴与勾股定理表示 概念辨析例题：直角三角形两直角边长分别为6和8，则斜边长为____ 答案：10 解析：由勾股定理，斜边c====10。 ☆ 5.一元一次不等式（组） 不等式的基本性质：两边都加（减）同一个数（式），不等号方向不变；两边都乘（除以）同一个正数，方向不变；乘（除以）同一个负数，方向改变 解一元一次不等式的步骤与解一元一次方程类似，注意系数化为1时若两边同除以负数要改变不等号方向 不等式组的解集是各不等式解集的公共部分，可借助数轴确定；同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解 列不等式（组）解实际问题，抓住『至少』『不超过』『不大于』等关键词 概念辨析例题：解不等式：2(x-1)<x+1，并把解集在数轴上表示出来 答案：x<3 解析：去括号得2x-2<x+1，移项得2x-x<1+2，合并得x<3。 📋 知识总结表 核心概念 定义/公式 注意事项 三角形三边关系 两边之和大于第三边 只需较短两边之和大于最长边 三角形内角和 三个内角和等于180° 外角等于不相邻两内角之和 等腰三角形 等边对等角、三线合一 顶角与底角需分类讨论 直角三角形 两锐角互余；斜边中线=斜边一半 30°角对的直角边=斜边一半 全等判定 SSS/SAS/ASA/AAS/HL SSA、AAA不能判定全等 勾股定理 a2+b2=c2 c为斜边；逆定理判定直角三角形 不等式性质 乘除负数要变号 解集公共部分借助数轴 ⚠️ 核心考点 【考点1】三角形的三边关系与重要线段（第1-6题） · 判断三条线段能否构成三角形，只需验证较短两边之和大于最长边 · 已知两边求第三边范围：两边之差<第三边<两边之和 · 三角形中线把原三角形分成两个等积小三角形，面积为原三角形的一半 · 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，常与勾股定理联用 1．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，一根竹竿斜靠在竖直的墙上，点P是中点，表示竹竿沿墙滑动过程中的某个位置，则的长（   ） A．下滑时，的长度增大 B．上升时，的长度减小 C．只要滑动，的长度就变化 D．无论怎样滑动，的长度不变 2．（25-26八年级上·浙江台州·期末）下列各组中的三条线段，能组成直角三角形的是（   ） A．1，2，3 B．2，3，4 C．5，12，13 D．4，5，6 3．（24-25八年级上·吉林长春·阶段检测）在中，为的中线，，，则_________． 4．（25-26八年级上·江苏南京·阶段检测）如图，点D为中边上的中点，为的中线．若的面积为60，则的面积为________． 5．（25-26八年级上·浙江杭州·阶段检测）三角形三边长分别为，，，则的取值范围是______________ 6．（25-26八年级上·浙江绍兴·期中）等腰三角形一腰上的中线将这个三角形的周长分成，两部分，则等腰三角形的腰长为________． 【考点2】三角形内角和与外角性质（第7-15题） · 三角形内角和恒为180°，列方程求未知角是常用手段 · 外角等于与它不相邻的两个内角之和，求角时优先用外角转化 · 折叠问题抓住折叠前后对应角相等，结合平行线性质建立角的关系 · 平行线中求角：两直线平行，同位角、内错角相等，同旁内角互补 7．（24-25八年级上·浙江宁波·期末）如图，在中，外角，，则的度数为 （    ） A． B． C． D． 8．（2025·浙江杭州·一模）如图，在中，，E，F分别在边上，将沿着折叠，得到，与交于G．当时，的度数是（   ） A． B． C． D． 9．（23-24八年级上·浙江宁波·阶段检测）如图，在中，D，E是内的两点，且，若，则（    ） A． B． C． D． 10．（24-25八年级上·浙江温州·期中）如图，已知，其中A，B，C的对应顶点分别是D，E，F，，，则的度数为_______． 11．（2025·山东德州·一模）一副三角板按如图所示的方式摆放，，，，若，则的度数为_______． 12．（24-25七年级下·浙江·阶段检测）如图，在一次数学活动课上，小明将一张长方形纸带进行了两次折叠，折痕分别为，，若，则______． 13．（23-24七年级下·河南濮阳·期末）如图，直线DE经过点A，． 填空： ∵， ∴______（______），______（______）， ∵直线过点A ∴，∴____________． 于是，我们证明了结论：______． 14．（24-25七年级下·黑龙江大庆·期中）如图，在中，，，，分别是的角平分线和高线，则的度数． 15．（23-24七年级下·四川乐山·期末）如图所示，，点在边上，与交于点．    (1)若，，求线段的长； (2)若，，求的度数． 【考点3】等腰与等边三角形（第16-21题） · 等边对等角：等腰三角形两底角相等，遇顶角/底角不确定要分类讨论 · 三线合一：顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合 · 等边三角形三边相等、三角均为60°，有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形 · 等腰三角形边或角未指明时，注意分腰与底、顶角与底角两种情况讨论 16．（24-25八年级下·湖南娄底·阶段检测）在中，， 则的度数为（     ） A． B． C． D． 17．（24-25八年级上·浙江宁波·期中）在等腰三角形中，为，则底角的度数为______． 18．（23-24八年级上·新疆昌吉·阶段检测）等腰三角形的顶角等于，则一个底角的度数为________；等腰三角形的一个底角为50°，则它的顶角为________． 19．（24-25八年级上·江苏南京·期中）如图，在中，是的中点，过点作，垂足为的垂直平分线分别交于点，且．若，则的长为_______． 20．（2025·陕西西安·二模）如图，在四边形中，点E是边上的点，请用尺规作图法作一个等腰，点P在四边形内部，且点P到边、的距离相等．（作出符合题意的一个等腰三角形即可，保留作图痕迹，不写作法） 21．（25-26八年级上·河南焦作·期中）如图，，，． (1)求证：． (2)若，求证是等边三角形． 【考点4】全等三角形的性质与判定（第22-28题） · 全等三角形对应边相等、对应角相等，先找对应顶点再写对应关系 · 判定全等根据已知条件选方法：已知两边找夹角或第三边（SAS/SSS），已知两角找夹边或任一边（ASA/AAS） · 直角三角形优先考虑HL，再用一般判定方法 · 证明线段或角相等，常转化为证明它们所在的两个三角形全等 22．（24-25八年级上·浙江·期中）如图，三条直线互相平行，的三个顶点分别在三条平行线上．已知，，且之间的距离为2，之间的距离为3，则的面积为（    ） A．6 B． C．10 D．13 23．（24-25八年级上·浙江台州·期末）如图，在中，，，垂足为点，若，，则和的面积之比为______． 24．（25-26八年级上·浙江舟山·期中）如图，点在上，，，，则的长为______． 25．（24-25八年级下·陕西汉中·期中）如图所示，和中，于点，于点，且，，求证：． 26．（25-26八年级上·全国·期中）如图，已知．写出对应边、对应角． 27．（24-25八年级上·江苏泰州·阶段检测）如图，在中，，点在的延长线上，且．过点作，与的垂线交于点． (1)求证：； (2)若，求的长． 28．（25-26八年级上·广西南宁·阶段检测）问题呈现． 角平分线的性质 角的平分线上的点与角两边的点所连线段与角两边的位置关系的特殊情形，如图，是的平分线，P是上任一点，作与的垂线，垂足分别为点D和点E，通过测量，我们发现与相等．再类似取点，，…进行同样操作，发现它们仍相等，由此猜想有： 角平分线上的点到角两边的距离相等． 请结合图形写出已知和求证，并完成推理过程． 已知：_____，求证：_____． (1)定理证明：结合图1写出已知和求证，并写出“角平分线的性质定理”完整的证明过程． (2)定理应用：如图2，在四边形中，，点E在边上，平分，平分．求证：． 【考点5】角平分线与线段垂直平分线（第29-33题） · 角平分线上的点到角两边的距离相等；常作垂线段构造全等 · 线段垂直平分线上的点到线段两端点距离相等，可实现线段等量转化 · 判定定理与性质定理要分清：性质由位置推出距离相等，判定由距离相等推出在直线上 · 遇垂直平分线或角平分线条件，优先连线段或作垂线转移边、角 29．（26-27八年级上·江苏扬州·阶段检测）如图，在中，，的平分线交于，若，则点到的距离是（     ） A． B． C． D． 30．（2025·浙江温州·三模）如图，在中（），，点，分别是，上的动点，连接，，点和关于对称，点和关于对称，且点，都在所在的直线上．已知，设，．下列代数式的值不变的是（    ） A． B． C． D． 31．（23-24八年级下·全国·期末）下列各命题中，其逆命题是假命题的是（     ） A．等腰三角形的两个底角相等 B．三个角都是的三角形是等边三角形 C．全等三角形的三个角分别对应相等 D．线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等 32．（25-26八年级上·浙江杭州·阶段检测）如图，等腰中，，的垂直平分线交于点，则周长是__________． 33．（24-25八年级上·浙江温州·期末）如图，是的角平分线．若，，的面积为，则的长为______． 【考点6】勾股定理及其应用（第34-42题） · 在直角三角形中已知两边求第三边，直接用a2+b2=c2，先分清直角边与斜边 · 网格问题用勾股定理求格点间线段长，再判断是否构成直角三角形 · 实际应用（航海、大树折断、小鸟飞行）先画出直角三角形模型再列勾股式 · 勾股定理逆定理用于判断三角形是否为直角三角形；无理数可在数轴上表示 34．（23-24八年级上·浙江温州·期中）如图，李老伯有三块地分别是，正方形和正方形．已知两个正方形的面积分别为，则的长为（    ）    A． B． C． D． 35．（22-23八年级上·宁夏银川·期中）如图，甲、乙两船同时从港口出发，甲船以海里时的速度沿北偏东方向航行，乙船沿南偏东方向航行，小时后，甲船到达岛，乙船到达岛，若，两岛相距海里，乙船的速度是______ 海里时． 36．（23-24八年级上·浙江宁波·阶段检测）在中，，、、的对边分别是a、b、c，若，，则________． 37．（2024·江苏无锡·模拟预测）《九章算术》中“折竹”问题（如图）：“今有竹高一丈，末折抵地，去根三尺，问折者高几何?”译文：“一根竹子，原高一丈，竹子折断，其竹梢恰好着地，着地处离原竹子根部3尺远．（1丈=10尺）问：竹子折断处离地面有几尺?”答：竹子折断处离地面有_____________尺． 38．（24-25七年级上·浙江宁波·期中）如图，方格的每一方格的边长为1个单位，依次连接各边的中点A，B，C，D，以顶点C为圆心，长为半径画圆交数轴于点P，则数轴上点P对应的无理数是 _____． 39．（23-24八年级下·河南信阳·期末）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，点都在格点上，以为圆心，的长为半径画弧，交于点，求的长．    40．（23-24八年级下·浙江台州·期中）如图，有两棵树，分别记为，．其中一棵树高12米，另一棵树高6米，两棵树相距8米．若一只小鸟从树梢A飞到树梢C，求小鸟飞行的最短距离． 41．（23-24七年级下·河南驻马店·阶段检测）如图，在边长为1的正方形网格中，三角形的顶点均在格点上，平移三角形，使三角形的顶点C平移到点F处． (1)请画出平移后的三角形（点A，B的对应点分别为D，E），并判断与的关系； (2)求四边形的面积． 42．（23-24八年级上·浙江温州·期中）如图，在的方格纸中，横竖格子线的交错点称为格点，线段的端点均在格点上，每个小方格的边长为1．请按要求画等腰三角形，点为格点． (1)在图1中，画一个锐角三角形． (2)在图2中，画一个直角三角形，再画出该三角形关于直线成轴对称的图形． 【考点7】轴对称与轴对称图形（第43-48题） · 判断轴对称图形关键看能否找到一条直线使折叠后两旁完全重合 · 轴对称的对应点连线被对称轴垂直平分，对应线段、对应角相等 · 画轴对称图形先找关键点的对称点，再依次连线 · 设计轴对称图案时利用对称轴两侧完全相同的特点 43．（23-24八年级上·浙江宁波·期末）正五角星的对称轴有（    ） A．1条 B．3条 C．5条 D．无数条 44．（25-26八年级上·黑龙江牡丹江·期末）以下中国知名科技公司的商标中是轴对称图形的为（   ） A． B． C． D． 45．（25-26八年级上·浙江温州·期中）下面是四幅校徽标志，其中是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 46．（24-25七年级上·山东淄博·期中）如图，直线l，m相交于点O，P为这两条直线外一点，且．若点P关于直线l，m的对称点分别是点，，则，两点之间的距离可能是（   ） A．2 B．5 C．6 D．7 47．（24-25八年级上·四川广安·阶段检测）如图所示，在的方格内，已将其中的2个小正方形涂成黑色，请你分别在图①、图②、图③、图④中再将两个空白的小正方形涂成黑色，使4个黑色小正方形组成一个轴对称图形，画出与示意图不同的4种方案．（每个的方格内限画一种） 要求： （1）4个黑色小正方形必须相连；（有公共边或公共顶点视为相连） （2）将选中的小正方形方格用黑色签字笔涂成阴影图形．（若两个方案的图形经过翻折、平移、旋转后能够重合，均视为一种方案） 48．（23-24七年级下·辽宁阜新·期末）如图1，在的网格中，三个顶点均在格点上，这样的三角形叫做“格点三角形”．在图中画出一个“格点三角形”（阴影部分）与原关于某条直线成轴对称．请在图2、图3、图4中，各画一个和原三角形成轴对称的“格点三角形”，并将所画的“格点三角形”用“斜线”涂成“阴影部分”（图图4不重复）． 【考点8】一元一次不等式（组）（第49-57题） · 不等式两边同乘（除以）同一个负数时，不等号方向必须改变 · 解一元一次不等式步骤与解方程相同，注意最后一步变号 · 不等式组解集取各不等式解集的公共部分，借助数轴判断 · 由解集情况求参数时，先把参数当常数解出解集，再对照已知解集列不等式 49．（24-25七年级下·福建泉州·期中）下列判断不正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 50．（25-26九年级下·浙江温州·期中）若，则下列结论一定正确的是（     ） A． B． C． D． 51．（23-24七年级下·全国·课后作业）若，且，则的取值范围是______． 52．（24-25八年级上·浙江杭州·阶段检测）若不等式组只有两个整数解，则a的取值范围是______． 53．（24-25八年级上·浙江·期中）用不等式表示“2与的3倍的和是正数”：_______． 54．（24-25九年级下·浙江杭州·期中）不等式的解为_______． 55．（24-25八年级上·浙江杭州·期中）云谷的自营餐饮在保证菜品的新鲜程度上很重视．某日发现甲种蓅菜保鲜的适宜温度（单位：）是，乙种蔬菜保鲜的适宜温度是，如果将这两种蔬菜放在一起同时保鲜，则保鲜的适宜温度t（单位：）的范围是______． 56．（23-24七年级下·四川乐山·期末）将“a与b的差是非正数”用不等式表示为_______． 57．（24-25八年级下·陕西西安·期中）解不等式组，并将其解集在数轴上表示出来． 💯 课后巩固 复习建议 · 三角形边角关系先抓三边关系与内角和，外角是转化角的重要工具 · 等腰三角形遇边或角不确定要分类讨论，防止漏解 · 全等证明先分析已知条件选判定方法，直角三角形优先想HL · 勾股定理只在直角三角形中使用，实际问题先建模再列式 · 解不等式（组）注意两边同除以负数要变号，解集借助数轴 【作业1】．（23-24八年级下·吉林白山·阶段检测）下列是勾股数的是（    ） A．1.5，2，2.5 B．11，12，23 C．9，40，41 D．6，7，8 【作业2】．（25-26八年级上·浙江温州·阶段检测）下列各式中是一元一次不等式的是（   ） A． B． C． D． 【作业3】．（23-24八年级上·浙江温州·期中）若，则下列式子中正确的是（    ） A． B． C． D． 【作业4】．（25-26七年级下·湖北武汉·期中）下列命题中，假命题是（    ） A．垂线最短 B．互为相反数的两个数绝对值相等 C．同旁内角互补，两直线平行 D．所有实数都可以用数轴上的点表示，反过来，数轴上的所有点都表示实数 【作业5】．（25-26七年级下·上海·期末）以下列各组长度的线段为边长，其中能组成三角形的是（     ）． A． B． C． D． 【作业6】．（23-24八年级下·河南郑州·期末）下列式子中，是不等式的有（    ） ①；②；③；④；⑤；⑥ A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【作业7】．（23-24八年级上·浙江宁波·阶段检测）关于x的不等式的正整数解是___________． 【作业8】．（23-24八年级上·浙江杭州·阶段检测）如图，中，点D、E、F分别在边，，上，E为的中点，，，交于一点G，，，，则的值是 _______． 【作业9】．（22-23八年级上·浙江杭州·阶段检测）如图，平分于点D，点Q是射线上一个动点，若，则的取值范围为_________．    【作业10】．（24-25八年级上·浙江温州·期中）如图，是的角平分线，若，则的面积为___． 【作业11】．（23-24八年级下·甘肃金昌·期中）命题“如果，那么与互为补角”的逆命题为______． 【作业12】．（25-26八年级上·四川德阳·阶段检测）两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”．如图，四边形是一个筝形，其中，，在探究筝形的性质时，得到如下结论：①；②；③四边形的面积；④．其中正确的结论有______． 【作业13】．（23-24八年级上·浙江宁波·期中）在中， ______°． 【作业14】．（23-24八年级上·浙江绍兴·期中）小丽从一张等腰三角形纸片中恰好剪出五个如图所示的小等腰三角形，其中，则__________°．    【作业15】．（23-24八年级上·浙江杭州·期中）在中，，，， (1)若，，求c． (2)若，，求b．并求斜边上的高． 【作业16】．（24-25八年级上·河南驻马店·阶段检测）如图，点为外一点，为的中点，于点，交的延长线于点，连接，，且，． (1)求证：平分； (2)若，，求的长． 【作业17】．（23-24八年级上·浙江金华·阶段检测）如图，已知为的中点， (1)如图 1，求证：是等腰三角形； (2)如图 2 ，与交点为 F，若，求的长． 【作业18】．（23-24八年级上·浙江金华·期中）如图，于，于F，若，． (1)求证：平分； (2)若，，求的长． 【作业19】．（23-24八年级下·贵州贵阳·阶段检测）如图，在的方格纸中，每个小正方形的边长都为1，的三个顶点都在格点上，已知，． (1)画出； (2)判断的形状，并说明理由． 【作业20】．（25-26八年级下·山西太原·期中）下面是某同学解不等式的过程，请认真阅读并完成相应的任务． 解：去分母，得．第一步 移项，得．第二步 合并同类项，得，第三步 x系数化成1，得，第四步 根据以上材料，解答下列问题： (1)第一步的依据是___________________； (2)在解答过程中，从第________步开始出错，具体的错误原因是_________________________； (3)原不等式的正确解集为________． 1 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题一·期中综合复习·基础巩固讲义 （第1~3章）（知识梳理+典例+练习）·2026-2027学年浙教版七年级数学上册 参考答案与试题解析 📌 思维导图 🎯 课程目标 · 理解三角形的边、角、重要线段等概念，掌握三角形三边关系与内角和定理 · 掌握等腰三角形、等边三角形与直角三角形的性质和判定，会用斜边中线性质 · 理解全等三角形的性质，熟练运用SSS、SAS、ASA、AAS、HL判定三角形全等 · 掌握角平分线与线段垂直平分线的性质定理，理解轴对称与轴对称图形 · 掌握勾股定理及其逆定理，会用勾股定理解决实际问题；会解一元一次不等式（组） 📚 知识梳理 ☆ 1.三角形的线段、角与三边关系 三角形三边关系：三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边；判断三条线段能否构成三角形，只需看较短两边之和是否大于最长边 三角形的高、中线、角平分线都是线段；中线把三角形分成两个面积相等的小三角形 三角形内角和等于180°；三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和，且大于任何一个与它不相邻的内角 三角形按边分有不等边三角形和等腰三角形，按角分有锐角、直角、钝角三角形 概念辨析例题：已知三角形的两边长分别为3和7，则第三边长x的取值范围是____ 答案：4<x<10 解析：根据三角形三边关系，两边之差小于第三边、两边之和大于第三边，即7-3<x<7+3，所以4<x<10。 ☆ 2.等腰三角形与直角三角形 等腰三角形：等边对等角，等腰三角形顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（三线合一） 等边三角形：三个角都等于60°；三个角都相等的三角形或有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形 直角三角形：两个锐角互余；直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 含30°角的直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半 概念辨析例题：等腰三角形的一个内角为80°，则它的顶角的度数是____ 答案：80°或20° 解析：分两种情况：若80°为顶角，则顶角为80°；若80°为底角，则顶角为180°-2×80°=20°。故顶角为80°或20°。 ☆ 3.全等三角形与轴对称 全等三角形的对应边相等、对应角相等；判定方法有SSS、SAS、ASA、AAS，直角三角形还有HL 角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等；反之，到角两边距离相等的点在角平分线上 线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等；反之，到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上 轴对称图形沿对称轴折叠后直线两旁的部分能完全重合；对应点所连线段被对称轴垂直平分 概念辨析例题：如图，已知AB=AD，BC=DC，∠B=80°，则∠D=____ 答案：80° 解析：由AB=AD、BC=DC、AC=AC，根据SSS可得△ABC≌△ADC，全等三角形对应角相等，所以∠D=∠B=80°。 ☆ 4.勾股定理及其应用 勾股定理：直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方，即a2+b2=c2 勾股定理的逆定理：若三角形三边a、b、c满足a2+b2=c2，则这个三角形是直角三角形 常见勾股数：3、4、5；5、12、13；8、15、17及其正整数倍 勾股定理常用于求边长、面积、最短路径（如航海、折叠、网格问题），无理数可借助数轴与勾股定理表示 概念辨析例题：直角三角形两直角边长分别为6和8，则斜边长为____ 答案：10 解析：由勾股定理，斜边c====10。 ☆ 5.一元一次不等式（组） 不等式的基本性质：两边都加（减）同一个数（式），不等号方向不变；两边都乘（除以）同一个正数，方向不变；乘（除以）同一个负数，方向改变 解一元一次不等式的步骤与解一元一次方程类似，注意系数化为1时若两边同除以负数要改变不等号方向 不等式组的解集是各不等式解集的公共部分，可借助数轴确定；同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解 列不等式（组）解实际问题，抓住『至少』『不超过』『不大于』等关键词 概念辨析例题：解不等式：2(x-1)<x+1，并把解集在数轴上表示出来 答案：x<3 解析：去括号得2x-2<x+1，移项得2x-x<1+2，合并得x<3。 📋 知识总结表 核心概念 定义/公式 注意事项 三角形三边关系 两边之和大于第三边 只需较短两边之和大于最长边 三角形内角和 三个内角和等于180° 外角等于不相邻两内角之和 等腰三角形 等边对等角、三线合一 顶角与底角需分类讨论 直角三角形 两锐角互余；斜边中线=斜边一半 30°角对的直角边=斜边一半 全等判定 SSS/SAS/ASA/AAS/HL SSA、AAA不能判定全等 勾股定理 a2+b2=c2 c为斜边；逆定理判定直角三角形 不等式性质 乘除负数要变号 解集公共部分借助数轴 ⚠️ 核心考点 【考点1】三角形的三边关系与重要线段（第1-6题） · 判断三条线段能否构成三角形，只需验证较短两边之和大于最长边 · 已知两边求第三边范围：两边之差<第三边<两边之和 · 三角形中线把原三角形分成两个等积小三角形，面积为原三角形的一半 · 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，常与勾股定理联用 1．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，一根竹竿斜靠在竖直的墙上，点P是中点，表示竹竿沿墙滑动过程中的某个位置，则的长（   ） A．下滑时，的长度增大 B．上升时，的长度减小 C．只要滑动，的长度就变化 D．无论怎样滑动，的长度不变 【答案】D 【知识点】斜边的中线等于斜边的一半 【分析】此题考查了直角三角形斜边上的中线，解题的关键是熟练掌握以上知识点．根据直角三角形斜边上的中线性质得出答案即可． 【详解】解：∵，P为的中点， ∴， 即的长在竹竿滑动过程中始终保持不变， 故选：D． 2．（25-26八年级上·浙江台州·期末）下列各组中的三条线段，能组成直角三角形的是（   ） A．1，2，3 B．2，3，4 C．5，12，13 D．4，5，6 【答案】C 【知识点】构成三角形的条件、判断三边能否构成直角三角形 【分析】本题主要考查三角形的三边关系和勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是做题的关键．若三角形的三条边满足两条较短边的平方和等于最长边的平方，则该三角形为直角三角形，据此逐一验证选项即可． 【详解】解：对于选项A：，这三条线段不能构成三角形，故不符合题意； 对于选项B：，，，这三条线段不能组成直角三角形，故不符合题意； 对于选项C：，，，这三条线段能组成直角三角形，故符合题意； 对于选项D： ，，，这三条线段不能组成直角三角形，故不符合题意． 故选：C． 3．（24-25八年级上·吉林长春·阶段检测）在中，为的中线，，，则_________． 【答案】 【知识点】根据三角形中线求面积 【分析】本题主要考查了三角形中线的性质，根据三角形中线平分三角形面积得到，再由即可得到． 【详解】解：∵在中，为的中线，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 4．（25-26八年级上·江苏南京·阶段检测）如图，点D为中边上的中点，为的中线．若的面积为60，则的面积为________． 【答案】15 【知识点】根据三角形中线求面积 【分析】本题主要考查了三角形中线的性质．根据三角形的中线把三角形分成面积相等的两部分即可解答． 【详解】解：∵点D为中边上的中点， ∴是边上的中线， ∵的面积是60， ∴， ∵是中边上的中线， ∴． 故答案为：15． 5．（25-26八年级上·浙江杭州·阶段检测）三角形三边长分别为，，，则的取值范围是______________ 【答案】 【知识点】确定第三边的取值范围、三角形三边关系的应用、求不等式组的解集 【分析】本题考查了三角形三边关系，熟练掌握三角形三边关系定理是解答本题的关键． 根据三角形三边关系，即两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，列出不等式，由此得到答案． 【详解】解：根据题意得： 三角形三边长分别为，，， 由三角形三边关系可得：， 解得， 故答案为． 6．（25-26八年级上·浙江绍兴·期中）等腰三角形一腰上的中线将这个三角形的周长分成，两部分，则等腰三角形的腰长为________． 【答案】或 【知识点】几何问题(二元一次方程组的应用)、三角形三边关系的应用、等腰三角形的定义、根据三角形中线求长度 【分析】设腰长为x，底边长为y，根据中线分周长的两种可能情况列方程组求解，并验证三角形三边关系． 【详解】解：设等腰三角形的腰长为x，底边长为y． 一腰上的中线将周长分为两部分：一部分为腰长加半腰长， 即； 另一部分为底边长加半腰长， 即． 由题意，这两部分分别为和，因此分两种情况： 情况一：且， 解得：，， 情况二：且， 解得：，， 经检验，两种情况均满足三角形三边关系（两边之和大于第三边）． 故答案为：或． 【点睛】本题考查了三角形三边关系的应用，几何问题(二元一次方程组的应用)，等腰三角形的定义，根据三角形中线求长度等知识，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 【考点2】三角形内角和与外角性质（第7-15题） · 三角形内角和恒为180°，列方程求未知角是常用手段 · 外角等于与它不相邻的两个内角之和，求角时优先用外角转化 · 折叠问题抓住折叠前后对应角相等，结合平行线性质建立角的关系 · 平行线中求角：两直线平行，同位角、内错角相等，同旁内角互补 7．（24-25八年级上·浙江宁波·期末）如图，在中，外角，，则的度数为 （    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】三角形的外角的定义及性质 【分析】本题考查了三角形外角的性质，根据三角形的外角可得，代入求值即可． 【详解】解：∵， ∴． 故选：C． 8．（2025·浙江杭州·一模）如图，在中，，E，F分别在边上，将沿着折叠，得到，与交于G．当时，的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】根据平行线的性质求角的度数、折叠问题 【分析】根据三角形的内角和为180度，求出的度数，平行线的性质求出的度数，平角的定义结合三角形的内角和为180度，求出的度数即可． 【详解】解：∵在中，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵折叠， ∴， ∴． 9．（23-24八年级上·浙江宁波·阶段检测）如图，在中，D，E是内的两点，且，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】与角平分线有关的三角形内角和问题 【分析】本题主要考查三角形内角和与角平分线，设，则，即，判定点E为三条角平分线的交点，且和，则． 【详解】解：设， ∵， ∴，则， ∵， ∴， ∴点E为三条角平分线的交点， ∴． 故选：B． 10．（24-25八年级上·浙江温州·期中）如图，已知，其中A，B，C的对应顶点分别是D，E，F，，，则的度数为_______． 【答案】60 【知识点】根据平行线的性质求角的度数、三角形内角和定理的应用、全等三角形的性质 【分析】本题考查全等三角形的性质，三角形的内角和定理，平行线的性质，根据三角形的内角和定理，求出的度数，全等三角形的对应角相等，得到的度数，平行线的性质求出的度数即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 故答案为：60． 11．（2025·山东德州·一模）一副三角板按如图所示的方式摆放，，，，若，则的度数为_______． 【答案】 【知识点】对顶角相等、根据平行线的性质求角的度数、三角形的外角的定义及性质 【分析】本题考查了平行线的性质，三角形外角的性质，对顶角相等，正确记忆相关知识点是解题关键． 根据三角板得出，，根据，得出，再根据三角形外角的性质和对顶角相等即可求解． 【详解】如图； ，，， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 12．（24-25七年级下·浙江·阶段检测）如图，在一次数学活动课上，小明将一张长方形纸带进行了两次折叠，折痕分别为，，若，则______． 【答案】 【知识点】根据平行线的性质求角的度数、折叠问题 【分析】本题考查翻折性质，角度计算，平行线性质等．根据题意可得设，则，求出，结合平行线的性质得，，再代入化简计算，即可作答． 【详解】解：依题意，如图所示： ∵将一条长方形纸带进行了两次折叠，折痕分别为，， ∴ ∵， ∴设， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴ ∵ ∴ 则 故答案为： ． 13．（23-24七年级下·河南濮阳·期末）如图，直线DE经过点A，． 填空： ∵， ∴______（______），______（______）， ∵直线过点A ∴，∴____________． 于是，我们证明了结论：______． 【答案】，两直线平行，内错角相等，，两直线平行，内错角相等，，，三角形的内角和等于； 【知识点】三角形内角和定理的证明 【分析】本题考查的是三角形的内角和定理的证明，平行线的性质，根据题干信息逐步完善推理过程与推理依据即可； 【详解】解：， ∴（两直线平行，内错角相等），（两直线平行，内错角相等）， ∵直线过点A ∴， ∴ ． 于是，我们证明了结论：三角形的内角和等于． 14．（24-25七年级下·黑龙江大庆·期中）如图，在中，，，，分别是的角平分线和高线，则的度数． 【答案】 【知识点】与角平分线有关的三角形内角和问题、与三角形的高有关的计算问题 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，角平分线的定义等，熟知三角形的内角和为，是解答此题的关键．先根据三角形内角和定理及角平分线的性质求出度数，再由三角形内角和定理可求出的度数，最后根据即可解答． 【详解】解：∵，， ∴在中，， ∵是的角平分线， ∴ ， 又∵是的高线， ∴， ∴． 15．（23-24七年级下·四川乐山·期末）如图所示，，点在边上，与交于点．    (1)若，，求线段的长； (2)若，，求的度数． 【答案】(1) (2) 【知识点】全等三角形的性质、三角形的外角的定义及性质 【分析】本题考查全等三角形的性质，三角形的外角的性质； （1）由，得到，而，即可得到的长； （2）由，得到，由三角形外角的性质得到，进而即可求解． 【详解】（1）解：解： ， ∴. （2）解： ， . 【考点3】等腰与等边三角形（第16-21题） · 等边对等角：等腰三角形两底角相等，遇顶角/底角不确定要分类讨论 · 三线合一：顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合 · 等边三角形三边相等、三角均为60°，有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形 · 等腰三角形边或角未指明时，注意分腰与底、顶角与底角两种情况讨论 16．（24-25八年级下·湖南娄底·阶段检测）在中，， 则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】构造二元一次方程组求解、直角三角形的两个锐角互余 【分析】本题考查的是直角三角形的性质，掌握直角三角形的两锐角互余是解题的关键． 根据直角三角形的性质得到，根据题意列出方程组，解方程组得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴ 解得：， 故选：A． 17．（24-25八年级上·浙江宁波·期中）在等腰三角形中，为，则底角的度数为______． 【答案】或 【知识点】等边对等角、三角形内角和定理的应用 【分析】本题考查等腰三角形的性质，三角形内角和定理．掌握等腰三角形的两个底角相等是解题关键，注意分类讨论，避免漏解．分类讨论：①当为顶角时和②当为底角时，结合等腰三角形的性质和三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：分类讨论：①当为顶角时，则底角的度数为； ②当为底角时，则底角的度数为． 故答案为：或． 18．（23-24八年级上·新疆昌吉·阶段检测）等腰三角形的顶角等于，则一个底角的度数为________；等腰三角形的一个底角为50°，则它的顶角为________． 【答案】 【知识点】等边对等角、三角形内角和定理的应用 【分析】本题考查了等腰三角形的性质、三角形内角和定理，属于基础题，关键是掌握等腰三角形的两个底角相等． 根据等腰三角形两底角相等，三角形内角和为180°即可得出答案． 【详解】解：等腰三角形的顶角等于，两底角相等， 一个底角等于：； 等腰三角形的底角等于，两底角相等， 顶角等于：． 故答案为：；． 19．（24-25八年级上·江苏南京·期中）如图，在中，是的中点，过点作，垂足为的垂直平分线分别交于点，且．若，则的长为_______． 【答案】 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质和判定 【分析】本题考查了垂直平分线的性质，全等三角形的性质与判定，等腰直角三角形的性质与判定，先倍长中线法证明得出，，进而得出，证明是等腰直角三角形，得出，，进而根据线段的和差关系，即可求解． 【详解】解：如图，延长至，使得，连接， ∵是的中点， ∴ 又∵ ∴ ∴， ∴ ∵， ∴ ∵直平分， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴ ∴ ∴是等腰直角三角形， 又∵ ∴ ∴ ∴， ∵ ∴ 故答案为：2． 20．（2025·陕西西安·二模）如图，在四边形中，点E是边上的点，请用尺规作图法作一个等腰，点P在四边形内部，且点P到边、的距离相等．（作出符合题意的一个等腰三角形即可，保留作图痕迹，不写作法） 【答案】 如图所示， 根据题意得，，且点P到，的距离相等 ∴等腰即为所求． 【知识点】作角平分线(尺规作图)、作等腰三角形(尺规作图) 【分析】此题考查了尺规作等腰三角形，角平分线，解题的关键是掌握以上作图方法． 以点B为圆心，为半径画弧交于点F，然后作出的平分线交于点P，连接，，即为所求． 【详解】略 21．（25-26八年级上·河南焦作·期中）如图，，，． (1)求证：． (2)若，求证是等边三角形． 【答案】(1) 证明：在和中， ，    ． (2) 证明：在中， ， 又 ，， ，     ， 是等边三角形． 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、等腰三角形的性质和判定、等边三角形的判定和性质 【分析】本题主要考查了等腰三角形和等边三角形的判定以及全等三角形的判定与性质的综合应用，解决问题的关键是掌握全等三角形的判定方法．解题时注意第②问中三角形内角和定理及平角定义的综合运用． (1)先根据，，，判定，得出，进而得到为等腰三角形； (2)根据，得出，再根据平角的定义，得到，最后判定等腰为等边三角形． 【详解】（1）略 （2）略 【考点4】全等三角形的性质与判定（第22-28题） · 全等三角形对应边相等、对应角相等，先找对应顶点再写对应关系 · 判定全等根据已知条件选方法：已知两边找夹角或第三边（SAS/SSS），已知两角找夹边或任一边（ASA/AAS） · 直角三角形优先考虑HL，再用一般判定方法 · 证明线段或角相等，常转化为证明它们所在的两个三角形全等 22．（24-25八年级上·浙江·期中）如图，三条直线互相平行，的三个顶点分别在三条平行线上．已知，，且之间的距离为2，之间的距离为3，则的面积为（    ） A．6 B． C．10 D．13 【答案】B 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质以及勾股定理．过A作于D，交直线c于点E，证明，得出，根据勾股定理得出，根据三角形面积公式求出． 【详解】解：过A作于D，交直线c于点E，如图所示： ∵， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴根据勾股定理得：， ∴． 故答案为：． 23．（24-25八年级上·浙江台州·期末）如图，在中，，，垂足为点，若，，则和的面积之比为______． 【答案】 【知识点】全等的性质和HL综合（HL）、根据三角形中线求面积 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，中线与面积的关系，等腰三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．运用等腰三角形的性质，且通过证明，，因为，再类比中线与面积的关系，推出，即可作答． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴， ∴ ∴和的面积之比为 故答案为： 24．（25-26八年级上·浙江舟山·期中）如图，点在上，，，，则的长为______． 【答案】 【知识点】全等三角形的性质 【分析】此题考查了全等三角形的性质，由，则，，然后通过线段和差即可求解，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键． 【详解】解：∵，，， ∴，， ∴， 故答案为：． 25．（24-25八年级下·陕西汉中·期中）如图所示，和中，于点，于点，且，，求证：． 【答案】 证明：，， 和为直角三角形． 在和中， ， ． 【知识点】用HL证全等（HL） 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，熟练运用证明全等三角形成为解题的关键． 先说明和为直角三角形，然后运用即可解答． 【详解】略 26．（25-26八年级上·全国·期中）如图，已知．写出对应边、对应角． 【答案】对应边：与，与，与；对应角：与，与，与． 【知识点】全等三角形的概念 【分析】本题考查全等三角形的对应边与对应角．把两个全等的三角形重叠到一起时，重合的顶点叫作对应顶点，重合的边叫作对应边，重合的角叫作对应角．据此即可解答． 【详解】解：略． 27．（24-25八年级上·江苏泰州·阶段检测）如图，在中，，点在的延长线上，且．过点作，与的垂线交于点． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1) 证明：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴； (2) 【知识点】三角形内角和定理的应用、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、三角形的内角和定理，熟练掌握全等三角形的判定方法是解答的关键． （1）先根据三角形的内角和定理和同角的余角相等证得，进而利用“”可证得结论； （2）根据全等三角形的对应边相等证得，进而得到． 【详解】（1）略 （2）解：∵，， ∴，又， ∴． 28．（25-26八年级上·广西南宁·阶段检测）问题呈现． 角平分线的性质 角的平分线上的点与角两边的点所连线段与角两边的位置关系的特殊情形，如图，是的平分线，P是上任一点，作与的垂线，垂足分别为点D和点E，通过测量，我们发现与相等．再类似取点，，…进行同样操作，发现它们仍相等，由此猜想有： 角平分线上的点到角两边的距离相等． 请结合图形写出已知和求证，并完成推理过程． 已知：_____，求证：_____． (1)定理证明：结合图1写出已知和求证，并写出“角平分线的性质定理”完整的证明过程． (2)定理应用：如图2，在四边形中，，点E在边上，平分，平分．求证：． 【答案】(1) 已知：平分，于E点，于D点，如图1， 求证： 证明：平分， ， 于E点，于D点， ， 在和中， ， ， ， ∴角平分线上的点到角两边的距离相等； (2) 证明：过E点作于F点，于G点，于H点，如图2， 平分，DE平分， ，， ， 在和中， ， ， 【知识点】角平分线的性质定理、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、写出命题的题设与结论 【分析】本题考查了命题，全等三角形的性质和判定，角平分线定理，掌握相关知识是解决问题关键． （1）先结合图1写出已知、求证，然后证明 ，从而得到， （2）证明：过E点作于F点，于G点，于H点，如图2，根据角平分线的性质可证明，然后证明 ，从而得到 【详解】（1）略 （2）略 【考点5】角平分线与线段垂直平分线（第29-33题） · 角平分线上的点到角两边的距离相等；常作垂线段构造全等 · 线段垂直平分线上的点到线段两端点距离相等，可实现线段等量转化 · 判定定理与性质定理要分清：性质由位置推出距离相等，判定由距离相等推出在直线上 · 遇垂直平分线或角平分线条件，优先连线段或作垂线转移边、角 29．（26-27八年级上·江苏扬州·阶段检测）如图，在中，，的平分线交于，若，则点到的距离是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】角平分线的性质定理、点到直线的距离 【分析】过点作于，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得，即可求解． 【详解】解：过点作于，如图： ∵是的平分线，，， ∴， 即点到的距离是． 30．（2025·浙江温州·三模）如图，在中（），，点，分别是，上的动点，连接，，点和关于对称，点和关于对称，且点，都在所在的直线上．已知，设，．下列代数式的值不变的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】角平分线的性质定理、根据成轴对称图形的特征进行求解、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，角平分线的性质，轴对称图形的性质，由轴对称的性质可得，则点E到和到的距离相等，利用等面积法可证明，同理可得，证明，求出，再证明，得到，即，据此可得． 【详解】解：由轴对称的性质可得， ∴分别平分， ∴点E到和到的距离相等， 设点E到的距离为h， ∴， ∴， 同理可得， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴， 故选：C． 31．（23-24八年级下·全国·期末）下列各命题中，其逆命题是假命题的是（     ） A．等腰三角形的两个底角相等 B．三个角都是的三角形是等边三角形 C．全等三角形的三个角分别对应相等 D．线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等 【答案】C 【知识点】线段垂直平分线的判定、写出命题的逆命题、全等三角形的性质、线段垂直平分线的性质、判断命题真假、等边三角形的判定和性质 【分析】交换原命题的题设与结论得到逆命题，再根据初中几何相关性质判定逆命题的真假即可． 【详解】解：A、原命题的逆命题为：两个角相等的三角形是等腰三角形，该逆命题是真命题，不符合要求； B、原命题的逆命题为：等边三角形的三个角都是，该逆命题是真命题，不符合要求； C、原命题的逆命题为：三个角分别对应相等的两个三角形全等， ∵三个角对应相等只能说明两个三角形形状相同，大小不一定相同，例如边长不同的两个等边三角形，三角对应相等但不全等， ∴该逆命题是假命题，符合要求； D、原命题的逆命题为：到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，该逆命题是真命题，不符合要求． 32．（25-26八年级上·浙江杭州·阶段检测）如图，等腰中，，的垂直平分线交于点，则周长是__________． 【答案】 【知识点】线段垂直平分线的性质 【分析】本题考查了线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等的性质，等腰三角形的性质，熟记性质是解题的关键． 先根据线段垂直平分线的性质得到，从而得到，即可求解． 【详解】解：∵垂直平分， ∴， 在等腰中，∵， ∴， ∵， ∴的周长为． 故答案为：． 33．（24-25八年级上·浙江温州·期末）如图，是的角平分线．若，，的面积为，则的长为______． 【答案】 【知识点】角平分线的性质定理 【分析】本题考查了角平分线的性质定理，熟练掌握角平分线的性质定理是解题的关键； 作于，根据角平分线的性质可得，再利用计算求解即可． 【详解】解：作于， 平分，， ， ∴， ∴， ∴， ∴； ∴； 故答案为： 【考点6】勾股定理及其应用（第34-42题） · 在直角三角形中已知两边求第三边，直接用a2+b2=c2，先分清直角边与斜边 · 网格问题用勾股定理求格点间线段长，再判断是否构成直角三角形 · 实际应用（航海、大树折断、小鸟飞行）先画出直角三角形模型再列勾股式 · 勾股定理逆定理用于判断三角形是否为直角三角形；无理数可在数轴上表示 34．（23-24八年级上·浙江温州·期中）如图，李老伯有三块地分别是，正方形和正方形．已知两个正方形的面积分别为，则的长为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】以直角三角形三边为边长的图形面积 【分析】本题考查的是勾股定理的应用，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键．根据勾股定理求出，则可得出答案． 【详解】解：在中，， ∵，， ∴， ∴． 故选A． 35．（22-23八年级上·宁夏银川·期中）如图，甲、乙两船同时从港口出发，甲船以海里时的速度沿北偏东方向航行，乙船沿南偏东方向航行，小时后，甲船到达岛，乙船到达岛，若，两岛相距海里，乙船的速度是______ 海里时． 【答案】40 【知识点】三角形内角和定理的应用、解决航海问题(勾股定理的应用)、用勾股定理解三角形 【分析】根据已知判定为直角，根据路程公式求得的长．再根据勾股定理求得的长，从而根据公式求得其速度． 本题考查了直角三角形的判定及方向角的掌握情况，关键是根据勾股定理解答． 【详解】解：如图， 甲的速度是海里时，时间是小时， 海里． ，， ． 海里， 海里． 乙船也用小时， 乙船的速度是40海里时， 故答案为：40． 36．（23-24八年级上·浙江宁波·阶段检测）在中，，、、的对边分别是a、b、c，若，，则________． 【答案】 【知识点】求一个数的算术平方根、用勾股定理解三角形 【分析】利用勾股定理求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查勾股定理、求一个数的算术平方根，熟练掌握运用勾股定理解直角三角形是解答的关键． 37．（2024·江苏无锡·模拟预测）《九章算术》中“折竹”问题（如图）：“今有竹高一丈，末折抵地，去根三尺，问折者高几何?”译文：“一根竹子，原高一丈，竹子折断，其竹梢恰好着地，着地处离原竹子根部3尺远．（1丈=10尺）问：竹子折断处离地面有几尺?”答：竹子折断处离地面有_____________尺． 【答案】 【知识点】求大树折断前的高度(勾股定理的应用) 【分析】此题考查了勾股定理的应用．竹子折断后刚好构成一直角三角形，设竹子折断处离地面尺，则斜边为尺．利用勾股定理解题即可． 【详解】解：设竹子折断处离地面尺，则斜边为尺， 根据勾股定理得：， 解得：， 答：折断处离地面的高度为尺； 故答案为：． 38．（24-25七年级上·浙江宁波·期中）如图，方格的每一方格的边长为1个单位，依次连接各边的中点A，B，C，D，以顶点C为圆心，长为半径画圆交数轴于点P，则数轴上点P对应的无理数是 _____． 【答案】/ 【知识点】实数与数轴、勾股定理与无理数 【分析】本题考查的是勾股定理，实数与数轴．求得点P到原点的距离即可． 【详解】解：根据题意，数轴上点C对应的数是1， 线段长是， ∴， ∴数轴上点P对应的无理数是． 故答案为：． 39．（23-24八年级下·河南信阳·期末）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，点都在格点上，以为圆心，的长为半径画弧，交于点，求的长．    【答案】 【知识点】勾股定理与网格问题 【分析】本题考查了网格与勾股定理，根据网格的特点，作图的性质可得，在中，根据勾股定理可得，由此即可求解． 【详解】解：根据题意，，， ∴， ∴， 故答案为： ． 40．（23-24八年级下·浙江台州·期中）如图，有两棵树，分别记为，．其中一棵树高12米，另一棵树高6米，两棵树相距8米．若一只小鸟从树梢A飞到树梢C，求小鸟飞行的最短距离． 【答案】小鸟飞行的最短路程为10米 【知识点】求小鸟飞行距离(勾股定理的应用) 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，根据“两点之间线段最短”可知：小鸟沿着两棵树的顶端进行直线飞行，所行的路程最短，运用勾股定理可将两点之间的距离求出．解题的关键是将现实问题建立数学模型，运用数学知识进行求解． 【详解】解：如图，过点作于点，则四边形是长方形，连接． ∵米，米，米， ∴米，米，米， 在中，(米)， 故小鸟飞行的最短路程为10米． 41．（23-24七年级下·河南驻马店·阶段检测）如图，在边长为1的正方形网格中，三角形的顶点均在格点上，平移三角形，使三角形的顶点C平移到点F处． (1)请画出平移后的三角形（点A，B的对应点分别为D，E），并判断与的关系； (2)求四边形的面积． 【答案】(1) 如图，即为所求， ， (2) 【知识点】勾股定理与网格问题、平移(作图)、利用平移的性质求解 【分析】本题考查平移变换，四边形的面积等知识，解题的关键是掌握平移变换的性质，学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型． (1)利用平移变换的性质分别作出A，B的对应点D，E即可，再利用平移的性质判断即可； (2)根据四边形的面积矩形的面积求解， 【详解】（1）略 （2）过点作于点M，过点D作于点N， ， ， 平移后得到的是， ， 四边形的面积=矩形的面积， 由勾股定理得：，， 四边形的面积=矩形的面积． 42．（23-24八年级上·浙江温州·期中）如图，在的方格纸中，横竖格子线的交错点称为格点，线段的端点均在格点上，每个小方格的边长为1．请按要求画等腰三角形，点为格点． (1)在图1中，画一个锐角三角形． (2)在图2中，画一个直角三角形，再画出该三角形关于直线成轴对称的图形． 【答案】(1)解：如图，即为所画的三角形； (2)如图，与即为所画的三角形； 【知识点】判断三边能否构成直角三角形、格点图中画等腰三角形、画轴对称图形、勾股定理与网格问题 【分析】本题考查的是利用网格特点画三角形，等腰三角形的性质，勾股定理的逆定理的应用，轴对称图形的含义，掌握几何图形的基本性质是解本题的关键； （1）取格点，使，则既是等腰三角形也是锐角三角形； （2）取格点，使，而，则满足条件，再画关于对称的三角形即可． 【详解】（1）略 （2）略 【考点7】轴对称与轴对称图形（第43-48题） · 判断轴对称图形关键看能否找到一条直线使折叠后两旁完全重合 · 轴对称的对应点连线被对称轴垂直平分，对应线段、对应角相等 · 画轴对称图形先找关键点的对称点，再依次连线 · 设计轴对称图案时利用对称轴两侧完全相同的特点 43．（23-24八年级上·浙江宁波·期末）正五角星的对称轴有（    ） A．1条 B．3条 C．5条 D．无数条 【答案】C 【知识点】求对称轴条数 【分析】本题考查了对称轴，正五角星经过角的顶点和中心点的直线都是它的对称轴，熟知轴对称图形的判断方法：“把某个图象沿某条直线折叠，如果图形的两部分能够重合，那么这个是轴对称图形，这条直线是它的对称轴”，是解题的关键． 【详解】解：正五角星经过角的顶点和中心点的直线都是它的对称轴，所以有5条对称轴． 故选：C． 44．（25-26八年级上·黑龙江牡丹江·期末）以下中国知名科技公司的商标中是轴对称图形的为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】轴对称图形的识别 【分析】本题考查了轴对称图形的识别，熟知轴对称图形：如果一个平面图形沿着一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形．据此逐项判断即可． 【详解】解：A选项中的图形能够找到一条直线，使图形沿直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形； B、C、D选项中的图形都找不到一条直线，使两旁的部分完全重合，所以不是轴对称图形； 故选：A． 45．（25-26八年级上·浙江温州·期中）下面是四幅校徽标志，其中是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】轴对称图形的识别 【分析】本题考查了轴对称图形的知识，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，根据轴对称图形的定义逐项分析即可得解，熟练掌握轴对称图形的概念，是解题的关键． 【详解】解：A、沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，是轴对称图形，故符合题意； B、沿一条直线折叠，直线两旁的部分不能够互相重合，不是轴对称图形，故不符合题意； C、沿一条直线折叠，直线两旁的部分不能够互相重合，不是轴对称图形，故不符合题意； D、沿一条直线折叠，直线两旁的部分不能够互相重合，不是轴对称图形，故不符合题意； 故选：A． 46．（24-25七年级上·山东淄博·期中）如图，直线l，m相交于点O，P为这两条直线外一点，且．若点P关于直线l，m的对称点分别是点，，则，两点之间的距离可能是（   ） A．2 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【知识点】根据成轴对称图形的特征进行求解、三角形三边关系的应用 【分析】本题考查了对称性，三角形三边关系定理，熟练掌握对称性和三角形存在性是解题的关键． 连接，，根据对称性，得到，利用三角形三边关系定理计算选择即可． 【详解】解：如图，连接，，根据对称性可得：， 由条件可知 在中，∵最大， ∴ 即，选项中只有B选项符合条件． 故选：B． 47．（24-25八年级上·四川广安·阶段检测）如图所示，在的方格内，已将其中的2个小正方形涂成黑色，请你分别在图①、图②、图③、图④中再将两个空白的小正方形涂成黑色，使4个黑色小正方形组成一个轴对称图形，画出与示意图不同的4种方案．（每个的方格内限画一种） 要求： （1）4个黑色小正方形必须相连；（有公共边或公共顶点视为相连） （2）将选中的小正方形方格用黑色签字笔涂成阴影图形．（若两个方案的图形经过翻折、平移、旋转后能够重合，均视为一种方案） 【答案】 如图所示： ． 【知识点】设计轴对称图案 【分析】此题主要考查了利用旋转设计图案，正确掌握相关图形性质是解题关键．利用轴对称图形的性质以及旋转的性质、平移的性质分别得出符合题意的答案． 【详解】解：略． 48．（23-24七年级下·辽宁阜新·期末）如图1，在的网格中，三个顶点均在格点上，这样的三角形叫做“格点三角形”．在图中画出一个“格点三角形”（阴影部分）与原关于某条直线成轴对称．请在图2、图3、图4中，各画一个和原三角形成轴对称的“格点三角形”，并将所画的“格点三角形”用“斜线”涂成“阴影部分”（图图4不重复）． 【答案】 如图， 【知识点】画轴对称图形 【分析】本题考查了作图轴对称变换：先确定图形的关键点；再利用轴对称性质作出关键点的对称点；然后按原图形中的方式顺次连接对称点．根据轴对称的性质画图． 【详解】略 【考点8】一元一次不等式（组）（第49-57题） · 不等式两边同乘（除以）同一个负数时，不等号方向必须改变 · 解一元一次不等式步骤与解方程相同，注意最后一步变号 · 不等式组解集取各不等式解集的公共部分，借助数轴判断 · 由解集情况求参数时，先把参数当常数解出解集，再对照已知解集列不等式 49．（24-25七年级下·福建泉州·期中）下列判断不正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】A 【知识点】不等式的性质 【分析】本题考查不等式的基本性质，需注意不等式两边乘除代数式时的符号问题． 【详解】解：A． 当两边除以时，若，则；但若，此时．因的符号不确定，无法直接推出，故A错误． B．不等式两边同时加2，方向不变，结论正确． C．不等式两边乘以，方向改变，结论正确． D．，两边乘以正数，方向不变，结论正确． 故选：A． 50．（25-26九年级下·浙江温州·期中）若，则下列结论一定正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】不等式的性质 【分析】利用不等式性质推导得到正确结论． 【详解】解：∵， ∴当时，，，； 当时，，不一定大于0，； 当时，，，； ∴A、B、C不一定正确，不符合题意，D选项正确． 51．（23-24七年级下·全国·课后作业）若，且，则的取值范围是______． 【答案】 【知识点】求一元一次不等式的解集、不等式的性质 【分析】本题考查不等式的性质，根据不等式的两边同乘同一个小于0的数或式子，不等号的方向发生改变，得到，求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴； 故答案为：． 52．（24-25八年级上·浙江杭州·阶段检测）若不等式组只有两个整数解，则a的取值范围是______． 【答案】 【知识点】由不等式组解集的情况求参数 【分析】本题主要考查了根据不等式组的解集情况求参数，先求出两个不等式的解集，再根据不等式组只有两个整数解进行求解即可． 【详解】解：， 解不等式①得， 解不等式②得， ∵不等式组只有两个整数解， ∴， 故答案为：． 53．（24-25八年级上·浙江·期中）用不等式表示“2与的3倍的和是正数”：_______． 【答案】 【知识点】列一元一次不等式 【分析】本题考查的是列不等式，读懂题意，抓住关键词语，弄清运算的先后顺序和不等关系，才能把文字语言的不等关系转化为用数学符号表示的不等式；根据和是正数，那么最后算的和应大于0，列出不等式即可． 【详解】解：根据题意，得：． 故答案为：． 54．（24-25九年级下·浙江杭州·期中）不等式的解为_______． 【答案】 【知识点】求一元一次不等式的解集 【分析】本题考查了解一元一次不等式，根据解一元一次不等式的步骤求出不等式的解集即可． 【详解】解：， 移项得：， ∴． 故答案为：． 55．（24-25八年级上·浙江杭州·期中）云谷的自营餐饮在保证菜品的新鲜程度上很重视．某日发现甲种蓅菜保鲜的适宜温度（单位：）是，乙种蔬菜保鲜的适宜温度是，如果将这两种蔬菜放在一起同时保鲜，则保鲜的适宜温度t（单位：）的范围是______． 【答案】 【知识点】一元一次不等式组的其他应用 【分析】本题主要考查了一元一次不等式组的应用，根据题意列出不等式组，求解即可． 【详解】解：由题意可得：， 解得：， 故保鲜的适宜温度t（单位：）的范围是， 故答案为：． 56．（23-24七年级下·四川乐山·期末）将“a与b的差是非正数”用不等式表示为_______． 【答案】 【知识点】不等式的定义 【分析】本题考查了列不等式及非正数的概念，解题的关键是准确理解“a与b的差”的数学表达式，以及明确“非正数”所对应的不等关系． 先确定“a与b的差”对应的数学表达式为；再明确“非正数”指的是小于或等于0的数，即满足“”的关系；最后将两者结合，写出对应的不等式． 【详解】解：“a与b的差”表示为； “非正数”是指小于或等于0的数，即满足关系“”； 因此“a与b的差是非正数”用不等式表示为． 故答案为：． 57．（24-25八年级下·陕西西安·期中）解不等式组，并将其解集在数轴上表示出来． 【答案】 ，用数轴表示为： ． 【知识点】在数轴上表示不等式的解集、求不等式组的解集 【分析】本题考查了解一元一次不等式组：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集．解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到． 分别解两个不等式，然后利用大小小大中间找确定不等式组的解集，最后利用数轴表示其解集． 【详解】解：， 解①得， 解②得 所以不等式组的解集为， 💯 课后巩固 复习建议 · 三角形边角关系先抓三边关系与内角和，外角是转化角的重要工具 · 等腰三角形遇边或角不确定要分类讨论，防止漏解 · 全等证明先分析已知条件选判定方法，直角三角形优先想HL · 勾股定理只在直角三角形中使用，实际问题先建模再列式 · 解不等式（组）注意两边同除以负数要变号，解集借助数轴 【作业1】．（23-24八年级下·吉林白山·阶段检测）下列是勾股数的是（    ） A．1.5，2，2.5 B．11，12，23 C．9，40，41 D．6，7，8 【答案】C 【知识点】勾股树（数）问题 【分析】此题主要考查了勾股数．判断是否为勾股数，必须根据勾股数是正整数，同时还需验证两小边的平方和是否等于最长边的平方． 【详解】解：A、三边长，，不都是正整数，不是勾股数，不合题意； B、，则11，12，23不是勾股数，不合题意； C、，则9，40，41能构成直角三角形，符合题意； D、三边长，则6，7，8不是勾股数，不合题意； 故选：C． 【作业2】．（25-26八年级上·浙江温州·阶段检测）下列各式中是一元一次不等式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】一元一次不等式的定义 【分析】本题考查了一元一次不等式的判断，根据一元一次不等式的定义：只含有一个未知数，且未知数的最高次数为1的不等式，判断各选项即可． 【详解】解：A、，只含未知数x，次数为1，且有不等号“”，故是一元一次不等式； B、，含有两个未知数x和y，故不是一元一次不等式； C、，没有不等号，故不是一元一次不等式； D、，未知数x的最高次数为2，故不是一元一次不等式； 故选：A． 【作业3】．（23-24八年级上·浙江温州·期中）若，则下列式子中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】不等式的性质 【分析】根据不等式的性质逐项进行判断即可，熟练掌握不等式的性质是解题的关键． 【详解】解：A．若，则，故选项错误，不符合题意； B．若，则，故选项正确，符合题意； C．若，则，故选项错误，不符合题意； D．若，则，故选项错误，不符合题意． 故选：B． 【作业4】．（25-26七年级下·湖北武汉·期中）下列命题中，假命题是（    ） A．垂线最短 B．互为相反数的两个数绝对值相等 C．同旁内角互补，两直线平行 D．所有实数都可以用数轴上的点表示，反过来，数轴上的所有点都表示实数 【答案】A 【知识点】同旁内角互补两直线平行、垂线段最短、判断命题真假、实数与数轴 【分析】本题考查初中数学基本概念与定理，只需判断各命题的真假，找出假命题即可． 【详解】∵ 垂线是直线，无确定长度，正确结论为“连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短”， ∴ 选项A“垂线最短”是假命题； 选项B中，互为相反数的两个数符号不同绝对值相同，因此该命题是真命题； 选项C中，“同旁内角互补，两直线平行”是平行线的判定定理，因此该命题是真命题； 选项D中，实数与数轴上的点是一一对应关系，因此该命题是真命题． 【作业5】．（25-26七年级下·上海·期末）以下列各组长度的线段为边长，其中能组成三角形的是（     ）． A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】构成三角形的条件、三角形三边关系的应用 【分析】根据三角形任意两边之和大于第三边，选取每组线段中较小的两条边求和，与最长边比较大小，可快速判断能否组成三角形． 【详解】解：A选项，，不能组成三角形，不符合题意． B选项， ，不能组成三角形，不符合题意． C选项，，不能组成三角形，不符合题意． D选项，，能组成三角形，符合题意． 【作业6】．（23-24八年级下·河南郑州·期末）下列式子中，是不等式的有（    ） ①；②；③；④；⑤；⑥ A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【知识点】不等式的定义 【分析】本题考查的是不等式的定义：用不等号连接的式子都叫做不等式．根据不等式的定义对各式子进行解答即可． 【详解】解：①，不含有不等号，不是不等式，不符合题意； ②，是不等式，符合题意； ③，是不等式，符合题意； ④，是不等式，符合题意； ⑤，是不等式，符合题意； ⑥不含有不等号，不是不等式，不符合题意． 故选：C． 【作业7】．（23-24八年级上·浙江宁波·阶段检测）关于x的不等式的正整数解是___________． 【答案】1 【知识点】求一元一次不等式的整数解 【分析】先解出不等式，然后求满足条件的正整数解即可． 【详解】解：， ， ， ， ， 不等式的正整数解是1． 故答案为：1． 【点睛】本题考查了解一元一次不等式及其正整数解，熟练掌握一元一次不等式的解法是解题关键． 【作业8】．（23-24八年级上·浙江杭州·阶段检测）如图，中，点D、E、F分别在边，，上，E为的中点，，，交于一点G，，，，则的值是 _______． 【答案】30 【知识点】根据三角形中线求面积 【分析】此题考查了三角形的面积公式、三角形之间的面积加减计算．注意同底等高的三角形面积相等，面积相等、同高的三角形底相等． 【详解】解：∵E为的中点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵E为的中点， ∴， 故答案为：30． 【作业9】．（22-23八年级上·浙江杭州·阶段检测）如图，平分于点D，点Q是射线上一个动点，若，则的取值范围为_________．    【答案】/ 【知识点】角平分线的性质定理 【分析】根据垂线段最短可得时，最短，再根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得． 【详解】解：由垂线段最短可得时，最短，   ∵平分， ∴， 即线段的最小值是2． ∴的取值范围为， 故答案为． 【点睛】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，垂线段最短，熟记性质并判断出与垂直时的值最小是解题的关键． 【作业10】．（24-25八年级上·浙江温州·期中）如图，是的角平分线，若，则的面积为___． 【答案】18 【知识点】角平分线的性质定理 【分析】本题考查了角平分线的性质定理：角平分线上的点在角的两边距离相等；过点D作于E，则，由三角形面积公式即可求解． 【详解】解：如图，过点D作于E， ∵，是的角平分线， ∴， ∴； 故答案为：18． 【作业11】．（23-24八年级下·甘肃金昌·期中）命题“如果，那么与互为补角”的逆命题为______． 【答案】如果与互为补角，那么 【知识点】写出命题的逆命题 【分析】本题主要考查了求一个命题的逆命题，把原命题的结论与条件互换作为命题的条件和结论即可得到答案． 【详解】解：命题“如果，那么与互为补角”的逆命题为如果与互为补角，那么． 故答案为：如果与互为补角，那么． 【作业12】．（25-26八年级上·四川德阳·阶段检测）两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”．如图，四边形是一个筝形，其中，，在探究筝形的性质时，得到如下结论：①；②；③四边形的面积；④．其中正确的结论有______． 【答案】①②③④ 【知识点】全等三角形综合问题、等腰三角形的性质和判定 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质、等腰三角形的三线合一的性质的应用，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题． 根据等边证得，得到，再根据等腰三角形的性质求得，；四边形的面积分解为三角形和的面积求解． 【详解】解：在与中， ， ，故①正确； ， ， ，，故②④正确； 四边形的面积，故③正确． 故答案为：①②③④． 【作业13】．（23-24八年级上·浙江宁波·期中）在中， ______°． 【答案】80 【知识点】三角形内角和定理的应用 【分析】本题考查了三角形内角和定理，在中，利用三角形内角和定理，即可求出的度数． 【详解】解：在中，， ∴． 故答案为：80． 【作业14】．（23-24八年级上·浙江绍兴·期中）小丽从一张等腰三角形纸片中恰好剪出五个如图所示的小等腰三角形，其中，则__________°．    【答案】45 【知识点】等边对等角、三角形内角和定理的应用、三角形的外角的定义及性质 【分析】本题考查了等腰三角形，三角形外角的性质，三角形内角和定理. 设，依次表示出，，然后利用三角形内角和求解即可． 【详解】解：设， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，解得：， ∴． 故答案为：45． 【作业15】．（23-24八年级上·浙江杭州·期中）在中，，，， (1)若，，求c． (2)若，，求b．并求斜边上的高． 【答案】(1) (2)，斜边上的高是 【知识点】求一个数的算术平方根、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查利用勾股定理解直角三角形，已知两边求第三边时，关键要注意所求边是直角边，还是斜边． （1）由于所求边c是斜边，所以利用勾股定理直接可得，代入a，b的值即可求得c的值； （2）由于所求边b是直角边，所以利用勾股定理直接可得，代入a，c的值即可求得b的值，借助面积求出斜边上的高． 【详解】（1）解：根据勾股定理，得， ∵， ∴． （2）解：根据勾股定理，得． ∵， ∴， 设斜边上的高是h， ， ， 则斜边上的高是． 【作业16】．（24-25八年级上·河南驻马店·阶段检测）如图，点为外一点，为的中点，于点，交的延长线于点，连接，，且，． (1)求证：平分； (2)若，，求的长． 【答案】(1) 证明：如图，连接，， ，为的中点， ， ，， ， 在和中， ， ， ， 平分； (2) 【知识点】角平分线的判定定理、全等的性质和HL综合（HL）、线段垂直平分线的性质 【分析】本题考查了直角三角形全等的判定，中垂线的性质以及角平分线的判定，熟练掌握是解答本题的关键． （1）先根据中垂线的性质得到，可证，从而得到，再利用到角两边距离相等的点在角平分线上即可证明； （2）易证，得到，再根据线段之间的关系即可求出的长． 【详解】（1）略 （2）解：在和中， ， ， ， ，，， ， 即， 解得． 【作业17】．（23-24八年级上·浙江金华·阶段检测）如图，已知为的中点， (1)如图 1，求证：是等腰三角形； (2)如图 2 ，与交点为 F，若，求的长． 【答案】(1) 证明：∵， ∴， 又∵E为的中点， ∴， ∴， 即是等腰三角形； (2) 【知识点】斜边的中线等于斜边的一半、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查的是直角三角形的性质、等腰三角形的性质，掌握在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键．（1）根据直角三角形的性质得到，得到，证明结论； （2）过点E作，根据三角形的面积公式求出，根据勾股定理求出，根据等腰三角形的性质计算即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵，E为的中点， ∴，， ∴， 过点E作， ∵，，∴， ∴， ∵是等腰三角形， ∴． 【作业18】．（23-24八年级上·浙江金华·期中）如图，于，于F，若，． (1)求证：平分； (2)若，，求的长． 【答案】(1) 证明：∵， 在和中 ∴平分； (2) 【知识点】角平分线的判定定理、全等的性质和HL综合（HL） 【分析】本题考查了角平分线的判定定理，全等三角形的性质和判定， （1）先证明，得到，从而得出结论； （2）先求出的长度，然后证明，得出，求解即可． 证明全等三角形是解题的关键． 【详解】（1）略 （2）解：∵ ∴ 在和中 ∴ ∴． 【作业19】．（23-24八年级下·贵州贵阳·阶段检测）如图，在的方格纸中，每个小正方形的边长都为1，的三个顶点都在格点上，已知，． (1)画出； (2)判断的形状，并说明理由． 【答案】(1) 如图，即为所求． (2) 是直角三角形， 理由如下：，，， ，． ， 是直角三角形． 【知识点】在网格中判断直角三角形、勾股定理与网格问题 【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理，勾股定理与网格问题： （1）根据网格的特点和勾股定理作图即可； （2）证明，即可利用勾股定理的逆定理得到结论． 【详解】（1）略 （2）略 【作业20】．（25-26八年级下·山西太原·期中）下面是某同学解不等式的过程，请认真阅读并完成相应的任务． 解：去分母，得．第一步 移项，得．第二步 合并同类项，得，第三步 x系数化成1，得，第四步 根据以上材料，解答下列问题： (1)第一步的依据是___________________； (2)在解答过程中，从第________步开始出错，具体的错误原因是_________________________； (3)原不等式的正确解集为________． 【答案】(1)不等式的基本性质2 (2)二；移项时未改变符号 (3) 【知识点】解一元一次方程（一）——合并同类项与移项、求一元一次不等式的解集、不等式的性质 【分析】（）根据不等式基本性质即可求解； （）根据不等式基本性质即可求解； （）根据不等式解法即可求解． 【详解】（1）解：第一步去分母的依据是不等式的基本性质; （2）解：在解答过程中，从第二步开始出错，错误原因是移项时未改变符号； （3）解：去分母，得， 移项，得， 合并同类项，得， 的系数化成，得， 故原不等式的正确解集为． 1 1 学科网（北京）股份有限公司 $